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In diesem Artikel erkläre ich dir alles, was du zum Thema Vorrangregeln wissen musst und wie du diese korrekt anwendest. Dieser Beitrag ordnet sich thematisch den Rechengesetzen im Fach Mathematik ein.
Um verstehen zu können, wie man die Vorrangregeln richtig anwendet, muss vorher geklärt werden, was diese grundsätzlich besagen.
Unter einer Vorrangregel versteht man in der Mathematik das Ausführen von mathematischen Operationen in einer bestimmten Reihenfolge. Anders ausgedrückt heißt dies, dass Teile einer komplexen Rechnung vor anderen durchgeführt werden müssen. Das folgende Beispiel soll Klarheit darüber schaffen, wie solche Vorrangregeln in der Mathematik aussehen.
Nehmen wir als Beispiel folgende Gleichung:
(6 – 4) * 3 – 2 = ?
Nun, wenn du dir diese Gleichung anschaust, fragst du dich bestimmt, wie genau rechne ich diese richtig aus? Muss ich zuerst die Zahlen in der Klammer ausrechen, oder doch zuerst die Zahlen nach der Multiplikation?
Um den korrekten Ablauf einer solchen Rechnung verstehen zu können, werden folgende drei Rechengesetze angewandt:
Es gibt grundsätzlich vier verschiedene mathematische Symbole, welche bei den Vorrangregeln eine essentielle Rolle spielen, nämlich:
Klammer, Potenz, Punktoperator, Strichoperator.
Konkret heißt dies, dass wenn man eine Gleichung auflösen möchte, muss man Schritt für Schritt zuerst die Klammern, dann die Potenzen, gefolgt von den Punktoperatoren und zu guter Letzt die Strichoperatoren ausrechnen.
Wenn du dir die häufig auftretende Frage stellst, ob zuerst Klammern oder Potenzen ausgerechnet werden, dann helfe ich dir im nächsten kurzen Abschnitt weiter.
Um diese Frage beantworten zu können, ist es sehr wichtig zu wissen, dass Potenzen meistens eine Klammer umschließen und folglich erst ausgerechnet werden können, nachdem der Inhalt der Klammer ausgerechnet bzw. vereinfacht wurde. Hier ein kurzes Beispiel:
(6 - 1 - 2 + 3)² = ?
Wie gerade erklärt, rechnet man zuerst den Inhalt der Klammer auf und lässt die Potenz im ersten Schritt so bestehen:
(6)² = ?
Nachdem der Inhalt der Klammer ausgerechnet wurde, kann ich mich der Potenz zuwenden. Man muss den Inhalt der Klammer nun quadrieren bzw. mit sich selbst multiplizieren, um zum korrekten Ergebnis zu kommen:
6 * 6 = 36
Um nun verstehen zu können, wie genau eine Gleichung mit Potenzen, Klammern, Strichoperatoren und Punktoperatoren richtig gelöst werden kann, werde ich dir die Vorrangregeln Schritt für Schritt mithilfe verschiedenster Beispiele erklären.
Die Klammern in einer Gleichung müssen immer als Erstes ausgerechnet werden. Eine Klammer sagt grundsätzlich aus, dass unabhängig von deren Position, diese unbedingt den ersten Schritt beim Auflösen einer Gleichung darstellen muss.
Es gibt drei verschiedene Ausprägungsformen von Klammern:
Hierbei muss erwähnt werden, dass die Voraussetzung der Verwendung dieser Klammern wie folgt aussieht:
Es wird also nicht, wie standardmäßig von links nach rechts gerechnet, sondern von innen nach außen. Die innerste Klammer stellt hierbei die runde Klammer dar und die äußerste die geschwungene Klammer. Hier ist die Verschachtelung der Klammern nochmals grafisch dargestellt.
{ [ ( ) ] }
Die Beispielsaufgabe lautet:
{ 6 + [ 3 – 2 + ( 2 + 6) – 2 ] +3} = ?
Um diese Aufgabe zu lösen, folgen wir unserem Schema, nämlich die Klammern von innen nach außen lösen, also zuerst die runden Klammern, dann die Eckigen und zum Schluss die geschwungenen.
Als erstes schreiben wir uns die Rechnung nochmals hin und markieren den Teil, welcher zuerst gerechnet werden muss, also den Term innerhalb der runden Klammern.
{ 6 + [ 3 – 2 + ( 2 + 6) – 2 ] +3} = ?
Nun rechnen wir die runde Klammer aus und schreiben den Rest der Rechnung ab. Nachdem eine Klammer fertig aufgelöst wurde, verschwindet diese.
{ 6 + [ 3 – 2 + 8 – 2 ] +3} = ?
Der zweite Schritt besagt, die eckige Klammer auszurechnen und den Rest der Gleichung abzuschreiben.
{ 6 + [ 3 – 2 + 8 – 2 ] +3} = ?
{ 6 + 7 +3} = ?
Um das Ergebnis der Gleichung zu erhalten, müssen wir als letztes noch die geschwungene Klammer auflösen.
{ 6 + 7 +3} = ?
{ 6 + 7 +3} = 16
Nachdem wir geklärt haben, wie man Klammern in der Richtigen Reihenfolge ausrechnet, gehen wir über zu den Punktoperatoren.
