Der Grundwert ist ein Teil der Prozentrechnung und damit auch ein wichtiger Bestandteil des Alltags.
Dein Hundewelpe zum Beispiel hat beim letzten Tierarztbesuch \(3 \text{ kg}\) gewogen und damit laut Tierärztin erst knapp \(10 \text{ %}\) seines Endgewichtes erreicht.
Wie viel er wiegen wird, wenn er ausgewachsen ist, kannst Du mithilfe des Grundwertes berechnen. Das Wichtigste zur Formel, Aufgaben und Hintergründe zur Prozentrechnung und dem Dreisatz zur Grundwertberechnung lernst Du in dieser Erklärung.
Grundwert berechnen – Definition & Formel
In der Prozentrechnung beschreibt der Grundwert \(G\) immer die Gesamtheit, also \(100 \text{%}\).
Die Formel zur Berechnung des Grundwertes \(G\) ergibt sich aus der Grundgleichung der Prozentrechnung.
\[{\color{#1478c8}G}= \frac{{\color{#fa3273}P}}{{\color{#00dcb4}p\text{ %}}}\]
Zur Berechnung des Grundwertes \(G\) muss also der Prozentwert \(P\) und der Prozentsatz \(p\text{ %}\) bekannt sein.
Achtung: Die Benennung von Grundwert als \(G\), Prozentwert als \(P\) und Prozentsatz als \(p\text{ %}\), ist nicht in allen Lehrbüchern gleich!
Eine Möglichkeit, um Dir die Formel besser zu merken, ist das Dreieck der Prozentrechnung. Um das Dreieck der Prozentrechnung sinnvoll anwenden zu können, solltest Du Dir immer merken, dass „P Priorität hat“ und damit oberhalb des Striches steht. Danach suchst Du Dir den Wert aus, für den Du lösen möchtest, hier z. B. \(G\). Dann musst Du nur noch abschreiben. \(G = \) der Rest, den Du im Dreieck siehst, also den Prozentwert P oberhalb und den Prozentsatz \(p\text{%}\) unterhalb des Bruchstrichs.
Abb. 1 - Dreieck der Prozentrechnung.
Sieh Dir dazu eine beispielhafte Rechnung an.
Deine Smartwatch zeigt an, dass Du heute schon \(6\,000\) Schritte gelaufen bist, was \(75 \text{ %}\) Deines Schrittziels entspricht. Damit kannst Du berechnen, welches Schrittziel Du überhaupt eingestellt hast.
Es ist der Grundwert \(G\) gesucht, deshalb muss nur noch der Prozentwert (\(6\,000\) Schritte) und der Prozentsatz (\(75\text{ %} \)) in die Formel eingesetzt werden.
\begin{align} G=\frac{P}{p\text{ %}}=\frac{6\,000}{75\text{ %}}=\frac{6\,000}{0{,}75}=8\,000\end{align}
Du hast also ein Schrittziel von \(8\,000\) Schritten auf Deiner Smartwatch eingestellt.
Grundwert berechnen – Dreisatz & Beispiel
Das Vorgehen der Berechnung des Grundwertes mithilfe des Dreisatzes ist immer ähnlich:
- Du setzt den gegebenen Prozentwert mit seinem Prozentsatz gleich.
- Du errechnest den Prozentwert für den Prozentsatz \(1\text{ %}\), oder einem anderen Vielfachen, indem Du auf beiden Seiten die gleiche Rechnung vornimmst.
- Zum Schluss multiplizierst Du die \(1\text{ %}\) mit \(100\), damit der gesuchte Grundwert herauskommt.
Eine Auffrischung der Kenntnisse zu diesem Thema gibts in der Erklärung "Dreisatz". Auch weitere Beispiele sind dort zu finden.
Sieh dir zum besseren Verständnis folgendes Beispiel an:
Du findest einen Geldbeutel und bekommst vom Besitzer dafür einen Finderlohn von \(5 \text{ %}\), insgesamt \(25 \text{ €}\). Jetzt fragst Du Dich, wie viel Geld denn in dem Geldbeutel war.
1. Du setzt den gegebenen Prozentwert mit seinem Prozentsatz gleich. | Die \(5 \text{ %}\) entsprechen ja den \(25 \text{ €}\), das kannst Du erst mal so aufschreiben. \begin{align} 5\text{ %} &\stackrel{\wedge}{=} 25 \end{align} |
| 2. Du rechnest den Prozentwert für den Prozentsatz \(1\text{ %}\) aus, indem Du auf beiden Seiten die gleiche Rechnung (\({\color{#1478c8}:5}\)) vornimmst. | \begin{align} 5\text{ %} &\stackrel{\wedge}{=} 25\\ {\color{#1478c8}:5} \hookrightarrow \hspace{0.8cm}1\text{ %} &\stackrel{\wedge}{=}5 \hspace{1.4cm} \hookleftarrow {\color{#1478c8}:5} \end{align} |
| 3. Zum Schluss multiplizierst Du die \(1\text{ %}\) mit \({\color{#00dcb4}100}\), damit der gesuchte Grundwert herauskommt. | \begin{align} 5\text{ %} &\stackrel{\wedge}{=} 25\\ {\color{#1478c8}:5} \hookrightarrow \hspace{0.8cm}1\text{ %} &\stackrel{\wedge}{=}5 \hspace{1.4cm} \hookleftarrow {\color{#1478c8}:5}\\ {\color{#00dcb4}\cdot 100} \hookrightarrow \hspace{0.3cm}100\text{ %} &\stackrel{\wedge}{=}500 (\text{€}) \hspace{0.3cm} \hookleftarrow {\color{#00dcb4}\cdot 100} \end{align} |
Im Geldbeutel waren also insgesamt \(500 \text{ €}\).
