Grundrechenarten

Wasser und Brot. Es heißt immer, dass Wasser und Brot die Dinge sind, die ein Mensch zum reinen Überleben benötigt. Sich ausschließlich von davon zu ernähren, ist zwar etwas unspektakulär, aber viele andere Nahrungsmittel bauen darauf auf.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Grundrechenarten Brot und Wasser StudySmarter

    Auch in der Mathematik gibt es etwas ähnlich essenzielles: die Grundrechenarten. Ohne Plus, Minus, Mal und Geteilt funktioniert hier überhaupt nichts. Was die Grundrechenarten sind und was da vielleicht noch dazugehören kann, darüber kannst Du Dir in diesem Artikel eine Übersicht verschaffen.

    Grundrechenarten Mathe – Übersicht & Begriffe

    Du kennst die Grundrechenarten vielleicht nur unter den oben genannten Begriffen. Es gibt jedoch auch Fachbegriffe, um die verschiedenen Rechenarten und ihre Bestandteile zu bezeichnen. Diese und wie die Rechenarten funktionieren, erfährst Du in diesem Abschnitt.

    Hinweis: Alle vier Grundrechenarten gibt es auch in der Bruchrechnung. Dafür kannst Du in das Kapitel Bruchrechnung schauen!

    Die Addition – das „Plus-Rechnen“

    Die Addition wird wegen ihres Rechenzeichens Plus (+) auch oft als „Plusrechnung“ bezeichnet. Bei der Addition wird immer etwas zusammen gezählt, die Zahl wird also vergrößert.

    Bei der Addition werden zwei oder mehr Zahlen zusammengezählt. Das Ergebnis der Addition von zwei oder mehr Summanden bezeichnet man als Summe.

    Die Addition kannst Du Dir wie folgt vorstellen:Du hast eine bestimmte Anzahl eines Objektes. In diesem Fall hast Du 2 Kekse. Dann gehst Du zu Deiner Oma und sie gibt Dir noch zusätzlich 3 Kekse. Jetzt hast Du also insgesamt 5 Kekse. Deine Addition lautet also:

    2 + 3 = 5

    Grundrechenarten Addition StudySmarterAbbildung 1: Addition

    SummandenSumme
    Alle Zahlen, mit denen bei einer Addition gerechnet wird, bezeichnet man als Summanden. Dabei nummeriert man die Summanden von links nach rechts.Die Summe bezeichnet die Rechnung vom 1. Summand addiert mit dem 2. Summand. Der Wert der Summe ist das Ergebnis dieser Rechnung.

    Die Subtraktion – das „Minus-Rechnen“

    Die Subtraktion wird wegen ihres Rechenzeichens Minus (–) auch oft als „Minusrechnung“ bezeichnet. Bei der Subtraktion wird immer etwas abgezogen, die Zahl wird also verkleinert.

    Bei der Subtraktion wird eine Zahl von einer anderen Zahl abgezogen.

    Die Ausgangszahl (Minuend) wird also um ihren Subtrahenden vermindert und es ergibt sich die Differenz.

    Die Subtraktion kannst Du Dir wie folgt vorstellen:

    Du hast eine bestimmte Anzahl eines Objektes. In diesem Fall hast Du 5 Süßigkeiten. Dein Bruder liebt Zuckerstangen, also gibst Du ihm die zwei Zuckerstangen, die Du hast. Jetzt hast Du insgesamt also nur noch 3 Süßigkeiten. Deine Subtraktion lautet:

    5 - 2 = 3

    Grundrechenarten Subtraktion StudySmarterAbbildung 2: Subtraktion

    Die Multiplikation – das „Mal-Rechnen“

    Die Multiplikation wird wegen ihres Rechenzeichens Mal (·) auch oft als „Malrechnung“ bezeichnet. Vorstellen kannst Du Dir das Multiplizieren am besten unter dem Begriff „Vervielfachen“ denn eigentlich ist die Multiplikation auch eine mehrfache Addition.

    Bei der Multiplikation zählt man etwas zusammen, die Zahl wird also vergrößert.

    Bei der Multiplikation wird die gleiche Zahl mehrfach addiert. Das Ergebnis der Multiplikation von zwei oder mehr Faktoren wird als Produkt bezeichnet.

    Die Multiplikation kannst Du Dir wie folgt vorstellen.

