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Beim Wurzelziehen geht es in der Mathematik nicht ums Gärtnern, sondern um die mathematische Wurzel. Welche Wurzelgesetze es gibt, wie Du sie anwendest und wie sie Dir beim Rechnen helfen, erfährst Du in dieser Erklärung.
Eine Wurzel in der Mathematik besteht meist aus drei Teilen: einem Wurzelzeichen, einem Wurzelexponenten und einem Radikand.
Die Bezeichnungen der einzelnen Teile eines Wurzelausdrucks siehst Du hier:
Abbildung 1: Bezeichnungen der Wurzelbestandteile
Den Ausdruck 
kannst Du als "n-te Wurzel von a" aussprechen. Wenn der Wurzelexponent die 2 ist, also 
, wird die 2 meist weggelassen und nur 
geschrieben. Die zweite Wurzel heißt Quadratwurzel. Die dritte Wurzel (
) wird Kubikwurzel genannt.
Beim Rechnen mit Wurzeln können Wurzelgesetze von Hilfe sein. Sie ermöglichen es Dir, Terme mit Wurzeln übersichtlicher aufzuschreiben und Rechenvorteile zu erkennen. Alle Wurzelgesetze gelten jedoch nur für positive Radikanden, es darf also kein Minus unter der Wurzel stehen.
Die folgende Tabelle gibt Dir eine Übersicht zu den verschiedenen Wurzelgesetzen. Eine Erklärung sowie Beispiele dazu findest Du weiter unten.
| Wurzelgesetz | Formel |
| Wurzeln multiplizieren |  |
| Wurzeln dividieren |  |
| Wurzeln addieren |  |
| Wurzeln subtrahieren |  |
| Wurzeln potenzieren |  |
| Wurzeln radizieren |  |
| Wurzeln als Potenz |  |
Wurzeln können multipliziert werden, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben. Im folgenden Beispiel werden zwei Wurzeln mit gleichem Wurzelexponenten multipliziert.
Du möchtest 
rechnen. Dies ist möglich, da in beiden Fällen die dritte Wurzel gezogen wird:
Das Beispiel zeigt, dass Du Wurzeln multiplizieren kannst, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben. In diesem Fall multiplizierst Du die Radikanden und schreibst das Ergebnis wieder unter eine Wurzel. Im Beispiel sind die Radikanden 5 und 7.
Wurzelgesetz können auch allgemein mit Variablen geschrieben werden.
Das Wurzelgesetz für die Multiplikation darfst Du anwenden, wenn zwei Wurzelausdrücke denselben Wurzelexponenten haben. Es lautet:
Du kannst Wurzeln nur dann multiplizieren und das Wurzelgesetz anwenden, wenn an beiden Wurzeln derselbe Exponent steht.
Wenn zum Beispiel der Term 
gegeben ist, sind die Exponenten der Wurzeln unterschiedlich. Du kannst das Wurzelgesetz nicht anwenden und den Term nicht weiter vereinfachen.
Das Anwenden des Wurzelgesetzes für die Multiplikation vereinfacht den Ausdruck. 
ist deutlich kürzer als 
. Rechnungen werden dadurch übersichtlicher, selbst wenn Variablen vorkommen. Auch 
ist einfacher notiert als 
.
Das Wurzelgesetz für die Multiplikation vereinfacht aber nicht nur den Ausdruck, es kann Dir auch einen echten Rechenvorteil bringen.
Es ist schwierig, die Wurzel aus 3 sowie die Wurzel aus 12 im Kopf zu berechnen. Wenn Du hier das Wurzelgesetz anwendest, wird aus 
genau 
. 36 ist eine Quadratzahl und die Wurzel aus 36 ist 6.
Das Beispiel zeigt, dass es anhand des Wurzelgesetzes manchmal möglich sein kann, eine Wurzel im Kopf zu berechnen, obwohl dies bei den beiden einzelnen Wurzeln als Faktoren nicht möglich war. Ein weiteres Beispiel, das einen solchen Rechenvorteil liefert, ist 
.
Im Folgenden findest Du einige Aufgaben, mit denen Du Dein Wissen vertiefen kannst.
Aufgabe 1
Vereinfache, wenn möglich.
a) 
b) 
c) 
Lösung
a)Beide Wurzeln haben denselben Wurzelexponenten. Du darfst das Wurzelgesetz für die Multiplikation anwenden:
b)
Die Wurzeln haben unterschiedliche Wurzelexponenten. Du darfst das Wurzelgesetz nicht anwenden und kannst den Term nicht vereinfachen.
c)
In beiden Faktoren steht eine Quadratwurzel. Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:
Hier entsteht ein Rechenvorteil: 81 ist eine Quadratzahl, deswegen kannst Du die Wurzel im Kopf berechnen.
