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Grundrechenarten

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Grundrechenarten

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit den Grundlagen der Mathematik – den Grundrechenarten. Es gibt vier Grundrechenarten, die wir hier kurz erklären wollen. Außerdem gibt es noch ein paar Arten zu rechnen, auf die wir in diesem Kapitel eingehen.

Nach diesem Übersichtsartikel hast du einen ersten Überblick über die Grundrechenarten. Wenn du mehr zu einem bestimmten Thema wissen willst, kannst du einfach den zugehörigen Artikel lesen.

Die vier Grundrechenarten

Zunächst wollen wir uns die vier Grundrechenarten anschauen – die wirst du in der Mathematik immer brauchen.

Man kann alle vier Grundrechenarten im Kopf oder schriftlich ausführen. Bei kleinen Zahlen ist die Rechnung im Kopf oftmals schneller. Wenn die Zahlen aber sehr groß werden, oder du dir nicht ganz sicher bist, dann solltest du auf das schriftliche Rechnen ausweichen.

Hinweis: Alle vier Grundrechenarten gibt es auch in der Bruchrechnung. Dafür kannst du in das Kapitel Bruchrechnung schauen!

Addition – das „Plus-Rechen“

Bei der Addition zählt man Zahlen zusammen. Die Zahlen werden Summanden genannt, das Ergebnis nennt man Summe mit ihrem zugehörigen Wert und alles zusammen ist die Addition.

Subtraktion – das „Minus-Rechnen“

Bei der Subtraktion hat man einen Minuenden von dem man den Subtrahenden abzieht. Als Ergebnis erhält man dann die Differenz dieser Summanden.

Multiplikation – das „Mal-Rechnen“

Bei der Multiplikation multipliziert man den 1. Faktor mit dem 2. Faktor. Das Ergebnis ist das Produkt mit seinem zugehörigen Produktwert.

Division – das „Geteilt-Rechnen“

Bei der Division hat man einen Dividenden und einen oder mehrere Divisoren, wobei man jeweils berechnen möchte, wie oft der Divisor in den Dividenden passt. Besonders wichtig ist, dass man nie durch 0 teilen darf!

Weitere Rechenarten

Neben den vier Grundrechenarten gibt es noch einige andere Rechenarten und Themen, sie wir in diesem Kapitel anschauen. Diese begegnen dir vielleicht nicht schon in der Grundschule, aber spätestens auf der weiterführenden Schule werden sie dir über den Weg laufen.

Potenzieren

Beim Potenzieren wird eine Zahl sooft mit sich selber multipliziert, wie es der Exponent - also die Hochzahl - angibt. Eine Potenz ist also nichts anderes als ein Produkt aus lauter gleichen Faktoren.

Potenzen, die im Exponenten eine 2 stehen haben, heißen Quadratzahlen. Es kann nicht schaden, die ersten 20 Quadratzahlen wie das kleine Einmaleins auswendig zu können!

Beim Potenzieren gibt es zudem die Potenzregeln. Das sind Rechenregeln, die dir das Rechnen mit Potenzen vereinfachen.

Radizieren - das "Wurzelziehen"

Wurzeln werden dir wahrscheinlich ab der 9. Klasse begegnen. Das Radizieren ist die Umkehroperation des Potenzierens. Dabei ist die "normale" Wurzel, die auch Quadratwurzel heißt, die Umkehrung des Quadrierens. Die dritte Wurzel ist dann die Umkehrung des Potenzierens mit 3, die vierte Wurzel vom Potenzieren mit 4 usw.

Das Kapitel Radizieren ist etwas umfänglicher und beinhaltet auch Artikel dazu, wie du Wurzeln addierst, subtrahierst, multiplizierst und dividierst, wie du näherungsweise Quadratwurzeln bestimmen kannst und welche Rechenregeln es dazu gibt.

Runden, Schätzen und Überschlagen

Manchmal ist es nicht möglich oder auch gar nicht sinnvoll, das Ergebnis einer Rechnung ganz genau anzugeben.

