Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Summenzeichen

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Summenzeichen

Das Summenzeichen

Das Summenzeichen ist unter Schülern häufig gefürchtet und wird möglichst umgangen. Das liegt vor allem daran, dass viele seine Bedeutung nicht kennen oder nicht ganzheitlich verstehen.

In diesem Artikel zum Summenzeichen erklären wir dir, wie und wofür du das Summenzeichen nutzen kannst und welche Rechenregeln es gibt. Im Anschluss kannst du an Übungsaufgaben mit erklärten Lösungen dein Wissen zum Summenzeichen testen und üben.

Das Summenzeichen erweitert den Themenbereich Grundrechenarten und gehört zum Fach Mathe.

Viel Spaß beim Lernen!

Die Funktion des Summenzeichens

Das Summenzeichen wird in vielen mathematischen Rechnungen genutzt, um die lange und komplex wirkende Aufsummierung von Termen grafisch zu vereinfachen. Das heißt, dass an der Gleichung an sich nichts geändert wird und nur die Darstellung derselben Summe eine andere ist.

Dies ist deshalb sinnvoll, weil es bei manchen Summen Tage dauern würde, alle Elemente der Gleichung auszuschreiben. Andere Summen lassen sich nicht vollständig ausschreiben, weil es z.B. unendlich viele Summanden (Terme, die summiert werden) gibt.

Eine Summe bilden

Das Summenzeichen wird durch den griechischen Großbuchstaben Sigma () dargestellt. Die allgemeine Form lautet:

Hierbei entspricht k der unteren Grenze. Der Wert, dem k unter dem Summenzeichen gleichgesetzt wird, ist immer die erste natürliche Zahl, die in die Funktion ak für k eingesetzt wird. n heißt Endwert oder obere Grenze und entspricht der letzten Zahl, die für k in der Funktion eingesetzt wird.

Wenn also eine Funktion a(k) hinter dem Summenzeichen steht, setzt du nacheinander alle natürlichen Zahlen von k bis n (inklusive dieser beiden Werte) für k ein und addierst dann die einzelnen Funktionswerte.

1. Rechenbeispiel zum Summenzeichen

Schauen wir uns die folgende Summe mal genauer an.

Hier soll berechnet werden, welches Ergebnis man erhält, wenn man alle natürlichen Zahlen von und inklusive 1 bis 5 für k in die Funktion a(k) = 2k einsetzt und die einzelnen Werte dann aufsummiert.

Es lohnt sich, hier Schritt für Schritt vorzugehen. Je nachdem, wie lang die Summe ist (also wie viele Summanden es gibt), kannst du dir eine Tabelle anlegen, in der du die einzelnen Funktionswerte a(k) sammelst.

Tipp: Es gibt immer genau n - k + 1 Summanden, wenn die Summe von k bis n läuft. Nutze diese Formel, um zu überprüfen, ob du auch keinen Summanden vergessen hast.

Eine Tabelle könnte in diesem Beispiel folgendermaßen aussehen:

k

a(k) = 2k

1

a(1) = 2 · 1 = 2

2

a(2) = 2 · 2 = 4

3

a(3) = 2 · 3 = 6

4

a(4) = 2 · 4 = 8

5

a(5) = 2 · 5 = 10

Im nächsten Schritt kannst du diese Funktionswerte aufsummieren und erhältst die gewünschte Summe.

2·1+2·2+2·3+2·4+2·5=2+4+6+8+10=30

Um sicherzugehen, dass diese Summe stimmt kannst du nun wie oben beschrieben die Anzahl der Summanden überprüfen. Setze dafür die Parameter der Summe in die Formel n - k + 1 ein: 5 - 1 +1 = 5. Da sich in der Tabelle 5 Zeilen mit Funktionswerten befinden und wir beim aufsummieren der Funktionswerte auf 5 Summanden kommen, stimmt die Summe. Super!

Für das Verständnis sehen wir uns nun noch zwei weitere Summen an:

2. Rechenbeispiel zum Summenzeichen

Die Laufvariable des Sumenzeichens

Die Laufvariable ist die Variable, für die alle natürlichen Zahlen von k bis n eingesetzt werden. In dem Beispiel oben heißt die Laufvariable „k“. Allerdings ist es möglich, die Laufvariable mit jedem beliebigen Kleinbuchstaben zu beschreiben. Wie die Laufvariable heißt ist dann wichtig, wenn in einer Funktion mehrere Variablen vorkommen. Dann musst du genau darauf achten, wofür du dich natürlichen Zahlen einsetzen darfst.

