Differenzmenge

Algebra

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Stell Dir vor, Du hast sechs Freunde, die unterschiedliche Hobbys haben. Jonas, Louis, Anna und Philipp gehen gerne zum Fußballspielen. Sie werden in der Menge A zusammengefasst. Simon, Peter und auch Anna gehen gerne ins Kino. Diese gehören zur Menge B.

Wie würdest Du dann vorgehen, wenn Du wissen willst, welche deiner Freunde Fußball spielen UND nicht ins Kino gehen?

Dafür helfen Dir Differenzmengen. Differenzmengen zählen zu dem Thema der Mengen allgemein. Viele mathematische Probleme lassen sich auf das Problem der Mengen reduzieren, indem eine gewisse Anzahl von Elementen zu einer Menge zusammengefügt wird.

Differenzmenge – Grundlagenwissen

Wie Du vielleicht im Artikel Mengenverknüpfungen bereits gelesen hast, gibt es in der Mathematik Mengen und verschiedene Möglichkeiten, wie sie in Relation stehen. Sie können sich zum Beispiel schneiden oder auch gar nicht miteinander in Zusammenhang stehen.

Eine Menge ist in der Mathematik ein Objekt, in das Du Elemente einfügst, die sich ähneln. Du kannst eine Menge aus Buchstaben oder Vierecken bilden, aber auch Mengen aus Freunden, wie Du später noch sehen wirst.

Differenzmenge Drei Personen StudySmarter

Es gibt nun einige Arten von Mengenverknüpfungen, die für Dich interessant sein könnten.

Teilmengen

Mengen können wiederum andere Mengen enthalten, wie zum Beispiel die rationalen Zahlen die natürlichen Zahlen als "Untereinheit" enthalten. Damit wären die natürlichen Zahlen eine Teilmenge der rationalen Zahlen. Das würdest Du als $ℕ \in ℚ$ schreiben.

Ein weiteres Beispiel begegnet Dir im Tierreich. Die Säugetiere sind eine Teilmenge der Tiere.

Differenzmenge Beispiel aus der Biologie zu Teilmengen StudySmarter

Abbildung 1: Beispiel aus der Biologie zu Teilmengen

Disjunkte Mengen

Mengen können aber auch disjunkt sein, also keinen Bezug zueinander haben. Sie schneiden sich also nicht. Hast Du zum Beispiel eine Menge A "Säugetiere" vorgegeben, überschneidet sich diese in keinem Fall mit der Menge B "Fische". Der Teil, der nicht zu A gehört, wird als Gegenereignis bezeichnet.

Differenzmenge Disjunkte Mengen für Säugetiere und Fische StudySmarter

Abbildung 2: Disjunkte Mengen im Tierreich

Schnittmengen

Wenn sich Mengen allerdings schneiden, also mindestens ein Element gemeinsam haben, dann ist der Bereich, indem beide sich ihre Elemente teilen, eine sogenannte Schnittmenge.

Zurück im Tierreich stellt das Schnabeltier eine Besonderheit dar, da es Merkmale der Säugetiere (Menge A), als auch der Reptilien (Menge B) enthält.

Differenzmenge Schnittmenge für das Schnabeltier mit Merkmalen von Säugetieren und Reptilien StudySmarter Abbildung 3: Schnittmenge im Tierreich

Es gibt aber auch die Vereinigungsmenge, dort würdest Du alle Elemente aus den Mengen A und B hineingeben.

In diesem Artikel soll allerdings die Differenzmenge näher beleuchtet werden.

Wenn Du Dich noch genauer mit den anderen Mengenverknüpfungen auseinandersetzen möchtest, kannst Du Dir im Artikel Mengenverknüpfungen einen Überblick verschaffen. Für einen tieferen Einblick in die anderen Mengenverknüpfungen wie Schnittmenge, Vereinigungsmenge oder Symmetrische Differenz solltest Du Dir die jeweiligen Artikel dazu durchlesen.

Differenzmenge – Eigenschaften

Die Differenzmenge stellt eine der vier wesentlichen Mengenverknüpfungen dar und wird Dir nun näher erläutert.

Differenzmenge – Definition

Die Differenzmenge ist eine interessante Mengenverknüpfung, wenn Du grundsätzlich an einer Menge interessiert bist, aber die Elemente aus einer anderen Menge nicht verwenden möchtest.

Die Differenzmenge $A \ B$ (sprich: "A ohne B") beschreibt eine Menge an Elementen aus A und B, die in A aber nicht in B enthalten sind.

