Gesetze zum Wurzeln ziehen, was soll das denn sein? Gibt es etwa Regeln, wo genau und mit welcher Kraft Du an der Pflanze ziehen musst, damit die Wurzel besonders gut aus dem Boden heraus kommt?
Ok, das ist natürlich Blödsinn. Hier geht es nicht ums Gärtnern oder gar um die Karotte, sondern um die mathematische Wurzel . Für mathematische Terme mit Wurzeln gibt es Rechenregeln – die Wurzelgesetze – die Dir das Rechnen mit Wurzeln erleichtern können.
Eine Wurzel in der Mathematik besteht meist aus drei Teilen: Wurzelzeichen, Wurzelexponent und Radikand.
Die Bezeichnungen der einzelnen Teile eines Wurzelausdrucks kannst Du in Abbildung 1 ablesen.
Abbildung 1: Bezeichnungen der Wurzelbestandteile
Den Ausdruck kannst Du als "n-te Wurzel von a" aussprechen. Wenn der Wurzelexponent die 2 ist, also , wird die 2 meist weggelassen und nur geschrieben. Die zweite Wurzel heißt Quadratwurzel. Die dritte Wurzel () wird Kubikwurzel genannt.
Das Rechnen mit Wurzeln kannst Du Dir erleichtern, wenn Du die Wurzelgesetze kennst. Sie ermöglichen es Dir, Terme mit Wurzeln übersichtlicher aufzuschreiben und Rechenvorteile zu erkennen. Beachte: Alle Wurzelgesetzte gelten nur für positive Radikanden, es darf also kein Minus unter der Wurzel stehen!
Wenn Du nur kurz die Gesetze nachschlagen möchtest, kannst du diese Formelsammlung nutzen. Du findest aber auch eine Erklärung zu jedem Wurzelgesetz und Beispiele weiter unten.
Wurzelgesetz | Formel |
Wurzeln multiplizieren | |
Wurzeln dividieren | |
Wurzeln addieren | |
Wurzeln subtrahieren | |
Wurzeln potenzieren | |
Wurzeln radizieren | |
Wurzeln als Potenz |
Du hast einen Rechenausdruck mit einem Malzeichen zwischen zwei Wurzeln und überlegst, wie Du weitermachen sollst? Wurzeln kannst Du multiplizieren, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben.
Im Beispiel werden zwei Wurzel mit gleichem Wurzelexponenten multipliziert.
Du möchtest rechnen. Dies ist möglich, da es in beiden Fällen die dritte Wurzel ist.
Im Beispiel kannst Du bereits sehen, wie Du Wurzeln multiplizieren kannst, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben. Dann multiplizierst Du die Radikanden und schreibst das Ergebnis wieder unter eine Wurzel. Im Beispiel sind die Radikanden 5 und 7.
Du kannst das Wurzelgesetz auch allgemein mit Variablen schreiben.
Das Wurzelgesetz für die Multiplikation darfst Du anwenden, wenn zwei Wurzelausdrücke denselben Wurzelexponenten haben. Es lautet:
Ganz wichtig: Du kannst Wurzeln nur dann multiplizieren und das Wurzelgesetz anwenden, wenn an beiden Wurzeln derselbe Exponent steht.
Wenn Du zum Beispiel den Term hast, sind die Exponenten der Wurzeln unterschiedlich. Du kannst das Wurzelgesetz nicht anwenden und den Term nicht weiter vereinfachen.
Doch warum wird man das Wurzelgesetz überhaupt verwendet?
Das Anwenden des Wurzelgesetzes für die Multiplikation vereinfacht den Ausdruck. ist zum Beispiel deutlich kürzer als . Rechnungen werden dadurch übersichtlicher, selbst wenn Variablen vorkommen. So ist auch übersichtlicher als .
Das Wurzelgesetz für die Multiplikation vereinfacht aber nicht nur den Ausdruck, es kann Dir auch einen echten Rechenvorteil bringen.
Die Wurzel aus 3, sowie die Wurzel aus 12 kannst Du vermutlich nicht einfach im Kopf berechnen. Wenn Du jetzt aber das Wurzelgesetz anwendest, wird aus genau . 36 ist eine Quadratzahl und die Wurzel aus 36 ist 6.
In dem Beispiel kannst Du erkennen, dass Dir das Wurzelgesetz manchmal ermöglicht, eine Wurzel im Kopf zu berechnen, obwohl dies vorher bei den beiden einzelnen Wurzeln als Faktoren nicht möglich war. Ein weiteres Beispiel, das Dir einen solchen Rechenvorteil liefert, ist .
