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Gemischte Zahlen

Gemischte Zahlen

Stell Dir vor, Du hast zwei Pizzen, welche jeweils in \(8\) Stücke geteilt sind. Jetzt isst Du ein Stück der einen Pizza. Insgesamt hast Du dann eine ganze Pizza und \(\frac{7}{8}\) der anderen Pizza übrig.

Diese Darstellung der Anzahl der Pizzastücke heißt gemischte Zahl. Wie Du gemischte Zahlen umwandelst und gemischte Zahlen multiplizierst und addierst, erfährst Du in dieser Erklärung.

Gemischte Zahlen Definition

Gemischte Zahlen bestehen aus zwei verschiedenen Darstellungsarten von Zahlen. Eine andere Darstellungsart von gemischten Zahlen sind die unechten Brüche.

Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

Die Schreibweise heißt gemischte Schreibweise, wobei die Zahl \(n\) plus den Bruch \(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\) gerechnet wird. Das Plus wird dabei nicht mit geschrieben.

Es gilt:

\[n+\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = n\,\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]

„Gesprochen wird: \(n\) Ganze und \(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\).“

Am besten stellst Du Dir gemischte Zahlen als Pizzen vor. Eine ganze Zahl ist dabei eine ganze Pizza. Der Bruch stellt eine bereits angefangene Pizza dar. Bei dieser fehlen schon Stücke, deshalb kannst Du sie nicht als eine ganze Pizza darstellen.

Gemischte Zahlen Gemischte Zahlen darstellen StudySmarterAbb. 1 - gemischte Zahl darstellen

Wenn Du ein Stück von zwei Pizzen isst, hast Du anschließend noch \[1\,\frac{7}{8}\] Pizzen.

Du sprichst dann: eine ganze Pizza und sieben Achtel.

Gemischte Zahlen umwandeln

Damit Du mit den gemischten Zahlen rechnen kannst, solltest Du sie umwandeln können. Du kannst einerseits Brüche in gemischte Zahlen umwandeln. Andererseits auch gemischte Zahlen in Brüche umwandeln. Wie Du dies machst, erfährst Du jetzt.

Brüche in gemischte Zahlen umwandeln

Beim Umwandeln von Brüchen in gemischte Zahlen musst Du ein paar Dinge beachten. Die wichtigste Voraussetzung ist, dass es sich bei dem Bruch um einen unechten Bruch handelt.

Mit dem unechten Bruch gehst Du beim Umschreiben in eine gemischte Zahl folgendermaßen vor:
  1. Forme den Zähler des Bruches in eine Summe um, deren erster Summand ohne Rest vom Nenner geteilt werden kann.
  2. Ziehe den Bruch auseinander.
  3. Wandle den ersten Bruch in eine ganze Zahl um und kürze gegebenenfalls den zweiten Bruch.

Du solltest einen unechten Bruch erkennen, echte Brüche kannst Du nämlich nicht in gemischte Zahlen umwandeln.

In der Erklärung „Brucharten“ erfährst Du, was einen unechten Bruch ausmacht und wie Du diesen erkennst.

Aufgabe 1

Wandle den unechten Bruch \(\frac{7}{3}\) in eine gemischte Zahl um.

Lösung

1. Schritt:

Als Erstes formst Du den Zähler des Bruches in eine Summe um. Dafür fragst Du Dich, welche Zahlen werden durch \(3\) geteilt und sind kleiner als \(7\). Dann berechnest Du den fehlenden Rest von der \(7\) zur \(6\).

\[\frac{6+1}{3}\]

2. Schritt:

Jetzt schreibst Du beide Teile des Bruches einzeln auf.

\[\frac{6}{3}+\frac{1}{3}\]

3. Schritt:

Zum Schluss schreibst Du den ersten Bruch um.

\[2+\frac{1}{3}=2\,\frac{1}{3}\]

Gemischte Zahlen in Brüche umwandeln

Andersherum kannst Du auch gemischte Zahlen in unechte Brüche umschreiben.

Eine gemischte Zahl ist die Summe einer ganzen Zahl und einem Bruch. Das Pluszeichen wird beim Schreiben der gemischten Zahl weggelassen, das heißt, wenn Du eine gemischte Zahle in einen Bruch umschreiben möchtest, addierst Du die ganze Zahl mit dem Bruch.

  1. Schreibe die ganze Zahl in einen Bruch um. Nutze den Nenner des Bruches in der gemischten Zahl.
  2. Addiere die beiden Brüche und kürze, wenn nötig.

