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Potenzen mit rationalem Exponenten – Grundlagenwissen
Bisher wurden Potenzen betrachtet, bei denen der Exponent eine ganze Zahl ist
. Schau Dir das im Folgenden noch einmal kurz an.
Wenn eine Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert wird, kann sie auch als Potenz geschrieben werden.
Eine Potenz ist eine verkürzte Schreibweise für die wiederholte Multiplikation eines Faktors.
Dabei können a (Grundzahl oder Basiszahl) und n (Hochzahl oder Exponent) negative oder positive Werte annehmen.
Die Hochzahl (der Exponent) gibt an, wie oft die Zahl (die Basis) mit sich selbst multipliziert wird. Sie steht klein rechts oben neben der Zahl selbst.
Ist der Exponent null, wird der Potenzwert immer eins, unabhängig vom Wert der Basis: .
Handelt es sich beim Exponenten um eine negative ganze Zahl, so kann der Potenzausdruck auch als Bruch umgeschrieben werden, wie Du in der folgenden Vertiefung sehen kannst.
Potenzen mit negativem, ganzem Exponenten
Potenzen mit negativem Exponenten können als Bruch geschrieben werden. Damit Du das Ergebnis ausrechnen kannst, forme die negative Potenz um. Eine Potenz mit negativem Exponenten ist als Kehrwert einer Potenz mit positivem Exponenten aufzufassen. Damit folgt allgemein:
Oben schreibst Du also eine 1 und unten die Potenz ohne Minuszeichen.
Werden mehrere Potenzausdrücke miteinander verrechnet, so können die sogenannten Potenzgesetze angewandt werden.
Potenzgesetze
Du kannst alle Rechenregeln für Potenzen auch auf Wurzeln anwenden, wie Du später noch sehen wirst. Die folgenden Potenzgesetze gelten für das Rechnen mit Potenzen:
| Potenzgesetz | |
Multiplikation mit gleicher Basis | |
Division mit gleicher Basis | |
Potenzen potenzieren | |
Multiplikation mit gleichem Exponenten | |
Division mit gleichem Exponenten |
Alles rund um Potenzen kannst Du im Artikel „Potenzgesetze“ nachlesen.
Zurück zur Frage, was es mit Potenzen auf sich hat, die keine ganze Zahl als Exponent haben, sondern beispielsweise rationale Zahlen.
Potenzen mit rationalem Exponenten – Einführung und Erklärung
Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. In der Übersicht kannst Du die Einordnung in die Zahlenmengen erkennen:
Abbildung 1: Rationale Zahlen
Rationalen Zahlen der Menge sind beispielsweise auch Kommazahlen, mit der Besonderheit, dass sie als Bruch darstellbar sind. Wird so ein Bruch als Exponent einer Potenz gesetzt, dann handelt es sich um Potenzen mit rationalem Exponenten.
Eine Basis mit einem rationalen Exponenten
wird als Potenz mit rationalem Exponenten bezeichnet und entspricht der n-ten Wurzel aus der Potenz
.
Mit und
.
Statt einer ganzen Zahl steht nun ein Bruch im Exponenten.
Wie Du in der obigen Definition sehen kannst, kann eine Potenz mit rationalem Exponenten auch in eine Wurzel umgeformt werden. Aber wie lässt sich diese Umformung erklären?
Zunächst wird der Exponent der Basis a als Produkt von m und
beschrieben.
Laut den Potenzgesetzen handelt es sich demnach um einen Ausdruck, bei dem eine Potenz potenziert wurde.
Zur Erinnerung: Potenzen potenzieren: .
Umgeformt ergibt sich demnach:
Der Exponent entspricht einer n-ten Wurzel aus der Basis, denn es gilt:
. Wird also der Exponent
wieder zurück in eine Wurzel umgeschrieben, so erhältst Du den Ausdruck:
Du kannst also jede Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten und jede Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel schreiben.
Im Artikel „Radizieren / Wurzelziehen“ findest Du noch einmal alles rund um das Thema Wurzel und ihre Umformung.