Du möchtest jetzt selber einmal Wurzeln multiplizieren? Dann nutz diese Aufgaben. Du kannst Dir die Lösungen aber auch als Beispiele angucken.
Aufgabe 1
Vereinfache, wenn möglich.
a)
b)
c)
Lösung
a) Beide Wurzeln haben denselben Wurzelexponenten. Du darfst das Wurzelgesetz für die Multiplikation anwenden:b)
Die Wurzeln haben unterschiedliche Wurzelexponenten. Du darfst das Wurzelgesetz nicht anwenden und kannst den Term nicht vereinfachen.
c)
In beiden Faktoren steht eine Quadratwurzel. Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:
Hier entsteht ein echter Rechenvorteil. 81 ist eine Quadratzahl, deswegen kannst Du die Wurzel im Kopf berechnen.
Das Wurzelgesetz für die Division ist analog zum Wurzelgesetz für die Multiplikation aufgebaut. Auch hier kannst Du es nur anwenden, wenn die Wurzelexponenten identisch sind. Im Beispiel kannst Du erkennen, wie Du Wurzeln dividierst.
Wenn Du durch rechnen möchtest, kannst du dies machen, indem du die Radikanden dividierst.
Statt dem Bruchstrich könntest Du im Beispiel auch ein Divisionszeichen verwenden. Übersichtlicher ist es aber mit dem Bruchstrich.
Mit Variablen formuliert sieht das Wurzelgesetz dann so aus:
Das Wurzelgesetz für die Division für Wurzel mit demselben Wurzelexponenten lautet:
Beachte auch hier, dass Du die Rechenregel wirklich nur dann anwenden kannst, wenn dieselbe Zahl als Exponent an den Wurzeln steht.
Die Vorteile des Wurzelgesetzes bei der Division sind ähnlich wie bei der Multiplikation. Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Ausdruck übersichtlicher machen. ist schon übersichtlicher als . Wenn Du dann noch zu 7 kürzt, wird es noch übersichtlicher:
Aber auch hier kann Dir das Wurzelgesetz einen echten Rechenvorteil bringen.
Die Wurzel aus 32 und die Wurzel aus 2 kannst Du vermutlich nicht im Kopf berechnen. Wenn du jetzt aber das Wurzelgesetz für die Division anwendest und 32 durch 2 teilst, erhältst du 16. Die 16 ist eine Quadratzahl, ist 4.
Du kannst das Wurzelgesetz für die Division also manchmal anwenden, um eine Wurzel zu berechnen, die Du ohne das Wurzelgesetz nicht im Kopf ausrechnen kannst. Dies funktioniert aber nur dann, wenn durch die Division eine Zahl entsteht, deren Wurzel Du im Kopf berechnen kannst.
Nutze die Aufgaben, um selbst zu üben oder schau Dir die Lösungen als Beispiel an.
Aufgabe 2
Vereinfache, wenn möglich.
a)
b)
c)
Lösung
a)
Die Exponenten der Wurzeln im Zähler und im Nenner stimmen nicht überein. Du kannst nicht vereinfachen.
b)
Die Wurzelexponenten stimmen überein. Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:
c)
Auch hier kannst Du das Wurzelgesetz anwenden:
Hier kannst Du einen Rechenvorteil nutzen. Durch das Umformen stehen im Zähler und im Nenner Quadratzahlen. Du kannst die Wurzel ziehen.
Die Wurzelgesetze für die Addition und Subtraktion sind keine wirklichen Rechengesetze. Sie bauen auf dem Distributivgesetz auf. Zur Erinnerung: Das Distributivgesetz erlaubt Dir, auszuklammern.
Das Distributivgesetz lautet:
Wenn Du zum Beispiel rechnen sollst, kannst Du das Distributivgesetz anwenden.
Ganz ähnlich kannst Du auch vorgehen, wenn Du Wurzel addieren sollst.
Das Wurzelgesetz für die Addition darfst Du anwenden, wenn der Wurzelausdruck sowohl denselben Wurzelexponenten, als auch denselben Radikanden hat.
Im Beispiel siehst Du, dass sich im Gegensatz zur Multiplikation und Division der reine Wurzelausdruck nicht verändert. bleibt . Du verwendest das Distributivgesetz, um die Anzahl der Wurzeln zusammenfassen.
Du hast viermal die und dann hast Du noch zweimal die . Zusammen hast Du sie dann sechsmal.