Eine Potenz, auch Hochzahl genannt, wird immer nach der Klammer bzw. vor Punkt- und Strichoperatoren ausgerechnet. Eine Potenz hat die Funktion, entweder eine Zahl oder den Inhalt einer Klammer mit sich selbst zu multiplizieren. Nun zeige ich dir, wie dies konkret aussieht:
Nehmen wir an, wir haben eine einfache runde Klammer mit drei Zahlen als Inhalt zum Quadrat (hoch 2 oder "²") gegeben, dann rechnet man wie folgt:
(6 - 2 + 1)² = ?
Man rechnet das innere der Klammer zuerst aus und quadriert das Ergebnis im Anschluss aus beziehungsweise multipliziert den Inhalt der Klammer mit sich selbst:
(5)² = 5 * 5 = 25
Die Punktoperatoren stehen an zweiter Stelle beim Auflösen einer Gleichung, direkt nach den Klammern.
Befindet sich ein Punktoperator innerhalb einer Klammer, wird dieser vor dem + oder – gerechnet, denn die allgemeine Rechenregel besagt „Punkt vor Strich“, beide Punktoperatoren „ : “ und „ * “ werden somit vor „ - “ und „ + “ gerechnet.
Die Beispielsaufgabe lautet:
6 – 4 * 5 + 2 = ?
Um diese Aufgabe zu lösen, folgen wir unserem Schema, nämlich dass Punktoperatoren vor Strichoperatoren gerechnet werden müssen.
Als erstes schreiben wir die gesamte Gleichung ab und markieren die Zahlen, welche durch einen Punktoperator verbunden sind.
6 – 4 * 5 + 2 = ?
Nun rechnen wir den markierten Teil aus und schreiben den Rest der Gleichung ab.
6 – 20 + 2 = ?
Als letztes wird die übrige Gleichung ganz einfach aufgelöst, wobei es zur Gänze dir überlassen wird, ob zuerst addiert oder subtrahiert wird.
6 – 20 + 2 = -12
Um nun eine Gleichung mit allen Operatoren korrekt auszurechnen, bedienen wir uns folgendem Beispiel:
Die Beispielsaufgabe lautet:
{ 6 * 3 – [ 3 +2 * (6 – 2) +2 ]² -1 } = ?
Als ersten Schritt markieren wir erneut den Bereich, welchen wir als erstes ausrechnen, nämlich die runde Klammer und rechnen diesen Bereich aus, wobei Punktoperatoren vor Strichoperatoren ausgerechnet werden müssen:
{ 6 * 3 – [ 3 +2 * (6 – 2) +2 ]² -1 } = ?
{ 6 * 3 – [ 3 +2 * 4 +2 ]² -1 } = ?
Der zweite Schritt besagt, die eckige Klammer aufzulösen, wobei erneut Punkt vor Strich gilt.
{ 6 * 3 – [ 3 +2 * 4 +2 ]² -1 } = ?
{ 6 * 3 – [ 3 +8 +2 ]² -1 } = ?
{ 6 * 3 – [13]² -1 } = ?
Nun müssen wir uns um die Potenz der eckigen Klammer kümmern, indem wir den Inhalt dieser Klammer mit sich selbst multiplizieren.
{ 6 * 3 – [13 * 13] -1 } = ?
{ 6 * 3 – 169 -1 } = ?
Als letztes muss nur mehr die geschwungene Klammer korrekt gelöst werden. Pass auch hier auf, dass du zuerst die Punktoperatoren ausrechnest und erst nachher die Strichoperatoren.
{ 6 * 3 – 169-1 } = ?
{ 18 – 169-1 } = ?
{ 18 – 169-1 } = -152
Sollte eine Zahl außerhalb aller Klammer stehen, dann wird diese ganz zum Schluss, nachdem die geschwungen aufgelöst wurde, mitgerechnet.
Ebenso wenn es z. B. mehrere runde Klammern innerhalb einer Gleichung gibt, müssen all diese als erstes ausgerechnet werden und erst danach kann zu den eckigen Klammern übergegangen werden.
Hier noch eine kurze Zusammenfassung aller Schritte, welche du beim Auflösen von Gleichungen benötigst.
Unter einer Rechenregel versteht man in der Mathematik ein Gesetz, welches befolgt werden muss, um eine Rechnung korrekt ausrechnen zu können, eine davon stellen die sogenannten Vorrangregeln auf.
Nehmen wir an, wir haben eine einfache runde Klammer mit drei Zahlen als Inhalt zum Quadrat (hoch 2 oder "²") gegeben, dann rechnet man wie folgt:
Rechne das innere der Klammer zuerst aus und quadriere das Ergebnis im Anschluss aus beziehungsweise multipliziere den Inhalt der Klammer mit sich selbst:
(6 - 2 + 1)² = ? (5)² = 25
Um diese Frage beantworten zu können, ist es sehr wichtig zu wissen, dass Potenzen meistens eine Klammer umschließen und folglich erst ausgerechnet werden können, nachdem der Inhalt der Klammer ausgerechnet bzw. vereinfacht wurde. Hier ein kurzes Beispiel:
(6 - 1 - 2 + 3)² = ? (6)² = 36
Die Vorrangregeln besagen, dass wenn man eine Gleichung auflösen möchte, Schritt für Schritt zuerst die Klammern, dann die Potenzen, gefolgt von den Punktoperatoren und zu guter Letzt die Strichoperatoren ausrechnen muss.
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