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Reelle Zahlen

Stell Dir vor, Du gehst in den Supermarkt und möchtest eine Packung Schokoriegel kaufen, die \(1{,}95\,\text{€}\) kostet. Solch eine Zahl ist beispielsweise auch eine reelle Zahl. In dieser Erklärung findest Du heraus, wie die reellen Zahlen definiert sind, welches mathematische Zeichen diese Zahlenmenge hat und wann Zahlen nicht reell sind. Außerdem lernst Du die Begriffe rationale und irrationale Zahlen kennen und kannst anhand von Beispielen und Übungen trainieren, wie Du mit reellen Zahlen rechnest.

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Stell Dir vor, Du gehst in den Supermarkt und möchtest eine Packung Schokoriegel kaufen, die \(1{,}95\,\text{€}\) kostet. Solch eine Zahl ist beispielsweise auch eine reelle Zahl. In dieser Erklärung findest Du heraus, wie die reellen Zahlen definiert sind, welches mathematische Zeichen diese Zahlenmenge hat und wann Zahlen nicht reell sind. Außerdem lernst Du die Begriffe rationale und irrationale Zahlen kennen und kannst anhand von Beispielen und Übungen trainieren, wie Du mit reellen Zahlen rechnest.

Reelle Zahlen – Zahlenmengen reelle Zahlen Definition

Bestimmte Zahlen kannst Du in der Mathematik zu Zahlenmengen zusammenfassen. Darunter zum Beispiel zur Menge der natürlichen, ganzen oder reellen Zahlen. Jede Zahlenmenge enthält dabei genau definierte Zahlen.

Die folgende Abbildung zeigt Dir dabei einen kurzen Überblick über die verschiedenen Zahlenmengen.

Reelle Zahlen StudySmarterAbb. 1: Reelle Zahlen

Wenn Du mehr zur Zahlenmenge und den verschiedenen Mengen erfahren möchtest, dann schaue Dir gerne die Erklärung „Zahlenmengen“ an.

Jede nächstgrößere Zahlenmenge umfasst auch alle Zahlen in der vorherigen Zahlenmenge. So ist die Zahl \(4\) sowohl eine ganze Zahl (aus \(\mathbb{Z}\)) als auch eine natürliche Zahl (aus \(\mathbb{N}\)).

Die Menge der reellen Zahlen erweitert die Zahlenmengen um einen weiteren Zahlenbereich.

Die Zahlenmenge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) umfasst sowohl die Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) als auch die Menge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I}\).

\[\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\]

Woraus setzen sich denn die irrationalen und rationalen Zahlen zusammen?

Reelle Zahlen – Irrationale Zahlen und rationale Zahlen

Alle Zahlen in der Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) lassen sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen, sogenannte unechte Brüche. In diese Menge fallen also auch alle endlichen Dezimalzahlen (z. B. \(-3{,}42\)), aber auch periodische Dezimalzahlen (z. B. \(1{,}\overline{3}\)).

Im Artikel „Brüche und Dezimalzahlen“ kannst Du alles rund um das Thema noch einmal nachlesen.

Im Gegensatz dazu kannst Du Zahlen in der Menge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I}\) nicht als Bruch umschreiben. So haben Zahlen aus dieser Zahlenmenge eine unendliche Anzahl an Nachkommastellen, die sich nicht wiederholen (also nicht periodisch sind). Ein klassisches Beispiel für eine irrationale Zahl ist die Eulersche Zahl \(e\).

Mehr über diese beiden Zahlenmengen findest Du in den Erklärungen „Rationale Zahlen“ und „Irrationale Zahlen“.

Die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) umfasst also diese beide Zahlenmengen. Aber gibt es auch noch weitere Zahlen, die keine reellen Zahlen sind? Ja, die imaginären Zahlen zum Beispiel. Sieh Dir dazu gerne die Vertiefung an.

Nicht reelle Zahlen

Zu den nicht reellen Zahlen gehören beispielsweise einige komplexe Zahlen \(\mathbb{C}\), wenn sie einen sogenannten imaginären Teil besitzen. Komplexe Zahlen erweitern die reellen Zahlen und machen es sogar möglich, eine Wurzel von einer negativen Zahl zu ziehen.

Eine komplexe Zahl hat zwei Bestandteile:

\[z={\color{#1478c8}\overbrace{a}^{Realteil}}+{\color{#00dcb4}\underbrace{b\cdot i}_{Imaginärteil}} \hspace{1cm}a,b\in \mathbb{R}\]

Wenn Du noch mehr zum Thema erfahren möchtest, dann schau Dir gerne die Erklärung „Komplexe Zahlen“ an.

