Wurzelgesetze

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Wurzelgesetze Wurzel StudySmarter

Beim Wurzelziehen geht es in der Mathematik nicht ums Gärtnern, sondern um die mathematische Wurzel. Welche Wurzelgesetze es gibt, wie Du sie anwendest und wie sie Dir beim Rechnen helfen, erfährst Du in dieser Erklärung.

Wurzelgesetze – Grundlagenwissen

Eine Wurzel in der Mathematik besteht meist aus drei Teilen: einem Wurzelzeichen, einem Wurzelexponenten und einem Radikand.

Die Bezeichnungen der einzelnen Teile eines Wurzelausdrucks siehst Du hier:

Wurzelgesetz Wurzel Bezeichnungen StudySmarter Abbildung 1: Bezeichnungen der Wurzelbestandteile

Den Ausdruck $\sqrt[n]{a}$ kannst Du als "n-te Wurzel von a" aussprechen. Wenn der Wurzelexponent die 2 ist, also $\sqrt[2]{a}$ , wird die 2 meist weggelassen und nur $\sqrt{a}$ geschrieben. Die zweite Wurzel heißt Quadratwurzel. Die dritte Wurzel ( $\sqrt[3]{a}$ ) wird Kubikwurzel genannt.

Beim Rechnen mit Wurzeln können Wurzelgesetze von Hilfe sein. Sie ermöglichen es Dir, Terme mit Wurzeln übersichtlicher aufzuschreiben und Rechenvorteile zu erkennen. Alle Wurzelgesetze gelten jedoch nur für positive Radikanden, es darf also kein Minus unter der Wurzel stehen.

Wurzelgesetze — Formelsammlung

Die folgende Tabelle gibt Dir eine Übersicht zu den verschiedenen Wurzelgesetzen. Eine Erklärung sowie Beispiele dazu findest Du weiter unten.

Wurzelgesetz	Formel
Wurzeln multiplizieren	$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$
Wurzeln Dividieren	$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
Wurzeln addieren	$x \cdot \sqrt[n]{a} + y \cdot \sqrt[n]{a} = (x + y) \cdot \sqrt[n]{a}$
Wurzeln subtrahieren	$x \cdot \sqrt[n]{a} - y \cdot \sqrt[n]{a} = (x - y) \cdot \sqrt[n]{a}$
Wurzeln potenzieren	${(\sqrt[n]{a})}^{x} = \sqrt[n]{a^{x}}$
Wurzeln Radizieren	$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$
Wurzeln als Potenz	$\begin{array}{rcl} \sqrt[n]{a^{m}} & = & a^{\frac{m}{n}} \\ \sqrt[n]{a} & = & a^{\frac{1}{n}} \end{array}$

Wurzelgesetz für die Multiplikation

Wurzeln können multipliziert werden, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben. Im folgenden Beispiel werden zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten multipliziert.

Du möchtest $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{7}$ rechnen. Dies ist möglich, da in beiden Fällen die dritte Wurzel gezogen wird:

$\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{7} = \sqrt[3]{5 \cdot 7} = \sqrt[3]{35}$

Das Beispiel zeigt, dass Du Wurzeln multiplizieren kannst, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben. In diesem Fall multiplizierst Du die Radikanden und schreibst das Ergebnis wieder unter eine Wurzel. Im Beispiel sind die Radikanden 5 und 7.

Wurzelgesetz können auch allgemein mit Variablen geschrieben werden.

Das Wurzelgesetz für die Multiplikation darfst Du anwenden, wenn zwei Wurzelausdrücke denselben Wurzelexponenten haben. Es lautet:

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$

Du kannst Wurzeln nur dann Multiplizieren und das Wurzelgesetz anwenden, wenn an beiden Wurzeln derselbe Exponent steht.

