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Wenn Quoten aufgestellt werden wie "Jeder/Jede zehnte Bewohner*in geht bei der Bäckerei Brot kaufen'' und Du weißt, dass die Bäckerei 100 Kunden pro Tag hat, dann kannst Du berechnen, wie viele Menschen in der Stadt leben! Dies ist der sogenannte Grundwert und wie Du diesen berechnen kannst, erfährst Du in diesem Artikel!
Beginnen wir erstmal zu festigen, was Prozente überhaupt sind.
Ein Prozent ist also festgelegt als:
Eine Prozentangabe kann man also als Bruch schreiben (zum Beispiel als Anteil von Hundert), aber auch als Dezimalzahl oder mithilfe des Prozentzeichens als Prozentsatz.
Schauen wir uns das noch an einem Beispiel an:
Auf Deinem Tisch liegen 10 Buntstifte, davon sind 2 rot. Dann kannst Du dies wie gehabt als Bruch darstellen. In den Zähler schreibst Du die Anzahl der farbigen Buntstifte, hier 2 rote, und in den Nenner die Gesamtzahl der Buntstifte:
Du kannst den Bruch auch kürzen oder als Dezimalzahl schreiben:
Durch die unterschiedlichen Schreibweisen kann ich den gleichen Sachverhalt umformulieren. Beispielsweise kannst Du aus dem gekürzten Bruch sagen: "Jeder fünfte Stift ist rot." Aber Du kannst das auch zu einer Prozentdarstellung wechseln.
Also sind 20% aller Stifte auf dem Tisch rot.
Wenn das noch alles sehr neu für Dich ist, dann schau' doch erstmal im Artikel Prozente in diesem Kapitel vorbei!
Mit Prozenten kann man Anteile und Größenverhältnisse besser darstellen als über Brüche! Außerdem kannst du mit ihnen gut rechnen:
Die Grundgleichung der Prozentrechnung dient zur Berechnung von Grundwert (G), Prozentwert (P) oder Prozentsatz (p%). Die Gleichung ist immer die gleiche, sie wird nur nach dem gesuchten Wert umgestellt.
Berechnung des Prozentsatzes p%:
Berechnung des Prozentwertes P:
Berechnung des Grundwertes G:
Wenn zwei Werte gegeben sind, kann der dritte Wert berechnet werden.
Achtung: Die Benennung von Grundwert als G, Prozentwert als P und Prozentsatz als p%, ist nicht in allen Lehrbüchern gleich!
Um Dir besser merken zu können, wie die Formel bei welchem Wert aussieht, gibt es das Dreieck der Prozentrechnung als Merkhilfe.
Abbildung 1: Formeldreieck der Prozentrechnung
Den Grundwert kannst Du Dir als Ausgangspunkt von etwas vorstellen, mit dem du Berechnungen anstellen kannst. So kann der Grundwert beispielsweise das Gehalt sein, was du später verdienst, eine bestimmte Anzahl von Menschen oder der Preis eines Gegenstandes.
In manchen Fällen kennen wir aber nicht den normalen Preis, sondern nur den Reduzierten oder wissen nur wie viel Prozent einer Menschengruppe ein bestimmtes Merkmal aufweisen. Im Folgenden schauen wir uns an, wie du den Grundwert berechnen kannst.
Schaue dir das Dreieck an, dann weißt du, wie die Gleichung aussieht, um den Grundwert zu berechnen.
Abbildung 2: Grundwert berechnen aus Formeldreieck
Die Formel zeigt Dir also, dass Du den gesuchten Grundwert erhältst, wenn du den Prozentwert durch den Prozentsatz dividierst. Jetzt haben wir hier viele Fachbegriffe beziehungsweise Symbole benutzt, also schaue Dir einmal ein Beispiel an!
Aufgabe 1
Stelle dir vor, dass dir Deine Smartwatch anzeigt, dass du schon 6.000 Schritte gelaufen bist, was 75 % Deines Schrittziels entspricht. Ohne mehr gegeben zu haben, kannst Du berechnen, welches Schrittziel du überhaupt eingestellt hast!
Lösung
Du bist 6.000 Schritte gelaufen, das kann nicht der Grundwert sein, da der Ausgangspunkt der Berechnung die eingestellte Schrittzahl sein soll. Also müssen die 6.000 Schritte der Prozentwert P sein! Bei der anderen gegebenen Zahl kann es sich nur um den Prozentsatz p% handeln. Dann können wir die Werte einfach in die Formel einsetzen:
Deine Smartwatch hat also ein eingestelltes Schrittziel von 8.000 Schritten.
Abgesehen von der intuitiven Berechnung von Prozenten oder der Grundgleichung der Prozentrechnung, gibt es noch einen weiteren Weg! Du kannst auch den Dreisatz verwenden, welcher die direkte Proportionalität der Prozentwertung nutzt.
Wenn dir der Dreisatz gar nichts mehr sagt, dann schau' doch kurz im Artikel Dreisatz im Kapitel Proportionalität rein!
Das Vorgehen beim Dreisatz ist immer ähnlich:
Beginnen wir mit dem Beispiel von oben:
Aufgabe 2
Stelle dir vor, dass dir Deine Smartwatch anzeigt, dass du schon 6.000 Schritte gelaufen bist, was 75% Deines Schrittziels entspricht. Ohne mehr gegeben zu haben, können wir berechnen, welches Schrittziel du überhaupt eingestellt hast!