Zurück zu den reellen Zahlen. Es gibt nämlich nicht nur die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\), sondern auch noch verschiedene Teilmengen dazu.

Reelle Zahlen – Zeichen und Teilmengen

Das mathematische Zeichen für die reellen Zahlen (\(\mathbb{R}\)) hast Du bereits kennengelernt. Wird nur ein Teil dieser gesamten Menge \(\mathbb{R}\) betrachtet, so können verschiedenen Teilmengen gebildet werden.

Die nachfolgende Tabelle gibt Dir dazu einen kurzen Überblick.

Teilmenge der reellen ZahlenZeichenBedeutung
Positive reelle Zahlen\(\mathbb{R}^+\)\(\mathbb{R}^+=\{x|x \in \mathbb{R},\,x>0\}\)
Positive reelle Zahlen mit \(0\)\(\mathbb{R}^+_0\)\(\mathbb{R}^+_0=\{x|x \in \mathbb{R},\,x\geq 0\}\)
Negative reelle Zahlen\(\mathbb{R}^-\)\(\mathbb{R}^-=\{x|x \in \mathbb{R},\,x<0\}\)
Negative reelle Zahlen mit \(0\)\(\mathbb{R}^-_0\)\(\mathbb{R}^-_0=\{x|x \in \mathbb{R},\,x \leq 0\}\)
Reelle Zahlen ohne \(0\)\(\mathbb{R}^*\)\(\mathbb{R}^*=\{x|x \in \mathbb{R},\,x\neq 0\}\)

Hast Du die Zahlen, die in der Zahlenmenge enthalten sein dürfen, definiert, so kannst Du auch mit den reellen Zahlen rechnen.

Reellen Zahlen – Rechnen & Beispiele

Reelle Zahlen kannst Du zum Beispiel addieren (\(+\)), subtrahieren (\(-\)), multiplizieren (\(\cdot\)) oder auch dividieren (\(:\)).

Zu beachten sind auch hier einige Rechengesetze, wie:

  • Kommutativgesetz: \(a+b=b+a\) und \(a\cdot b=b\cdot a\)
  • Assoziativgesetz: \(a+(b+c)=(a+b)+c\) und \(a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\)
  • Distributivgesetz: \(a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c\)

Was es genau mit diesen Gesetzen auf sich hat, erfährst Du in der Erklärung „Rechengesetze“.

Sieh Dir zum Rechnen gleich das folgende Beispiel an.

Aufgabe 1

Der Flächeninhalt \(A\) eines Rechtecks beträgt \(A=2{,}37\,cm^2\). Ermittle die Seitenlänge \(a\) mit drei Nachkommastellen, wenn die Seite \(b\) mit einer Länge von \(b=\dfrac{13}{14}\,cm\) angegeben ist.

Tipp: Der Flächeninhalt \(A\) eines Rechtecks berechnet sich aus: \(A=a\cdot b\).

Lösung

Zunächst werden die gegebenen Zahlen in die Formel für den Flächeninhalt \(A\) eingesetzt.

\begin{align}A&=a\cdot b\\[0.1cm]2{,}37\,cm^2&=a\cdot \dfrac{13}{14}\,cm \end{align}

Anschließend kann der Bruch dividiert werden, indem der Kehrwert multipliziert wird. Hierbei werden der Einfachheit halber die Einheiten beim Rechnen weggelassen.

\begin{align}2{,}37&=a\cdot \dfrac{13}{14} \hspace{1cm}|\,\cdot \dfrac{14}{13}\\[0.1cm]2{,}37 \cdot \dfrac{14}{13}&=a\end{align}

Durch Umformung der Dezimalzahl ergibt sich:

\begin{align}2{,}37 \cdot \dfrac{14}{13}&=a\\[0.2cm]\dfrac{237}{100} \cdot \dfrac{14}{13}&=a\\[0.2cm]\dfrac{3\,318}{1\,300}&=a \\[0.2cm]2{,}552&\approx a\end{align}

Nach der Umrechnung des Bruchs in eine Dezimalzahl ergibt sich für \(a\) eine Länge von \(a\approx2{,}552\,cm\).

Mit reellen Zahlen kannst Du neben den Grundrechenarten natürlich auch noch weitere Rechnungen durchführen, wie etwa das Radizieren oder Potenzieren.