3. Rechenbeispiel zum Summenzeichen

4. Rechenbeispiel zum Summenzeichen

In dieser Summe befinden sich nun zwei Variablen. Die Laufvariable einer Summe ist immer die, die unter dem Summenzeichen steht. Das bedeutet, dass wir die natürlichen Zahlen von 3 bis 6 nur für k einsetzen dürfen. Hier kann uns eine Tabelle wieder einen guten Überblick verschaffen:

k

a(k) = 3 · i2 +5k

3

a(k = 3) = 3 · i2 + 5 · 3 = 3 · i2 + 15

4

a(k = 4) = 3 · i2 + 5 · 4 = 3 · i2 + 20

5

a(k = 5) = 3 · i2 + 5 · 5 = 3 · i2 + 25

6

a(k = 6) = 3 · i2 + 5 · 6 = 3 · i2 + 30

Wie du sehen kannst, gibt es nichts, was wir für i einsetzen können. Das ist aber nicht schlimm, denn auch eine Lösung mit einer Variablen ist eine Lösung. Wenn wir die einzelnen Terme nun aufsummieren und dann nach und nach vereinfachen, erhalten wir:

Doppelsummen

Eine Doppelsumme (auch Summe einer Summe genannt) entsteht dann, wenn es genau zwei Variablen in einer Funktion gibt und die Kombinationen aller Terme der 1. Variablen mit allen Termen der 2. Variablen aufsummiert werden sollen. Das klingt erstmal kompliziert, ist es aber gar nicht. Wir erklären dir am besten an einem Beispiel, wie du Schritt für Schritt bei der Berechnung einer Doppelsumme vorgehen kannst.

Rechenbeispiel zu Doppelsummen

Um diese Summe einer Summe zu berechnen, kannst zwei verschiedene Rechenwege anwenden. Wir erläutern dir beide Rechenwege anhand dieser Doppelsumme, sodass du dir in Zukunft je nach Aufgabentyp einen davon aussuchen kannst.

Rechenweg 1

Sieh dir bei der Berechnung der Summe zunächst nur die innere Summe an, also die mit der Laufvariablen „i“. Von dieser Summe erstellst du nun eine Tabelle aller Funktionswerte:

i

a(i) = k2 · i

3

a(i = 3) = k2 · 3

4

a(i = 4) = k2 · 4

5

a(i = 5) = k2 · 5

Nun kannst du eine weitere Tabelle aufstellen, in der du über jede dieser neuen Funktionen die Summe von k = 1 bis 3 bildest, also die äußere Summe.

k

a(k) = k2 · 3

a(k) = k2 · 4

a(k) = k2 · 5

1

a(1) = 12 · 3 = 3

a(k) = 12 · 4 = 4

a(1) = 12 · 5 = 5

2

a(2) = 22 · 3 = 12

a(k) = 22 · 4 = 16

a(2) = 22 · 5 = 20

3

a(3) = 32 · 3 = 27

a(3) = 32 · 4 = 36

a(3) = 32 · 5 = 45

In dieser Tabelle siehst du nun genau 9 Einträge. Das entspricht der Anzahl der Summanden der 1. Summe multipliziert mit der Anzahl der Summanden der 2. Summe:

3 · 3 = (3 - 1 + 1) · (5 - 3 + 1) = 9

Das Ergebnis der Doppelsumme entspricht der Summe aller 9 Einträge in der obenstehenden Liste:

= 168

Rechenweg 2

Alternativ zu Rechenweg 1 kannst du auch zuerst alle möglichen Kombinationen von i und k notieren und diese dann jeweils gemeinsam in die Formel einsetzen. Das Ergebnis ist dann die Summe der Terme, die durch diese Kombinationen entstehen.

Tipp: Zum Aufstellen der Kombination (k, i) hilft es, den äußeren Index stehen zu lassen und den inneren „hochlaufen“ zu lassen. Das bedeutet hier, alle möglichen i von niedrig nach hoch mit dem niedrigsten k kombinieren. Dann kannst du ein k höher gehen und wieder i hochlaufen lassen usw.:

(k, i)

a(k, i) = k2 · i

(1, 3)

a(1, 3) = 12 · 3 = 3

(1, 4)

a(1, 4) = 12 · 4 = 4

(1, 5)

a(1, 5) = 12 · 5 = 5

(2, 3)

a(2, 3) = 22 · 3 = 12

(2, 4)

a(2, 4) = 22 · 4 = 16

(2, 5)

a(2, 5) = 22 · 5 = 20

(3, 3)

a(3, 3) = 32 · 3 = 27

(3, 4)

a(3, 4) = 32 · 4 = 36

(3, 5)

a(3, 5) = 32 · 5 = 45

All diese Einträge lassen sich nun direkt summieren und wir erhalten den Wert der Doppelsumme:

k=13i=35k2·i=3+4+5+12+16+20+27+36+45=168

Übrigens:

Welche Summe an erster Stelle steht ist für das Ergebnis nicht relevant!

Rechenregeln für Summen

Wenn man mit Summen rechnen möchte, gibt es einige Dinge zu beachten. Die folgenden Regeln können für das vereinfachen von Berechnungen sehr hilfreich sein, weshalb es sich lohnt einen Blick darauf zu werfen!