Wichtig ist dabei, dass Dich vor allem die vordere Menge interessiert, also bei $X \ Y$ die Menge X. Zweitrangig ist dann, dass die Elemente, die in Menge Y vorkommen noch aus X entfernt werden, um die Differenzmenge zu erhalten.

Sieh Dir das am Besten am Beispiel aus der Einleitung genauer an.

Im Einleitungsbeispiel steht die Menge A für alle Freunde, die in ihrer Freizeit gerne Fußball spielen und in der Menge B sind alle Kinoliebhaber aufgelistet. Mathematisch kannst Du das nun so zusammenfassen:

$A = {J o n a s, L o u i s, A n n a, P h i l i p p}$
$B = {S i m o n, P e t e r, A n n a}$

Aufgabe 1

Welche deiner Freunde spielen Fußball UND gehen nicht gerne ins Kino?

Lösung

Gefragt wird also nach der Differenzmenge A\B. Für Dich ist die Menge A also entscheidend, denn es wird grundsätzlich nach der Menge A gefragt. Allerdings sollen die Personen ausgeschlossen sein, die zusätzlich noch im Sessel vor der Leinwand sitzen.

Das ist in diesem Fall Anna. Wenn Du Dich also für A\B interessierst, musst Du Anna aus A entfernen und das Ergebnis ist:

$A \ B = {J o n a s, L o u i s, P h i l i p p}$ .

Differenzmenge Menge A und B zu den Schülerinnen und Schülern StudySmarter Abbildung 4: Beispiel Hobbies

Umgekehrt würdest Du für die Differenzmenge B\A angeben:

$B \ A = {S i m o n, P e t e r}$ .

Schreibweise der Differenzmenge

In der Mathematik möchtest Du oftmals die Bedingungen für einen Fall definieren. Das ist auch für die Differenzmenge möglich.

Eine typische Schreibweise für die Differenzmenge ist:

$\underset{D i e D i f f e r e n z m e n g e " A o h n e B "}{\underset{⏟}{A \ B}} \underset{e n t h ä l t}{\underset{⏟}{=}} {\underset{j e d e s O b j e k t x d e r M e n g e}{\underset{⏟}{x}} \underset{f ü r d a s g i l t}{\underset{⏟}{|}} \underset{x i s t E l e m e n t v o n M e n g e A}{\underset{⏟}{x \in A}} \underset{u n d}{\underset{⏟}{\land}} \underset{x i s t k e i n E l e m e n t v o n M e n g e B}{\underset{⏟}{x \notin B}}}$

Das x steht für Objekte in der Menge A und B, wobei gilt, dass sie in der Menge A aber nicht in B enthalten sind. Das Symbol $\land$ steht für ein "logisches Und", also beide Bedingungen müssen gelten.

Falls Du zuvor nochmal einen groben Überblick über das Thema aus der Algebra im Allgemeinen erhalten möchtest, schau doch gerne auf der Seite Mengenlehre vorbei.

Differenzmenge bestimmen

Damit Du einen Überblick über das Vorgehen erhältst, wird es hier kurz zusammengefasst.

Ein allgemeines Vorgehen, um auf die Differenzmenge zu schließen, ist folgendes (hier für den Fall $A \ B$ ):

Suche nach Zahlen, die sowohl in A, als auch in B vorkommen und streiche sie durch.
Für die Differenzmenge nimmst Du die Menge A aber ohne die durchgestrichenen Zahlen.

Wie auch in den Beispielen zuvor, überlegst Du Dir also, falls nicht explizit angegeben, ob A\B oder B\A gelten soll, also welche Menge die gesuchte für Dich ist.

Aufgabe 2

In Abbildung 5 sind grafisch Mengen angezeigt. Benutze für das Beispiel ebendiese Mengen A und B. Dafür soll Menge A die Zahlen 1, 2, 4, 6 und Menge B die Zahlen 3, 4, 6, 8 enthalten. Was ist $A \ B$ ?

Lösung

Die Angabe aus dem Text für die beiden Mengen ist also:

A = {1, 2, 4, 6}

B = {3, 4, 6, 8}

Schritt 1:

Suche nach Zahlen, die sowohl in A , als auch in B vorkommen und streiche sie durch.

$A = \{1, 2, 4, 6\} B = \{3, 4, 6, 8\}$

Schritt 2:

Die Differenzmenge beinhaltet jetzt die übrigen Zahlen aus Menge A.

$A \ B = {1, 2}$

Die Differenzmenge ist also $A \ B = {1, 2}$ .

