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Gemischte Zahlen und Brüche

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Gemischte Zahlen und Brüche

In diesem Artikel geht es um gemischte Zahlen. Du wirst erfahren, was gemischte Zahlen sind, wie man mit ihnen rechnet und sie in Brüche umwandelt.

Dieser Artikel gehört in das Fach Mathe und dort in den Bereich Algebra - Brüche und Dezimalzahlen.

  • Definition einer gemischten Zahl
  • Umwandeln von Brüchen in gemischte Zahlen und andersherum
  • Verortung von gemischten Zahlen am Zahlenstrahl
  • Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von gemischten Zahlen auf zwei Wegen
  • Aufgaben zu gemischten Zahlen mit Lösungen zur Übung am Ende des Artikels

Was ist eine gemischte Zahl?

Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

Diese Schreibweise heißt dann gemischte Schreibweise. Dabei sind die Mathematiker über die Zeit hinweg ein bisschen faul gewesen und es ist normal geworden, einfach ein Rechenzeichen wegzulassen (eigentlich müsste zwischen der Zahl und dem Bruch noch ein + stehen (warum, das siehst du in den nächsten beiden Abschnitten, in denen es um die Umformung von gemischten Zahlen in Brüche und umgekehrt geht)). Die Zahlen im Beispiel sind also das Gleiche wie "Zwei Ganze und ein Drittel" und "Drei Ganze und zwei Fünftel". Das ist wichtig zu wissen, wenn du mit gemischten Zahlen rechnen möchtest.

Der Betrag von gemischten Zahlen ist immer größer als 1. Man kann sie auch in einen unechten Bruch umwandeln, also einen Bruch, bei dem der Betrag des Zählers größer ist als der Betrag des Nenners. Gemischte Zahlen sind also Bruchzahlen, und gehören - genauso wie alle Brüche - zu den rationalen Zahlen.

Hinweis: Gemischte Zahlen und gemischte Brüche sind Synonyme, bedeuten also dasselbe.

Gemischte Zahlen in Brüche umwandeln

Da die gemischte Schreibweise manchmal unpraktisch ist, solltest du zwischen der gemischten Schreibweise und der Bruchschreibweise umwandeln können.

Als erstes soll die gemischte Zahl in einen Bruch umgewandelt werden. Dabei ist es als erstes wichtig zu wissen, dass über die Zeit das + in der gemischten Schreibweise verloren gegangen ist! Es gilt also:

Als erstes muss jetzt die ganze Zahl als Bruch mit demjenigen Nenner geschrieben werden, der auch in der gemischten Zahl vorkommt. In diesem Fall also in Drittel.

Hinweis: Falls dir diese Umformung nicht klar ist, solltest du in das Kapitel Bruchrechnung schauen!

Nun musst du nur noch die Addition der beiden Brüche durchführen und du erhältst das Ergebnis:

Jetzt kommt die gemischte Zahl an die Reihe.

Mit der Ergänzung des +, der Umwandlung der 3 in Fünftel und der anschließenden Addition der Brüche ergibt sich die folgende Rechnung:

Brüche in gemischte Zahlen umwandeln

Für die Umwandlung in die andere Richtung nehmen wir zwei neue Brüche - sonst wäre es ja zu einfach :)

Als erstes soll der Bruch in eine gemischte Zahl umgewandelt werden.

Dafür schaut man sich als erstes den Zähler des Bruches an und formt ihn in eine Summe um, sodass der erste Summand ohne Rest von der Zahl im Nenner geteilt werden kann.

Hier wäre das 20=18+2, denn die 18 kann durch 6 restlos geteilt werden.

Diese Summe schreibt man dann in den Zähler:

Als nächstes zieht man den Bruch auseinander.

Zu guter Letzt wird dann der erste Bruch in eine ganze Zahl umgewandelt und ggf. gekürzt:

Als zweites Beispiel nehmen wir den Bruch .

Die passende Aufteilung des Zählers ist 45=42+3.

Nach den in Beispiel 1 beschriebenen Schritten sieht dann die Rechnung so aus:

Gemischte Zahlen am Zahlenstrahl

Ein Vorteil von gemischten Zahlen ist es, dass du sie recht einfach an den Zahlenstrahl verorten kannst. Denn dir wird direkt angezeigt, neben welcher ganzen Zahl die gemischte Zahl liegt.