Verminderter Grundwert berechnen
Wird der Grundwert verringert, reduziert oder verkleinert, dann spricht man vom verminderten Grundwert. Zur Berechnung des verminderten Grundwertes wird der Grundwert G mit einem modifizierten Prozentsatz multipliziert.
Der verminderte Grundwert \(G^{-}\) berechnet sich durch:
\[G^{-}=G \cdot (100 \text{ %} -p\text{ %})\]
Ein Beispiel zeigt Dir, wie das funktioniert.
Ein Paar Socken kostet vor einer Rabattaktion \(10\text{ €}\). Während der Aktion sind alle Artikel um \(10\text{ %}\) reduziert. Wie viel kosten die Socken, wenn Du sie Dir jetzt kaufen willst?
Hierbei handelt es sich um einen verminderten Grundwert. Die Socken entsprechen nach der Reduzierung \(100\text{ %}-10\text{ %}=90\text{ %}\) ihres Originalpreises:
\[G^{-}=10 \cdot (100\text{ %}-10\text{ %})=10 \cdot 90 \text{ %}=10 \cdot 0,9=9 \text{ €}\] Du kannst die Socken jetzt also für \(9\text{ €}\) kaufen.
Vermehrter Grundwert berechnen
Wird der Grundwert erhöht oder nimmt zu, handelt es sich um einen vermehrten Grundwert. Zur Berechnung des vermehrten Grundwertes wird der ursprüngliche Grundwert G und ein modifizierter Prozentsatz benötigt.
Der vermehrte Grundwert \(G^{+}\) berechnet sich durch:
\[G^{+}=G \cdot (100\text{ %}+p\text{ %})\]
Wenn alle nötigen Werte gegeben sind, kannst Du den vermehrten Grundwert berechnen.
Deine Eltern geben Dir zu Deinem Geburtstag \(10 \text{ %}\) mehr Taschengeld. Zurzeit bekommst Du pro Monat \(20 \text{ €}\) Taschengeld. Wie viel Geld hast Du also nach der Taschengelderhöhung pro Monat zur Verfügung?
Vor Deinem Geburtstag bekommst Du \(20 \text{ €}\), was zu der Zeit das volle Taschengeld ist, also \(100 \text{ %}\). Nach der Erhöhung erhältst Du also \(100\text{ %}+10 \text{ %}=110\text{ %}\) an Taschengeld:
\[G^{+}=20\cdot (100\text{ %}+10\text{ %})=20 \cdot 110\text{ %} =20 \cdot 1,1=22\]
Ab sofort hast Du also \(22\text{ €}\) Taschengeld zur Verfügung.
Grundwert berechnen – Aufgaben mit Lösung
Zum Schluss kannst Du Dein Wissen an den folgenden Aufgaben noch einmal testen.
Hier musst Du selbst entscheiden, ob Du den vermehrten, verminderten oder den normalen Grundwert berechnen sollst.
Grundwert berechnen – Aufgabe 1
Aufgabe 1
In einer Klasse besitzen \(4\) Schüler*Innen blaue Augen, das sind nur circa \(15 \text{ %}\) der Klasse. Wie viele Schüler*Innen sind in der Klasse?
Lösung
Diese Aufgabe kann mit der Formel zum normalen Grundwert berechnet werden, also:
\[G=\frac{4}{15\text{ %}}=\frac{4}{0{,}15} \approx 26,67 \approx 27\] Die Klasse besteht aus \(27\) Schüler*Innen.
Grundwert berechnen – Aufgabe 2
Aufgabe 2
In der letzten Klassenarbeit konnte Tom leider nur \(37 \text{ %}\) der Aufgaben richtig lösen, das sind \(21\) richtig bearbeitete Aufgaben. Wie viele Aufgaben gab es insgesamt?
Lösung
Auch hier kann mit dem normalen Grundwert gerechnet werden:
\[G=\frac{21}{35\text{ %}}=\frac{21}{0{,}35}=60\] Die Klassenarbeit bestand aus \(60\) Aufgaben.
Grundwert berechnen – Aufgabe 3
Aufgabe 3
Dein Mobilfunkanbieter gibt jedem Kunden ab dem nächsten Monat \(6\text{ %}\) mehr Datenvolumen. Dein Vertrag bietet Dir monatlich \(12\) GB. Wie viele Daten hast Du dann im nächsten Monat?
Lösung
Hier kannst Du die Aufgabe mit dem vermehrten Grundwert berechnen:
\[G^{+}=12 \cdot 106 \text{ %}=12 \cdot 1{,}06=15{,}9\] Im neuen Monat hast Du dann fast \(16\) GB Datenvolumen.
Grundwert berechnen – Das Wichtigste
- Grundwert G = das Gesamte, entspricht \(100 \text{ %}\)
- Grundwert berechnen Formel: \(G=\frac{P}{p\text{%}}\)
- Grundwert berechnen mithilfe des Dreisatzes:
- Du setzt den gegebenen Prozentwert mit seinem Prozentsatz gleich.
- Du errechnest den Prozentwert für den Prozentsatz \(1\text{ %}\) aus, oder einem anderen Vielfachen, indem Du auf beiden Seiten die gleiche Rechnung vornimmst.
- Zum Schluss multiplizierst Du die \(1\text{ %}\) mit \(100\), damit der gesuchte Grundwert herauskommt.
- Berechnung des vermehrten Grundwertes: \[G^{+}=G \cdot (100\text{%}+p\text{%})\]
- Berechnung des verminderten Grundwertes: \[G^{-}=G \cdot (100 \text{%} -p\text{%})\]
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