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In diesem Artikel geht es um die ganzen Zahlen. Eine kurze Definition der ganzen Zahlen hast du vielleicht schon im Artikel Zahlenmengen gelesen. In den folgenden Abschnitten wirst du noch mehr über die ganzen Zahlen kennenlernen. Nach dem Lesen dieses Artikels weißt du, was ganze Zahlen sind und kannst dein Wissen noch an ein paar Übungsaufgaben testen. 😊 Die ganzen Zahlen…
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Jetzt kostenlos anmeldenIn diesem Artikel geht es um die ganzen Zahlen. Eine kurze Definition der ganzen Zahlen hast du vielleicht schon im Artikel Zahlenmengen gelesen. In den folgenden Abschnitten wirst du noch mehr über die ganzen Zahlen kennenlernen. Nach dem Lesen dieses Artikels weißt du, was ganze Zahlen sind und kannst dein Wissen noch an ein paar Übungsaufgaben testen. 😊
Die ganzen Zahlen erweitern die Menge der natürlichen Zahlen um die Null und die negativen Zahlen. Als Zahlenmenge kann man sie wie folgt schreiben:
Grundsätzlich erkennst du ganze Zahlen daran, dass sie ganz sind, also kein Komma und keine Nachkommastellen haben.
Zum Beispiel sind die Zahlen 5, -13 oder 30000 ganze Zahlen.
Ganze Zahlen können zwei verschiedene Vorzeichen haben, entweder ein positives Vorzeichen "+" (oder gar kein Vorzeichen, denn das + schreibt man meistens nicht) oder ein negatives Vorzeichen "-".
Falls du dir nicht mehr ganz sicher bist, was die natürlichen Zahlen und die negativen Zahlen sind, solltest du die Artikel der natürlichen Zahlen und negativen Zahlen durchlesen. Ganze Zahlen sind nämlich einfach nur alle natürlichen Zahlen mit der Null und die dazugehörigen negativen Zahlen. Du findest diese beiden Artikel im Kapitel Zahlenmengen.
Ganze Zahlen begegnen dir im Alltag sehr oft. Schauen wir uns doch mal ein Paar Beispiele an, wo dir ganze Zahlen begegnen!
Ein Alltagsbeispiel ist die Temperatur: Du kannst an einem Thermometer an Herbsttagen 10° Celsius
ablesen und an kalten Wintertagen -5° Celsius. In beiden Szenarien handelt es sich um ganze Zahlen.
Oder wenn du im Aufzug fährst. Nach oben kannst du vielleicht bis in den vierten Stock fahren, und ganz unten in den Keller, wo du bestimmt schonmal eine -1 auf der Anzeige im Aufzug gesehen hast. Wenn du in den Aufzug eines Hochhauses steigst, kannst du nicht nur viel weiter nach oben fahren, sondern vielleicht auch in den zweiten oder dritten Keller, also bis in die Etagen -2 und -3. Das sind alles Beispiele für ganze Zahlen, die dir im Alltag begegnen können!
Ganze Zahlen können auch auf der Zahlengerade dargestellt werden. Auf der Zahlengerade werden Zahlen der Größe nach geordnet, umso kleiner die Zahl umso weiter nach links muss man gehen und für größere Zahlen weiter nach rechts. Der Abstand zwischen benachbarten Zahlen ist immer gleich groß.
Wie du die natürlichen Zahlen auf dem Zahlenstrahl anordnest, wirst du bereits in der Grundschule gelernt haben. Nun wird der Strahl nach links zu einer Geraden verlängert, sie hört also nicht bei der Null auf, sondern geht auch dort wie auf der rechten Seite bis ins Unendliche weiter. Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie. Je weiter rechts die Zahl liegt, desto größer ist sie.
Hinweis: Die Zahl -40 ist kleiner als die Zahl -2. Falls dir das nicht klar ist, solltest du den Artikel zu den negativen Zahlen nochmal durchlesen!
Damit sieht die Zahlengerade für die ganzen Zahlen folgendermaßen aus:
Abbildung 1: Zahlengerade
Die Zahlengerade sieht also in etwa so aus, wie ein gedrehtes Thermometer.
