Dezimalzahlen subtrahieren

\(\definecolor{blau}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{türkies}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{rot}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{lila}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{gelb}{RGB}{255, 205, 0}\)

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Hast Du Dir schon einmal Gedanken gemacht, wie Du berechnen kannst, wie viel Geld von Deinem Ersparten übrig bleibt, nachdem Du Deinen Freunden Geschenke für ihren Geburtstag gekauft hast?

    Meist handelt es sich bei Geldbeträgen um Dezimalzahlen, die Du addieren und subtrahieren kannst. Das geht für einfache Zahlen im Kopf und für längere Rechnungen schriftlich.

    Eine Dezimalzahl ist eine Zahl, die ein Komma enthält. Alles weitere wichtige dazu kannst Du auch noch mal im Artikel Dezimalzahlen nachlesen.

    Zuerst findest Du hier eine Erklärung zum Dezimalzahlen subtrahieren und weiter unten Textaufgaben und Übungen mit Lösung.

    Dezimalzahlen subtrahieren Erklärung

    Als Einstieg in das Thema kannst Du Dezimalzahlen im Kopf voneinander abziehen. Die Methode dafür nennt sich Runden. Ziel ist es, die Dezimalzahlen auf eine oder gar keine Nachkommastelle zu runden, sodass Du sie dann im Kopf voneinander abziehen kannst.

    Für diese Woche hast Du von Deinen Eltern \(10\text{ €}\) Taschengeld erhalten. Du möchtest Dir die folgenden drei Produkte kaufen:

    • Gummischlangen, jeweils \(2{,}99\text{ €}\)
    • Schokoeier, jeweils \(4{,}95\text{ €}\)
    • Lutscher, jeweils \(0{,}49\text{ €}\)

    Um zu berechnen, wie viel Dein Einkauf kosten wird, rundest Du auf die erste Nachkommastelle:

    • Gummischlangen, jeweils \(3{,}00\text{ €}\)
    • Schokoeier, jeweils \(5{,}00\text{ €}\)
    • Lutscher, jeweils \(0{,}5\text{ €}\)

    Du möchtest wissen, wie korrekt gerundet wird? Sieh Dir hierzu den Artikel zum Thema Runden von Dezimalzahlen auf StudySmarter an!

    So lässt es sich doch schon viel leichter rechnen, oder?

    Nun kannst Du die Zahlen im Kopf von Deinen \(10\text{€}\) abziehen.

    \[10-3-5-0{,}5=1{,}50\]

    Somit sind Deine \(10\text{ €}\) sind ausreichend, es bleiben sogar noch circa \(1{,}50\text{ €}\) übrig.

    Aber Achtung: Durch Runden erhältst Du nur einen ungefähren und nicht den exakten Preis. Das Verfahren ist damit ungenau.

    Genauer geht es mit der schriftlichen Subtraktion.

    Dezimalzahlen schriftlich subtrahieren

    Es können sowohl Dezimalzahlen als auch Brüche schriftlich subtrahiert werden. Aber wie?

    Subtraktion von Dezimalzahlen

    Wie das schriftliche Subtrahieren funktioniert, kannst Du im Artikel zur Subtraktion nachlesen. Bei den Dezimalzahlen musst Du lediglich beachten, dass hier noch ein Komma zwischen den Ziffern steht. Das Prinzip bleibt aber das gleiche.

    Angenommen in Deinem Sparschwein hattest Du gestern insgesamt \(95{,}50\text{ €}\). Da heute der Geburtstag eines Freundes war, hast Du ein Geschenk im Wert von \(15{,}75\text{ €}\) gekauft. Hinzu kommt, dass Du noch jemandem \(30\text{ €}\) geliehen hast.

