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Wurzelgesetze

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Mathe

Gesetze zum Wurzeln ziehen, was soll das denn sein? Gibt es etwa Regeln, wo genau und mit welcher Kraft Du an der Pflanze ziehen musst, damit die Wurzel besonders gut aus dem Boden heraus kommt?

Wurzelgesetze Wurzel StudySmarter

Ok, das ist natürlich Blödsinn. Hier geht es nicht ums Gärtnern oder gar um die Karotte, sondern um die mathematische Wurzel . Für mathematische Terme mit Wurzeln gibt es Rechenregeln – die Wurzelgesetze – die Dir das Rechnen mit Wurzeln erleichtern können.

Wurzelgesetze Grundlagenwissen

Eine Wurzel in der Mathematik besteht meist aus drei Teilen: Wurzelzeichen, Wurzelexponent und Radikand.

Die Bezeichnungen der einzelnen Teile eines Wurzelausdrucks kannst Du in Abbildung 1 ablesen.

Wurzelgesetz Wurzel Bezeichnungen StudySmarterAbbildung 1: Bezeichnungen der Wurzelbestandteile

Den Ausdruck an kannst Du als "n-te Wurzel von a" aussprechen. Wenn der Wurzelexponent die 2 ist, also a2, wird die 2 meist weggelassen und nur ageschrieben. Die zweite Wurzel heißt Quadratwurzel. Die dritte Wurzel (a3) wird Kubikwurzel genannt.

Das Rechnen mit Wurzeln kannst Du Dir erleichtern, wenn Du die Wurzelgesetze kennst. Sie ermöglichen es Dir, Terme mit Wurzeln übersichtlicher aufzuschreiben und Rechenvorteile zu erkennen. Beachte: Alle Wurzelgesetzte gelten nur für positive Radikanden, es darf also kein Minus unter der Wurzel stehen!

Wurzelgesetze - Formelsammlung

Wenn Du nur kurz die Gesetze nachschlagen möchtest, kannst du diese Formelsammlung nutzen. Du findest aber auch eine Erklärung zu jedem Wurzelgesetz und Beispiele weiter unten.

WurzelgesetzFormel
Wurzeln multiplizierenan · bn = a·bn
Wurzeln dividierenanbn =abn
Wurzeln addierenx · a n + y · an = (x+y) · an
Wurzeln subtrahierenx · a n - y · an = (x-y) · an
Wurzeln potenzieren(an)x=axn
Wurzeln radizierenamn = an · m
Wurzeln als Potenzamn = amnan = a1n

Wurzelgesetz für die Multiplikation

Du hast einen Rechenausdruck mit einem Malzeichen zwischen zwei Wurzeln und überlegst, wie Du weitermachen sollst? Wurzeln kannst Du multiplizieren, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben.

Im Beispiel werden zwei Wurzel mit gleichem Wurzelexponenten multipliziert.

Du möchtest 53 · 73 rechnen. Dies ist möglich, da es in beiden Fällen die dritte Wurzel ist.

53 · 73 = 5·73 = 353

Im Beispiel kannst Du bereits sehen, wie Du Wurzeln multiplizieren kannst, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben. Dann multiplizierst Du die Radikanden und schreibst das Ergebnis wieder unter eine Wurzel. Im Beispiel sind die Radikanden 5 und 7.

Du kannst das Wurzelgesetz auch allgemein mit Variablen schreiben.

Das Wurzelgesetz für die Multiplikation darfst Du anwenden, wenn zwei Wurzelausdrücke denselben Wurzelexponenten haben. Es lautet:

an · bn = a·bn

Ganz wichtig: Du kannst Wurzeln nur dann multiplizieren und das Wurzelgesetz anwenden, wenn an beiden Wurzeln derselbe Exponent steht.

Wenn Du zum Beispiel den Term 23 · 54 hast, sind die Exponenten der Wurzeln unterschiedlich. Du kannst das Wurzelgesetz nicht anwenden und den Term nicht weiter vereinfachen.

Doch warum wird man das Wurzelgesetz überhaupt verwendet?

Vorteile des Wurzelgesetzes für die Multiplikation

Das Anwenden des Wurzelgesetzes für die Multiplikation vereinfacht den Ausdruck. 353 ist zum Beispiel deutlich kürzer als 53 · 73. Rechnungen werden dadurch übersichtlicher, selbst wenn Variablen vorkommen. So ist auch 7xübersichtlicher als 7 · x.

Das Wurzelgesetz für die Multiplikation vereinfacht aber nicht nur den Ausdruck, es kann Dir auch einen echten Rechenvorteil bringen.

