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Ganze Zahlen

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Ganze Zahlen

In diesem Artikel geht es um die ganzen Zahlen. Eine kurze Definition der ganzen Zahlen hast du vielleicht schon im Artikel Zahlenmengen gelesen. In den folgenden Abschnitten wirst du noch mehr über die ganzen Zahlen kennenlernen. Nach dem Lesen dieses Artikels weißt du, was ganze Zahlen sind und kannst dein Wissen noch an ein paar Übungsaufgaben testen. 😊

Ganze Zahlen Definition

Die ganzen Zahlen erweitern die Menge der natürlichen Zahlen um die Null und die negativen Zahlen. Als Zahlenmenge kann man sie wie folgt schreiben:

Grundsätzlich erkennst du ganze Zahlen daran, dass sie ganz sind, also kein Komma und keine Nachkommastellen haben.

Zum Beispiel sind die Zahlen 5, -13 oder 30000 ganze Zahlen.

Ganze Zahlen können zwei verschiedene Vorzeichen haben, entweder ein positives Vorzeichen "+" (oder gar kein Vorzeichen, denn das + schreibt man meistens nicht) oder ein negatives Vorzeichen "-".

Falls du dir nicht mehr ganz sicher bist, was die natürlichen Zahlen und die negativen Zahlen sind, solltest du die Artikel der natürlichen Zahlen und negativen Zahlen durchlesen. Ganze Zahlen sind nämlich einfach nur alle natürlichen Zahlen mit der Null und die dazugehörigen negativen Zahlen. Du findest diese beiden Artikel im Kapitel Zahlenmengen.

Ganze Zahlen im Alltag

Ganze Zahlen begegnen dir im Alltag sehr oft. Schauen wir uns doch mal ein Paar Beispiele an, wo dir ganze Zahlen begegnen!

Ein Alltagsbeispiel ist die Temperatur: Du kannst an einem Thermometer an Herbsttagen 10° Celsius

ablesen und an kalten Wintertagen -5° Celsius. In beiden Szenarien handelt es sich um ganze Zahlen.

Oder wenn du im Aufzug fährst. Nach oben kannst du vielleicht bis in den vierten Stock fahren, und ganz unten in den Keller, wo du bestimmt schonmal eine -1 auf der Anzeige im Aufzug gesehen hast. Wenn du in den Aufzug eines Hochhauses steigst, kannst du nicht nur viel weiter nach oben fahren, sondern vielleicht auch in den zweiten oder dritten Keller, also bis in die Etagen -2 und -3. Das sind alles Beispiele für ganze Zahlen, die dir im Alltag begegnen können!

Anordnung der ganzen Zahlen auf der Zahlengerade

Ganze Zahlen können auch auf der Zahlengerade dargestellt werden. Auf der Zahlengerade werden Zahlen der Größe nach geordnet, umso kleiner die Zahl umso weiter nach links muss man gehen und für größere Zahlen weiter nach rechts. Der Abstand zwischen benachbarten Zahlen ist immer gleich groß.

Wie du die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl anordnest, wirst du bereits in der Grundschule gelernt haben. Nun wird der Strahl nach links zu einer Geraden verlängert, sie hört also nicht bei der Null auf, sondern geht auch dort wie auf der rechten Seite bis ins Unendliche weiter. Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie. Je weiter rechts die Zahl liegt, desto größer ist sie.

Hinweis: Die Zahl -40 ist kleiner als die Zahl -2. Falls dir das nicht klar ist, solltest du den Artikel zu den negativen Zahlen nochmal durchlesen!

Damit sieht die Zahlengerade für die ganzen Zahlen folgendermaßen aus:

Abbildung 1: Zahlengerade

Die Zahlengerade sieht also in etwa so aus, wie ein gedrehtes Thermometer.

Nahe der Null liegen diejenigen ganzen Zahlen, deren Betrag klein ist. Weiter weg liegen die Zahlen, deren Betrag groß ist.