Wenn zum Beispiel der Term $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{5}$ gegeben ist, sind die Exponenten der Wurzeln unterschiedlich. Du kannst das Wurzelgesetz nicht anwenden und den Term nicht weiter vereinfachen.

Vorteile des Wurzelgesetzes für die Multiplikation

Das Anwenden des Wurzelgesetzes für die Multiplikation vereinfacht den Ausdruck. $\sqrt[3]{35}$ ist deutlich kürzer als $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{7}$ . Rechnungen werden dadurch übersichtlicher, selbst wenn Variablen vorkommen. Auch $\sqrt{7 x}$ ist einfacher notiert als $\sqrt{7} \cdot \sqrt{x}$ .

Das Wurzelgesetz für die Multiplikation vereinfacht aber nicht nur den Ausdruck, es kann Dir auch einen echten Rechenvorteil bringen.

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$

Es ist schwierig, die Wurzel aus 3 sowie die Wurzel aus 12 im Kopf zu berechnen. Wenn Du hier das Wurzelgesetz anwendest, wird aus $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ genau $\sqrt{36}$ . 36 ist eine Quadratzahl und die Wurzel aus 36 ist 6.

Das Beispiel zeigt, dass es anhand des Wurzelgesetzes manchmal möglich sein kann, eine Wurzel im Kopf zu berechnen, obwohl dies bei den beiden einzelnen Wurzeln als Faktoren nicht möglich war. Ein weiteres Beispiel, das einen solchen Rechenvorteil liefert, ist $\sqrt{5} \cdot \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ .

Wurzel multiplizieren – Aufgaben

Im Folgenden findest Du einige Aufgaben, mit denen Du Dein Wissen vertiefen kannst.

Aufgabe 1

Vereinfache, wenn möglich.

a) $\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{6}$

b) $\sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[4]{6}$

c) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}$

Lösung

a)Beide Wurzeln haben denselben Wurzelexponenten. Du darfst das Wurzelgesetz für die Multiplikation anwenden:

$\sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[4]{6} = \sqrt[4]{3 \cdot 6} = \sqrt[4]{18}$

Die Wurzeln haben unterschiedliche Wurzelexponenten. Du darfst das Wurzelgesetz nicht anwenden und kannst den Term nicht vereinfachen.

In beiden Faktoren steht eine Quadratwurzel. Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$

Hier entsteht ein Rechenvorteil: 81 ist eine Quadratzahl, deswegen kannst Du die Wurzel im Kopf berechnen.

Wurzelgesetz für die Division

Das Wurzelgesetz für die Division ist analog zum Wurzelgesetz für die Multiplikation aufgebaut. Auch hier kannst Du es nur anwenden, wenn die Wurzelexponenten identisch sind.

$\frac{\sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{21}{3}} = \sqrt[3]{7}$

Um $\sqrt[3]{21}$ durch $\sqrt[3]{3}$ zu rechnen, kannst Du die Radikanden Dividieren.

Statt dem Bruchstrich könntest Du im Beispiel auch ein Divisionszeichen verwenden. Übersichtlicher ist es aber mit dem Bruchstrich.

Mit Variablen formuliert sieht das Wurzelgesetz dann so aus:

Das Wurzelgesetz für die Division für Wurzel mit demselben Wurzelexponenten lautet:

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

Beachte auch hier, dass Du die Rechenregel wirklich nur dann anwenden kannst, wenn dieselbe Zahl als Exponent an den Wurzeln steht.

Vorteile des Wurzelgesetzes für die Division

Die Vorteile des Wurzelgesetzes bei der Division sind ähnlich wie bei der Multiplikation. Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Ausdruck übersichtlicher machen. $\sqrt[3]{\frac{21}{3}}$ ist bereits übersichtlicher als $\frac{\sqrt[3]{21}}{\sqrt[3]{3}}$ . Wenn Du noch $\frac{21}{3}$ zu 7 kürzt, ist die Darstellung noch einfacher: $\sqrt[3]{7}$

Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Rechenvorteil bringen.