Hast Du Lust, direkt noch ein paar Übungsaufgaben zum Thema reelle Zahlen zu meistern? Dann los!

Reelle Zahlen – Übungen

Anwendungsaufgabe 1

Für eine Funktion \(f(x)\) soll ein Funktionsgraph gezeichnet werden, für den nur positive \(x\)-Werte einschließlich der Null relevant sein sollen. Welche der folgenden Teilmengen von \(\mathbb{R}\) würde als Definitionsmenge passen?

\begin{align}a)\,\, \mathbb{D}&=\mathbb{R}\\[0.1cm]b)\,\,\mathbb{D}&=\mathbb{R}^+\\[0.1cm]c)\,\, \mathbb{D}&=\mathbb{R}^+_0\end{align}

Lösung

Richtige Antwort: \(c)\,\, \mathbb{D}=\mathbb{R}^+_0\)

Da nur positive \(x\)-Werte für den Funktionsgraph betrachtet werden, kann a) ausgeschlossen werden, da dort auch alle negativen Zahlen enthalten sind.

Die Antworten b) und c) unterscheiden sich lediglich dahingehend, ob die Zahl \(0\) inbegriffen ist oder nicht. Die korrekte Antwort ist hier c), da dort nur positive Zahlen einschließlich der Null enthalten sind.

Anwendungsaufgabe 2

Kreuze an, welche Aussagen richtig und falsch sind.

AussageRichtigFalsch
\(\pi \in \mathbb{Q}\)
\(e \in \mathbb{I}\)
\(\frac{5}{4} \in \mathbb{R}\)
\( 0{,}\bar{6} \in \mathbb{I}\)

Lösung

Hier siehst Du, ob Du die Kreuze richtig gesetzt hast.
AussageRichtigFalsch
\(\pi \in \mathbb{Q}\)X
\(e \in \mathbb{I}\)X
\(\dfrac{5}{4} \in \mathbb{R}\)X
\( 0{,}\bar{6} \in \mathbb{I}\)X

In den zugehörigen Karteikarten findest Du noch weitere Übungsaufgaben!

Reelle Zahlen – Das Wichtigste

  • Die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) umfasst die Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\) und die Menge der irrationalen Zahlen \(\mathbb{I}\):\[\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\]
  • Rationale Zahlen (aus \(\mathbb{Q}\)) lassen sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen und sind somit unechte Brüche. Darunter fallen auch endliche und periodische Dezimalzahlen.
  • Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können und unendliche viele nicht periodische Nachkommastellen besitzen, fallen unter die irrationalen Zahlen (aus \(\mathbb{I}\)).
  • Aus der Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) lassen sich verschiedene Teilmengen bilden:
    Teilmenge der reellen ZahlenZeichenBedeutung
    Positive reelle Zahlen\(\mathbb{R}^+\)\(\mathbb{R}^+=\{x|x \in \mathbb{R},\,x>0\}\)
    Positive reelle Zahlen mit \(0\)\(\mathbb{R}^+_0\)\(\mathbb{R}^+_0=\{x|x \in \mathbb{R},\,x\geq 0\}\)
    Negative reelle Zahlen\(\mathbb{R}^-\)\(\mathbb{R}^-=\{x|x \in \mathbb{R},\,x<0\}\)
    Negative reelle Zahlen mit \(0\)\(\mathbb{R}^-_0\)\(\mathbb{R}^-_0=\{x|x \in \mathbb{R},\,x \leq 0\}\)
    Reelle Zahlen ohne \(0\)\(\mathbb{R}^*\)\(\mathbb{R}^*=\{x|x \in \mathbb{R},\,x\neq 0\}\)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Reelle Zahlen

Die Menge der reellen Zahlen umfasst die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen. Somit sind auch alle natürlichen und ganzen Zahlen eingeschlossen. 

Zu den nicht reellen Zahlen gehören beispielsweise einige komplexe Zahlen, wenn sie einen sogenannten imaginären Teil besitzen. Diese Zahlen lassen sich nicht auf einer Zahlengeraden darstellen. 

Die Menge der reellen Zahlen umfasst auch die Zahl Null. In verschiedenen Teilmengen der reellen Zahlen kann die Null jedoch ausgenommen werden. 

Ja, jede ganze Zahl ist auch eine reelle Zahl. 

Teste dein Wissen mit Multiple-Choice-Karteikarten

Nenne das Zeichen für eine reelle Zahl.

Nenne das Zeichen für eine irrationale Zahl.

Nenne das Zeichen für eine rationale Zahl.

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