Mit einem 5€-Schein möchtest du so viele Brezen kaufen, wie es geht. Jede Breze kostet 60ct.

Die korrekte Rechnung wäre hier:

Du könntest also 8 ganze Brezen und eine Drittel Breze kaufen.

Das macht aber natürlich keinen Sinn - du bekommst nur 8 Brezen und nimmst das restliche Geld wieder mit nach Hause.

Es wird also ein Näherungswert angegeben. Dieses Vorgehen nennt man Runden. Es findet also am Ende einer Rechnung statt, um das Ergebnis sinnvoll anzugeben.

Vor der Rechnung kann man schätzen oder überschlagen.

Beim Schätzen überlegt man vor dem Rechnen, welches Ergebnis herauskommen könnte. Häufig verwendet man es beim Rechnen mit Größen.

Beim Überschlagen führt man die Rechnung mit gerundeten Zahlen durch, um ungefähr zu erfahren, was dabei herauskommt. Überschlagen ist auch beim Rechnen mit Größen sinnvoll: Wenn beispielsweise Fliesen neu verlegt werden, dann werden immer ein paar mehr gekauft, als wirklich benötigt werden, es könnten ja welche bei den Arbeiten kaputt gehen.

Überschlagen und Schätzen werden oft als lästig empfunden, aber sie helfen sehr, ein mathematisches Grundverständnis aufzubauen.

Fakultät

Die Fakultät ist eine Abkürzung für das Produkt von einer Zahl mit allen kleineren natürlichen Zahlen. Dafür notiert man ein !

Diese Abkürzung wird häufig in der Stochastik verwendet.

Substitution

Die Substitution ist eine fortgeschrittene mathematische Lösung von komplizierten Rechnungen. Dabei ersetzt man z. B. in Termen bestimmte Ausdrücke durch leichtere Ausdrücke, rechnet dann mit diesen, und resubstituiert im Ergebnis dann - sprich setzt die ursprünglichen Ausdrücke wieder ein. Manchmal ist das Substituieren hilfreich bei der Rechnung von Integralen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Grundrechenarten

Das sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division. Manchmal sagt man dazu auch Plusrechnen, Minusrechnen, Malrechnen und Geteiltrechnen.

Die Zahl, die in einer Division geteilt wird, heißt Dividend. Die Zahl, durch die geteilt wird, heißt Divisor. Dividend durch Divisor wird auch Quotient genannt. Das Ergebnis der Division ist der Wert des Quotienten.

Zum Plusrechnen sagt man Addition. Das Minusrechnen ist die Subtraktion. Das Malrechnen heißt formal richtig Multiplikation. Und das Geteiltrechnen ist die Division.

Die Zahlen in einer Addition heißen Summanden. Das Ergebnis heißt dann Wert der Summe.

Finales Grundrechenarten Quiz

Frage

Nenne die Vorteile einer Überschlagsrechnung gegenüber einer genauen Rechnung.

Antwort anzeigen

Antwort

​Eine Überschlagsrechnung

  • geht schneller
  • kann im Kopf, ohne weitere Materialien, gerechnet werden
  • eignet sich gut zum Überprüfen der genauen Rechnung
Frage anzeigen

Frage

Du möchtest eine Rechnung mit Dezimalzahlen überschlagen. Worauf rundest du meist am besten?

Antwort anzeigen

Antwort

Einer

Frage anzeigen

Frage

Bei welcher Rechenart kommt es bei groben Rundungen schnell zu sehr ungenauen Ergebnissen?

Antwort anzeigen

Antwort

Multiplikation

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was man unter Überschlagen versteht.

Antwort anzeigen

Antwort

Unter dem Überschlagen in der Mathematik versteht man das Rechnen einer Aufgabe mithilfe grob gerundeter Zahlen.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere den Unterschied zwischen Runden, Schätzen und Überschlagen.

