Stell Dir vor, Du hast zwei Pizzen, welche jeweils in \(8\) Stücke geteilt sind. Jetzt isst Du ein Stück der einen Pizza. Insgesamt hast Du dann eine ganze Pizza und \(\frac{7}{8}\) der anderen Pizza übrig.
Diese Darstellung der Anzahl der Pizzastücke heißt gemischte Zahl. Wie Du gemischte Zahlen in Brüche umwandelst, sie multiplizierst und addierst, erfährst Du in dieser Erklärung.
Was ist eine gemischte Zahl?
Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.
Die Schreibweise heißt gemischte Schreibweise, wobei die Zahl \(n\) plus den Bruch \(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\) gerechnet wird. Das Plus wird dabei nicht mit geschrieben.
Es gilt:
\[n+\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = n\,\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
„Gesprochen wird: \(n\) Ganze und \(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\).“
Am besten stellst Du Dir gemischte Zahlen als Pizzen vor. Eine ganze Zahl ist dabei eine ganze Pizza. Der Bruch stellt eine bereits angefangene Pizza dar. Bei dieser fehlen schon Stücke, deshalb kannst Du sie nicht als eine ganze Pizza darstellen.
Abb. 1 - gemischte Zahl darstellen
Wenn Du ein Stück von zwei Pizzen isst, hast Du anschließend noch \[1\,\frac{7}{8}\] Pizzen.
Du sprichst dann: eine ganze Pizza und sieben Achtel.
Gemischte Zahlen umwandeln
Gemischte Zahlen lassen sich in unechte Brüche umwandeln und umgekehrt. Echte Brüche, also Brüche deren Zähler kleiner ist als ihr Nenner, können nicht umgewandelt werden.
Brüche in gemischte Zahlen umwandeln
Um einen Bruch in eine gemischte Zahl umzuwandeln, gehst Du folgendermaßen vor:
- Teile den Zähler durch den Nenner mit Rest \[\frac{25}{7} = 25:7 = 3\, R 4\]
- Schreibe das Ergebnis auf, indem Du alle Ganzen zuerst schreibst und den Rest als Bruch mit dem ursprünglichen Nenner aufschreibst \[3\frac{4}{7}\]
Gemischte Zahlen in Brüche umwandeln
Du kannst auch gemischte Zahlen in unechte Brüche umschreiben:
- Mache aus der ganzen Zahl einen Bruch indem Du sie mit dem Nenner des Bruchs erweiterst \[5\frac{2}{5} = 5 + \frac{2}{5} = \frac{25}{5}+\frac{2}{5}\]
- Addiere die beiden Brüche und kürze, wenn nötig.\[\frac{25}{5}+\frac{2}{5} = \frac{27}{5}\]
Eine gemischte Zahl ist die Summe einer ganzen Zahl und einem Bruch. Das Pluszeichen wird beim Schreiben der gemischten Zahl weggelassen, das heißt, wenn Du eine gemischte Zahle in einen Bruch umschreiben möchtest, addierst Du die ganze Zahl mit dem Bruch.
Oftmals musst Du gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln, damit Du damit rechnen kannst. Diese Umwandlung solltest Du also gut beherrschen.
Gemischte Zahlen umwandeln – Beispiele
Beispiel 1 – Unechten Bruch in gemischte Zahl umwandeln
Wandle den unechten Bruch \(\frac{7}{3}\) in eine gemischte Zahl um.
Lösung
1. Schritt:
Als Erstes formst Du den Zähler des Bruches in eine Summe um. Dafür fragst Du Dich, welche Zahlen werden durch \(3\) geteilt und sind kleiner als \(7\). Dann berechnest Du den fehlenden Rest von der \(7\) zur \(6\).
\[\frac{6+1}{3}\]
2. Schritt:
Jetzt schreibst Du beide Teile des Bruches einzeln auf.
\[\frac{6}{3}+\frac{1}{3}\]
3. Schritt:
Zum Schluss schreibst Du den ersten Bruch um.
\[2+\frac{1}{3}=2\,\frac{1}{3}\]
Du kannst mit gemischten Zahlen genauso rechnen wie mit ganzen Zahlen, Brüchen oder Dezimalzahlen. Einige Dinge musst Du dennoch beachten. Wie Du mit den gemischten Zahlen die Grundrechenarten durchführst, erfährst Du jetzt.