Oftmals musst Du gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln, damit Du damit rechnen kannst. Diese Umwandlung solltest Du also gut beherrschen.

Aufgabe 2

Wandle die gemischte Zahl \(4\,\frac{2}{5}\) in einen unechten Bruch um.

Lösung

1. Schritt:

Als Erstes schreibst Du die ganze Zahl in einen Bruch um. Als Nenner nimmst Du den des Bruches der gemischten Zahl.

\[4=\frac{4\cdot 5}{5}=\frac{20}{5}\]

Wenn Dir diese Umformung Probleme bereitet, lies einmal in der Erklärung „Bruchrechnung“ nach.

2. Schritt:

Anschließend addierst Du die beiden Brüche.

\[\frac{20}{5}+\frac{2}{5}=\frac{22}{5}\]

Gemischte Zahlen – Rechnen

Du kannst mit gemischten Zahlen genauso rechnen wie mit ganzen Zahlen, Brüchen oder Dezimalzahlen. Einige Dinge musst Du dennoch beachten. Wie Du mit den gemischten Zahlen die Grundrechenarten durchführst, erfährst Du jetzt.

Gemischte Zahlen addieren und subtrahieren

Das Addieren und Subtrahieren sind gegensätzliche Rechenarten. Beim Addieren kommt etwas dazu und beim Subtrahieren wird etwas weniger.

Das Prinzip ist beim Addieren und beim Subtrahieren von gemischten Zahlen das Gleiche.

  1. Addiere/Subtrahiere die ganzen Zahlen der gemischten Zahl.
  2. Addiere/Subtrahiere die Brüche der gemischten Zahl und kürze gegebenenfalls. Beachte dabei, dass die Brüche denselben Nenner haben müssen. Wenn dies nicht der Fall ist, musst Du die Brüche erst auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
  3. Zum Schluss addierst Du die ganze Zahl und den Bruch.

Du kannst auch die gemischten Brüche in unechte Brüche umschreiben und diese dann addieren/subtrahieren und sie zum Schluss wieder umwandeln.

Wann das Umschreiben sinnvoller ist, musst Du selbst entscheiden. Besonders bei Aufgaben, bei denen der Bruch des Subtrahend größer ist als der Bruch des Minuenden, ist es meist sinnvoll.

Aufgabe 3

Addiere die beiden gemischten Zahlen \(2\,\frac{2}{3}\) und \(1\,\frac{4}{5}\).

Lösung

1. Schritt:

Als Erstes addierst Du die ganzen Zahlen.

\[2+1=3\]

2. Schritt:

Danach addierst Du die Brüche. Beachte, dass Du hier die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitern musst.

\[\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\frac{10}{15}+\frac{12}{15}=\frac{10+12}{15}=\frac{22}{15}\]

Jetzt wandelst Du den Bruch noch in eine gemischte Zahl um.

\[\frac{15+7}{15}=\frac{15}{15}+\frac{7}{15}=1+\frac{7}{15}\]

3. Schritt:

Zum Schluss addierst Du alles.

\[3+1+\frac{7}{15}=4\,\frac{7}{15}\]

Nachdem Du jetzt gemischte Zahlen addiert hast, solltest Du auch noch einmal gemischte Zahlen subtrahieren.

Aufgabe 4

Subtrahiere die Zahl \(1\,\frac{1}{2}\) von \(5\,\frac{4}{5}\).

Lösung

1. Schritt:

Als Erstes subtrahierst Du die ganzen Zahlen.

\[5-1=4\]

2. Schritt:

Jetzt subtrahierst Du die Brüche. Dafür musst Du zunächst die Brüche auf einen Nenner erweitern.

\[\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{8}{10}-\frac{5}{10}=\frac{8-5}{10}=\frac{3}{10}\]

3. Schritt:

Zum Schluss addierst Du die ganze Zahl und den Bruch.

\[4+\frac{3}{10}=4\,\frac{3}{10}\]

Gemischte Zahlen multiplizieren und dividieren

Gemischte Zahlen kannst Du nicht als gemischte Zahlen multiplizieren oder dividieren.

Um gemischte Zahlen zu multiplizieren oder zu dividieren, musst Du sie in Brüche umwandeln.

Wie Du Brüche multiplizierst und dividierst, erfährst Du in den Erklärungen „Brüche multiplizieren“ und „Brüche dividieren“.