$\frac{\sqrt{32}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{32}{2}} = \sqrt{16} = 4$

Es ist schwierig, die Wurzel aus 32 und die Wurzel aus 2 im Kopf zu berechnen. Wenn Du jetzt aber das Wurzelgesetz für die Division anwendest und 32 durch 2 teilst, erhältst Du 16. Die 16 ist eine Quadratzahl, $\sqrt{16}$ ist 4.

Du kannst das Wurzelgesetz für die Division also manchmal anwenden, um eine Wurzel zu berechnen, die Du ohne das Wurzelgesetz nicht im Kopf ausrechnen kannst. Dies funktioniert aber nur dann, wenn durch die Division eine Zahl entsteht, deren Wurzel Du im Kopf berechnen kannst.

Wurzeln dividieren – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen vertiefen.

Aufgabe 2

Vereinfache, wenn möglich.

a) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt[3]{5}}$

b) $\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{8}}$

c) $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}}$

Lösung

Die Exponenten der Wurzeln im Zähler und im Nenner stimmen nicht überein. Du kannst nicht vereinfachen.

Die Wurzelexponenten stimmen überein. Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:

$\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{8}} = \sqrt[5]{\frac{7}{8}}$

Auch hier kannst Du das Wurzelgesetz anwenden:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{2}{8}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Hier kannst Du einen Rechenvorteil nutzen. Durch das Umformen stehen im Zähler und im Nenner Quadratzahlen. Du kannst die Wurzel ziehen.

Wurzelgesetze für die Addition und Subtraktion

Die Wurzelgesetze für die Addition und Subtraktion sind nicht unbedingt Rechengesetze. Viel eher bauen sie auf dem Distributivgesetz auf.

Das Distributivgesetz erlaubt Dir, auszuklammern.

Das Distributivgesetz lautet:

$a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$

Wenn Du zum Beispiel $7 \cdot x + 3 \cdot x$ rechnen sollst, kannst Du das Distributivgesetz anwenden.

$7 \cdot x + 3 \cdot x = (7 + 3) \cdot x = 10 x$ $7 \cdot x + 3 \cdot x = (7 + 3) \cdot x = 10 \cdot x$

Ähnlich kannst Du auch vorgehen, wenn Du Wurzel addieren möchtest.

Wurzelgesetz für die Addition

Das Wurzelgesetz für die Addition darfst Du anwenden, wenn der Wurzelausdruck sowohl denselben Wurzelexponenten, als auch denselben Radikanden hat.

$4 \cdot \sqrt[3]{5} + 2 \cdot \sqrt[3]{5} = (4 + 2) \cdot \sqrt[3]{5} = 6 \cdot \sqrt[3]{5}$

Das Beispiel zeigt, dass sich im Gegensatz zur Multiplikation und Division der reine Wurzelausdruck nicht verändert. $\sqrt[3]{5}$ bleibt $\sqrt[3]{5}$ . Du verwendest das Distributivgesetz, um die Anzahl der Wurzeln zusammenzufassen.

Du erhältst viermal $\sqrt[3]{5}$ und dann noch zweimal $\sqrt[3]{5}$ . Zusammen liegen sie sechsmal vor.

Beim Wurzelgesetz für die Addition darfst Du das Distributivgesetz anwenden, wenn die Wurzel sowohl denselben Wurzelexponenten als auch denselben Radikanden hat:

$x \cdot \sqrt[n]{a} + y \cdot \sqrt[n]{a} = (x + y) \cdot \sqrt[n]{a}$

Wurzelgesetz für die Subtraktion

Das Wurzelgesetz für die Subtraktion ist analog zum Wurzelgesetz für die Addition aufgebaut. Auch hier wendest Du das Distributivgesetz an.