    Um zu berechnen, wie viel Geld Du noch übrig hast, schreibst Du die Dezimalzahlen untereinander und ziehst sie entweder mit dem Entbündelungsverfahren oder dem Ergänzungsverfahren voneinander ab. Das €-Zeichen kannst Du vorerst weglassen.

    \begin{array}{ccc} &9&5&{,}&5&0 \\ -&1&5&{,}&7&5 \\ -&3&0&{,}&0&0 \\ \hline \end{array}

    \[\boldsymbol{\Downarrow}\]

    \begin{array}{ccc} &9&{\color{blau}1}5&{,}&{\color{blau}1}5&{\color{blau}1}0 \\ -&1&5&{,}&7&5 \\ -&3&0&{,}&0&0 \\[-0.2cm] &\tiny{{\color{blau}1}}&\tiny{{\color{blau}1}}&&{\color{blau}\tiny{1}}& \\ \hline &4&9&{,}&7&5 \end{array}

    Du hast also noch \(49{,}75\text{ €}\) übrig.

    Hast Du nun aber einen Subtrahenden gegeben, der größer ist als der Minuend, kommt hier ein negatives Vorzeichen ins Spiel.

    Ist der Subtrahend größer als der Minuend, so entsteht bei der Berechnung der größten Vorkommastelle eine negative Zahl. Der Term ergibt also eine negative Differenz.

    Denn bei der letzten Ziffer kannst Du keinen Zehner mehr von links holen, weil die Zahl hier zu Ende ist. Deshalb vertauschst Du die Zahlen, ziehst also den Minuenden vom Subtrahenden ab und schreibst ein \(-\) vor das Ergebnis.

    Das ist zum Beispiel der Fall bei:

    \[3{,}78-6{,}91\]

    Da \(3\) kleiner ist als \(6\), wird das Ergebnis negativ sein. Also vertauscht Du die Zahlen und setzt ein Minus vor das Ergebnis. Danach kannst Du wie gewohnt rechnen:

    \begin{array}{cccc} &6&{,}&9&1 \\ -&3&{,}&7&8 \\[-0.2cm] &&&\tiny{1}& \\ \hline {\color{blau}-}&3&{,}&1&3 \end{array}

    Das Ergenis lautet also:

    \[3{,}78-6{,}91=-3{,}13\]

    Nun geht es weiter mit dem nächsten Fall: Was passiert, wenn ein Bruch von einer Kommazahl subtrahiert werden soll?

    Subtraktion von Brüchen

    Wenn Du gemischte Zahlen gegeben hast, also beispielsweise eine Dezimalzahl und einen Bruch, dann musst Du entweder den Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln oder umgekehrt.

    Wie das geht, kannst Du in "Dezimalzahl in Bruch umwandeln" nachlesen.

    Wenn Du also den Bruch \(\frac{7}{20}\) von der Dezimalzahl \(0{,}97\) abziehen willst, hast Du zwei Möglichkeiten:

    1. Dezimalzahl in Bruch umwandeln:Zuerst wandelst Du die Dezimalzahl in einen Bruch um:\[0{,}97=97:100=\frac{97}{100}\]Danach bringst Du beide Brüche auf denselben Nenner:\[\frac{7}{20}=\frac{7\cdot5}{20\cdot5}=\frac{35}{100}\]Somit kannst du sie voneinander abziehen:\[\frac{97}{100}-\frac{35}{100}=\frac{97-35}{100}=\frac{62}{100}\]Bei Bedarf noch kürzen:\[\frac{62}{100}=\frac{31}{50}\]Das Ergebnis lautet also \(\frac{31}{50}\). Wenn Du willst, kannst Du diesen Bruch wieder in eine Dezimalzahl umwandeln. Von dem ungekürzten Bruch kannst Du direkt ablesen, dass die Zahl \(0{,}62\) lautet.

      Mehr zum Rechnen mit Brüchen findest Du in "Bruchrechnen".

    2. Bruch in Dezimalzahl umwandeln:Zuerst wandelst Du den Bruch in eine Kommazahl um.\[7:20=0{,}35\]Nun können diese wie gewohnt voneinander subtrahiert werden.\begin{array}{ccc} &0&{,}&9&7 \\ -&0&{,}&3&5 \\\hline &0&{,}&6&2 \end{array}

    Wie Du sehen kannst, ist das Ergebnis dasselbe. Welches Verfahren Du wählst, ist Dir überlassen. Je nachdem, was Dir leichter fällt.