Gemischte Zahlen Beispiele

Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 5

Wandle die folgenden gemischten Zahlen in Brüche um.

a) \(3\,\frac{4}{5}\)

b) \(1\,\frac{1}{7}\)

c) \(2\,\frac{2}{3}\)

Wandle die folgenden Brüche in gemischte Zahlen um.

d) \(\frac{5}{3}\)

e) \(\frac{9}{4}\)

f) \(\frac{6}{2}\)

Lösung

a)\[3\,\frac{4}{5} = 3+\frac{4}{5}=\frac{15}{5}+\frac{4}{5}=\frac{19}{5} \]

b) \[1\,\frac{1}{7}=1+\frac{1}{7}=\frac{7}{7}+\frac{1}{7}=\frac{8}{7}\]

c) \[2\,\frac{2}{3}=2+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\]

d) \[\frac{5}{3}=\frac{3+2}{3}=1+\frac{2}{3}=1\,\frac{2}{3} \]

e) \[\frac{9}{4}=\frac{8+1}{4}=2+\frac{1}{4}=2\,\frac{1}{4} \]

f) \[\frac{6}{2}=3\]

Aufgabe 6

Berechne die Lösung.

a) \(2\,\frac{1}{6}+4\,\frac{3}{7}+1\,\frac{1}{2}\)

b) \(4\,\frac{3}{7}-2\,\frac{1}{7}\)

c) \(1\,\frac{6}{7}+\frac{4}{7}-2\frac{1}{3}\)

d) \(3\,\frac{3}{20}+\frac{4}{5}-2\,\frac{3}{4}\)

Lösung

a) \begin{align} 2\,\frac{1}{6}+4\,\frac{3}{7}+1\,\frac{1}{2}&=2+4+1+\left(\frac{1}{6}+\frac{3}{7}+\frac{1}{2}\right) \\[0.2cm] &=7+\left(\frac{7}{42}+\frac{18}{42}+\frac{21}{42}\right)=7+\frac{46}{42} \\[0.2cm] &=7+1+\frac{4}{42}=8\,\frac{2}{21}\end{align}

b) \begin{align}4\,\frac{3}{7}-2\,\frac{1}{7}&=4-2+\left(\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\right) \\[0.2cm] &=2+\frac{2}{7}=2\,\frac{2}{7}\end{align}

c) \begin{align}1\,\frac{6}{7}+\frac{4}{7}-2\frac{1}{3}&=1+\left(\frac{6}{7}+\frac{4}{7}\right)-2\,\frac{1}{3} \\[0.2cm]&=1+\frac{10}{7}-2\,\frac{1}{3}=1+1+\frac{3}{7}-2\frac{1}{3} \\[0.2cm]&=1+1-2\left(\frac{3}{7}-\frac{1}{3}\right)=\frac{9}{21}-\frac{7}{21}=\frac{2}{21}\end{align}

d) \begin{align}3\,\frac{3}{20}+\frac{4}{5}-2\,\frac{3}{4}&=3+\left(\frac{3}{20}+\frac{4}{5}\right)-2\,\frac{3}{4} \\[0.2cm] &=3+\left(\frac{3}{20}+\frac{16}{20}\right)-2\,\frac{3}{4}=3+\frac{19}{20}-2\,\frac{3}{4} \\[0.2cm] &=3-2+\left(\frac{19}{20}-\frac{3}{4}\right)=1+\left(\frac{19}{20}-\frac{15}{20}\right) \\[0.2cm] &=1+\frac{4}{20}=1+\frac{1}{5}=1\,\frac{1}{5} \end{align}

Gemischte Zahlen – Das Wichtigste

  • Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

    Die Schreibweise heißt gemischte Schreibweise, wobei die Zahl \(n\) plus den Bruch \(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\) gerechnet wird. Das Plus wird dabei nicht mit geschrieben.

    Es gilt:

    \[n+\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = n\,\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]

  • Wenn Du einen Bruch in eine gemischte Zahl umschreiben möchtest, musst Du einen unechten Bruch haben.

    1. Forme den Zähler des Bruches in eine Summe um, wo der erste Summand ohne Rest von dem Nenner geteilt werden kann. Schreibe die Summe in den Zähler.

    2. Ziehe den Bruch auseinander.

    3. Wandle den ersten Bruch in eine ganze Zahl um und kürze gegebenenfalls den zweiten Bruch.

  • Wenn Du eine gemischte Zahle in einen Bruch umschreiben möchtest, addierst Du die ganze Zahl mit dem Bruch.

    1. Schreibe die ganze Zahl in einen Bruch um. Nutze den Nenner des Bruches in der gemischten Zahl.

    2. Addiere die beiden Brüche und kürze, wenn nötig.

  • Das Prinzip ist beim Addieren und beim Subtrahieren von gemischten Zahlen das Gleiche. Du addierst/subtrahierst erst die ganzen Zahlen und anschließend die Brüche. Zum Schluss setzt Du die ganze Zahl und den Bruch wieder zusammen.