Antwort anzeigen

Antwort

Die wesentlichen Unterschiede zwischen Schätzen, Runden und Überschlagen sind:

  • Beim Schätzen beurteilst du welche Zahl dargestellt oder gemeint ist (ohne Rechnen oder Zählen!).
  • Einzelne Zahlen können gerundet werden.
  • Ein Überschlag wird bei komplizierten Aufgaben durchgeführt, um sie im Kopf lösen zu können.
Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du eine Substitution durchführen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn in einer Gleichung lediglich gerade Potenzen von x auftreten, kann eine Substitution durchgeführt werden.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Substitution? 


Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Substitution ersetzt Du einen Term (bzw. Teile eines Terms) durch einen anderen, mit dem Ziel, diesen in eine einfacher lösbare Form zu bringen.

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet Substituieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Term durch anderen Term ersetzen

Frage anzeigen

Frage

Wobei ist die Substitution hilfreich?

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Antwort

Mithilfe der Substitution kannst Du Gleichungen vereinfachen und dadurch mit bekannten Formeln – wie der p-q- oder der Mitternachtsformel –  die Gleichung auflösen. Vergesse dabei nicht, zurück zu substituieren

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du eine Wurzel substituieren darfst?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Substitution ist anwendbar, wenn die Radikanden gleich sind. Als Radikand wird die Zahl bezeichnet, die unter der Wurzel steht.  

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet biquadratisch?

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Antwort

Unter einem Biquadrat versteht man die 4. Potenz, also quasi das Quadrat im Quadrat. Daher Biquadrat.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet das Ziel der Substitution?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Ziel ist die Überführung des Ausgangsterms in eine einfachere, lösbarere Form. Danach kann er mit der p-q-Formel oder Mitternachtsformel gelöst werden.

Frage anzeigen

Frage

Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit Du eine Gleichung substituieren kannst?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Die erste Potenz von x muss gerade sein.
  2. Alle Potenzen der Gleichung müssen gerade sein.
  3. Die Hochzahl des ersten Terms muss doppelt so hoch sein, wie die Hochzahl des anderen Terms.
Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die vier Schritte der Substitution?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Substitution
  2. Löse die Gleichung mit u
  3. Resubstitution 
  4. Wurzel ziehen
Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die gängigsten Variablen zum Substituieren?

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Antwort

Die gängigsten Variablen sind u und z. Du kannst aber auch jeden beliebigen anderen Buchstaben verwenden.

Frage anzeigen

Frage

Welches Rechenzeichen wird bei der Multiplikation verwendet?

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Antwort

Das Malzeichen (·).

Frage anzeigen

Frage

Erkläre die Multiplikation in deinen eigenen Worten.

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Antwort

Vorstellen kannst du dir das Multiplizieren am besten unter dem Begriff „Vervielfachen“. Eigentlich ist die Multiplikation auch eine mehrfache AdditionBei der Multiplikation wird die gleiche Zahl mehrfach addiert.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du dir eine Multiplikation vorstellen?

Antwort anzeigen

Antwort

Entweder du stellst dir die Multiplikation mit Gegenständen vor, die du an verschiedenen Personen abgibst oder du stellst sie dir an einem Zahlenstrahl vor.

Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die Fachbegriffe zur Beschreibung einer Multiplikation?

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Zahlen, mit denen bei einer Multiplikation gerechnet wird, bezeichnet man als Faktoren. 
Dabei nummeriert man die Faktoren von links nach rechts.

Das Produkt bezeichnet die Rechnung vom 1. Faktor multipliziert mit dem 2. Faktor. Der Wert des Produkts ist das Ergebnis dieser Rechnung.


1. Faktor · 2. Faktor = Produkt

Frage anzeigen

Frage

Welche Rechengesetze gelten für die Multiplikation?

Antwort anzeigen

Antwort

Kommutativgesetz

Frage anzeigen

Frage

Welche Rechenart ist das Gegenteil der Multiplikation?

Antwort anzeigen

Antwort

Division

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Frage

Erkläre eine schriftliche Multiplikation in Worten.

Antwort anzeigen

Antwort

1.

Schreibe die beiden Faktoren direkt nebeneinander auf und ziehe eine Linie darunter.