Wir werden wieder die beiden Zahlen aus dem ersten Beispiel verwenden und diese am Zahlenstrahl verorten:

Die gemischte Zahl kann folgendermaßen eingetragen werden:

Sie ist sicher größer als 2 und kleiner als 3. Sie liegt also in dem Bereich zwischen 2 und 3. Nun wird der Bereich zwischen 2 und 3 in drei gleich große Teile zerlegt, das sind dann die Drittel. Nach dem ersten Drittel liegt die gewünschte Zahl.

Für die gemischte Zahl funktioniert das genauso:

Sie liegt zwischen 3 und 4. Dieser Bereich wird jetzt in fünf gleich große Teile zerlegt, denn der Bruch in der gemischten Zahl hat im Nenner die 5. Nach zwei dieser fünf Fünftel liegt die Zahl .

Hinweis: Falls du große Probleme mit diesem Abschnitt hattest, solltest du dir nochmal den Artikel "Vergleichen und Anordnen von Brüchen" anschauen. Diesen findest du im Kapitel "Brüche und Dezimalzahlen", in dem du auch diesen Artikel gefunden hast.

Rechnen mit gemischten Zahlen

Jetzt geht es ans Eingemachte! Wir wollen verstehen, wie man mit gemischten Zahlen rechnet.

Addieren gemischter Zahlen

Die Addition von gemischten Zahlen ist vergleichsweise leicht - du kannst nämlich die ganzen Zahlen und die Brüche getrennt voneinander addieren.

Fall 1: Die Nenner der Brüche sind gleich

Das ist der aller einfachste Fall. Du kannst einfach die ganzen Zahlen addieren und anschließend die Brüche.

Vollständig kürzen nicht vergessen!

Du musst lediglich darauf achten, dass der Bruch in der gemischten Zahl des Ergebnisses ein echter Bruch ist und kein unechter, also der Nenner größer als der Zähler. Ist das nicht der Fall, musst du noch ein Ganzes aus dem Bruch ziehen, ihn also nochmal in eine gemischte Zahl umwandeln:

Fall 2: Die Nenner der Brüche sind ungleich

In diesem Fall müssen die Brüche zur Addition gleichnamig gemacht werden, also genauso wie bei der Addition von Brüchen. Ansonsten läuft es ab wie in Fall 1:

Subtrahieren gemischter Zahlen

Auch beim Subtrahieren kann man die Ganzen und die Brüche getrennt voneinander berechnen. Wieder müssen die Brüche ggf. gleichnamig gemacht werden.

Hierbei solltest du wieder an das Kürzen denken!

Ist jedoch der Bruch des Subtrahenden (also von derjenigen Zahl, die abgezogen wird!) größer als der Bruch des Minuenden, so muss ein Ganzes des Minuenden (der Zahl, von der abgezogen wird) in einen Bruch umgewandelt werden.

Addieren und Subtrahieren gemischter Zahlen mithilfe von Brüchen

Beim Subtrahieren ist es manchmal umständlich zu überprüfen, ob nun der Bruch im Subtrahenden größer ist als der im Minuenden. Beim Addieren gilt es zu überprüfen, ob das Ergebnis einen unechten Bruch enthält.

Um diese beiden Probleme zu umgehen, gibt es noch einen alternativen Rechenweg: du kannst auch einfach die gemischten Zahlen in Brüche umwandeln, und dann ganz normal die Bruchrechnung durchführen.

Diese Alternative kannst du immer nutzen. Manchmal ist es jedoch geschickter, wenn du mit den gemischten Zahlen rechnest, weil es dir einige Rechenschritte spart. Aber wenn du ganz auf Nummer-Sicher gehen möchtest, dann kommst du so immer zum Ergebnis.

Multiplizieren und Dividieren von gemischten Zahlen

Willst du zwei gemischte Zahlen miteinander multiplizieren oder dividieren, dann musst du sie in Brüche umwandeln. Es gibt keinen Weg wie bei der Addition und Subtraktion, die Ganzen und die Brüche getrennt voneinander zu verrechnen. Dafür ist dann der Rechenweg aber nichts Neues, denn er funktioniert genauso wie bei der Multiplikation und Division von Brüchen.

Hinweis: Wie die Multiplikation bzw. Division von Brüchen funktioniert, findest du im Kapitel Bruchrechnung.

Übungsaufgaben

Aufgabe 1

Berechne. Bei welchen Aufgaben ist es geschickter, mit den gemischten Zahlen zu rechnen?

Aufgabe 2

Berechne.