  • Um gemischte Zahlen zu multiplizieren oder zu dividieren, musst Du sie in Brüche umwandeln.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gemischte Zahlen

Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht. Eine gemischte Zahl ist eine andere Schreibweise eines unechten Bruchs. Ein Beispiel: 1 1/2

Bei einer gemischten Zahl stehen immer eine ganze Zahl und ein Bruch zusammen. Dabei wird kein Pluszeichen zwischen den beiden benötigt, obwohl es sich um eine Addition handelt. Ein Beispiel: 4 2/3

Dazu musst Du zunächst den Zähler des Bruches in eine Summe aufteilen, bei der der erste Summand restlos durch die Zahl im Nenner geteilt werden kann. Dann teilst Du den Bruch in eine Summe aus zwei Brüchen auf. Den ersten Bruch kannst Du dann in eine ganze Zahl umwandeln. 

Um gemischte Brüche zu subtrahieren ist es am sichersten, die gemischten Zahlen in Brüche umzuwandeln, und diese dann wie gewohnt zu subtrahieren. Ein anderer Weg ist, die Ganzen und die Brüche getrennt voneinander zu verrechnen. Dabei musst du aber aufpassen, denn das funktioniert nur einfach, wenn der Bruch des Minuenden größer ist als der Bruch des Subtrahenden! Ansonsten musst du ein Ganzes des Minuenden in einen Bruch umwandeln.

Finales Gemischte Zahlen Quiz

Frage

Was ist eine gemischte Zahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

Frage anzeigen

Frage

Welche Art von gemischten Zahlen kannst Du in einen Bruch umwandeln?

Antwort anzeigen

Antwort

alle

Frage anzeigen

Frage

Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Bruch um?

Antwort anzeigen

Antwort

Zunächst wird die ganze Zahl als Bruch geschrieben. Dabei sollte der Nenner derselbe sein wie beim Bruch der gemischten Zahl. Anschließend werden die beiden Brüche addiert.

Frage anzeigen

Frage

Wie wandelt man einen Bruch in eine gemischte Zahl um?

Antwort anzeigen

Antwort

Als Erstes formst Du den Zähler des Bruches in eine Summe um, wo der erste Summand ohne Rest von dem Nenner geteilt werden kann. Schreibe die Summe in den Zähler.

Danach ziehst Du den Bruch auseinander.

Zum Schluss wandelst Du den ersten Bruch in eine ganze Zahl um und kürze gegebenenfalls den zweiten Bruch. 

Frage anzeigen

Frage

Wie addiert man gemischte Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Option 1: Man addiert die beiden ganzen Zahlen und die beiden Brüche wie bei der Bruchrechnung.


Option 2: Man wandelt beide gemischten Zahlen in Brüche um und addiert diese dann wie gewohnt.

Frage anzeigen

Frage

Wie multipliziert oder dividiert man gemischte Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Dazu wandelt man die gemischten Zahlen in Brüche um, und multipliziert bzw. dividiert dann wie aus der Bruchrechnung bekannt.

Frage anzeigen

Frage

Wie subtrahiert man gemischte Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Option 1: Man subtrahiert die beiden ganzen Zahlen und die beiden Brüche wie bei der Bruchrechnung.


Option 2: Man wandelt beide gemischten Zahlen in Brüche um und subtrahiert diese dann wie gewohnt.

Frage anzeigen

Frage

Welche Brüche kannst Du in gemischte Zahlen umwandeln? 

Schreibe Deine Antwort auf.

Antwort anzeigen

Antwort

unechte Brüche

Frage anzeigen

Frage

Schreibe die gemischte Zahl \(3\,\frac{3}{4}\) in einen unechten Bruch um.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\frac{15}{4}\]

Frage anzeigen

Frage

Schreibe den unechten Bruch \(\frac{25}{6}\) in eine gemischte Zahl um.

Antwort anzeigen

Antwort

\[4\,\frac{1}{6}\]

Frage anzeigen

Frage

Addiere die beiden gemischten Zahlen \(2\,\frac{1}{4}\) und \(5\,\frac{1}{2}\).

Antwort anzeigen

Antwort

\[7\,\frac{3}{4}\]

Frage anzeigen

Frage

Subtrahiere \(1\,\frac{5}{9}\) von \(4\,\frac{2}{3}\).

Antwort anzeigen

Antwort

\[3\,\frac{1}{3}\]

Frage anzeigen

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