2.

Beginne dann mit den beiden Einern. Die beiden Einer werden multipliziert und das Ergebnis unter den Strich geschrieben.


3.

Danach behältst du den gleichen Einer des 2. Faktors bei und multiplizierst ihn mit dem Zehner des ersten Faktors. Das Ergebnis dieser Zahl schreibst du dann vor die gerade eben aufgeschriebenen Zahl. 

So multiplizierst du alle Stellen des ersten Faktors mit dem Einer des zweiten Faktors weiter.


4.

Wenn du dann alle Stellen des ersten Faktors mit dem Einer des zweiten Faktors multipliziert hast und die Ergebnisse alle in einer Reihe unter den Strich geschrieben hast, beginnst du eine neue Zeile und schreibst direkt unter das Ergebnis, das du als erstes notiert hast, eine 0. 


5.

Daraufhin multiplizierst du den Zehner des zweiten Faktors mit dem Einer des ersten Faktors und schreibst das Ergebnis in die gleiche Zeile neben die 0. So machst du weiter, bist du mit dem Zehner des zweiten Faktors alle Stellen des ersten Faktors multipliziert und in die gleiche Zeile geschrieben hast.


6.

Wenn der zweite Faktor eine hunderter Stelle hat, dann schreibst du in eine neue Zeile zwei Nullen und multiplizierst diesen hunderter mit allen Stellen des ersten Faktors. Diesen Prozess wiederholst du so lange, bis du alle Stellen des zweiten Faktors mit jeweils allen Stellen des ersten Faktors multipliziert hast. An diesem Punkt sollten unter dem Strich so viele Zeilen sein, wie der zweite Faktor stellen hat.


7.

Anschließend ziehst du eine Linie unter die letzte Zeile und addierst die dabei entstandenen Zahlen schriftlich.


Frage anzeigen

Frage

Welche Regel musst du bei der schriftlichen Multiplikation beachten?

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Antwort

Pro Multiplikation wird nur der Einer aufgeschrieben, der Zehner wird sich gemerkt und anschließend zum nächsten Produkt addiert.

Frage anzeigen

Frage

Wie werden Dezimalzahlen schriftlich multipliziert?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn du Dezimalzahlen multiplizierst, dann kannst du beim Berechnen selbst die Kommas einfach ignorieren. Bist du mit der Addition der einzelnen Teilberechnungen fertig, dann kannst du die Anzahl an Nachkommastellen zählen, die die zwei Dezimalzahlen hatten. Die Summe dieser Nachkommastellen entspricht der Anzahl an Nachkommastellen des Ergebnisses. Diese Anzahl musst du dann nur abzählen und das Komma an der entsprechenden Stelle des Produkts einfügen.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe eine halbschriftliche Multiplikation in Worten. 

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn du etwas halbschriftlich multiplizierst bedeutet das, dass du einen Faktor in seinen Einer, Zehner, Hunderter und so weiter zerlegst. Diese multiplizierst du dann einzeln mit dem anderen Faktor und addierst die Produkte dann.

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes multiplizieren kannst?

Antwort anzeigen

Antwort

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Wurzel multiplizieren kann.

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du zwei Wurzeln mithilfe des Wurzelgesetzes dividieren kannst? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die beiden Wurzel müssen denselben Wurzelexponenten haben, damit ich die Radikanden dividieren kann. 

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du die Wurzel aus einer Wurzel ziehen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Ich kann die Wurzel aus einer Wurzel ziehen, indem ich die beiden Wurzelexponenten multipliziere. Das Produkt ist der neue Wurzelexponent. Der Radikand verändert sich nicht.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, ob alle Wurzeln addiert werden können.

Antwort anzeigen

Antwort

Wurzeln können nicht beliebig addiert werden. Eine Addition von Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzeln gleich sind.

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage zum Addieren von Wurzeln ist richtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Wurzeln können nur addiert werden, wenn die Wurzeln gleich sind.