Zeit für zwei konkrete Beispiele!
Potenzen mit rationalem Exponenten – Beispiele zur Umformung
Aufgabe 1
Gegeben ist die folgende Potenz. Bestimme m und n des rationalen Exponenten und forme die Potenz in Wurzelschreibweise um.
Lösung
Im Exponenten der Potenz steht eine rationale Zahl, also ein Verhältnis aus den ganzen Zahlen und
.
Laut der Formel lässt sich diese Potenz auch in die folgende Wurzel umformen:
Es handelt sich hierbei um die 8-te Wurzel aus der Potenz .
Genau genommen handelt es sich bei der Quadratwurzel ebenfalls um eine Potenz mit rationalem Exponenten, denn es gilt:
In diesem Fall ist und
.
Aufgabe 2
Die Zahl 2 soll mit der Zahl potenziert werden. Schreibe zunächst als Potenz und forme dann in eine Wurzel um.
Lösung
Aus der Aufgabenstellung kann abgelesen werden, dass gilt:
Dies ist bisher noch kein Ausdruck, der in eine Wurzel umgeformt werden kann, da die Bruchschreibweise fehlt. Daher wird der Exponent zunächst in einen Bruch überführt.
Im Artikel „Brüche und Dezimalzahlen“ kannst Du Umformungen solcher Art noch einmal nachlesen.
Jetzt ist die Basis wieder mit einem rationalen Exponenten in Bruchschreibweise aufgeführt und kann in eine Wurzel umgeschrieben werden.
Es ist auch möglich Potenzen mit negativem rationalem Exponenten in eine Wurzel zu überführen. Sieh Dir dazu gerne die folgende Vertiefung an.
Potenzen mit negativem, rationalem Exponenten
Wie bei Potenzen, bei denen der Exponent eine rationale Zahl ist, kannst Du genauso Potenzen mit negativen, rationalen Exponenten umschreiben. Es gilt:
Aufgabe 3
Schreibe den folgenden Ausdruck in die Wurzelschreibweise um:
Lösung
Es liegt ein negativer, rationaler Exponent vor. Zunächst wird der Ausdruck in einen Bruch umgeformt, um das negative Vorzeichen aufzulösen.
Es gilt:
Jetzt wird der Nenner zurück in eine Wurzel überführt:
Du kannst alternativ die negative Potenz gleich in eine Wurzel überführen und erst anschließend in einen Bruch umformen.
Wie auch Potenzen mit ganzzahligen Exponenten, können zwei oder mehr Potenzen mit rationalem Exponenten ebenfalls miteinander verrechnet werden.
Potenzen mit rationalem Exponenten berechnen & vereinfachen
Bei der Berechnung einer Potenz mit rationalem Exponenten kann es je nach Aufgabentyp erforderlich sein, die Potenz in eine Wurzel umzuschreiben oder umgekehrt. Aufgrund der Potenzgesetze, ist es bei der Berechnung einer Potenz mit rationalem Exponenten egal, ob Du erst potenzierst und dann die Wurzel ziehst oder umgekehrt. Alle Potenzgesetze zählen auch für das Rechnen mit Potenzen mit rationalem Exponenten.
Potenzen mit rationalem Exponenten addieren
Addieren und Subtrahieren von Potenzen ist nur dann möglich, wenn die Potenzen die gleiche Basis und den gleichen Exponenten haben.
Aufgabe 4
Vereinfache und berechne den folgenden Wurzelausdruck:
Lösung
Wurzeln können nur addiert werden, wenn sie den gleichen Radikanden (der Wert unter der Wurzel) und den gleichen Wurzelexponenten (der Wert auf der Wurzel) haben. Hier sind weder die Radikanden noch die Exponenten gleich.
Daher bietet es sich in diesem Fall an, die Wurzeln zunächst in Potenzschreibweise umzuformen und den Exponenten (falls möglich) zu vereinfachen:
Um das Ergebnis zu berechnen, werden die einzelnen Potenzen ausgerechnet und anschließend addiert:
Ähnlich verhält es sich auch bei der Subtraktion von Potenzen mit rationalem Exponenten.