Das Wurzelgesetz für die Division ist analog zum Wurzelgesetz für die Multiplikation aufgebaut. Auch hier kannst Du es nur anwenden, wenn die Wurzelexponenten identisch sind.
Um
durch 
zu rechnen, kannst Du die Radikanden dividieren.
Statt dem Bruchstrich könntest Du im Beispiel auch ein Divisionszeichen verwenden. Übersichtlicher ist es aber mit dem Bruchstrich.
Mit Variablen formuliert sieht das Wurzelgesetz dann so aus:
Das Wurzelgesetz für die Division für Wurzel mit demselben Wurzelexponenten lautet:
Beachte auch hier, dass Du die Rechenregel wirklich nur dann anwenden kannst, wenn dieselbe Zahl als Exponent an den Wurzeln steht.
Die Vorteile des Wurzelgesetzes bei der Division sind ähnlich wie bei der Multiplikation. Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Ausdruck übersichtlicher machen. 
ist bereits übersichtlicher als 
. Wenn Du noch 
zu 7 kürzt, ist die Darstellung noch einfacher: 
Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Rechenvorteil bringen.
Es ist schwierig, die Wurzel aus 32 und die Wurzel aus 2 im Kopf zu berechnen. Wenn Du jetzt aber das Wurzelgesetz für die Division anwendest und 32 durch 2 teilst, erhältst Du 16. Die 16 ist eine Quadratzahl, 
ist 4.
Du kannst das Wurzelgesetz für die Division also manchmal anwenden, um eine Wurzel zu berechnen, die Du ohne das Wurzelgesetz nicht im Kopf ausrechnen kannst. Dies funktioniert aber nur dann, wenn durch die Division eine Zahl entsteht, deren Wurzel Du im Kopf berechnen kannst.
Mit den folgenden Aufgaben kannst Du Dein Wissen vertiefen.
Aufgabe 2
Vereinfache, wenn möglich.
a) 
b) 
c) 
Lösung
a)
Die Exponenten der Wurzeln im Zähler und im Nenner stimmen nicht überein. Du kannst nicht vereinfachen.
b)
Die Wurzelexponenten stimmen überein. Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:
c)
Auch hier kannst Du das Wurzelgesetz anwenden:
Hier kannst Du einen Rechenvorteil nutzen. Durch das Umformen stehen im Zähler und im Nenner Quadratzahlen. Du kannst die Wurzel ziehen.
Die Wurzelgesetze für die Addition und Subtraktion sind nicht unbedingt Rechengesetze. Viel eher bauen sie auf dem Distributivgesetz auf.
Das Distributivgesetz erlaubt Dir, auszuklammern.
Das Distributivgesetz lautet:
Wenn Du zum Beispiel 
rechnen sollst, kannst Du das Distributivgesetz anwenden.
Ähnlich kannst Du auch vorgehen, wenn Du Wurzel addieren möchtest.
Das Wurzelgesetz für die Addition darfst Du anwenden, wenn der Wurzelausdruck sowohl denselben Wurzelexponenten, als auch denselben Radikanden hat.
Das Beispiel zeigt, dass sich im Gegensatz zur Multiplikation und Division der reine Wurzelausdruck nicht verändert. 
bleibt 
. Du verwendest das Distributivgesetz, um die Anzahl der Wurzeln zusammenzufassen.
Du erhältst viermal 
und dann noch zweimal 
. Zusammen liegen sie sechsmal vor.
Beim Wurzelgesetz für die Addition darfst Du das Distributivgesetz anwenden, wenn die Wurzel sowohl denselben Wurzelexponenten als auch denselben Radikanden hat:
Das Wurzelgesetz für die Subtraktion ist analog zum Wurzelgesetz für die Addition aufgebaut. Auch hier wendest Du das Distributivgesetz an.
Im Beispiel hast Du zuerst sechsmal 
. Davon ziehst Du zweimal 
ab. Du hast dann nur noch viermal 
.
Beim Wurzelgesetz für die Subtraktion darfst Du das Distributivgesetz anwenden, wenn die Wurzel sowohl denselben Wurzelexponenten als auch denselben Radikanden hat:
Im Folgenden findest Du Aufgaben zum Vertiefen Deines Wissens.
Aufgabe 3
Vereinfache, wenn möglich.
a) 
b) 
c) 
Lösung
a)
Die Wurzeln stimmen überein. Du kannst zusammenfassen.
b)
Die Wurzeln haben unterschiedlichen Wurzelexponenten. Du kannst das Wurzelgesetz nicht anwenden.
c)
Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:
Du darfst jede Wurzel potenzieren, also einen Wurzelausdruck hoch eine Zahl rechnen. Das Wurzelgesetz besagt, dass Du dazu direkt den Radikanden potenzieren darfst.