Regel

Erklärung

Jeder konstante Faktor (Multiplikator) kann vor die Summe gezogen werden, um die Berechnung der Summe zu vereinfachen.

Jede Summe in kann in Teilsummen bzgl. der Grenzen aufgespalten werden. dabei muss darauf geachtet werden, dass kein Summand doppelt in die Summe einfließt!

Unterschiedliche Summen mit derselben Laufvariablen und denselben Grenzen können in einer Summe zusammengefasst werden. Bei Summen innerhalb von ak oder bk unbedingt Klammern setzen

Die Grenze einer Summe kann von j nach t verschoben werden, sodass die Summe trotzdem gleichbleibt. Bei t < j gilt es, streng die Vorzeichen zu beachten!

Die Summe von ak multipliziert mit der Summe von bk entspricht nicht der Summe von ak multipliziert mit bk! Dasselbe gilt für das Quadrieren von Summen!

Immer wenn die untere Grenze größer ist, als die obere kann nicht von j bis n aufsummiert werden und die Summe ist somit 0.

Eine Summe von n bis n lässt sich berechnen, indem man einfach n einsetzt. Es ist also in dem Sinne keine Summe.

Die Summe über einen konstanten Faktor entspricht dem Faktor multipliziert mit der Anzahl der durch die Summe vorgegebenen Summanden. Diese Regel gilt auch, wenn andere Variablen in der Funktion enthalten sind, die Laufvariable jedoch nicht! Die Funktion wird dann als Konstante angesehen. Tipp: Wenn die untere Grenze 1 ist, muss der Faktor nur mit n multipliziert werden!

Deine Ultimative Checkliste zum Summenzeichen

Wir tragen hier für dich zusammen, mit welchen Schritten du zum Ergebnis deiner Summe gelangst! Gehe diese Liste der Reihe nach durch, um deine Summe zu berechnen, ohne dabei den Überblick zu verlieren.

  • Was ist die Laufvariable?
  • Wie lautet die untere Grenze?
  • Wie lautet die obere Grenze?
  • Wie viele Summanden gibt es?(obere Grenze - untere Grenze + 1)(obere Grenze - untere Grenze + 1) · (obere Grenze - untere Grenze + 1) · … für Summen von Summen (z.B. Doppelsummen)
  • Liste mit Laufvariable (oder Kombinationen mehrere Laufvariablen) und Funktionstermen erstellenBei Summen von Summen alle Kombinationen der Laufvariablen aufstellen, indem der äußere Index stehen bleibt und der innere hochläuftdie Laufvariablen (oder Kombinationen davon) jeweils in die Funktion einsetzen und dann die Funktionsterme berechnen
  • Alle Funktionsterme aufsummieren
  • Summandenanzahl überprüfen: Die Anzahl der Funktionsterme entspricht der Anzahl der Summanden, die oben mit (obere Grenze - untere Grenze + 1) berechnet wurden
  • Ergebnis ausrechnen

Fertig!

Summenzeichen - Zusammenfassung

Summenzeichen können komplizierte Summen vereinfachen. Dabei wird in eine Funktion die Laufvariable aufsteigend eingesetzt und die Ergebnisse dann summiert. Summen kann es auch über Funktionen mit mehreren Variablen geben, wobei nur die Laufvariablen entscheidend sind. Bei Doppelsummen handelt es sich um Summen von Summen, sodass die Anzahl der Summanden insgesamt dem Produkt der Summanden pro Summe entspricht.

Mit der Hilfe von Rechenregeln können Summen vereinfacht oder zusammengefasst werden. Auch eine Verschiebung der Grenzen ist möglich.

Unsere Empfehlung

Wir empfehlen dir, das Rechnen mit Summen zu üben, damit du ein Gefühl für den Umgang damit bekommst. Es hilft dabei, möglichst alle Rechenregeln anhand von Beispielen auszuprobieren. Am besten bereitest du dich vor, indem du dir selber Aufgaben ausdenkst und diese dann rechnest. So erkennst du kritische Punkte und die Rechenregeln verstehen sich bald von selbst!

Wusstest du, dass es nicht nur Summenzeichen, sondern auch Produktzeichen gibt? Damit kannst du nach demselben Prinzip Produkte zusammenfassen oder vereinfachen. Lies hier mehr zum Thema!

Übrigens:

Indem du dir Rechenaufgaben selber stellst und dir kreative Fragestellungen überlegst, lernst du effektiv und bist gut auf Klausuren vorbereitet! Wieso? – Durch das Anwenden deines Wissens auf „untypische“ Aufgaben verbreiterst du dein Verständnis und dich kann nichts mehr überraschen! Und wer weiß? Vielleicht taucht deine selbst gestellte Aufgabe ja in der nächsten Klausur auf.

Mehr zum Thema Summenzeichen
60%

der Nutzer schaffen das Summenzeichen Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Gerade angemeldet?

Ja
Nein, aber ich werde es gleich tun

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.