    Du hast 3 Freunde und möchtest jedem Deiner Freunde 2 Kekse geben. Insgesamt benötigst Du also 6 Kekse. Du könntest folgendes rechnen:

    2 + 2 + 2 = 6

    Das sind dreimal 2 Kekse. Dementsprechend kannst Du die Rechnung auch so zusammenfassen:

    3 · 2 = 6

    Grundrechenarten Multiplikation StudySmarterAbbildung 3: Multiplikation

    Die Division – das „Geteilt-Rechnen“

    Die Division wird wegen ihres Rechenzeichens Geteilt (:) auch oft als „Geteilt-Rechnung“ bezeichnet. Vorstellen kannst Du Dir das Dividieren am besten unter dem Begriff „Teilen“ denn eigentlich wird bei der Division geprüft, wie oft eine Zahl in eine andere Zahl geteilt werden kann.

    Bei der Division wird eine Zahl in andere Zahlen aufgeteilt. Das Ergebnis der Division von Dividend und Divisor wird als Quotient bezeichnet.

    Die Division kannst Du Dir wie folgt vorstellen.

    Du hast 6 Kekse und möchtest sie auf Deine 3 Freunde so aufteilen, dass jeder gleich viele bekommt. Jeder Deiner 3 Freunde bekommt also 2 Kekse. Du rechnest also Folgendes:

    6 : 3 = 2

    Grundrechenarten Division StudySmarterAbbildung 4: Division

    Rechnen mit allen Grundrechenarten

    Im Folgenden Beispiel findest Du ein paar Aufgaben zu den Grundrechenarten. Hier kannst Du Dein Wissen testen.

    Aufgabe 1

    Berechne die folgenden Aufgaben:

    a) 10 + 3 + 7+ 6

    b) 16 - 5- 2

    c) 4 · 5 · 2

    d) 21 : 7

    Lösung

    a) 10 + 3 + 7 + 6 = 26

    b) 16 - 5 - 2 = 9

    c) 4 · 5 · 2 = 40

    d) 21 : 7 = 3

    Du würdest gerne noch mehr Aufgaben rechnen? Die Aufgaben waren zu einfach für Dich? In den passenden Artikeln zu den einzelnen Grundrechenarten findest Du mehr!

    Grundrechenarten – Rechengesetze

    In der Mathematik gibt es einige Gesetze, die das Berechnen von Termen vereinfachen, die sogenannten Rechengesetze. Sie sind eine verbindliche Rechenvorschrift, an die Du Dich beim Berechnen von Aufgaben halten musst. Die drei Rechengesetze, die die meiste Anwendung finden, sind das Kommutativgesetz, das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz. Diese Gesetze gelten jedoch nicht für alle Rechenarten.

    Kommutativgesetz

    Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt. Es erlaubt Dir, in bestimmten Rechnungen zwei Zahlen zu vertauschen. Das Kommutativgesetz gilt nur für die Addition und Multiplikation. Bei der Subtraktion und Division darfst Du die Zahlen nicht einfach vertauschen, da sich sonst das Ergebnis verändert.

    Kommutativgesetz der Addition:

    a + b = b + a

    Kommutativgesetz der Multiplikation:

    a · b = b · a

    Assoziativgesetz

    Das Assoziativgesetz wird auch Verbindungsgesetz genannt. Es erlaubt Dir, in bestimmten Situationen gewisse Rechnungen mit einer Klammer zu verbinden und damit zuerst zu berechnen. Dadurch kannst Du Dir Rechenvorteile verschaffen und komplexe Terme schneller und einfacher berechnen. Das Assoziativgesetz gilt nur für die Addition und Multiplikation. Bei der Subtraktion und Division darfst Du nicht einfach Klammern setzen und vertauschen, da sich sonst das Ergebnis verändert.

    Assoziativgesetz der Addition:

    a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

    Assoziativgesetz der Multiplikation:

    a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)

    Distributivgesetz

    Das Distributivgesetz wird auch Verteilungsgesetz genannt. Es ermöglicht Dir, Klammern auszumultiplizieren oder umgekehrt Faktoren auszuklammern. Dadurch kannst Du Terme berechnen oder anschaulich zusammenfassen.

    Beim Distributivgesetz wird immer eine Strichrechnung – also Plus oder Minus – mit einer Punktrechnung – Mal oder Geteilt – verbunden.

    Anders als das Assoziativgesetz und Kommutativgesetz, die beide für die Addition und die Multiplikation gelten, gilt das Distributivgesetz für die Multiplikation und die Division.

    Das Distributivgesetz lautet:

    a · (b + c) = a · b + a · ca · (b - c) = a · b - a · c

    Grundrechenarten – Weitere Rechenarten

    Neben den vier Grundrechenarten gibt es noch einige andere Rechenarten, die ebenfalls als Basis der Mathematik gelten. Diese Rechenarten sind etwas fortgeschrittener. Wenn Du also nicht alle Themen verstehst, ist das überhaupt nicht schlimm.