Gemischte Zahlen addieren und subtrahieren
Gemischte Zahlen addieren und subtrahieren kannst Du mit folgender Anleitung:
- Addiere/Subtrahiere die ganzen Zahlen der gemischten Zahl.
- Addiere/Subtrahiere die Brüche der gemischten Zahl und kürze gegebenenfalls. Beachte dabei, dass die Brüche denselben Nenner haben müssen. Wenn dies nicht der Fall ist, musst Du die Brüche erst auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
- Zum Schluss addierst Du die ganze Zahl und den Bruch.
Du kannst auch die gemischten Brüche in unechte Brüche umschreiben und diese dann addieren/subtrahieren und sie zum Schluss wieder umwandeln.
Wann das Umschreiben sinnvoller ist, musst Du selbst entscheiden. Besonders bei Aufgaben, bei denen der Bruch des Subtrahend größer ist als der Bruch des Minuenden, ist es meist sinnvoll.
Beispiel 3 - Gemischte Brüche addieren
Addiere die beiden gemischten Zahlen \(2\,\frac{2}{3}\) und \(1\,\frac{4}{5}\).
Lösung
1. Schritt:
Als Erstes addierst Du die ganzen Zahlen.
\[2+1=3\]
2. Schritt:
Danach addierst Du die Brüche. Beachte, dass Du hier die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner erweitern musst.
\[\frac{2}{3}+\frac{4}{5}=\frac{10}{15}+\frac{12}{15}=\frac{10+12}{15}=\frac{22}{15}\]
Jetzt wandelst Du den Bruch noch in eine gemischte Zahl um.
\[\frac{15+7}{15}=\frac{15}{15}+\frac{7}{15}=1+\frac{7}{15}\]
3. Schritt:
Zum Schluss addierst Du alles.
\[3+1+\frac{7}{15}=4\,\frac{7}{15}\]
Nachdem Du jetzt gemischte Zahlen addiert hast, solltest Du auch noch einmal gemischte Zahlen subtrahieren.
Aufgabe 4 - Gemischte Brüche subtrahieren
Subtrahiere die Zahl \(1\,\frac{1}{2}\) von \(5\,\frac{4}{5}\).
Lösung
1. Schritt:
Als Erstes subtrahierst Du die ganzen Zahlen.
\[5-1=4\]
2. Schritt:
Jetzt subtrahierst Du die Brüche. Dafür musst Du zunächst die Brüche auf einen Nenner erweitern.
\[\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{8}{10}-\frac{5}{10}=\frac{8-5}{10}=\frac{3}{10}\]
3. Schritt:
Zum Schluss addierst Du die ganze Zahl und den Bruch.
\[4+\frac{3}{10}=4\,\frac{3}{10}\]
Gemischte Zahlen multiplizieren und dividieren
Gemischte Zahlen kannst Du nicht als gemischte Zahlen multiplizieren oder dividieren.
Gemischte Zahlen – Aufgaben mit Lösung
Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 1 – Brüche und gemischte Zahlen umwandeln
Wandle die folgenden gemischten Zahlen in Brüche um.
a) \(3\,\frac{4}{5}\)
b) \(1\,\frac{1}{7}\)
c) \(2\,\frac{2}{3}\)
Wandle die folgenden Brüche in gemischte Zahlen um.
d) \(\frac{5}{3}\)
e) \(\frac{9}{4}\)
f) \(\frac{6}{2}\)
Lösung
a)\[3\,\frac{4}{5} = 3+\frac{4}{5}=\frac{15}{5}+\frac{4}{5}=\frac{19}{5} \]
b) \[1\,\frac{1}{7}=1+\frac{1}{7}=\frac{7}{7}+\frac{1}{7}=\frac{8}{7}\]
c) \[2\,\frac{2}{3}=2+\frac{2}{3}=\frac{6}{3}+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}\]
d) \[\frac{5}{3}=\frac{3+2}{3}=1+\frac{2}{3}=1\,\frac{2}{3} \]
e) \[\frac{9}{4}=\frac{8+1}{4}=2+\frac{1}{4}=2\,\frac{1}{4} \]
f) \[\frac{6}{2}=3\]
Aufgabe 2 – Mit gemischten Zahlen rechnen
Berechne die Lösung.