Weißt du, was der Unterschied zwischen einem Zahlenstrahl und einer Zahlengerade ist? Wenn nicht, kannst Du das im Artikel Zahlenstrahl und Zahlengerade nachlesen.

Formale Definition der ganzen Zahlen

An dieser Stelle sollen die ganzen Zahlen noch einmal richtig definiert werden.

Die Menge der ganzen Zahlen beinhaltet die Menge der natürlichen Zahlen und die Null. In der Abbildung der wichtigsten Zahlenmengen liegt sie noch relativ weit innen. Es gibt also noch weitere Zahlenmengen, die die ganzen Zahlen beinhalten.

Falls du schon eine höhere Jahrgangsstufe besuchst und bereits die Menge der rationalen Zahlen oder die Menge der reellen Zahlen kennst, solltest du die folgende Kette kennen:

Falls du dich genauer über die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen informieren möchtest, haben wir auch dazu im Kapitel Zahlenmengen einen Artikel.

Zum Überblick siehst du hier noch die Abbildung der Zahlenmengen mit Hervorhebung der ganzen Zahlen:

Abbildung 2: Zahlenmengen

Wichtig: Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, eine reelle Zahl und kann als komplexe Zahl dargestellt werden. Und jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Andersherum gilt das aber nicht!

Ganze Zahlen in Brüche umwandeln

Da jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl ist, kann jede ganze Zahl in einen Bruch umgewandelt werden. Das geht recht einfach, denn man schreibt einfach die ganze Zahl in den Zähler und in den Nenner eine 1. Das Vorzeichen der ganzen Zahl wird einfach beibehalten.

Andersherum gibt es also auch Brüche, die ganze Zahlen sind.

Das trifft aber nicht auf alle Brüche zu! Lediglich diejenigen Brüche, die so weit gekürzt werden können, dass im Nenner eine 1 steht, sind ganze Zahlen.

Ganze Zahlen Teilmenge

Manchmal ist es in der Mathematik sinnvoll Teilmengen einer Zahlenmenge (also nur einen Teil der Menge) zu betrachten. An dieser Stelle findest du ein paar bekannte Teilmengen der Menge der ganzen Zahlen:

Teilmengen ohne Null

  • Ganze Zahlen ohne Null:
  • Positive ganze Zahlen: – entspricht der Menge der natürlichen Zahlen ohne Null
  • Negative ganze Zahlen:

Teilmengen mit Null

  • Nichtnegative ganze Zahlen: – entspricht der Menge der natürlichen Zahlen mit der Null
  • Nichtpositive ganze Zahlen:

Ganze Zahlen berechnen

Für die ganzen Zahlen kann man folgende Rechenoperationen anwenden:

  • Addition: 3 + (-8) = -5
  • Subtraktion: 10 – 8 = 2
  • Multiplikation: 4 · (-5) = -20
  • Division: 8 : (-4) = -2

Zum Rechnen mit den ganzen Zahlen haben wir ein eigenes Kapitel, du findest es auch im Bereich Algebra. Dort wird dir ausführlich erklärt, wie du mit ganzen Zahlen rechnest und auch, wie du schriftlich rechnest.

Ganze Zahlen Übungen

Um dein Verständnis zu den ganzen Zahlen zu vertiefen, haben wir hier noch zwei Übungsaufgaben für dich:

Aufgabe 1

Welche der folgenden Zahlen gehört zu der Menge der ganzen Zahlen? Welche Zahl ist sogar eine natürliche Zahl?

  1. 3
  2. 0,123456789
  3. -30405
  4. -1,5
  5. 0
  6. 10
  7. 500134
  8. -75,5