3 · 12 = 3·12 = 36 = 6

Die Wurzel aus 3, sowie die Wurzel aus 12 kannst Du vermutlich nicht einfach im Kopf berechnen. Wenn Du jetzt aber das Wurzelgesetz anwendest, wird aus 3 · 12 genau 36. 36 ist eine Quadratzahl und die Wurzel aus 36 ist 6.

In dem Beispiel kannst Du erkennen, dass Dir das Wurzelgesetz manchmal ermöglicht, eine Wurzel im Kopf zu berechnen, obwohl dies vorher bei den beiden einzelnen Wurzeln als Faktoren nicht möglich war. Ein weiteres Beispiel, das Dir einen solchen Rechenvorteil liefert, ist 5 · 20 = 100 = 10.

Wurzel multiplizieren – Aufgaben

Du möchtest jetzt selber einmal Wurzeln multiplizieren? Dann nutz diese Aufgaben. Du kannst Dir die Lösungen aber auch als Beispiele angucken.

Aufgabe 1

Vereinfache, wenn möglich.

a) 34 · 64

b) 53 · 64

c) 3 · 27

Lösung

a) Beide Wurzeln haben denselben Wurzelexponenten. Du darfst das Wurzelgesetz für die Multiplikation anwenden:

34 ·64 = 3 · 64 = 184

b)

Die Wurzeln haben unterschiedliche Wurzelexponenten. Du darfst das Wurzelgesetz nicht anwenden und kannst den Term nicht vereinfachen.

c)

In beiden Faktoren steht eine Quadratwurzel. Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:

3 · 27 = 3 · 27 = 81 =9

Hier entsteht ein echter Rechenvorteil. 81 ist eine Quadratzahl, deswegen kannst Du die Wurzel im Kopf berechnen.

Wurzelgesetz für die Division

Das Wurzelgesetz für die Division ist analog zum Wurzelgesetz für die Multiplikation aufgebaut. Auch hier kannst Du es nur anwenden, wenn die Wurzelexponenten identisch sind. Im Beispiel kannst Du erkennen, wie Du Wurzeln dividierst.

21333=2133=73

Wenn Du 213 durch 33 rechnen möchtest, kannst du dies machen, indem du die Radikanden dividierst.

Statt dem Bruchstrich könntest Du im Beispiel auch ein Divisionszeichen verwenden. Übersichtlicher ist es aber mit dem Bruchstrich.

Mit Variablen formuliert sieht das Wurzelgesetz dann so aus:

Das Wurzelgesetz für die Division für Wurzel mit demselben Wurzelexponenten lautet:

anbn =abn

Beachte auch hier, dass Du die Rechenregel wirklich nur dann anwenden kannst, wenn dieselbe Zahl als Exponent an den Wurzeln steht.

Vorteile des Wurzelgesetzes für die Division

Die Vorteile des Wurzelgesetzes bei der Division sind ähnlich wie bei der Multiplikation. Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Ausdruck übersichtlicher machen. 2133 ist schon übersichtlicher als 21333. Wenn Du dann noch 213zu 7 kürzt, wird es noch übersichtlicher: 73

Aber auch hier kann Dir das Wurzelgesetz einen echten Rechenvorteil bringen.

322 = 322 = 16 = 4

Die Wurzel aus 32 und die Wurzel aus 2 kannst Du vermutlich nicht im Kopf berechnen. Wenn du jetzt aber das Wurzelgesetz für die Division anwendest und 32 durch 2 teilst, erhältst du 16. Die 16 ist eine Quadratzahl, 16 ist 4.

Du kannst das Wurzelgesetz für die Division also manchmal anwenden, um eine Wurzel zu berechnen, die Du ohne das Wurzelgesetz nicht im Kopf ausrechnen kannst. Dies funktioniert aber nur dann, wenn durch die Division eine Zahl entsteht, deren Wurzel Du im Kopf berechnen kannst.

Wurzeln dividieren – Aufgaben

Nutze die Aufgaben, um selbst zu üben oder schau Dir die Lösungen als Beispiel an.

Aufgabe 2

Vereinfache, wenn möglich.

a) 553

b) 7585

c) 28

Lösung

a)

Die Exponenten der Wurzeln im Zähler und im Nenner stimmen nicht überein. Du kannst nicht vereinfachen.

b)

Die Wurzelexponenten stimmen überein. Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:

7585 =785

c)

Auch hier kannst Du das Wurzelgesetz anwenden:

28 = 28= 14 = 12

Hier kannst Du einen Rechenvorteil nutzen. Durch das Umformen stehen im Zähler und im Nenner Quadratzahlen. Du kannst die Wurzel ziehen.

