In diesem Artikel geht es um die ganzen Zahlen. Eine kurze Definition der ganzen Zahlen hast du vielleicht schon im Artikel Zahlenmengen gelesen. In den folgenden Abschnitten wirst du noch mehr über die ganzen Zahlen kennenlernen. Nach dem Lesen dieses Artikels weißt du, was ganze Zahlen sind und kannst dein Wissen noch an ein paar Übungsaufgaben testen. 😊
Ganze Zahlen Definition
Die ganzen Zahlen erweitern die Menge der natürlichen Zahlen um die Null und die negativen Zahlen. Als Zahlenmenge kann man sie wie folgt schreiben:
Grundsätzlich erkennst du ganze Zahlen daran, dass sie ganz sind, also kein Komma und keine Nachkommastellen haben.
Zum Beispiel sind die Zahlen 5, -13 oder 30000 ganze Zahlen.
Ganze Zahlen können zwei verschiedene Vorzeichen haben, entweder ein positives Vorzeichen "+" (oder gar kein Vorzeichen, denn das + schreibt man meistens nicht) oder ein negatives Vorzeichen "-".
Falls du dir nicht mehr ganz sicher bist, was die natürlichen Zahlen und die negativen Zahlen sind, solltest du die Artikel der natürlichen Zahlen und negativen Zahlen durchlesen. Ganze Zahlen sind nämlich einfach nur alle natürlichen Zahlen mit der Null und die dazugehörigen negativen Zahlen. Du findest diese beiden Artikel im Kapitel Zahlenmengen.
Ganze Zahlen im Alltag
Ganze Zahlen begegnen dir im Alltag sehr oft. Schauen wir uns doch mal ein Paar Beispiele an, wo dir ganze Zahlen begegnen!
Ein Alltagsbeispiel ist die Temperatur: Du kannst an einem Thermometer an Herbsttagen 10° Celsius
ablesen und an kalten Wintertagen -5° Celsius. In beiden Szenarien handelt es sich um ganze Zahlen.
Oder wenn du im Aufzug fährst. Nach oben kannst du vielleicht bis in den vierten Stock fahren, und ganz unten in den Keller, wo du bestimmt schonmal eine -1 auf der Anzeige im Aufzug gesehen hast. Wenn du in den Aufzug eines Hochhauses steigst, kannst du nicht nur viel weiter nach oben fahren, sondern vielleicht auch in den zweiten oder dritten Keller, also bis in die Etagen -2 und -3. Das sind alles Beispiele für ganze Zahlen, die dir im Alltag begegnen können!
Anordnung der ganzen Zahlen auf der Zahlengerade
Ganze Zahlen können auch auf der Zahlengerade dargestellt werden. Auf der Zahlengerade werden Zahlen der Größe nach geordnet, umso kleiner die Zahl umso weiter nach links muss man gehen und für größere Zahlen weiter nach rechts. Der Abstand zwischen benachbarten Zahlen ist immer gleich groß.
Wie du die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl anordnest, wirst du bereits in der Grundschule gelernt haben. Nun wird der Strahl nach links zu einer Geraden verlängert, sie hört also nicht bei der Null auf, sondern geht auch dort wie auf der rechten Seite bis ins Unendliche weiter. Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie. Je weiter rechts die Zahl liegt, desto größer ist sie.
Hinweis: Die Zahl -40 ist kleiner als die Zahl -2. Falls dir das nicht klar ist, solltest du den Artikel zu den negativen Zahlen nochmal durchlesen!
Damit sieht die Zahlengerade für die ganzen Zahlen folgendermaßen aus:
Abbildung 1: Zahlengerade
Die Zahlengerade sieht also in etwa so aus, wie ein gedrehtes Thermometer.
Nahe der Null liegen diejenigen ganzen Zahlen, deren Betrag klein ist. Weiter weg liegen die Zahlen, deren Betrag groß ist.
Weißt du, was der Unterschied zwischen einem Zahlenstrahl und einer Zahlengerade ist? Wenn nicht, kannst Du das im Artikel Zahlenstrahl und Zahlengerade nachlesen.
Formale Definition der ganzen Zahlen
An dieser Stelle sollen die ganzen Zahlen noch einmal richtig definiert werden.
Die Menge der ganzen Zahlen beinhaltet die Menge 
der natürlichen Zahlen und die Null. In der Abbildung der wichtigsten Zahlenmengen liegt sie noch relativ weit innen. Es gibt also noch weitere Zahlenmengen, die die ganzen Zahlen beinhalten.
Falls du schon eine höhere Jahrgangsstufe besuchst und bereits die Menge der rationalen Zahlen oder die Menge der reellen Zahlen kennst, solltest du die folgende Kette kennen:
Falls du dich genauer über die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen informieren möchtest, haben wir auch dazu im Kapitel Zahlenmengen einen Artikel.