Lösungen

  1. 3 ist eine ganze Zahl und insbesondere eine natürliche Zahl.
  2. ist keine ganze Zahl – sie gehört zu der Menge der rationalen Zahlen.
  3. 0,123456789 ist keine ganze Zahl, da sie Nachkommastellen hat. Sie gehört aber zu der Menge der rationalen Zahlen.
  4. -30405 ist eine ganze Zahl, aber keine natürliche Zahl.
  5. -1,5 ist keine ganze Zahl. Sie gehört wieder zu der Menge der rationalen Zahlen.
  6. ist eine ganze Zahl, da man den Bruch kürzen kann: . Diese Zahl ist somit sogar eine natürliche Zahl!
  7. 0 ist eine ganze Zahl. Sie gehört auch zu der Menge der natürlichen Zahlen mit Null.
  8. 10 ist eine ganze und natürliche Zahl.
  9. 500134 ist auch eine ganze und insbesondere eine natürliche Zahl.
  10. -75,5 ist keine ganze Zahl, da sie Nachkommastellen hat. Sie gehört zu den rationalen Zahlen.

Aufgabe 2

Wie lautet die Lösung zu den folgenden Rechenaufgaben?

  1. 10 – 9 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 + 2 - 1
  2. 90 : (-9)
  3. 10 · (25 – 40)
  4. 10 · 25 - 40
  5. 123 – 456 + 789

Lösungen

  1. 10 – 9 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 + 2 – 1 = 5
  2. 90 : (-9) = -10
  3. 10 · (25 – 40) = -150
  4. 10 · 25 – 40 = 210
  5. 123 – 456 + 789 = 456

Ganze Zahlen - Das Wichtigste

  • Die Menge der ganzen Zahlen vereinigt die Menge der natürlichen Zahlen, die Null und die Menge der negativen Zahlen.
  • Die Menge der ganzen Zahlen beinhaltet negative und positive Zahlen.
  • Formal definiert wird die Menge der ganzen Zahlen wie folgt:
  • Die Menge der ganzen Zahlen liegt in der Menge der rationalen Zahlen, in der Menge der reellen Zahlen und in der Menge der komplexen Zahlen. Jede ganze Zahl ist also auch rational, reell und komplex.
  • Jede ganze Zahl kann demnach auch in einen Bruch umgewandelt werden.
  • Ganze Zahlen werden am Besten am Zahlenstrahl dargestellt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Ganze Zahlen

Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruches multiplizieren, der Nenner bleibt unverändert.

Ganze Zahlen können schriftlich oder im Kopf multipliziert werden.
Wichtig dabei ist die Beachtung des Vorzeichens: + mal + und - mal - ergeben im Ergebnis eine positive ganze Zahl, + mal - und - mal + ergeben eine negative Zahl.

Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Zahl 0. Der Betrag einer Zahl entspricht immer der Zahl ohne Vorzeichen. Man schreibt |-4| und spricht dann "Betrag von -4".


Die Gegenzahl einer Zahl ist diejenige Zahl, die genauso weit von der 0 entfernt liegt, aber das entgegengesetzte Vorzeichen hat. Um die Gegenzahl einer Zahl zu finden, muss also lediglich das Vorzeichen geändert werden.

Nein, nicht jeder Bruch ist eine ganze Zahl. Nur diejenigen Brüche, die soweit gekürzt werden können, dass eine 1 im Nenner steht, sind ganze Zahlen.

Finales Ganze Zahlen Quiz

Frage

Wie heißt unser Zahlensystem? 


Antwort anzeigen

Antwort

Zehnersystem. Die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 genügen, um jede beliebige Zahl darzustellen.

Frage anzeigen

Frage

Was sind natürliche Zahlen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahlen (1, 2, 3, 4, …), mit denen du abzählst, nennt man natürliche Zahlen

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Menge der ganzen Zahlen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Man erweitert die natürlichen Zahlen um ihre negativen Gegenzahlen und erhält die Menge der ganzen Zahlen

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Betrag einer Zahl? 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Abstand einer Zahl a von 0 wird ihr Betrag IaI genannt. Der Betrag einer Zahl ist immer positiv oder null.

Frage anzeigen

Frage

Wann entstehen Brüche? 

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn man ein Ganzes oder mehrere Ganze in gleich große Teile zerlegt.

Frage anzeigen

Frage

Was sagt der Zähler und Nenner eines Bruchs aus?