    Das Potenzieren

    Beim Potenzieren wird eine Zahl x b-mit sich selbst multipliziert. x wird dabei Basis genannt. b ist eine Hochzahl und wird Exponent genannt. Eine Potenz ist also nichts anderes als ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren.

    Grundrechenarten Potenzieren StudySmarterAbbildung 5: Potenzieren

    Potenzen, die im Exponenten eine 2 stehen haben, werden auch Quadratzahlen.

    Beim Potenzieren gibt es zudem die Potenzregeln. Das sind Rechenregeln, die Dir das Rechnen mit Potenzen vereinfachen.

    Hier folgt eine kurze Übersicht der Rechenregeln bei Potenzen:

    an · am = an + manam = an - man · bn = (a · b)n anbn = abnanm = an · m

    Das Radizieren – das „Wurzelziehen“

    Das Radizieren ist die Umkehroperation des Potenzierens. Dabei ist die „normale“ Wurzel, die auch Quadratwurzel heißt, die Umkehrung des Quadrierens. Die dritte Wurzel ist dann die Umkehrung des Potenzierens mit 3, die vierte Wurzel vom Potenzieren mit 4 usw..

    Unter Radizieren wird in der Mathematik die Bestimmung der Unbekannten x in der Potenzgleichung

    xn=a

    verstanden. Wenn die Gleichung xn=a nach x aufgelöst wird, ergibt sich:

    x=an

    Der Wurzelexponent n ist der Wert, mit dem der Wurzelwert x potenziert werden muss, um den Radikanden a der Wurzel zu erhalten.

    Grundrechenarten Radizieren StudySmarterAbbildung 6: Radizieren

    Auch beim Radizieren gibt es Regeln, die beim Rechnen mit Wurzeln beachtet werden müssen.

    Hier folgt eine kurze Übersicht der Rechenregeln bei Wurzeln:

    an · bn = a · bnanbn = abnanm = amnanm = am · namn = amn

    Runden, Schätzen und Überschlagen

    Unter den drei Begriffen Überschlagen, Runden und Schätzen stellst Du Dir vermutlich erst einmal fast das Gleiche vor. Es gibt allerdings Unterschiede und die sind auch wichtig. Deshalb kannst Du im Folgenden jeden Begriff einmal einzeln durchgehen.

    Runden

    Manchmal ist es nicht möglich oder auch gar nicht sinnvoll, das Ergebnis einer Rechnung ganz genau anzugeben.

    Unter dem Runden ist das Vereinfachen von Zahlen oder Ergebnissen nach bestimmten Regeln zu verstehen.

    Ist die zu betrachtende Ziffer kleiner oder gleich 4, dann rundest Du ab. Ist die zu betrachtende Ziffer größer oder gleich 5, dann rundest Du auf!

    Es wird also ein Näherungswert angegeben. Dieser wird zum sinnvollen Angeben des Ergebnisses am Ende einer Rechnung verwendet.

    Schätzen

    Das Ziel beim Schätzen ist es, dass Du immer möglichst nah an der Realität bist. Um also möglichst genau schätzen zu können, gibt es verschiedene Methoden, die Du anwenden kannst.

    Du möchtest mehr über die Methoden lernen? Das alles kannst Du im Artikel „Schätzen“ nachlesen.

    Das Prinzip des Schätzens beschreibt eine ungefähre Größen- oder Mengenangabe durch gedankliche Prozesse, die auf Vorwissen und Erfahrungen basieren.

    Beim Schätzen überlegst Du vor dem Rechnen, welches Ergebnis herauskommen könnte. Häufig verwendest Du es beim Rechnen mit Größen.

    Überschlagen

    Wendest Du das auf einen Supermarkteinkauf an, zählst Du nur die gerundeten Preisangaben zusammen. Die Überschlagsrechnung kannst Du dann im Kopf durchführen und weißt anschließend, ob Dir Dein Geld reicht.

    Unter dem Überschlagen in der Mathematik versteht man das Rechnen einer Aufgabe mithilfe grob gerundeter Zahlen.

    Beim Überschlagen führst Du die Rechnung mit gerundeten Zahlen durch, um ungefähr zu erfahren, was dabei herauskommt. Überschlagen ist auch beim Rechnen mit Größen sinnvoll: Wenn etwa Fliesen neu verlegt werden, dann werden immer ein paar mehr gekauft, als wirklich benötigt werden, es könnten ja welche bei den Arbeiten kaputtgehen.