Beim Wurzelgesetz für die Addition darfst Du das Distributivgesetz anwenden, wenn die Wurzel sowohl denselben Wurzelexponenten als auch denselben Radikanden hat:
Das Wurzelgesetz für die Subtraktion ist analog zum Wurzelgesetz für die Addition aufgebaut. Auch hier wendest Du das Distributivgesetz an.
Im Beispiel hast Du zuerst sechsmal , davon ziehst Du zweimal ab. Du hast dann nur noch viermal .
Allgemein formuliert bedeutet dies:
Beim Wurzelgesetz für die Subtraktion darfst Du das Distributivgesetz anwenden, wenn die Wurzel sowohl denselben Wurzelexponenten als auch denselben Radikanden hat:
Du kannst diese Aufgaben jetzt zum Üben oder als Beispiele verwenden.
Aufgabe 3
Vereinfache, wenn möglich.
a)
b)
c)
Lösung
a)
Die Wurzel stimmen überein. Du kannst zusammenfassen.
b)
Die Wurzeln haben unterschiedlichen Wurzelexponenten. Du kannst das Wurzelgesetz nicht anwenden.
c)
Du kannst das Wurzelgesetz anwenden:
Was machst Du eigentlich, wenn Du eine Wurzel potenzieren sollst?
Potenzieren ist das Fachwort dafür, wenn du eine Zahl mehrfach mit sich selber multiplizierst und dies mit einem Exponenten ausdrückst.
Du darfst jede Wurzel potenzieren, also einen Wurzelausdruck hoch eine Zahl rechnen. Das Wurzelgesetz besagt hier, dass Du dazu direkt den Radikanden potenzieren darfst.
Im Beispiel siehst Du, dass zuerst die Potenz außen an der Wurzel steht. Um zu verdeutlichen, dass die gesamte Wurzel potenziert werden soll, wird eine Klammer verwendet. Nun kannst Du das Wurzelgesetz anwenden und die Zahl unter der Wurzel potenzieren.
Eine Wurzel wird potenziert, indem der Radikand potenziert wird.
Hier findest du zwei Beispiele als Übungsaufgaben
Aufgabe 4
Vereinfache.
a)
b)
Lösung
a)
b)
Wenn Du eine Wurzel ziehst, wird dies auch "radizieren" genannt. Du kannst auch eine Wurzel aus einer Wurzel ziehen.
Im Beispiel siehst Du, dass Du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehst, indem Du die beiden Wurzelexponenten multiplizierst und an eine Wurzel schreibst. Die Zahl unter der Wurzel (Radikand) verändert sich nicht.
Das Wurzelgesetz zum Radizieren lautet:
Auch wenn Du eine Quadratwurzel hast und deswegen keine Zahl als Wurzelexponent steht, musst Du mit 2 multiplizieren. Der Exponent der Wurzel ist ja trotzdem 2.
Diese Aufgaben kannst du zum selber Üben oder als Beispiele nutzen.
Aufgabe 5
Vereinfache.
a)
b)
Lösung
a)
b)
Eine Wurzel kannst Du auch in eine Potenz umschreiben. Dann verschwindet das Wurzelzeichen und der neue Exponent drückt die Wurzel aus.
Im Beispiel kannst Du bereits erkennen, dass der neue Exponent ein Bruch ist. Der ursprüngliche Wurzelexponent steht nun im Nenner des Bruchs. Wenn es bereits vorher einen Exponenten gab, steht dieser im Zähler. Gab es vorher keinen Exponenten, steht eine 1 im Zähler.
Wurzeln können in Potenzen umgeschrieben werden:
Hier kannst Du üben, die Wurzel als Potenz zu schreiben. Oder schau Dir die Lösungen als Beispiel an.
Aufgabe 6
Schreibe als Potenz.
a)
b)
Lösung
a)
b)
Die Wurzelgesetze können Dir helfen, um mit Wurzeln zu rechnen. Insbesondere beim Multiplizieren und Dividieren kannst Du sie nutzen, um Wurzeln zusammenzufassen.
Wenn Du zwei Wurzel multiplizieren oder dividieren willst und sie denselben Wurzelexponenten haben, kannst Du ihre Radikanden multiplizieren bzw. dividieren.
Beim Addieren oder Subtrahieren darfst du dies nicht machen!
Wenn du zwei Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten multiplizierst oder dividierst, verändert sich der Wurzelradikand nicht.
Wenn Du eine Wurzel aus einer Wurzel ziehst, kannst Du die beiden Wurzelexponenten multiplizieren und erhältst den neuen Wurzelexponenten.
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