Antwort anzeigen

Antwort

Am Nenner eines Bruches erkennt man, in wie viele Teile ins- gesamt zerlegt wird. 


Der Zähler gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden.

Frage anzeigen

Frage

Was sind gemischte Zahlen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Gemischte Zahlen setzen sich aus einer ganzen Zahl und einem Bruch zusammen.

Frage anzeigen

Frage

Was bilden alle positiven und negativen Brüche zusammen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Menge der rationalen Zahlen.

Frage anzeigen

Frage

Was hat jede Zahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede natürliche Zahl hat eine bestimmte Anzahl von Teilern, d. h. Zahlen, durch die sie ohne Rest teilbar ist, und eine unendliche Anzahl von Vielfachen.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Teilermenge einer Zahl? 

Antwort anzeigen

Antwort

Sämtliche Teiler einer natürlichen Zahl n bilden die endliche Teilermenge Tn.


Tn enthält stets die Teiler 1 und n, die deshalb auch als uneigentliche Teiler bezeichnet werden.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Teilermenge von 16?

Antwort anzeigen

Antwort

T = {1; 2; 4; 8; 16}

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Vielfachmenge einer Zahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl n, die Vielfachenmenge Vn, ist im Gegensatz zur Teilermenge Tn eine unendliche Menge


Vn = (n; 2 ∙ n; 3 ∙ n; …)

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Vielfachmenge von 3?

Antwort anzeigen

Antwort

V3 = {3; 6; 9; 12; 15; …}

Frage anzeigen

Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler? 

Antwort anzeigen

Antwort

Der größte gemeinsame Teiler (ggT) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen teilt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18?

Antwort anzeigen

Antwort

T12 = {1; 2; 3; 4; 6; 12} 

T18 = {1; 2; 3; 6; 9; 18} 

ggT(12; 18) = 6

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache? 

Antwort anzeigen

Antwort

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier oder mehrerer natürlicher Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch alle diese Zahlen teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 12 und 18?

Antwort anzeigen

Antwort

V12 = {12; 24; 36; 48; 60; 72; …} 

V18 = {18; 36; 54; 72; 90; …} 

kgV(12; 18) = 36

Frage anzeigen

Frage

Welche Endstellenregeln gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn ihre Endziffer gerade (0, 2, 4, 6 oder 8) ist.
  • Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die beiden letzten Ziffern der Zahl 00 sind oder eine durch 4 teilbare Zahl bilden.
  • Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.
  • Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.
Frage anzeigen

Frage

Ist die Zahl 916 durch 2, 4, 5 oder 10 teilbar?


Antwort anzeigen

Antwort

Die Zahl 916 ist durch 2 teilbar, weil ihre Endziffer gerade ist. 


Sie ist auch durch 4 teilbar, weil die letzten beiden Ziffern (16) durch 4 teilbar sind. 


916 ist aber nicht durch 5 bzw. 10 teilbar, weil die Zahl weder auf 0 noch auf 5 endet.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Quersummenregel?

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Antwort

  • Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
  • Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Quersumme einer Zahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe aller Ziffern der Zahl.

Frage anzeigen

Frage

ist die Zahl 2154 durch 3 und 9 teilbar? 

Antwort anzeigen

Antwort

Quersumme = 2 + 1 + 5 + 4 = 12


Die Quersumme der Zahl und damit auch die Zahl selbst ist durch 3, aber nicht durch 9 teilbar.

Frage anzeigen

Frage

Wann ist eine Teilbarkeit durch 6 gegeben?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Teilbarkeit durch 6 = 2 ∙ 3 ergibt sich, wenn die Zahl durch 2 und durch 3 teilbar ist. 


Eine natürliche Zahl ist also durch 6 teilbar, wenn ihre Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist und wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Was sind Primzahlen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt. Eine Primzahl ist nur durch sich selbst und 1 teilbar.


Die Zahl 1 hat nur einen Teiler, daher ist 1 keine Primzahl. Die kleinste und gleichzeitig die einzige gerade Primzahl ist 2.