    Fakultät

    Die Fakultät ist eine Abkürzung für das Produkt von einer Zahl mit allen kleineren natürlichen Zahlen. Für die Fakultät schreibst Du ein umgedrehtes Ausrufezeichen „!“.

    Die Fakultät n! ordnet einer natürlichen Zahl n das Produkt aller natürlicher Zahlen (außer 0) kleiner und gleich nzu. Sie ist damit definiert durch folgenden Ausdruck:

    n!=n·(n-1)·(n-2)...·3·2·1=k=1nk

    Die häufigste Anwendung der Fakultät findest Du in der Kombinatorik. Sie wird als Rechenoperator für viele komplexere Formeln verwendet, wie den Binomialkoeffizienten.

    Substitution

    Das Ziel der Substitution ist es, eine komplexe Gleichung in eine einfachere und lösbare Form zu überführen und so die Gleichung zu lösen. Oft kannst Du durch eine Substitution ein Problem und somit die Rechnung vereinfachen.

    Unter der Substitution ist das Ersetzen eines Terms durch einen neuen Term zu verstehen,

    x2 = u

    Die Resubstitution oder Rücksubstitution bezeichnet das Rückgängigmachen dieses Vorgangs.

    u = x2

    Das Ziel der Substitution ist es, eine komplexe Gleichung in eine einfachere und lösbare Form zu überführen und so die Gleichung zu lösen. Oft kannst Du durch eine Substitution ein Problem und somit die Rechnung vereinfachen.

    Das Substitutionsverfahren ist eine Möglichkeit, Gleichungen nach x aufzulösen und die Nullstellen einer Gleichung höherer Ordnung zu finden. Oft kannst Du nach einer Substitution die p-q-Formel / Mitternachtsformel anwenden, um dadurch eine Polynomdivision zu umgehen.

    Grundrechenarten – Das Wichtigste auf einen Blick

    • „Plusrechung“ wird auch als Addition bezeichnet
      • 1. Summand + 2. Summand = Summe
    • „Minusrechnung“ wird auch als Subtraktion bezeichnet
      • Minuend – Subtrahend = Differenz
    • „Malr-Rechnung“ wird auch als Multiplikation bezeichnet
      • 1. Faktor · 2. Faktor = Produkt
    • „Geteilt-Rechnung“ wird auch als Division bezeichnet
    • Kommutativgesetz:
      • a + b = b + a
    • Assoziativgesetz:
      • a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
    • Distributivgesetz:
      • a · (b + c) = a · b + a · ca · (b - c) = a · b a · c
    • Potenz: ax
    • Radizieren: x = an
    • Runden, Schätzen und Überschlagen sind nicht das Gleiche
    • Die Fakultätn! beschreibt das Produkt der Zahl n mit allen kleineren Zahlen
    • Bei der Substitution wird ein Teil eines Terms ersetzte und am Ende wieder resubstituiert
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Grundrechenarten

    Was gibt es alles für Rechenarten?

    Die vier Grundrechenarten sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division. Zu den Rechenarten gehören beispielsweise auch das Potenzieren, das Radizieren, das Runden, das Schätzen, das Überschlagen, die Fakultät oder die Substitution.

    Wie heißen die Fachbegriffe der Grundrechenarten?

    Es gibt vier Grundrechenarten: 

    Plus-Rechnung/Addition: 

    • 1. Summand + 2. Summand = Summe

    Minus-Rechnung/Subtraktion

    • Minuend – Subtrahend = Differenz

    Mal-Rechnung/Multiplikation

    • 1. Faktor · 2. Faktor = Produkt

    Geteilt-Rechnung/Division

    • Dividend : Divisor = Quotient

    Wie heißen die Fachbegriffe der Grundrechenarten in Mathe?  

    Es gibt vier Grundrechenarten, die jedenfalls mit Fachbegriffen bezeichnet werden: 

    • Plus-Rechnung/Addition: 
    • Minus-Rechnung/Subtraktion
    • Mal-Rechnung/Multiplikation
    • Geteilt-Rechnung/Division

    Wie nennt man die Ergebnisse der Grundrechenarten?

    Das Ergebnis einer Addition wird Summe genannt. Das Ergebnis einer Subtraktion wird Differenz genannt. Das Ergebnis einer Multiplikation wird Produkt genannt und das Ergebnis einer Division wird Quotient genannt.

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    Du möchtest eine Rechnung mit Dezimalzahlen überschlagen. Worauf rundest du meist am besten?

    Bei welcher Rechenart kommt es bei groben Rundungen schnell zu sehr ungenauen Ergebnissen?

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