$6 \cdot \sqrt[4]{3} - 2 \cdot \sqrt[4]{3} = (6 - 2) \cdot \sqrt[4]{3} = 4 \cdot \sqrt[4]{3}$

Im Beispiel hast Du zuerst sechsmal $\sqrt[4]{3}$ . Davon ziehst Du zweimal $\sqrt[4]{3}$ ab. Du hast dann nur noch viermal $\sqrt[4]{3}$ .

Beim Wurzelgesetz für die Subtraktion darfst Du das Distributivgesetz anwenden, wenn die Wurzel sowohl denselben Wurzelexponenten als auch denselben Radikanden hat:

$x \cdot \sqrt[n]{a} - y \cdot \sqrt[n]{a} = (x - y) \cdot \sqrt[n]{a}$

Wurzeln addieren und subtrahieren – Aufgaben

Im Folgenden findest Du Aufgaben zum Vertiefen Deines Wissens.

Aufgabe 3

Vereinfache, wenn möglich.

a) $4 \cdot \sqrt{2} + 6 \cdot \sqrt{2}$

b) $3 \cdot \sqrt[3]{4} + 2 \cdot \sqrt[4]{4}$

c) $5 \cdot \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4}$

Lösung

Die Wurzeln stimmen überein. Du kannst zusammenfassen.

$4 \cdot \sqrt{2} + 6 \cdot \sqrt{2} = (4 + 6) \cdot \sqrt{2} = 10 \cdot \sqrt{2}$

Die Wurzeln haben unterschiedlichen Wurzelexponenten. Du kannst das Wurzelgesetz nicht anwenden.

Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:

$5 \cdot \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{4} = (5 - 1) \cdot \sqrt[3]{4} = 4 \cdot \sqrt[3]{4}$

Wurzeln potenzieren

Du darfst jede Wurzel potenzieren, also einen Wurzelausdruck hoch eine Zahl rechnen. Das Wurzelgesetz besagt, dass Du dazu direkt den Radikanden potenzieren darfst.

Potenzieren ist das Fachwort dafür, wenn Du eine Zahl mehrfach mit sich selbst multiplizierst und dies mit einem Exponenten ausdrückst.

${(\sqrt[3]{5})}^{4} = \sqrt[3]{5^{4}}$

Das Beispiel zeigt, dass zuerst die Potenz außen an der Wurzel steht. Um zu verdeutlichen, dass die gesamte Wurzel potenziert werden soll, wird eine Klammer verwendet. Nun kannst Du das Wurzelgesetz anwenden und die Zahl unter der Wurzel potenzieren.

Eine Wurzel wird potenziert, indem der Radikand potenziert wird.

id="2680428" role="math" ${(\sqrt[n]{a})}^{x} = \sqrt[n]{a^{x}}$

Wurzeln potenzieren – Aufgaben

Im Folgenden findest Du zwei Beispiele als Übungsaufgaben.

Aufgabe 4

Vereinfache.

a) ${(\sqrt[3]{5})}^{2}$

b) ${(\sqrt{6})}^{3}$

Lösung

${(\sqrt[3]{5})}^{2} = \sqrt[3]{5^{2}} = \sqrt[3]{25}$

${(\sqrt{6})}^{3} = \sqrt{6^{3}} = \sqrt{216}$

Wurzeln radizieren

Wenn Du eine Wurzel ziehst, wird dies auch "Radizieren" genannt. Du kannst auch eine Wurzel aus einer Wurzel ziehen.

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{7}} = \sqrt[3 \cdot 4]{7} = \sqrt[12]{7}$

Im Beispiel siehst Du, dass Du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehst, indem Du die beiden Wurzelexponenten multiplizierst und an eine Wurzel schreibst. Die Zahl unter der Wurzel (Radikand) verändert sich nicht.