Nahe der Null liegen diejenigen ganzen Zahlen, deren Betrag klein ist. Weiter weg liegen die Zahlen, deren Betrag groß ist.
Weißt du, was der Unterschied zwischen einem Zahlenstrahl und einer Zahlengerade ist? Wenn nicht, kannst Du das im Artikel Zahlenstrahl und Zahlengerade nachlesen.
An dieser Stelle sollen die ganzen Zahlen noch einmal richtig definiert werden.
Die Menge der ganzen Zahlen beinhaltet die Menge der natürlichen Zahlen und die Null. In der Abbildung der wichtigsten Zahlenmengen liegt sie noch relativ weit innen. Es gibt also noch weitere Zahlenmengen, die die ganzen Zahlen beinhalten.
Falls du schon eine höhere Jahrgangsstufe besuchst und bereits die Menge der rationalen Zahlen oder die Menge der reellen Zahlen kennst, solltest du die folgende Kette kennen:
Falls du dich genauer über die rationalen Zahlen oder die reellen Zahlen informieren möchtest, haben wir auch dazu im Kapitel Zahlenmengen einen Artikel.
Zum Überblick siehst du hier noch die Abbildung der Zahlenmengen mit Hervorhebung der ganzen Zahlen:
Abbildung 2: Zahlenmengen
Wichtig: Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, eine reelle Zahl und kann als komplexe Zahl dargestellt werden. Und jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl. Andersherum gilt das aber nicht!
Da jede ganze Zahl auch eine rationale Zahl ist, kann jede ganze Zahl in einen Bruch umgewandelt werden. Das geht recht einfach, denn man schreibt einfach die ganze Zahl in den Zähler und in den Nenner eine 1. Das Vorzeichen der ganzen Zahl wird einfach beibehalten.
Andersherum gibt es also auch Brüche, die ganze Zahlen sind.
Das trifft aber nicht auf alle Brüche zu! Lediglich diejenigen Brüche, die so weit gekürzt werden können, dass im Nenner eine 1 steht, sind ganze Zahlen.
Manchmal ist es in der Mathematik sinnvoll Teilmengen einer Zahlenmenge (also nur einen Teil der Menge) zu betrachten. An dieser Stelle findest du ein paar bekannte Teilmengen der Menge der ganzen Zahlen:
Für die ganzen Zahlen kann man folgende Rechenoperationen anwenden:
Zum Rechnen mit den ganzen Zahlen haben wir ein eigenes Kapitel, du findest es auch im Bereich Algebra. Dort wird dir ausführlich erklärt, wie du mit ganzen Zahlen rechnest und auch, wie du schriftlich rechnest.
Um dein Verständnis zu den ganzen Zahlen zu vertiefen, haben wir hier noch zwei Übungsaufgaben für dich:
Aufgabe 1
Welche der folgenden Zahlen gehört zu der Menge der ganzen Zahlen? Welche Zahl ist sogar eine natürliche Zahl?
Lösungen
Aufgabe 2
Wie lautet die Lösung zu den folgenden Rechenaufgaben?
Lösungen
Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, musst du die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruches multiplizieren, der Nenner bleibt unverändert.
Ganze Zahlen können schriftlich oder im Kopf multipliziert werden.
Wichtig dabei ist die Beachtung des Vorzeichens: + mal + und - mal - ergeben im Ergebnis eine positive ganze Zahl, + mal - und - mal + ergeben eine negative Zahl.
Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur Zahl 0. Der Betrag einer Zahl entspricht immer der Zahl ohne Vorzeichen. Man schreibt |-4| und spricht dann "Betrag von -4".
Die Gegenzahl einer Zahl ist diejenige Zahl, die genauso weit von der 0 entfernt liegt, aber das entgegengesetzte Vorzeichen hat. Um die Gegenzahl einer Zahl zu finden, muss also lediglich das Vorzeichen geändert werden.
Nein, nicht jeder Bruch ist eine ganze Zahl. Nur diejenigen Brüche, die soweit gekürzt werden können, dass eine 1 im Nenner steht, sind ganze Zahlen.
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