Potenzieren ist das Fachwort dafür, wenn Du eine Zahl mehrfach mit sich selbst multiplizierst und dies mit einem Exponenten ausdrückst.
Das Beispiel zeigt, dass zuerst die Potenz außen an der Wurzel steht. Um zu verdeutlichen, dass die gesamte Wurzel potenziert werden soll, wird eine Klammer verwendet. Nun kannst Du das Wurzelgesetz anwenden und die Zahl unter der Wurzel potenzieren.
Eine Wurzel wird potenziert, indem der Radikand potenziert wird.
Im Folgenden findest Du zwei Beispiele als Übungsaufgaben.
Aufgabe 4
Vereinfache.
a) 
b) 
Lösung
a)
b)
Wenn Du eine Wurzel ziehst, wird dies auch "radizieren" genannt. Du kannst auch eine Wurzel aus einer Wurzel ziehen.
Im Beispiel siehst Du, dass Du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehst, indem Du die beiden Wurzelexponenten multiplizierst und an eine Wurzel schreibst. Die Zahl unter der Wurzel (Radikand) verändert sich nicht.
Das Wurzelgesetz zum Radizieren lautet:
Auch wenn eine Quadratwurzel vorliegt und deswegen keine Zahl als Wurzelexponent steht, musst Du mit 2 multiplizieren, da der Exponent der Wurzel trotzdem 2 beträgt.
Die folgenden Aufgaben kannst Du nun zum Üben nutzen.
Aufgabe 5
Vereinfache.
a)
b) 
Lösung
a)
b)
Eine Wurzel kannst Du auch in eine Potenz umschreiben. Dann verschwindet das Wurzelzeichen und der neue Exponent drückt die Wurzel aus.
Das Beispiel zeigt, dass der neue Exponent ein Bruch ist. Der ursprüngliche Wurzelexponent steht nun im Nenner des Bruchs. Wenn es bereits vorher einen Exponenten gab, steht dieser im Zähler. Gab es vorher keinen Exponenten, steht eine 1 im Zähler.
Wurzeln können in Potenzen umgeschrieben werden:
Mit den folgenden Aufgaben kannst Du üben, die Wurzel als Potenz zu schreiben.
Aufgabe 6
Schreibe als Potenz.
a)
b)
Lösung
a)
b)
Die Wurzelgesetze können Dir helfen, um mit Wurzeln zu rechnen. Insbesondere beim Multiplizieren und Dividieren kannst Du sie nutzen, um Wurzeln zusammenzufassen.
Wenn Du zwei Wurzel multiplizieren oder dividieren willst und sie denselben Wurzelexponenten haben, kannst Du ihre Radikanden multiplizieren bzw. dividieren.
Beim Addieren oder Subtrahieren darfst du dies nicht machen!
Wenn du zwei Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten multiplizierst oder dividierst, verändert sich der Wurzelradikand nicht.
Wenn Du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehst, kannst Du die beiden Wurzelexponenten multiplizieren und erhältst den neuen Wurzelexponenten.
Frage
Vereinfache mithilfe des Wurzelgesetzes:
Antwort
Frage
Vereinfache, indem du das Wurzelgesetz anwendest:
Antwort
Frage
Berechne:
Antwort
Frage
Berechne:
Antwort
Frage
Berechne:
Antwort
Frage
Schreibe als Potenz ohne Wurzelzeichen:
Antwort
Frage
Entscheide, welche Umformung von richtige ist.
Antwort
Frage
Berechne:
Antwort
Frage
Berechne:
Antwort
Frage
Begründe, wieso Du hier das Wurzelgesetz nicht anwenden darfst.
Antwort
Um das Wurzelgesetz beim Multiplizieren anwenden zu können, müssen die beiden Wurzeln denselben Wurzelexponenten haben. Hier hat eine Wurzel 3 als Wurzelexponent und eine 2. Deswegen darf ich das Wurzelgesetz nicht anwenden.
Frage
Entscheide, welche Umformung richtig ist.
Antwort
Frage
Erkläre, welcher Fehler hier gemacht wurde:
Antwort
Der Wurzelausdruck sollte vereinfacht werden, indem die Faktoren miteinander verrechnet werden. Dazu wurde ausgeklammert. Bei wurde
als Faktor geschrieben. Vermutlich, weil kein Faktor vor dem Wurzelausdruck steht.
Der Faktor ist aber trotzdem und die Rechnung müsste so aussehen:
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