Das Wurzelgesetz zum Radizieren lautet:

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$

Auch wenn eine Quadratwurzel vorliegt und deswegen keine Zahl als Wurzelexponent steht, musst Du mit 2 Multiplizieren, da der Exponent der Wurzel trotzdem 2 beträgt.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{\sqrt[3]{4}} & = & \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4} \\ \sqrt{\sqrt{5}} & = & \sqrt[2 \cdot 2]{5} = \sqrt[4]{5} \end{array}$

Wurzeln radizieren – Aufgaben

Die folgenden Aufgaben kannst Du nun zum Üben nutzen.

Aufgabe 5

Vereinfache.

a) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{12}}$

b) $\sqrt[3]{\sqrt{5}}$

Lösung

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{12}} = \sqrt[4 \cdot 3]{12} = \sqrt[12]{12}$

$\sqrt[3]{\sqrt{5}} = \sqrt[3 \cdot 2]{5} = \sqrt[6]{5}$

Wurzeln als Potenz

Eine Wurzel kannst Du auch in eine Potenz umschreiben. Dann verschwindet das Wurzelzeichen und der neue Exponent drückt die Wurzel aus.

$\begin{array}{rcl} \sqrt[3]{6} & = & 6^{\frac{1}{3}} \\ \sqrt{3^{5}} & = & 3^{\frac{5}{2}} \end{array}$

Das Beispiel zeigt, dass der neue Exponent ein Bruch ist. Der ursprüngliche Wurzelexponent steht nun im Nenner des Bruchs. Wenn es bereits vorher einen Exponenten gab, steht dieser im Zähler. Gab es vorher keinen Exponenten, steht eine 1 im Zähler.

Wurzeln können in Potenzen umgeschrieben werden:

$\begin{array}{rcl} \sqrt[n]{a^{m}} & = & a^{\frac{m}{n}} \\ \sqrt[n]{a} & = & a^{\frac{1}{n}} \end{array}$

Wurzeln als Potenz – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du üben, die Wurzel als Potenz zu schreiben.

Aufgabe 6

Schreibe als Potenz.

a) $\sqrt[3]{5}$

b) $\sqrt{x^{3}}$

Lösung

$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt{x^{3}} = x^{\frac{3}{2}}$

Wurzelgesetze – Das Wichtigste

Wurzelgesetz für die Multiplikation:an · bn = a · bn
- gleicher Wurzelexponent
Wurzelgesetz für die Division:anbn = abn
- gleicher Wurzelexponent
Wurzelgesetz für die Addition:x · an + y · b n = (x + y) · an
- gleicher Wurzelexponent
- gleicher Radikand
Wurzelgesetz für die Subtraktion :x · an - y · an = (x - y) · an
- gleicher Wurzelexponent
- gleicher Radikand
Wurzeln potenzieren: ${(\sqrt[n]{a})}^{x} = \sqrt[n]{a^{x}}$
Wurzeln radizieren: $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n \cdot m]{a}$
Wurzeln als Potenz: $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wurzelgesetze

Die Wurzelgesetze können Dir helfen, um mit Wurzeln zu rechnen. Insbesondere beim Multiplizieren und Dividieren kannst Du sie nutzen, um Wurzeln zusammenzufassen.

Wenn Du zwei Wurzel multiplizieren oder dividieren willst und sie denselben Wurzelexponenten haben, kannst Du ihre Radikanden multiplizieren bzw. dividieren.

Beim Addieren oder Subtrahieren darfst du dies nicht machen!

Wenn du zwei Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten multiplizierst oder dividierst, verändert sich der Wurzelradikand nicht.

Wenn Du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehst, kannst Du die beiden Wurzelexponenten multiplizieren und erhältst den neuen Wurzelexponenten.

Finales Wurzelgesetze Quiz

Wurzelgesetze Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes multiplizieren kannst?

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Antwort

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Wurzel multiplizieren kann.

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Frage

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes dividieren kannst?

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Antwort

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Radikanden dividieren kann.

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Frage

Erkläre, wie Du die Wurzel aus einer Wurzel ziehen kannst.