Frage anzeigen

Frage

Welche Regeln gelten für römische Zahlzeichen? 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Bei absteigenden Werten der Zahlzeichen von links nach rechts werden die Werte addiert
  • Steht ein Zahlzeichen mit geringerem Wert links von einem Zeichen mit höherem Wert, wird das kleinere vom größeren subtrahiert.
  • Es werden höchstens drei gleiche Hauptzeichen hinter- einander notiert.
  • Nebenzeichen werden nicht wiederholt.
Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: XI 

Antwort anzeigen

Antwort

XI = 10 + 1 = 11

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: IX

Antwort anzeigen

Antwort

IX = 10 - 1 = 9

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: LXXXVIII

Antwort anzeigen

Antwort

LXXXVIII = 50 + 10 +10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 88

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: XCIX

Antwort anzeigen

Antwort

XCIX = (100 - 10) + (10 -1) = 90 + 9 = 99

Frage anzeigen

Frage

Berechne die römische Ziffern: MCDXIX

Antwort anzeigen

Antwort

MCDXIX = 1000 +(500 - 100) + 10 + (10-1) = 1419

Frage anzeigen

Frage

Wieso kann es sinnvoll sein Werte zu runden? 

Antwort anzeigen

Antwort

Manchmal ist es nicht sinnvoll, für eine Größe ganz genaue Zahlenwerte anzugeben, etwa bei der Einwohnerzahl einer Großstadt, die sich täglich ändert. 


In einem solchen Fall gibt man gerundete Zahlenwerte an. Ein (genauer) Wert wird dann durch einen Näherungswert ersetzt.

Frage anzeigen

Frage

Wann wird abgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, wird abgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle bleibt stehen.

Frage anzeigen

Frage

Wann wird aufgerundet? 

Antwort anzeigen

Antwort

Vor dem Runden wird die gewünschte Stelle bestimmt, auf die gerundet werden soll.


Folgt als nächste Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird aufgerundet. Die Ziffer an der gewünschten Stelle wird um 1 erhöht.

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

145 + 223 = ?

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                    1  4 5

                    2 2 3

                    ____

                    3 6 8

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

1.379 + 789 = ?

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                  1 3 7 9

                    7 8 9

                    ____

                   2 1 6 8

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

79 + 82

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                    7 9

                    8 2

                    ____

                   1 6 1

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

974 + 737

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                    9 7 4

                    7 3 7

                    ____

                    1 7 1 1

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

34 + 92

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                     3 4

                     9 2

                    ____

                    1 2 6

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

17 + 46

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                     1  7

                     4 6

                    ____

                     6 3

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

189 + 17 + 34

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                   1 8 9  

                      1 7

                      3 4

                    ____

                    2 4 0

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

16 + 12 + 27

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                     1 6  

                     1  2

                     2 7

                    ____

                      5 5 

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

1. 890 + 4.245

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                   1  8 9 0  

                   4 2 4 5

                  ________

                    6 1 3 5

Frage anzeigen

Frage

Addiere folgende Zahlen:

1.679 + 5.123

Antwort anzeigen

Antwort

Schreibe die Zahlen untereinander an und berechne:

                   1  6 7 9  

                   5 1  2 3

                  ________

                    6 8 0 2

Frage anzeigen

Frage

Welche der beiden Zahlen hat einen größeren Betrag? 

Antwort anzeigen

Antwort

-6

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden ganzen Zahlen ist die größte?

Antwort anzeigen

Antwort

4

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede natürliche Zahl ist eine ganze Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

​Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengerade liegt, desto kleiner ist sie. 

Antwort anzeigen

Antwort

Richtig.

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum ganze Zahlen an einer Zahlengeraden und nicht an einem Zahlenstrahl angeordnet werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Ganze Zahlen werden an einer Zahlengerade angeordnet. Sie können nicht an einem Zahlenstrahl angeordnet werden, da dieser auf einer Seite ein Ende hat. Die Menge der ganzen Zahlen geht aber sowohl ins Positive, als auch ins Negative unendlich weiter.

Frage anzeigen
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