Zum Überblick siehst du hier noch die Abbildung der Zahlenmengen mit Hervorhebung der ganzen Zahlen:
Abbildung 2: Zahlenmengen
Wichtig: Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, eine reelle Zahl und kann als komplexe Zahl dargestellt werden. Und jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Andersherum gilt das aber nicht!
Ganze Zahlen in Brüche umwandeln
Da jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl ist, kann jede ganze Zahl in einen Bruch umgewandelt werden. Das geht recht einfach, denn man schreibt einfach die ganze Zahl in den Zähler und in den Nenner eine 1. Das Vorzeichen der ganzen Zahl wird einfach beibehalten.
Andersherum gibt es also auch Brüche, die ganze Zahlen sind.
Das trifft aber nicht auf alle Brüche zu! Lediglich diejenigen Brüche, die so weit gekürzt werden können, dass im Nenner eine 1 steht, sind ganze Zahlen.
Ganze Zahlen Teilmenge
Manchmal ist es in der Mathematik sinnvoll Teilmengen einer Zahlenmenge (also nur einen Teil der Menge) zu betrachten. An dieser Stelle findest du ein paar bekannte Teilmengen der Menge der ganzen Zahlen:
Teilmengen ohne Null
- Ganze Zahlen ohne Null:
- Positive ganze Zahlen:
– entspricht der Menge 
der natürlichen Zahlen ohne Null - Negative ganze Zahlen:
Teilmengen mit Null
- Nichtnegative ganze Zahlen:
– entspricht der Menge 
der natürlichen Zahlen mit der Null - Nichtpositive ganze Zahlen:
Ganze Zahlen berechnen
Für die ganzen Zahlen kann man folgende Rechenoperationen anwenden:
- Addition: 3 + (-8) = -5
- Subtraktion: 10 – 8 = 2
- Multiplikation: 4 · (-5) = -20
- Division: 8 : (-4) = -2
Zum Rechnen mit den ganzen Zahlen haben wir ein eigenes Kapitel, du findest es auch im Bereich Algebra. Dort wird dir ausführlich erklärt, wie du mit ganzen Zahlen rechnest und auch, wie du schriftlich rechnest.
Ganze Zahlen Übungen
Um dein Verständnis zu den ganzen Zahlen zu vertiefen, haben wir hier noch zwei Übungsaufgaben für dich:
Aufgabe 1
Welche der folgenden Zahlen gehört zu der Menge 
der ganzen Zahlen? Welche Zahl ist sogar eine natürliche Zahl?
- 3
- 0,123456789
- -30405
- -1,5
- 0
- 10
- 500134
- -75,5
Lösungen
- 3 ist eine ganze Zahl und insbesondere eine natürliche Zahl.
ist keine ganze Zahl – sie gehört zu der Menge der rationalen Zahlen.- 0,123456789 ist keine ganze Zahl, da sie Nachkommastellen hat. Sie gehört aber zu der Menge der rationalen Zahlen.
- -30405 ist eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl.
- -1,5 ist keine ganze Zahl. Sie gehört wieder zu der Menge der rationalen Zahlen.
ist eine ganze Zahl, da man den Bruch kürzen kann: 
. Diese Zahl ist somit sogar eine natürliche Zahl!- 0 ist eine ganze Zahl. Sie gehört auch zu der Menge der natürlichen Zahlen mit Null.
- 10 ist eine ganze und natürliche Zahl.
- 500134 ist auch eine ganze und insbesondere eine natürliche Zahl.
- -75,5 ist keine ganze Zahl, da sie Nachkommastellen hat. Sie gehört zu den rationalen Zahlen.
Aufgabe 2
Wie lautet die Lösung zu den folgenden Rechenaufgaben?
- 10 – 9 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 + 2 - 1
- 90 : (-9)
- 10 · (25 – 40)
- 10 · 25 - 40
- 123 – 456 + 789
Lösungen
- 10 – 9 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 + 2 – 1 = 5
- 90 : (-9) = -10
- 10 · (25 – 40) = -150
- 10 · 25 – 40 = 210
- 123 – 456 + 789 = 456
Ganze Zahlen - Das Wichtigste
- Die Menge der ganzen Zahlen vereinigt die Menge der natürlichen Zahlen, die Null und die Menge der negativen Zahlen.
- Die Menge der ganzen Zahlen beinhaltet negative und positive Zahlen.
- Formal definiert wird die Menge der ganzen Zahlen wie folgt:
- Die Menge der ganzen Zahlen liegt in der Menge der rationalen Zahlen, in der Menge der reellen Zahlen und in der Menge der komplexen Zahlen. Jede ganze Zahl ist also auch rational, reell und komplex.
- Jede ganze Zahl kann demnach auch in einen Bruch umgewandelt werden.
- Ganze Zahlen werden am Besten am Zahlenstrahl dargestellt.
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