Wurzelgesetze für die Addition und Subtraktion

Die Wurzelgesetze für die Addition und Subtraktion sind keine wirklichen Rechengesetze. Sie bauen auf dem Distributivgesetz auf. Zur Erinnerung: Das Distributivgesetz erlaubt Dir, auszuklammern.

Das Distributivgesetz lautet:

a · b + a · c = a · (b + c)

Wenn Du zum Beispiel 7 · x + 3 · x rechnen sollst, kannst Du das Distributivgesetz anwenden.

7 · x + 3 · x = (7 + 3) · x = 10 · x

Ganz ähnlich kannst Du auch vorgehen, wenn Du Wurzel addieren sollst.

Wurzelgesetz für die Addition

Das Wurzelgesetz für die Addition darfst Du anwenden, wenn der Wurzelausdruck sowohl denselben Wurzelexponenten, als auch denselben Radikanden hat.

4 · 53 + 2 · 53 = (4+2) · 53 = 6 · 53

Im Beispiel siehst Du, dass sich im Gegensatz zur Multiplikation und Division der reine Wurzelausdruck nicht verändert. 53 bleibt 53. Du verwendest das Distributivgesetz, um die Anzahl der Wurzeln zusammenfassen.

Du hast viermal die 53 und dann hast Du noch zweimal die 53. Zusammen hast Du sie dann sechsmal.

Beim Wurzelgesetz für die Addition darfst Du das Distributivgesetz anwenden, wenn die Wurzel sowohl denselben Wurzelexponenten als auch denselben Radikanden hat:

x · a n + y · an = (x+y) · an

Wurzelgesetz für die Subtraktion

Das Wurzelgesetz für die Subtraktion ist analog zum Wurzelgesetz für die Addition aufgebaut. Auch hier wendest Du das Distributivgesetz an.

6 ·34 - 2 · 34 = (6 - 2) ·34 = 4 · 34

Im Beispiel hast Du zuerst sechsmal 34, davon ziehst Du zweimal 34ab. Du hast dann nur noch viermal 34.

Allgemein formuliert bedeutet dies:

Beim Wurzelgesetz für die Subtraktion darfst Du das Distributivgesetz anwenden, wenn die Wurzel sowohl denselben Wurzelexponenten als auch denselben Radikanden hat:

x · a n - y · an = (x-y) · an

Wurzeln addieren und subtrahieren – Aufgaben

Du kannst diese Aufgaben jetzt zum Üben oder als Beispiele verwenden.

Aufgabe 3

Vereinfache, wenn möglich.

a) 4 · 2 + 6 · 2

b) 3 · 43 + 2 · 44

c) 5 · 43 - 43

Lösung

a)

Die Wurzel stimmen überein. Du kannst zusammenfassen.

4 · 2 + 6 · 2 = (4 + 6) · 2 = 10 · 2

b)

Die Wurzeln haben unterschiedlichen Wurzelexponenten. Du kannst das Wurzelgesetz nicht anwenden.

c)

Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:

5 · 43 - 43 = (5 - 1) · 43 = 4 · 43

Wurzeln potenzieren

Was machst Du eigentlich, wenn Du eine Wurzel potenzieren sollst?

Potenzieren ist das Fachwort dafür, wenn du eine Zahl mehrfach mit sich selber multiplizierst und dies mit einem Exponenten ausdrückst.

Du darfst jede Wurzel potenzieren, also einen Wurzelausdruck hoch eine Zahl rechnen. Das Wurzelgesetz besagt hier, dass Du dazu direkt den Radikanden potenzieren darfst.

(53)4= 543

Im Beispiel siehst Du, dass zuerst die Potenz außen an der Wurzel steht. Um zu verdeutlichen, dass die gesamte Wurzel potenziert werden soll, wird eine Klammer verwendet. Nun kannst Du das Wurzelgesetz anwenden und die Zahl unter der Wurzel potenzieren.

Eine Wurzel wird potenziert, indem der Radikand potenziert wird.

(an)x=axn

Wurzeln potenzieren – Aufgaben

Hier findest du zwei Beispiele als Übungsaufgaben

Aufgabe 4

Vereinfache.

a) (53)2

b) (6)3

Lösung

a)

(53)2 = 523 = 253

b)

(6)3 = 63 = 216

Wurzeln radizieren

Wenn Du eine Wurzel ziehst, wird dies auch "radizieren" genannt. Du kannst auch eine Wurzel aus einer Wurzel ziehen.

743 = 73 · 4 = 712

Im Beispiel siehst Du, dass Du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehst, indem Du die beiden Wurzelexponenten multiplizierst und an eine Wurzel schreibst. Die Zahl unter der Wurzel (Radikand) verändert sich nicht.

