Du vergleichst Deine Hausaufgaben mit Deinen Freunden und Euch fällt auf, dass ihr unterschiedliche Ergebnisse habt.
Die Aufgabe lautete
\[23\cdot 3+\left(19-5\right)^{2}\]
Eure Ergebnisse sind 63, 265 und 405.
Ihr habt unterschiedliche Rechenwege und ein paar von Euch scheinen in einer anderen Reihenfolge vorgegangen zu sein.
In dieser Erklärung lernst Du, an welche Reihenfolge Du Dich bei Termumformungen halten solltest.
Rechengesetze Terme – Erklärung
Beim Rechnen mit Termen gibt es einige Regeln, die es zu beachten gilt.
Klammern kannst Du auflösen, indem Du diese ausmultiplizierst. Dabei gilt
\[a\cdot (b+c)=a\cdot b + a\cdot c\]
\[a\cdot (b-c)=a\cdot b - a\cdot c\]
\[ (a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d \]
Hat Dein Term mehrere, verschachtelte Klammern, löst Du diese von innen nach außen auf.
Kommen Potenzen vor, kannst Du die Potenzgesetze anwenden.
Potenzgesetze
1. Gleiche Basis
\[a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}\]
\[a^{n}: a^{m}=a^{n-m}\]
2. Gleicher Exponent
\[a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}\]
\[a^{n}:b^{n}=(a:b)^{n}\]
3. Klammern
\[(a^{n})^{m}=a^{n\cdot m}\]
Eine Regel, die Dir außerdem bekannt sein sollte, ist die Punkt-vor-Strich-Regel.
Das Punkt-vor-Strich-Prinzip besagt, dass zuerst alle Punktaufgaben (Multiplikation und Division) gelöst werden müssen, bevor man die Strichaufgaben (Addition und Subtraktion) löst.
Für diese Regeln gibt es eine bestimmte Reihenfolge, in welcher sie abzuarbeiten sind.
Vorrangregeln Terme – Rationale Zahlen
Die Rechengesetze selber geben Dir beim Rechnen mit rationalen Zahlen vor, wie Du in bestimmten Fällen verfahren sollst, um den Term weiter aufzulösen.
Häufig finden in Termen mehrere Rechengesetze Anwendung. Dann ist es wichtig, dass Du weißt, in welcher Reihenfolge diese abgearbeitet werden.
Die Vorrangregeln geben vor, in welcher Reihenfolge die Rechenoperationen durchgeführt werden sollen.
1. Klammern auflösen
2. Potenzen berechnen
3. Punkt vor Strich
4. Addition und Subtraktion
Natürlich kann es auch sein, dass Dein Term nicht immer Klammern oder Potenzen besitzt. Dann kannst Du den entsprechenden Schritt natürlich weglassen.
Wenn Du Dich an diese Schritt-für-Schritt-Anleitung hältst, liefert Deine Rechnung das richtige Ergebnis.
Berechne die Aufgabe aus der Einleitung und halte Dich dabei an die vorgegebene Reihenfolge der Rechenregeln.
\[23\cdot 3+\left(19-5\right)^{2}\]
1. Klammern auflösen
\begin{align}23\cdot 3+{\color{#1478c8}\left(19-5\right)}^{2}&=23\cdot 3+{\color{#1478c8}14}^{2}\\\end{align}
2. Potenzen berechnen
\begin{align}23\cdot 3+{\color{#00dcb4}14^{2}}&=23\cdot 3+{\color{#00dcb4}196}\end{align}
3. Punktrechnung
\begin{align}{\color{#fa3273}23\cdot 3}+196&={\color{#fa3273}69}+196\end{align}
4. Strichrechnung
\begin{align}{\color{#8362e2}69+196}={\color{#8363e2}265}\end{align}
Das korrekte Ergebnis der Rechnung ist also 265.
Die anderen Ergebnisse sind dadurch entstanden, dass sich nicht an die korrekte Reihenfolge bei der Berechnung des Terms gehalten wurde.
Bei der Anwendung der verschiedenen Rechenregeln kannst Du ein paar Sonderfälle unterscheiden.
Vorrangregeln – Klammern
Die Klammern haben beim Auflösen von Termen oberste Priorität.
Es können mehrere Klammern in einem Term vorkommen und diese können sich verschachteln.
Den Term
\[5+(2\cdot 7)-\left[\frac{1}{2}\cdot \left(9+3\right)\right]\]
löst Du auf, indem Du zunächst die innere Klammer berechnest und somit auflöst.
\[5+(2\cdot 7)-\left[\frac{1}{2}\cdot {\color{#1478c8}\left(9+3\right)}\right]=5+(2\cdot 7)-\left[\frac{1}{2}\cdot {\color{#1478c8}12}\right]\]
Anschließend kannst Du die restlichen Klammern berechnen, um dann mit Punkt- und Strichrechnung die Lösung des Terms zu ermitteln.
\begin{align}5+(2\cdot 7)-\left[\frac{1}{2}\cdot 12\right]&=5+14-6\\&=5+8\\&=13\end{align}
In Verbindung mit Klammern tauchen auch häufig Potenzen in Termen auf.
Vorrangregeln – Potenzen
Kommen Potenzen in einem Term vor, werden diese berechnet, sobald Du die Klammern (insofern sie im Term vorkommen) aufgelöst hast.
\[(17-7)^{2}+4\cdot5^{2}\]
Löse zunächst die Klammer auf.
\[{\color{#1478c8}(17-7)}^{2}+4\cdot5^{2}={\color{#1478c8}10}^{2}+4\cdot5^{2}\]
Berechne dann die Potenzen.
\[{\color{#00dcb4}10^{2}}+4\cdot {\color{#00dcb4}5^{2}}={\color{#00dcb4}100}+4\cdot {\color{#00dcb4}25}\]
Anschließend kannst Du die Multiplikation durchführen, um dann zu addieren.
\begin{align}100+4\cdot 25&=100+100\\&=200\end{align}
Sind Klammern und Potenzen aufgelöst, kannst Du mit der Berechnung von Multiplikation und Division fortfahren und Dich anschließend Addition und Subtraktion widmen.
Vorrangregeln Mathe – Übungen
Teste Dein Wissen gleich an ein paar Übungsaufgaben zum Thema Vorrangregeln.
Aufgabe 1
Berechne den Wert des folgenden Termes, indem Du die Vorrangregeln anwendest.
\[3\cdot \left(8-4\right)^{2}+9\]
Lösung
Löse zunächst die Klammer auf.
\[3\cdot \left(8-4\right)^{2}+9=3 \cdot{\color{#1478c8}4}^{2}+9\]
Berechne anschließend die Potenz.
\[3 \cdot4^{2}+9=3\cdot {\color{#1478c8}16}+9\]
Jetzt kannst Du die Punktrechnung (in diesem Fall die Multiplikation) durchführen.
\[3\cdot 16+9={\color{#1478c8}48}+9\]
Zum Schluss addierst Du noch die beiden Summanden und erhältst das Ergebnis.
\[48+9={\color{#1478c8}57}\]
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