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Antwort

Ich kann die Wurzel aus einer Wurzel ziehen, indem ich die beiden Wurzelexponenten multipliziere. Das Produkt ist der neue Wurzelexponent. Der Radikand verändert sich nicht.

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Frage

Erkläre, ob alle Wurzeln addiert werden können.

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Antwort

Wurzeln können nicht beliebig addiert werden. Eine Addition von Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzeln gleich sind.

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Frage

Welche Aussage zum Addieren von Wurzeln ist richtig?

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Antwort

Wurzeln können nur addiert werden, wenn die Wurzeln gleich sind.

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Frage

Wann sind zwei Wurzeln gleichnamig?

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Antwort

Wurzeln sind gleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben.

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Frage

Wann sind Wurzeln ungleichnamig?

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Antwort

Wurzeln sind ungleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben.

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Frage

Welcher Rechenweg funktioniert ausnahmslos bei jeder Art von Wurzelausdruck?

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Antwort

Du berechnest zunächst jede Wurzel separat und verrechnest anschließend die jeweiligen Lösungen miteinander. So kannst Du sowohl bei gleichnamigen als auch bei ungleichnamigen Wurzeln vorgehen.

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Frage

Wie kannst Du bei der Multiplikation von ungleichnamigen Wurzeln vorgehen?

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Antwort

Bei ungleichnamigen Wurzeln gilt das Wurzelgesetz nicht. Daher musst Du sie für die Anwendung des Gesetzes vorher gleichnamig machen. Alternativ kannst Du jede Wurzel separat berechnen und die jeweiligen Lösungen miteinander multiplizieren.

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Frage

Wie kannst Du vorgehen, wenn Du Wurzeln mit Variablen multiplizieren möchtest?

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Antwort

Beim Rechnen von Wurzeln mit Variablen kannst Du Dich nach folgendem Ablaufplan richten:

Schritt 1: Wende, wenn möglich, das Wurzelgesetz der Multiplikation an
Schritt 2: Sortiere die Faktoren nach Zahlen und Buchstaben (unter Beachtung des Kommutativgesetzes)
Schritt 3: Fasse die jeweiligen Zahlen und Variablen zusammen
Schritt 4: Vereinfache so weit wie möglich durch teilweises Wurzelziehen

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Frage

Wie findet das Radizieren von Wurzeln in der Mathematik Anwendung?

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Antwort

Angewendet wird das Prinzip des Radizierens von Wurzeln auch rückwärts. Das heißt, der Wurzelexponent wird als ein Produkt aus zwei Zahlen m und n geschrieben, um dann aus der Wurzel eine Doppelwurzel zu machen. Die innere Wurzel wird dann als erstes aufgelöst. Dies kann Dir dabei helfen Wurzeln mit hohem Wurzelexponenten zu lösen.

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Frage

Gib an, wie eine Potenz mit rationalem Exponenten berechnet werden kann.

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Antwort

Jede Potenz mit rationalem Exponenten kann als Wurzel und jede Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten geschrieben werden. Dann greifen entweder Wurzelgesetze oder Potenzgesetze. Diese Umformung kann das Berechnen vereinfachen.

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Frage

Beschreibe, wie ein rationaler Exponent einer Potenz definiert wird.

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Antwort

Ein Exponent einer Potenz wird als rational bezeichnet, wenn im Exponenten keine ganze Zahl, sondern eine rationale Zahl steht. Eine rationale Zahl lässt sich als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.

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Frage

Bestimme den Fall, wann es bei der Addition von Wurzeln praktisch ist, die Wurzeln in Potenzschreibweise umzuformen.

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Antwort

Wenn weder der Wurzelradikand noch der Wurzelexponent gleich sind, bietet es sich an, die Wurzeln in Potenzschreibweise umzuformen und anschließend den Exponenten, wenn möglich, zu vereinfachen.

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Frage

Erläutere, was der Begriff Potenz bedeutet.

