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Reelle Zahlen

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Reelle Zahlen

Reelle Zahlen kennst du vielleicht schon aus unserem Artikel zu den Zahlenarten. In den folgenden Abschnitten wollen wir dir noch mehr Infos zu dieser Zahlenart geben.

Nach dem Lesen dieses Artikels weißt du, was reelle Zahlen sind, wofür du sie brauchst und kannst dein Verständnis anhand von Übungen testen!

Reelle Zahlen erweitern den Themenbereich Grundrechenarten und begegnen dir in der Mathematik.

Viel Spaß beim Lernen!

Was sind reelle Zahlen?

Um zu verstehen was reelle Zahlen sind, solltest du die rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen kennen. Reelle Zahlen sind nämlich einfach nur die rationalen Zahlen und irrationalen zusammen. Also die Vereinigungsmenge aus den beiden Zahlenarten.

Zur Erinnerung:

Rationale Zahlen: Q=a,b∈Z,b≠0=…,-21,-12,-11,0,11,12,21,…

Irrationale Zahlen: =R∖Q ,z.B 2, π

Mit den reellen Zahlen kannst du den kompletten Zahlenstrahl bzw. die Zahlengerade abbilden!

Gibt es Zahlen die nicht zu den reellen Zahlen gehören?

Eigentlich sind mit den reellen Zahlen die „wichtigsten“ Zahlenarten eingeschlossen. Auch wenn man sich vielleicht erstmal keine Zahl vorstellen kann, die nicht reell ist, gibt es da noch eine weitere Zahlenart.

Die komplexen Zahlen sind eine weitere Zahlenart, die dir vielleicht mal in der Uni begegnen werden. In der Schule brauchst du sie normalerweise noch nicht.

Kurzgefasst:

komplexe Zahlen sind das Ergebnis, wenn man aus einer negativen Zahl die Wurzel zieht.

Lass dich davon aber nicht abschrecken, normalerweise reichen die reellen Zahlen komplett aus.

Definition der reellen Zahlen

Reelle Zahlen lassen sich wie folgt definieren:

Reelle Zahlen: R={…,-2,-58,-11,0,23,π,…}

Nochmal zur Orientierung die Einordnung in die Zahlenarten:

N⊂N0⊂Z⊂Q⊂R⊂C

Wir betrachten hier die Zahlen die im pinken Bereich sind:

Das heißt jede rationale Zahl kann als komplexe Zahl dargestellt werden. Andersrum gilt das aber nicht, da zum Beispiel nicht jede komplexe Zahl eine rationale Zahl ist, z.B. 3 + 2 i (mit i² = -1).

In den reellen Zahlen sind also die bekanntesten Zahlenarten eingeschlossen. Einen Überblick über alle Zahlenarten mit ihren Definitionen findest du auch nochmal am Ende.

Die rationalen Zahlen auf der Zahlengerade

Dank der rationalen Zahlen ist die Zahlengerade nun vollständig ausgefüllt.

Auf der Zahlengerade werden Zahlen der Größe nach geordnet, umso kleiner die Zahl umso weiter nach links muss man gehen und für größere Zahlen weiter nach rechts.

Der komplette pinke Bereich wird durch die reellen Zahlen dargestellt – also nicht nur die Striche mit den ganzen Zahlen, sondern auch die Stellen dazwischen mit den rationalen und irrationalen Zahlen.

Untermengen der reellen Zahlen

Manchmal ist es in der Mathematik sinnvoll nur Untermengen bzw. Teilmengen einer Zahlenart zu betrachten – so auch bei den reellen Zahlen:

Untermengen ohne Null

  • Reelle Zahlen ohne Null: R*={x|x∈R,x≠0}
  • Positive reelle Zahlen: R+={x|x∈R,x>0}
  • Negative reelle Zahlen: R-={x|x∈R,x<0}

Untermengen mit Null

  • Nichtnegative ganze Zahlen: R0+=x|x∈R,x≥0
  • Nichtpositive ganze Zahlen: R0-={x|x∈R,x≤0}

Rechnen mit reellen Zahlen

Beim Rechnen mit reellen Zahlen gibt es eigentlich keine Besonderheit, du kannst dabei auch verschiedene Zahlenarten, die zu den reellen Zahlen gehören, kombinieren. Am Ende erhältst du als Ergebnis immer eine Zahl, die auch reell ist.

  • Multiplikation: 922=9

  • Division: -9,9 : -3,3=3

Übungsaufgaben zu den ganzen Zahlen

Um dein Verständnis zu den ganzen Zahlen zu vertiefen, haben wir hier noch ein paar Übungen für dich

Aufgabe: Wie lautet die Lösung zu den folgenden Rechenaufgaben?

  1. e+102
  2. 30 : (-3)
  3. 10× + 15
  4. 52×12
  5. 123 – 34

Lösung:

  1. e+102 = 5,71…
  2. 30 : (-3) = -10
  3. 10× + 15 = 36,4…
  4. 52×12 = 30
  5. 123 – 34 = 122,25

Das Wichtigste auf einen Blick!

Reelle Zahlen decken die meisten Zahlen ab, mit ihnen kann die ganze Zahlengerade abgebildet werden.

Reelle Zahlen: R={…,-2,-58,-11,0,23,π,…}

Die Zahlenarten im Überblick!

Hier hast du nochmal alle Zahlenarten im Überblick. Wenn du die reellen Zahlen jetzt schon verstanden hast, kennst du die wichtigsten Zahlenarten. Die nächste Zahlenart in unserer Liste, die komplexen Zahlen brauchst du wahrscheinlich erst im Studium.

Unser Tipp für Euch

Reelle Zahlen verstehst du am besten, wenn du die anderen darin inbegriffenen Zahlenarten kennst. Am besten schaust du dir bei Problemen dann nochmal gezielt, die anderen Zahlenarten an!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Reelle Zahlen

Zu den reellen Zahlen gehören die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und die irrationalen Zahlen. Lediglich die komplexen Zahlen gehören nicht dazu.

Eine Zahl ist nicht reell, wenn sie komplex ist, also einen Imaginärteil hat, der ungleich Null ist. In der Schule werden jedoch nur reelle Zahlen behandelt.

Ja

Ja, jede ganze Zahl ist eine reelle Zahl. 

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