Lösung
Das "Dach" auf dem Gleichheitszeichen bedeutet als gesamtes Symbol "entspricht". Da es keinen Sinn ergeben würde zu sagen, dass 75 % das gleiche wäre wie 6.000 Schritte. Man sagt eben, dass 75 % 6.0000 Schritten entsprechen!
Auch hier kommen wir wieder auf das Ergebnis, dass das Schrittziel 8.000 Schritte sind.
Aufgabe 3
Eine Hose ist um 20 % reduziert und kostet nun 35 €. Die Frage ist: Wie viel hat sie vorher gekostet?
Lösung
Nun musst du aufpassen, da der entsprechende Prozentsatz nicht 20 %, sondern 80 % ist! Die Hose kostet nicht 20 % des Originalpreises, sondern 20 % weniger. Wenn sie vorher 100 % gekostet hat, also den vollen Preis, dann kostet sie jetzt 100 %-20 %=80 %.
Die Hose kostete ursprünglich 47,50 €
Beim Prozentrechnung kommt dir bestimmt auch mal der Begriff des verminderten Grundwerts unter. Ohne den Begriff vorher klären zu müssen, konnten wir die bisherigen Aufgabe trotzdem durch eine kleine Vorüberlegung lösen!
Immer wenn der Grundwert verringert wird, spricht man vom verminderten Grundwert. Ist in der Aufgabe von einer Reduzierung oder Verkleinerung die Rede, dann sollst du wahrscheinlich den verminderten Grundwert berechnen. Die Berechnung ist einfacher, als über die Grundgleichung, da du einfach den Grundwert nimmst und diesen mit dem modifizierten Prozentsatz multiplizierst!
Der verminderte Grundwert 
berechnet sich durch:
Schauen wir uns noch ein Beispiel mit der Grundgleichung der Prozentrechnung an.
Aufgabe 4
Ein paar Socken kosten vor einer Rabattaktion 10€. Während der Aktion sind alle Artikel um 10% reduziert. Wie viel kostet das Paar jetzt?
Lösung
Auch hier handelt es sich um den verminderten Grundwert. Die Socken entsprechen nach der Reduzierung 100%-10%=90% ihres Originalpreises:
Oder Du berechnest den neuen Wert mit dem Dreisatz:
Die Socken kosten jetzt 9€.
Du siehst also, dass sich bei der Berechnung kaum etwas ändert, aber es umso wichtiger ist, die Aufgabe genau zu lesen, um herauszufinden, was gesucht ist!
Der vermehrter Grundwert ist das Gegenteil des verminderten Grundwerts. Diesen benötigst du immer, wenn es eine Preiserhöhung oder Aufschläge von etwas gibt. Beispielsweise kannst du dann die Gehaltserhöhung oder Aufschläge auf deine Handyrechnung berechnen.
Der vermehrte Grundwert 
berechnet sich durch:
Aufgabe 5
Deine Eltern geben Dir zu Deinem Geburtstag 10 % mehr Taschengeld. Zurzeit bekommst Du pro Monat 20 € Taschengeld. Wie viel Geld bekommst du nach der Taschengelderhöhung?
Lösung
Vor Deinem Geburtstag bekommst Du 20 €, was zu der Zeit das volle Taschengeld ist, also 100 %. Nach der Erhöhung bekommst du also 100 %+10 %=110 % an Taschengeld:
Mit der Berechnung des Dreisatz würde die Rechnung so aussehen:
Zum Schluss kannst Du Dein Wissen an den folgenden Aufgaben noch einmal testen. Hier wird dir vorher auch nicht gesagt, ob du den vermehrten, verminderten oder den normalen Grundwert berechnen sollst – das musst du entscheiden.
Aufgabe 6
In einer Klasse besitzen 4 Schüler*Innen blaue Augen, das sind nur circa 15 % der Klasse. Wie viele Schüler*Innen sind in der Klasse?
Lösung
Diese Aufgabe kann mit dem normalen Grundwert berechnet werden, also:
Die Klasse besteht aus 27 Schüler*Innen.
Aufgabe 7
In der letzten Klassenarbeit konnte Tom leider nur 37 % der Aufgaben richtig lösen, das sind 21 richtig bearbeitete Aufgaben. Wie viele Aufgaben gab es insgesamt?
Lösung
Auch hier kann mit dem normalen Grundwert gerechnet werden:
Die Klassenarbeit bestand aus 60 Aufgaben.
Aufgabe 8
Dein Mobilfunkanbieter gibt jedem Kunden ab dem nächsten Monat 6% mehr Datenvolumen. Dein Vertrag bietet dir monatlich 12 GB. Wie viele Daten hast du dann im nächsten Monat?
Lösung
Hier können wir die Aufgabe mit dem vermehrten Grundwert berechnen:
Im neuen Monat hast du dann fast 16 GB Datenvolumen.
Die Gleichung ist immer die gleiche, sie wird nur nach dem gesuchten Wert umgestellt.
Der Grundwert ist der Quotient aus Prozentwert und Prozentsatz.
Der Grundwert ist beispielsweise die Menge an Schüler*Innen einer Klasse. Zum Beispiel hat eine Person in dieser Klasse grüne Augen, was 5% der Klassengröße entspricht. Dann kann man den Grundwert davon berechnen und weiß wie groß die Klasse ist.
Dazu setzt du Prozentsatz und Prozentwert "gleich", dividierst den Prozentsatz, so dass du 1 % übrig hast und erweiterst diesen dann per Multiplikation auf 100.
Der Grundwert ist der Bezugswert für den Prozentwert und den Prozentsatz.
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