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Antwort

Eine Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.

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Frage

Erläutere, wie Potenzen mit rationalem Exponenten potenziert werden.

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Antwort

Potenzen kannst Du potenzieren, Du hast dann also eine Potenz als Basis. Das funktioniert genau wie bei den Potenzen mit ganzem Exponenten. Multipliziere hierzu die Exponenten und behalte die Basis bei.

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Frage

Zeige auf, was der Exponent einer Potenz angibt.

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Antwort

Die Hochzahl (der Exponent) gibt an, wie oft die Zahl (die Basis) mit sich selbst multipliziert wird. Er steht klein rechts oben neben der Zahl selbst.

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Frage

Erläutere, ob es bei der Berechnung von Potenzen mit rationalem Exponenten eine Rolle spielt, ob Du erst potenzierst und dann die Wurzel ziehst oder umgekehrt.

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Antwort

Nein, denn aufgrund der Potenzgesetze, ist es bei der Berechnung einer Potenz mit rationalem Exponenten egal, ob Du erst potenzierst und dann die Wurzel ziehst oder umgekehrt. Alle Potenzgesetze zählen auch für das Rechnen mit Potenzen mit rationalem Exponenten.

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Frage

Was ist ein Radikand?

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Antwort

Ein Radikand ist die Zahl oder der mathematische Ausdruck, der unter dem Wurzelsymbol (Radix) steht. Zum Beispiel ist in $\sqrt[3]{8}$ die 8 der Radikand.

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Frage

Was sind die Regeln zum Addieren von Wurzeln?

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Antwort

Zwei Wurzeln können nur dann direkt addiert oder subtrahiert werden, wenn sie "ähnlich" sind. Das bedeutet, dass der Grad der Wurzel und der Wert des Radikanden identisch sein müssen.

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Frage

Was ist der Unterschied zwischen Quadrat-, Kubik- und höheren Wurzeln?

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Antwort

Der Unterschied liegt im Grad der Wurzel. Eine Quadratwurzel hat den Grad 2 ($\sqrt{a}$), eine Kubikwurzel den Grad 3 ($\sqrt[3]{a}$), und höhere Wurzeln haben einen Grad größer als 3 ($\sqrt[n]{a}$).

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Frage

Wie kann man zwei Wurzeln addieren?

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Antwort

Um zwei Wurzeln zu addieren, müssen sie ähnlich sein, d.h. der Grad der Wurzel und der Wert des Radikanden müssen übereinstimmen. Bei gleichen Radikanden addierst du die vor den Wurzeln stehenden Zahlen und behältst den Radikanden bei.

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Frage

Wie werden Wurzeln subtrahiert?

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Antwort

Die Subtraktion von Wurzeln erfolgt ähnlich wie die Addition: Die Wurzeln müssen ähnlich sein. Bei gleichen Radikanden subtrahierst du einfach die vor den Wurzeln stehenden Zahlen und behältst den Radikanden bei.

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Frage

Was kann getan werden, wenn die Radikanden der zu addierenden oder subtrahierenden Wurzeln nicht übereinstimmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn die Radikanden der Wurzeln nicht übereinstimmen, kannst du diese auf ihre Primfaktoren zerlegen. Identische Faktoren können dann zu gleichen Radikanden kombiniert werden, um ähnliche Wurzeln zu schaffen, die addiert oder subtrahiert werden können.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Lösung für das Addieren von gleichen Wurzeln wie im Beispiel $\sqrt{3} + \sqrt{3}$?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Lösung ist $2\sqrt{3}$.

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Frage

Was ist der korrekte Ansatz, um Wurzeln mit unterschiedlichen Radikanden zu addieren, wie im Beispiel $\sqrt{27} + \sqrt{3}$?

