Potenzen mit rationalem Exponenten

Du kannst Potenzen addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und potenzieren. Aber bei allen Rechenoperationen kennst Du die Hochzahl vielleicht bisher als eine ganze Zahl, sowohl als ganze positive und auch als ganze negative Zahl. Wie löst Du aber eine Aufgabe, bei der ein Ausdruck wie vorkommt und was haben denn Wurzeln mit Potenzen zu tun? Diese Erklärung zeigt Dir alles rund um Potenzen mit rationalem Exponenten auf.

Potenzen mit rationalem Exponenten – Grundlagenwissen

Bisher wurden Potenzen betrachtet, bei denen der Exponent eine ganze Zahl ist . Schau Dir das im Folgenden noch einmal kurz an.

Wenn eine Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert wird, kann sie auch als Potenz geschrieben werden.

Die Hochzahl (der Exponent) gibt an, wie oft die Zahl (die Basis) mit sich selbst multipliziert wird. Sie steht klein rechts oben neben der Zahl selbst.

Handelt es sich beim Exponenten um eine negative ganze Zahl, so kann der Potenzausdruck auch als Bruch umgeschrieben werden, wie Du in der folgenden Vertiefung sehen kannst.

Potenzgesetze

Du kannst alle Rechenregeln für Potenzen auch auf Wurzeln anwenden, wie Du später noch sehen wirst. Die folgenden Potenzgesetze gelten für das Rechnen mit Potenzen:

Potenzgesetz
Multiplikation mit gleicher Basis
Division mit gleicher Basis
Potenzen potenzieren
Multiplikation mit gleichem Exponenten
Division mit gleichem Exponenten

Zurück zur Frage, was es mit Potenzen auf sich hat, die keine ganze Zahl als Exponent haben, sondern beispielsweise rationale Zahlen.

Potenzen mit rationalem Exponenten – Einführung und Erklärung

Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann. In der Übersicht kannst Du die Einordnung in die Zahlenmengen erkennen:

Abbildung 1: Rationale Zahlen

Rationalen Zahlen der Menge sind beispielsweise auch Kommazahlen, mit der Besonderheit, dass sie als Bruch darstellbar sind. Wird so ein Bruch als Exponent einer Potenz gesetzt, dann handelt es sich um Potenzen mit rationalem Exponenten.

Wie Du in der obigen Definition sehen kannst, kann eine Potenz mit rationalem Exponenten auch in eine Wurzel umgeformt werden. Aber wie lässt sich diese Umformung erklären?

Zunächst wird der Exponent der Basis a als Produkt von m und beschrieben.

Laut den Potenzgesetzen handelt es sich demnach um einen Ausdruck, bei dem eine Potenz potenziert wurde.

Umgeformt ergibt sich demnach:

Der Exponent entspricht einer n-ten Wurzel aus der Basis, denn es gilt: . Wird also der Exponent wieder zurück in eine Wurzel umgeschrieben, so erhältst Du den Ausdruck:

Du kannst also jede Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten und jede Potenz mit rationalem Exponenten als Wurzel schreiben.

Zeit für zwei konkrete Beispiele!

Potenzen mit rationalem Exponenten – Beispiele zur Umformung

Es ist auch möglich Potenzen mit negativem rationalem Exponenten in eine Wurzel zu überführen. Sieh Dir dazu gerne die folgende Vertiefung an.

Wie auch Potenzen mit ganzzahligen Exponenten, können zwei oder mehr Potenzen mit rationalem Exponenten ebenfalls miteinander verrechnet werden.

Potenzen mit rationalem Exponenten berechnen & vereinfachen

Bei der Berechnung einer Potenz mit rationalem Exponenten kann es je nach Aufgabentyp erforderlich sein, die Potenz in eine Wurzel umzuschreiben oder umgekehrt. Aufgrund der Potenzgesetze, ist es bei der Berechnung einer Potenz mit rationalem Exponenten egal, ob Du erst potenzierst und dann die Wurzel ziehst oder umgekehrt. Alle Potenzgesetze zählen auch für das Rechnen mit Potenzen mit rationalem Exponenten.

Potenzen mit rationalem Exponenten addieren

Addieren und Subtrahieren von Potenzen ist nur dann möglich, wenn die Potenzen die gleiche Basis und den gleichen Exponenten haben.

Ähnlich verhält es sich auch bei der Subtraktion von Potenzen mit rationalem Exponenten.

Potenzen mit rationalem Exponenten subtrahieren

Sind in der Aufgabe Radikand und Exponent nicht gleich, so bietet sich die Umformung in eine Potenz an.

Potenzen mit rationalem Exponenten lassen sich ebenfalls multiplizieren und dividieren.

Potenzen mit rationalem Exponenten multiplizieren

Wenn Potenzen mit rationalen Exponenten multipliziert werden, dann gelten die gleichen Regeln wie bei ganzzahligen Exponenten.

Zeit für ein weiteres Beispiel zur Multiplikation.

Aufgabe 7

Vereinfache den folgenden Wurzelausdruck so weit wie möglich:

Lösung

Wurzelgesetze greifen hier nicht, da der Wurzelexponent nicht gleich ist. Es bietet sich demnach an, die Wurzeln zunächst in Potenzen umzuformen.

Hier liegt nun eine Multiplikation zweier Potenzen vor. Da die Basen gleich sind, können die Exponenten addiert werden.

Auch die Division zweier solcher Potenzen ist unter bestimmten Voraussetzungen möglich.

Potenzen mit rationalem Exponenten dividieren

Zwei Potenzen werden dividiert, indem die Exponenten subtrahiert werden. Das funktioniert genauso bei rationalen Exponenten.

Was gilt, wenn Potenzen mit rationalem Exponenten noch einmal potenziert werden?

Potenzen mit rationalem Exponenten potenzieren

Genauso wie Du Potenzen mit ganzem Exponenten potenzieren kannst, kann auch eine Potenz mit rationalem Exponenten potenziert werden.

Mit den nachfolgenden Übungsaufgaben kannst Du Dein Wissen zu Potenzen mit rationalem Exponenten noch einmal überprüfen

Potenzen mit rationalem Exponenten – Übungen

Falls Du eine Formelsammlung benutzen darfst, kannst Du sie Dir beim Üben danebenlegen. Nutze gerne die Tabelle der Potenzgesetze aus diesem Artikel!

Nachfolgend findest Du noch eine kurze Zusammenfassung des Artikels.