a) \(2\,\frac{1}{6}+4\,\frac{3}{7}+1\,\frac{1}{2}\)
b) \(4\,\frac{3}{7}-2\,\frac{1}{7}\)
c) \(1\,\frac{6}{7}+\frac{4}{7}-2\frac{1}{3}\)
d) \(3\,\frac{3}{20}+\frac{4}{5}-2\,\frac{3}{4}\)
Lösung
a) \begin{align}2\,\frac{1}{6}+4\,\frac{3}{7}+1\,\frac{1}{2}&=2+4+1+\left(\frac{1}{6}+\frac{3}{7}+\frac{1}{2}\right) \\[0.2cm]&=7+\left(\frac{7}{42}+\frac{18}{42}+\frac{21}{42}\right)=7+\frac{46}{42} \\[0.2cm]&=7+1+\frac{4}{42}=8\,\frac{2}{21}\end{align}
b) \begin{align}4\,\frac{3}{7}-2\,\frac{1}{7}&=4-2+\left(\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\right) \\[0.2cm] &=2+\frac{2}{7}=2\,\frac{2}{7}\end{align}
c) \begin{align}1\,\frac{6}{7}+\frac{4}{7}-2\frac{1}{3}&=1+\left(\frac{6}{7}+\frac{4}{7}\right)-2\,\frac{1}{3} \\[0.2cm]&=1+\frac{10}{7}-2\,\frac{1}{3}=1+1+\frac{3}{7}-2\frac{1}{3} \\[0.2cm]&=1+1-2\left(\frac{3}{7}-\frac{1}{3}\right)=\frac{9}{21}-\frac{7}{21}=\frac{2}{21}\end{align}
d) \begin{align}3\,\frac{3}{20}+\frac{4}{5}-2\,\frac{3}{4}&=3+\left(\frac{3}{20}+\frac{4}{5}\right)-2\,\frac{3}{4} \\[0.2cm] &=3+\left(\frac{3}{20}+\frac{16}{20}\right)-2\,\frac{3}{4}=3+\frac{19}{20}-2\,\frac{3}{4} \\[0.2cm] &=3-2+\left(\frac{19}{20}-\frac{3}{4}\right)=1+\left(\frac{19}{20}-\frac{15}{20}\right) \\[0.2cm] &=1+\frac{4}{20}=1+\frac{1}{5}=1\,\frac{1}{5}\end{align}
Gemischte Zahlen – Das Wichtigste
- Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.
Die Schreibweise heißt gemischte Schreibweise, wobei die Zahl \(n\) plus den Bruch \(\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\) gerechnet wird. Das Plus wird dabei nicht mit geschrieben.
Es gilt:
\[n+\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}} = n\,\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}\]
Wenn Du einen Bruch in eine gemischte Zahl umschreiben möchtest, musst Du einen unechten Bruch haben.
Forme den Zähler des Bruches in eine Summe um, wo der erste Summand ohne Rest von dem Nenner geteilt werden kann. Schreibe die Summe in den Zähler.
Ziehe den Bruch auseinander.
Wandle den ersten Bruch in eine ganze Zahl um und kürze gegebenenfalls den zweiten Bruch.
Wenn Du eine gemischte Zahle in einen Bruch umschreiben möchtest, addierst Du die ganze Zahl mit dem Bruch.
Schreibe die ganze Zahl in einen Bruch um. Nutze den Nenner des Bruches in der gemischten Zahl.
Addiere die beiden Brüche und kürze, wenn nötig.
Das Prinzip ist beim Addieren und beim Subtrahieren von gemischten Zahlen das Gleiche. Du addierst/subtrahierst erst die ganzen Zahlen und anschließend die Brüche. Zum Schluss setzt Du die ganze Zahl und den Bruch wieder zusammen.
Um gemischte Zahlen zu multiplizieren oder zu dividieren, musst Du sie in Brüche umwandeln.
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