Potenzen mit rationalem Exponenten subtrahieren
Sind in der Aufgabe Radikand und Exponent nicht gleich, so bietet sich die Umformung in eine Potenz an.
Aufgabe 5
Berechne den folgenden Ausdruck:
Lösung
Hier sind die Wurzelexponenten zwar gleich, doch die Radikanden sind unterschiedlich. Der Wurzelausdruck kann wieder in eine Potenz umgeschrieben werden und die Exponenten vereinfacht:
Die Basen der Potenzen sind zwar gleich, jedoch die Exponenten nicht. Das bedeutet, dass sich die Differenz der beiden Potenzen nicht weiter vereinfachen lässt. Löse also die Potenzen auf und subtrahiere diese dann voneinander:
Potenzen mit rationalem Exponenten lassen sich ebenfalls multiplizieren und dividieren.
Potenzen mit rationalem Exponenten multiplizieren
Wenn Potenzen mit rationalen Exponenten multipliziert werden, dann gelten die gleichen Regeln wie bei ganzzahligen Exponenten.
Aufgabe 6
Fasse den folgenden Term zusammen und schreibe als Wurzel:
Lösung
Wende das Potenzgesetz für Potenzen mit gleicher Basis an, welche multipliziert werden.
Zur Erinnerung: Potenzen mit gleichen Basen werden multipliziert, indem ihre Exponenten addiert und die Basis beibehalten wird: .
Demzufolge werden die Exponenten (in diesem Fall Brüche) addiert und der neue Exponent als Wurzel geschrieben.
Zeit für ein weiteres Beispiel zur Multiplikation.
Aufgabe 7
Vereinfache den folgenden Wurzelausdruck so weit wie möglich:
Lösung
Wurzelgesetze greifen hier nicht, da der Wurzelexponent nicht gleich ist. Es bietet sich demnach an, die Wurzeln zunächst in Potenzen umzuformen.
Hier liegt nun eine Multiplikation zweier Potenzen vor. Da die Basen gleich sind, können die Exponenten addiert werden.
Auch die Division zweier solcher Potenzen ist unter bestimmten Voraussetzungen möglich.
Potenzen mit rationalem Exponenten dividieren
Zwei Potenzen werden dividiert, indem die Exponenten subtrahiert werden. Das funktioniert genauso bei rationalen Exponenten.
Aufgabe 8
Schreibe den folgenden Term in der Wurzelschreibweise:
Lösung
In diesem Fall wird der Exponenten nach der Subtraktion jedoch negativ, weshalb die Wurzel als Nenner in einen Bruch geschrieben werden muss:
Was gilt, wenn Potenzen mit rationalem Exponenten noch einmal potenziert werden?
Potenzen mit rationalem Exponenten potenzieren
Genauso wie Du Potenzen mit ganzem Exponenten potenzieren kannst, kann auch eine Potenz mit rationalem Exponenten potenziert werden.
Aufgabe 9
Fasse den Ausdruck zusammen und schreibe als Wurzel.
Lösung
Potenzen kannst Du potenzieren, Du hast dann also eine Potenz als Basis.
Um Potenzen zu potenzieren, multipliziere die Exponenten. Die Basis bleibt gleich: .
Beim vorliegenden Ausdruck ist die Basis gleich, multipliziere also die rationalen Exponenten:
Der Potenzausdruck kann nun als Wurzel geschrieben werden.
Mit den nachfolgenden Übungsaufgaben kannst Du Dein Wissen zu Potenzen mit rationalem Exponenten noch einmal überprüfen
Potenzen mit rationalem Exponenten – Übungen
Falls Du eine Formelsammlung benutzen darfst, kannst Du sie Dir beim Üben danebenlegen. Nutze gerne die Tabelle der Potenzgesetze aus diesem Artikel!