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Antwort

Man faktorisiert zuerst die Wurzeln zu $\sqrt{3*3*3} + \sqrt{3}$, was sich zu $3\sqrt{3}+\sqrt{3}$ vereinfacht. Jetzt kann man die ähnlichen Wurzeln zu $4\sqrt{3}$ addieren.

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Frage

Wie wird die Übungsaufgabe $\sqrt{50} + \sqrt{2}$ gelöst?

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst faktorisiert man den Radikanden der ersten Wurzel: $2\sqrt{25} + \sqrt{2}$ oder $5\sqrt{2}+ \sqrt{2}$. Das ergibt dann $6\sqrt{2}$.

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Frage

Welche Regeln gelten beim Addieren von Wurzeln in der Mathematik und wie können sie angewendet werden, wenn die Wurzeln nicht gleichartig sind?

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Antwort

Ähnliche Wurzeln (d.h. Wurzeln mit demselben Grad und Radikand) können addiert werden. Wenn die Wurzeln allerdings nicht ähnlich sind, müssen sie zunächst vereinfacht oder der Radikand in seine Primfaktoren zerlegt werden, um ähnliche Wurzeln zu schaffen, die dann addiert werden können.

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Frage

Wie kann das Zusammenfassen von Wurzeln das Lösen von mathematischen Problemen erleichtern?

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Antwort

Das Zusammenfassen von Wurzeln, bei denen der Grad der Wurzel und der Wert des Radikanden identisch sind, kann Ausdrücke vereinfachen und übersichtlicher gestalten. Es reduziert die Anzahl der Wurzelterme in einer Gleichung oder einem mathematischen Ausdruck, was das Lösen von Problemen erleichtert.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man die Wurzeln $3\sqrt{8} + 2\sqrt{2}$ mithilfe der Regeln für das Hinzufügen von Wurzeln addieren?

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Antwort

Da die Radikanden unterschiedlich sind, muss $\sqrt{8}$ zuerst zu $2\sqrt{2}$ vereinfacht werden. Danach sieht der Ausdruck aus wie $3*2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$, was zu $6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$ vereinfacht wird. Da die Wurzeln nun ähnlich sind, können sie addiert werden. Das endgültige Ergebnis ist $8\sqrt{2}$.

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Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes multiplizieren kannst?

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Wurzel multiplizieren kann.

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes dividieren kannst?

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Radikanden dividieren kann.

Erkläre, wie Du die Wurzel aus einer Wurzel ziehen kannst.

Ich kann die Wurzel aus einer Wurzel ziehen, indem ich die beiden Wurzelexponenten multipliziere. Das Produkt ist der neue Wurzelexponent. Der Radikand verändert sich nicht.

Erkläre, ob alle Wurzeln addiert werden können.

Wurzeln können nicht beliebig addiert werden. Eine Addition von Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzeln gleich sind.

Welche Aussage zum Addieren von Wurzeln ist richtig?

Wurzeln können nur addiert werden, wenn die Wurzeln gleich sind.

Wann sind zwei Wurzeln gleichnamig?

Wurzeln sind gleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben.

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Wurzelgesetze – Grundlagenwissen

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Wurzelgesetz für die Multiplikation

Vorteile des Wurzelgesetzes für die Multiplikation

Wurzel multiplizieren – Aufgaben

Wurzelgesetz für die Division

Vorteile des Wurzelgesetzes für die Division

Wurzeln dividieren – Aufgaben

Wurzelgesetze für die Addition und Subtraktion

Wurzelgesetz für die Addition

Wurzelgesetz für die Subtraktion

Wurzeln addieren und subtrahieren – Aufgaben

Wurzeln potenzieren

Wurzeln potenzieren – Aufgaben

Wurzeln radizieren

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Wurzeln als Potenz

Wurzeln als Potenz – Aufgaben

Wurzelgesetze – Das Wichtigste

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wurzelgesetze

Was sind die Wurzelgesetze?

Wie rechne ich die Wurzel aus?

Wie berechnet man den Wurzelexponenten?

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