    Negative Dezimalzahlen subtrahieren

    So wie jede andere Zahl können auch Dezimalzahlen ein negatives Vorzeichen besitzen. Das sind die Zahlen links der Null auf der Zahlengeraden.

    Mehr zu negativen Zahlen und wie Du mit den Vorzeichen umgehst, erfährst Du in der Erklärung "negative Zahlen".

    Wenn Du weißt, wie sich Rechenzeichen und Vorzeichen gegenseitig beeinflussen, dann weißt Du, was passiert, wenn Du eine negative Zahl subtrahieren willst.

    Wird eine negative Zahl subtrahiert, so verschmelzen das negative Rechenzeichen und das negative Vorzeichen zu einem \(+\).

    \[a-(-b)=a+b\]

    Das heißt, wenn Du eine negative Zahl subtrahieren willst, entspricht das einer Addition der Zahl ohne das negative Vorzeichen.

    Was ergibt \(2{,}7642-(-1{,}3943)\)?

    Wenn eine negative Zahl subtrahiert wird, werden \(-\) und \(-\) zu einem \(+\). Das heißt, die zweite Zahl wird zu der ersten Zahl addiert. Die Rechnung lautet also:

    \[2{,}7642+1{,}3943=\,?\]

    Da beide Zahlen recht lang sind, bietet sich hier wieder die schriftliche Addition an:

    \begin{array}{cccc} &2&{,}&7&6&4&2 \\ +&1&{,}&3&9&4&3 \\[-0.2cm] &\tiny{1}&&\tiny{1}&&& \\ \hline &4&{,}&1&5&8&5 \end{array}

    Somit ist \(2{,}7642-(-1{,}3943)=4{,}1585\).

    Bisher wurde nur mit endlichen, also abbrechenden Dezimalzahlen gerechnet. Jedoch kann die Subtraktion auch mit periodischen Dezimalzahlen durchgeführt werden.

    Subtrahieren von periodischen Dezimalzahlen

    Wie Du oben bereits erfahren hast, gibt es auch periodische Dezimalzahlen bzw. Dezimalbrüche.

    Was genau periodische Dezimalzahlen sind, erfährst Du in der Erklärung zu den Dezimalzahlen.

    Es gibt zwei Möglichkeiten, wie Du damit umgehst.

    1. Subtraktion mit Dezimalzahlen
    2. Subtraktion mit Brüchen (genauer)

    Möchtest Du periodische Dezimalzahlen voneinander subtrahieren, ohne sie in Brüche umzuwandeln, musst Du Dir zuerst überlegen, wie viele Nachkommastellen Du ausschreiben willst. Es gilt: je mehr Nachkommastellen, desto genauer das Ergebnis.

    Subtrahiere \(1{,}\overline{3}\) von \(2{,}\overline{6}\).

    Das Verfahren bleibt genau dasselbe wie bei der Subtraktion mit normalen Dezimalzahlen. Hierbei müssen zunächst die periodischen Dezimalzahlen ausgeschrieben werden. Wie viele Nachkommastellen Du ausschreiben möchtest, ist Dir überlassen. Hier sollen einmal 4 Nachkommastellen verwendet werden.

    \begin{align} 1{,}\overline{3} & = 1{,}3333 \\ 2{,}\overline{6} & = 2{,}6666 \end{align}

    Nun kannst Du die Zahlen wie gewohnt voneinander abziehen:\begin{array}{ccc} &2&{,}&6&6&6&6 \\ -&1&{,}&3&3&3&3 \\ \hline &1&{,}&3&3&3&3 \end{array}

    Das Ergebnis ist \(1{,}3333\). Ob das auch wieder eine periodische Zahl ist, lässt sich allerdings nicht mit Sicherheit sagen, weil dieses Verfahren nicht ganz genau ist.

    Genauer ist die Subtraktion über Brüche.

    Subtrahiere \(1{,}\overline{3}\) von \(2{,}\overline{6}\).