Aufgabe 10
Schreibe den folgenden Ausdruck in Wurzelschreibweise und vereinfache so weit wie möglich:
Lösung
Dir liegt ein negativer, rationaler Exponent vor. Also musst Du die Basis der Potenz mit dem negativen rationalen Exponenten zunächst in einen Bruch schreiben.
Im Anschluss kannst Du die Potenz mit rationalem Exponenten im Nenner in die Wurzelschreibweise schreiben.
In der Wurzelschreibweise kannst Du die Quadratwurzel aus 25 ziehen und anschließend den Nenner mit 3 potenzieren.
Aufgabe 11
Schreibe den folgenden Term in der Potenzschreibweise:
Lösung
Vereinfache im ersten Schritt den Zähler und Nenner separat. Schreibe also den Zähler und den Nenner in die Potenzschreibweise um. Da es sich hier um gleiche Basen handelt, kannst Du die Wurzelgesetze der Division anwenden und die Exponenten subtrahieren. Der neue Exponent kann wieder als Wurzel geschrieben werden.
Aufgabe 12
Vereinfache und fasse zusammen, so weit wie möglich:
Lösung
Schreibe zunächst die Wurzel als Potenz und löse die Klammer auf, indem Du die Potenzen potenzierst.
Zur Erinnerung: Potenzen potenzieren: .
Danach kannst Du die Potenzen multiplizieren, indem die Potenzen mit gleicher Basis zusammengefasst werden.
Im Anschluss wendest Du das Potenzgesetz für Potenzen mit gleichen Exponenten an. Das besagt, dass Du die Basen multiplizierst und die Exponenten beibehalten.
Zur Erinnerung: Multiplikation mit gleichen Exponenten:
Nachfolgend findest Du noch eine kurze Zusammenfassung des Artikels.
Potenzen mit rationalem Exponenten – Das Wichtigste
Potenzen mit rationalem Exponenten sind Potenzen, welche rationale Zahlen als Exponent (Hochzahl) haben.
Eine Potenz mit rationalem Exponenten lässt sich in eine Wurzel umformen:
- Quadratwurzel:
- Für Potenzen mit negativem rationalem Exponenten gilt:
-
Für das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren und Potenzieren von Potenzen mit rationalem Exponenten können die Potenzgesetze und Wurzelgesetze angewandt werden.
Nachweise
- Papula, Lothar (2000). Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. Ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden
- Borucki, Hans (2019. Wurzeln und Potenzen. Strategien für das Rechnen mit Quadratwurzeln und Potenzen. Bibliographisches Institut
Erläutere, ob es bei der Berechnung von Potenzen mit rationalem Exponenten eine Rolle spielt, ob Du erst potenzierst und dann die Wurzel ziehst oder umgekehrt.
Nein, denn aufgrund der Potenzgesetze, ist es bei der Berechnung einer Potenz mit rationalem Exponenten egal, ob Du erst potenzierst und dann die Wurzel ziehst oder umgekehrt. Alle Potenzgesetze zählen auch für das Rechnen mit Potenzen mit rationalem Exponenten.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Potenzen mit rationalem Exponenten
Wie werden rationale Exponenten berechnet?
Rationale Exponenten sind Brüche im Exponenten einer Potenz. Die Potenz mit rationalem Exponenten lässt sich als Wurzel schreiben. Je nach Aufgabentyp, ist es einfacher, die Potenz mit rationalem Exponenten in eine Wurzel umzuschreiben oder diese mit den normalen Potenzgesetzen auszurechnen.
Kann ein Exponent addiert werden?
Exponenten werden addiert, wenn Potenzen multipliziert werden.
Wie können Potenzen noch geschrieben werden?
Jede Potenz mit rationalem Exponenten kann als n-te Wurzel geschrieben werden. Der Nenner des Exponenten der Potenz ist der Wurzelexponenten und der Zähler des Exponenten der Potenz ist der Exponent der Wurzelbasis.
Was ist ein natürlicher Exponent?
Der Exponent (die Hochzahl) einer Potenz ist dann natürlich, wenn sie zu der Menge der natürlichen Zahlen gehört, etwa die Zahl 2.
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