Frage anzeigen

Frage

Wann musst Du Resubstituieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei manchen Gleichungen vereinfacht es das Lösen der Gleichung, wenn Du die zu berechnende Unbekannte substituierst, sprich ersetzt. Allerdingst musst Du am Ende der Rechnung durch Resubstitution wieder auf die ursprüngliche Unbekannte kommen. Das bedeutet, Du machst den Vorgang rückgängig.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre in eigenen Worten, was die Fakultät einer Zahl ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Fakultät einer Zahl ergibt sich, indem Du alle natürlichen Zahlen von 1 bis zur gesuchten Zahl multiplizierst.

Frage anzeigen

Frage

Nenne das kombinatorische Konzept, das Du mit der Fakultät beschreiben kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Fakultät beschreibt eine Permutation ohne Wiederholung.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Fakultät von 0 an.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Fakultät von 0 ergibt 1, denn es ist ein leeres Produkt, das aber bei 1 beginnt.

Frage anzeigen

Frage

Berechne, wie viele Möglichkeiten es gibt, eine 10-stellige PIN aufzustellen, in der jede Ziffer genau 1 Mal vorkommt.


Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 3 628 800 Möglichkeiten.

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Frage

Auf welche zwei Arten kannst Du Dir die Division vorstellen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Division kannst Du Dir mithilfe von einem Rechenschieber oder mithilfe von einem Zahlenstrahl vorstellen.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Begriffe der Division.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Ergebnis der Division von Dividend und Divisor wird als Quotient bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Dividend?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Dividend ist die vorderste Zahl. Der Dividend ist die Zahl, die in zwei andere Zahlen aufgeteilt wird.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Divisor?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Divisor ist die Zahl nach dem "geteilt"-Zeichen. Es ist der Wert, bei dem geprüft wird, wie oft er in den Wert des Dividenden passt.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Quotient?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Quotient bezeichnet die Rechnung des Dividenden geteilt durch den Divisor. Der Wert des Quotienten ist das Ergebnis dieser Rechnung.

Frage anzeigen

Frage

Welche Rechenregeln gelten bei der Division?

Antwort anzeigen

Antwort

nur das Assoziativgesetz

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Quotient, wenn der Dividend 0 ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Quotient ist immer 0, wenn der Dividend 0 ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Quotient, wenn der Divisor 0 ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Es darf niemals durch 0 geteilt werden, was bedeutet, dass es für diese Rechnung keinen Quotienten gibt.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Quotient, wenn eine beliebige Zahl a mit 1 dividiert wird?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Quotient einer beliebigen Zahl a mit eins dividiert, entspricht immer dem Wert der Zahl a.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Quotient von einem unechten Teiler?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Quotient von unechten Teilern ist eine Dezimalzahl oder eine natürliche Zahl mit Rest.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Quotient von einem echten Teiler?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Quotient von einem echten Teiler ist eine natürliche Zahl ohne Rest.

Frage anzeigen

Frage

Wann sind zwei Wurzeln gleichnamig?

Antwort anzeigen

Antwort

Wurzeln sind gleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben.

Frage anzeigen

Frage

Wann sind Wurzeln ungleichnamig?

Antwort anzeigen

Antwort

Wurzeln sind ungleichnamig, wenn sie denselben Wurzelexponenten haben.

Frage anzeigen

Frage

Welcher Rechenweg funktioniert ausnahmslos bei jeder Art von Wurzelausdruck?

Antwort anzeigen

Antwort

Du berechnest zunächst jede Wurzel separat und verrechnest anschließend die jeweiligen Lösungen miteinander. So kannst Du sowohl bei gleichnamigen als auch bei ungleichnamigen Wurzeln vorgehen.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du bei der Multiplikation von ungleichnamigen Wurzeln vorgehen?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei ungleichnamigen Wurzeln gilt das Wurzelgesetz nicht. Daher musst Du sie für die Anwendung des Gesetzes vorher gleichnamig machen. Alternativ kannst Du jede Wurzel separat berechnen und die jeweiligen Lösungen miteinander multiplizieren.

Frage anzeigen
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