Lösungen

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

Gemischte Zahlen und Brüche - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Eine gemischte Zahl ist eine Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.
  • Gemischte Zahlen sind eine andere Schreibweise für unechte Brüche.
  • Es ist möglich, gemischte Zahlen in Brüche umzuwandeln und andersherum.
  • Gemischte Zahlen können ganz einfach am Zahlenstrahl verortet werden.
  • Zum Rechnen mit gemischten Zahlen musst du diese in Brüche umwandeln und kannst dann rechnen wie von der Bruchrechnung bekannt.
  • Bei der Addition und der Subtraktion kannst du evtl. auch die Ganzen und die Brüche getrennt voneinander verrechnen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gemischte Zahlen und Brüche

Ein gemischter Bruch oder eine gemischte Zahl ist eine Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht. Sie ist eine andere Schreibweise für einen unechten Bruch (bei dem also der Zähler größer ist als der Nenner). Beispiel: der Bruch 25/4 kann auch geschrieben werden als 6 1/4. Das ist dann die gemischte Schreibweise.

Ein Weg ist, die gemischten Zahlen in Brüche umzuwandeln und dann mit diesen zu rechnen wie mit Brüchen. Bei der Addition und der Subtraktion kann man auch mit gemischten Zahlen rechnen und dabei die Ganzen und die Brüche getrennt voneinander verrechnen. Dieser Weg ist aber bei der Multiplikation und Division nicht möglich.

Dazu musst du zunächst den Zähler des Bruches in eine Summe aufteilen, bei der der erste Summand restlos durch die Zahl im Nenner geteilt werden kann. Dann teilst du den Bruch in eine Summe aus zwei Brüchen auf. Den ersten Bruch kannst du dann in eine ganze Zahl umwandeln. 

Beispiel: 5/2 = (4+1)/2 = 4/2 + 1/2 = 2 + 1/2 = 2 1/2

Um gemischte Brüche zu subtrahieren ist es am sichersten, die gemischten Zahlen in Brüche umzuwandeln, und diese dann wie gewohnt zu subtrahieren. Ein anderer Weg ist, die Ganzen und die Brüche getrennt voneinander zu verrechnen. Dabei musst du aber aufpassen, denn das funktioniert nur einfach, wenn der Bruch des Minuenden größer ist als der Bruch des Subtrahenden! Ansonsten musst du ein Ganzes des Minuenden in einen Bruch umwandeln.

Finales Gemischte Zahlen und Brüche Quiz

Frage

Was ist eine gemischte Zahl?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine gemischte Zahl ist eine rationale Zahl, die aus einer ganzen Zahl und einem Bruch besteht.

Frage anzeigen

Frage

In welche Art von Bruch kann man eine gemischte Zahl umwandeln?

Antwort anzeigen

Antwort

Jede gemischte Zahl kann in einen unechten Bruch umgewandelt werden, also einen Bruch, bei dem der Betrag des Zählers größer ist als der Betrag des Nenners.

Frage anzeigen

Frage

Wie wandelt man eine gemischte Zahl in einen Bruch um?

Antwort anzeigen

Antwort

Zunächst wird die ganze Zahl als Bruch geschrieben. Dabei sollte der Nenner derselbe sein wie beim Bruch der gemischten Zahl. Anschließend werden die beiden Brüche addiert.

Frage anzeigen

Frage

Wie wandelt man einen Bruch in eine gemischte Zahl um?

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst zerlegt man den Zähler des Bruches in eine Summe, sodass der erste Summand ohne Rest vom Nenner geteilt werden kann, und der Nenner nicht mehr in den zweiten Summanden passt. Dann zieht man den Bruch wie bei der Addition von Brüchen auseinander, und wandelt abschließend den vorderen Bruch in eine ganze Zahl um.

Frage anzeigen

Frage

Wie addiert man gemischte Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Option 1: Man addiert die beiden ganzen Zahlen und die beiden Brüche wie bei der Bruchrechnung.


Option 2: Man wandelt beide gemischten Zahlen in Brüche um und addiert diese dann wie gewohnt.

Frage anzeigen

Frage

Wie multipliziert oder dividiert man gemischte Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Dazu wandelt man die gemischten Zahlen in Brüche um, und multipliziert bzw. dividiert dann wie aus der Bruchrechnung bekannt.

Frage anzeigen

Frage

Wie subtrahiert man gemischte Zahlen?

Antwort anzeigen

Antwort

Option 1: Man subtrahiert die beiden ganzen Zahlen und die beiden Brüche wie bei der Bruchrechnung.


Option 2: Man wandelt beide gemischten Zahlen in Brüche um und subtrahiert diese dann wie gewohnt.

Frage anzeigen
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