    Zuerst wandelst du die periodischen Zahlen in Brüche um. Dazu schreibst Du die Nachkommastellen in den Zähler und so viele Neuner wie Nachkommastellen in den Nenner.

    \begin{align} 1{,}\overline{3} & = 1 + \frac{3}{9} = \frac{12}{9} \\[0.2cm] 2{,}\overline{6} & = 2 + \frac{6}{9} = \frac{24}{9} \end{align}

    Danach kannst Du die Brüche voneinander abziehen und wieder in eine Dezimalzahl umwandeln:

    \[\frac{24}{9} - \frac{12}{9} = \frac{12}{9} = 1 + \frac{3}{9} = 1{,}\overline{3}\]

    Hier kannst Du nun mit Gewissheit sagen, dass das Ergebnis auch wieder eine periodische Dezimalzahl ist.

    Dezimalzahlen subtrahieren – Übungen / Textaufgaben

    Hier findest Du Aufgaben mit Lösungen. Los geht's!

    Aufgabe 1

    Du hast Dir eine große Flasche Limonade gekauft. Sie beinhaltet \(2\,\mathrm{l}\). Davon gibst Du einem Freund \(0{,}5\,\mathrm{l}\) und einer Freundin \(300\,\mathrm{ml}\). Wie viel Limonade hast Du jetzt noch übrig?

    Lösung

    Du hast also \(2\,\mathrm{l}\) und ziehst davon \(0{,}5\,\mathrm{l}\) und \(0{,}3\,\mathrm{l}\) ab.

    \(300\,\mathrm{ml}\) sind umgerechnet \(0{,}3\,\mathrm{l}\).

    Nun kannst Du die Dezimalzahlen untereinander schreiben und subtrahieren.

    \begin{array}{ccc} &2&{,}&0 \\ -&0&{,}&5 \\ -&0&{,}&3\\[-0.2cm] &\tiny{1}&& \\ \hline &1&{,}&2 \end{array}

    Du hast noch \(1{,}2\,\mathrm{l}\) übrig.

    Aufgabe 2

    Zu Neujahr erhältst Du von Familie und Verwandten Taschengeld, welches insgesamt \(98{,}60\text{ €}\) beträgt. Du möchtest dir hierfür folgendes kaufen:

    • Videospiel: \(52{,}10\text{ €}\)
    • Jeans: \(45{,}20\text{ €}\)

    Kannst Du Dir beides leisten?

    Lösung

    Um zu berechnen, ob Dein Geld für Deine Wünsche reicht, bietet sich die schriftliche Subtraktion an. Das €-Zeichen kannst Du vorerst weglassen und beim Ergebnis wieder anfügen

    \begin{array}{ccccc} &9&8&{,}&6&0 \\ -&5&2&{,}&1&0 \\ -&4&5&{,}&2&0 \\ \hline &&1&{,}&3&0 \end{array}

    Somit kannst Du Dir beide Produkte leisten und hast noch \(1{,}30\text{ €}\) übrig.

    Geldbeträge lassen sich auch gut im Kopf rechnen, weil sie nie mehr als 2 Nachkommastellen haben und sich auch auf eine Nachkommastelle runden lassen. Wenn Du aber mehrere Beträge abziehen musst, ist die schriftliche Subtraktion meist die bessere Wahl im Hinblick auf Leichtsinnsfehler.

    Aufgabe 3

    Ziehe \(-4{,}567\) von \(10\) ab.

    Lösung

    Der Term lautet:

    \[10 - (-4{,}567) = \,?\]

    Hier folgen zwei Minuszeichen aufeinander, sie werden also zu einem Plus:

    \begin{align} 10+4{,}567 & = \,? \\ 10+4{,}567 & = 14{,}567 \end{align}

    Aufgabe 4

    Subtrahiere die periodischen Dezimalzahlen voneinander:

    \[2{,}\overline{8}-5{,}\overline{34}=\,?\]