Das Wurzelgesetz zum Radizieren lautet:

amn = an · m

Auch wenn Du eine Quadratwurzel hast und deswegen keine Zahl als Wurzelexponent steht, musst Du mit 2 multiplizieren. Der Exponent der Wurzel ist ja trotzdem 2.

43 = 42 · 3 = 465 = 52 · 2 = 54

Wurzeln radizieren – Aufgaben

Diese Aufgaben kannst du zum selber Üben oder als Beispiele nutzen.

Aufgabe 5

Vereinfache.

a)1234

b) 53

Lösung

a)

1234 = 124 · 3 = 1212

b)

5 3 = 53 · 2 = 56

Wurzeln als Potenz

Eine Wurzel kannst Du auch in eine Potenz umschreiben. Dann verschwindet das Wurzelzeichen und der neue Exponent drückt die Wurzel aus.

63 = 61335 = 352

Im Beispiel kannst Du bereits erkennen, dass der neue Exponent ein Bruch ist. Der ursprüngliche Wurzelexponent steht nun im Nenner des Bruchs. Wenn es bereits vorher einen Exponenten gab, steht dieser im Zähler. Gab es vorher keinen Exponenten, steht eine 1 im Zähler.

Wurzeln können in Potenzen umgeschrieben werden:

amn = amnan = a1n

Wurzeln als Potenz – Aufgaben

Hier kannst Du üben, die Wurzel als Potenz zu schreiben. Oder schau Dir die Lösungen als Beispiel an.

Aufgabe 6

Schreibe als Potenz.

a)53

b)x3

Lösung

a)

53 = 513

b)

x3 = x32

Wurzelgesetze - Das Wichtigste

  • Wurzelgesetz für die Multiplikation:an · bn = a · bn
    • gleicher Wurzelexponent
  • Wurzelgesetz für die Division:anbn =abn
    • gleicher Wurzelexponent
  • Wurzelgesetz für die Addition:x · an + y · b n = (x + y) · an
    • gleicher Wurzelexponent
    • gleicher Radikand
  • Wurzelgesetz für die Subtraktion :x · an - y · an = (x - y) · an
    • gleicher Wurzelexponent
    • gleicher Radikand
  • Wurzeln potenzieren:(an)x = axn
  • Wurzeln radizieren: amn = an · m
  • Wurzeln als Potenz: axn= axn

Wurzelgesetze

Die Wurzelgesetze können Dir helfen, um mit Wurzeln zu rechnen. Insbesondere beim Multiplizieren und Dividieren kannst Du sie nutzen, um Wurzeln zusammenzufassen.

Wenn Du zwei Wurzel multiplizieren oder dividieren willst und sie denselben Wurzelexponenten haben, kannst Du ihre Radikanden multiplizieren bzw. dividieren.

Beim Addieren oder Subtrahieren darfst du dies nicht machen!

Wenn du zwei Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten multiplizierst oder dividierst, verändert sich der Wurzelradikand nicht.

Wenn Du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehst, kannst Du die beiden Wurzelexponenten multiplizieren und erhältst den neuen Wurzelexponenten.

Finales Wurzelgesetze Quiz

Frage

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes multiplizieren kannst?

Antwort anzeigen

Antwort

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Wurzel multiplizieren kann.

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes dividieren kannst? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Radikanden dividieren kann. 

Frage anzeigen

Frage

Vereinfache mithilfe des Wurzelgesetzes:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Vereinfache, indem du das Wurzelgesetz anwendest:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne: 



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du die Wurzel aus einer Wurzel ziehen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Ich kann die Wurzel aus einer Wurzel ziehen, indem ich die beiden Wurzelexponenten multipliziere. Das Produkt ist der neue Wurzelexponent. Der Radikand verändert sich nicht.

Frage anzeigen

Frage

Berechne:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Schreibe als Potenz ohne Wurzelzeichen:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Umformung von richtige ist.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Berechne:



Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Begründe, wieso Du hier das Wurzelgesetz nicht anwenden darfst.




Antwort anzeigen

Antwort

Um das Wurzelgesetz beim Multiplizieren anwenden zu können, müssen die beiden Wurzeln denselben Wurzelexponenten haben. Hier hat eine Wurzel 3 als Wurzelexponent und eine 2. Deswegen darf ich das Wurzelgesetz nicht anwenden.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Umformung richtig ist.

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Erkläre, welcher Fehler hier gemacht wurde:



Antwort anzeigen

Antwort

Der Wurzelausdruck sollte vereinfacht werden, indem die Faktoren miteinander verrechnet werden. Dazu wurde ausgeklammert. Bei  wurde  als Faktor geschrieben. Vermutlich, weil kein Faktor vor dem Wurzelausdruck steht.

Der Faktor ist aber trotzdem  und die Rechnung müsste so aussehen:


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