    Lösung

    1. Möglichkeit: Subtraktion mit DezimalzahlenZuerst schreibst Du die periodischen Dezimalzahlen so weit aus, wie Du rechnen möchtest. Denke daran: je mehr Nachkommastellen, desto genauer ist das Ergebnis. Nimm beispielsweise 4 Nachkommastellen:\begin{align} 2{,}\overline{8} & = 2{,}8888 \\ 5{,}\overline{34} & = 5{,}3434 \end{align}Jetzt kannst Du die Dezimalzahlen untereinander schreiben und subtrahieren. Aber Achtung: der Minuend ist kleiner als der Subtrahend. Du musst die Dezimalzahlen also vertauschen und ein Minus vor das Ergebnis setzen.\begin{array}{ccccc} &5&{,}&3&4&3&4 \\ -&2&{,}&8&8&8&8 \\[-0.2cm] &\tiny{1}&&\tiny{1}&\tiny{1}&\tiny{1}&\\ \hline -&2&{,}&4&5&4&6 \end{array}Das Ergebnis ist \(-2{,}4546\). Ob es sich hier wieder um eine periodische Dezimalzahl handelt, kannst Du allerdings nur vermuten.
    2. Möglichkeit: Subtraktion mit BrüchenGenauer geht das mit Brüchen:\begin{align} 2{,}\overline{8} & = 2+\frac{8}{9} = \frac{26}{9} = \frac{286}{99} \\[0.2cm] 5{,}\overline{34} & = 5+\frac{34}{99} = \frac{529}{99} \end{align}

      Hier musst Du die Brüche noch auf einen Nenner bringen, damit Du mit ihnen rechnen kannst. Du kannst mit \(11\) erweitern.

      \[ \frac{286}{99} - \frac{529}{99} = \frac{243}{99} = 2+ \frac{45}{99} = 2{,}\overline{45}\]Hier kannst Du nun mit Sicherheit sagen, dass die resultierende Dezimalzahl \(2{,}\overline{45}\) wieder eine periodische Dezimalzahl ist.

    Dezimalzahlen subtrahieren – Das Wichtigste auf einen Blick

    • Dezimalzahlen kannst Du entweder im Kopf oder schriftlich subtrahieren.
    • Wenn Du eine negative Dezimalzahl subtrahieren willst, werden die beiden \(-\) zu einem \(+\). Du addierst die Dezimalzahlen also.
    • Periodische Dezimalzahlen kannst Du entweder als Dezimalzahl oder als Bruch subtrahieren. Das Verfahren mit den Brüchen ist allerdings genauer.

    Nachweise

    1. Rolles, Günther (2010) Duden Basiswissen Mathematik: 5. bis 10. Klasse, 4. Aufl., Bibliographisches Institut Mannheim
    2. Mark, Zegarelli (2008) Grundlagen der Mathematik für Dummies, 1. Aufl., Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Dezimalzahlen subtrahieren

    Wie subtrahiert man zwei Dezimalzahlen? 

    Du kannst Dezimalzahlen je nach Größe und Art entweder im Kopf oder schriftlich subtrahieren. Dür das Kopfrechnen kannst Du entweder Runden oder Vor- und Nachkommastelle getrennt voneinander berechnen. Für längere Dezimalzahlen ist das schriftliche Subtrahieren aber besser geeignet. Dazu schreibst Du die Zahlen untereinander, sodass das Komma an derselben Stelle ist. Leere Nachkommastellen werden mit einer 0 aufgefüllt. Nun ziehst Du von rechts nach links jeweils die untere von der obere Zahl ab. Sollte die obere einmal kleiner sein, als die untere, so holst Du Dir einen Zehner von links.

    Wie addiert und subtrahiert man Dezimalzahlen? 

    Das Rechnen mit Dezimalzahlen funktioniert genauso wie mit natürlichen Zahlen. Du musst lediglich darauf achten, dass das Komma an seinem Platz bleibt.

    Wie subtrahiert man negative Dezimalzahlen? 

    Wenn Du eine negative Dezimalzahl subtrahieren willst, treffen zwei Minuszeichen aufeinander. Folglich werden sie zu einem Plus und Du kannst beide Dezimalzahlen addieren.

    Wie rechnet man Dezimalzahlen Minus? 

    Die Subtraktion von Dezimalzahlen funktioniert genauso wie mit ganzen Zahlen. Achte lediglich auf das Komma. Falls Du periodische Dezimalzahlen gegeben hast, kannst du entweder eine bestimmte Anzahl an Nachkommastellen ausschreiben, oder die Dezimalzahlen in Brüche umwandeln. Das Verfahren mit den Brüchen ist jedoch genauer.

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