Das Ganze kannst Du auch graphisch lösen, gehe dabei in den gleichen Schritten vor:

Die Mengen mit ihrer Schnittmenge auftragen.
Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind, durchstreichen.
Und schließlich die übrigen Zahlen in der gesuchten Menge ablesen (hier aus A).

Differenzmenge Differenzmenge von Menge A und B StudySmarter

Abbildung 5: Differenzmenge von Menge A und B

Differenzmengen von 3 oder mehr Mengen mit Beweis

In einer Aufgabe können auch mehr als zwei Mengen gegeben sein. Dabei ist es ganz wichtig zu beachten, dass sowohl das Kommutativgesetz, als auch das Assoziativgesetz hier nicht gelten.

Es darf also nicht die Reihenfolge der Mengen vertauscht werden ( $A \ (C \ B) \neq A \ (B \ C)$ ).

Außerdem dürfen die Klammern nicht versetzt werden ( $A \ (C \ B) \neq (A \ C) \ B$ ).

Rechne deshalb am besten immer von links nach rechts und löse die Klammern von innen nach außen!

Differenzmenge Differenzmenge für 3 Mengen mit Beweis StudySmarter Abbildung 6: Differenzmenge für 3 Mengen A, B, C

Aus der Grafik kannst Du entnehmen, dass die Mengenverknüpfung $A \ (B \ C)$ gleich $(A \ B) \cup (A \cap C)$ ist.

Grundlagen

Um dies mathematisch zu beweisen erfordert es Wissen über bestimmte Umformungsschritte, sieh Dir dafür gerne nochmal die Seite Mengenalgebra an.

Mache Dir die Bedeutung der Zeichen in der Mengenlehre klar:

Zeichen	Bedeutung	Beispiel
$\neg$	Nicht	$\neg A \to " Nicht Menge A "$
$\cap$	Schnittmenge von...	$A \cap B \to " Schnittmenge von A und B "$
$\cup$	Vereinigungsmenge von...	$A \cup B \to " Vereinigungsmenge von A und B "$

Erinnere Dich auch noch einmal an die Gesetze der Mengenlehre:

A \ B = A \cap \neg B

A \ (B \cap C) = (A \ B) \cup (A \ C)

3. $\neg \neg A = A$

Beweis

Zeige, dass $A \ (B \ C)$ das Gleiche bedeutet wie $(A \ B) \cup (A \cap C)$ .

1. Für den ersten Umformungsschritt siehst Du Dir die Klammer an und formst diese erst um.

A \ (B \ C) = A \ (B \cap \neg C)

Das ist möglich, da gilt: $A \ B = A \cap \neg B$

2. Im nächsten Schritt kannst Du das zweite Gesetz aus der Wiederholung benutzen:

A \ (B \cap \neg C) = (A \ B) \cup (A \ \neg C)

Es gilt nämlich: $A \ (B \cap C) = (A \ B) \cup (A \ C)$

3. Nun nutzt Du wieder die erste Umformungsmethode für $(A \ \neg C)$ .

$(A \ B) \cup (A \ \neg C) = (A \ B) \cup (A \cap C)$

Um das zu überprüfen, kannst Du Dir gerne die Grafik ansehen und Du wirst feststellen, dass Du auf das Ergebnis sowohl grafisch als auch rechnerisch schließen könntest.

Differenzmenge – Sonderfälle

Differenzmengen sehen etwas anders aus, falls eine oder beide Menge/n keine Elemente beinhalten oder eine Menge komplett in der anderen enthalten ist. Das wirst Du im Folgenden Schritt für Schritt lernen.

Differenzmenge – leere Menge

Für eine Differenzmenge mit einer oder mehreren leeren Mengen sind drei Arten unterscheidbar. Bei einer leeren Menge handelt es sich um eine Menge, die keine Elemente enthält.

Eine leere Menge (B)

Die Menge B ist eine leere Menge, das hat folgende Auswirkungen auf die Differenzmenge von A und B:

Aufgabe 3

Betrachte die Menge A und B mit den folgenden Eigenschaften.

$A = {2, 4, 6}$
$B = {}$

Bilde aus diesen Mengen die Differenzmenge $A \ B$ .

Lösung

Schritt 1

Du streichst also alle Zahlen aus A, welche auch in B vorkommen.

B ist jedoch eine leere Menge und enthalt damit keine Elemente. Das heißt Du musst nichts aus A streichen.

Schritt 2

Anschließend fasst Du die erhaltenen Zahlen aus A in die neue Menge zusammen.

Also:

$A \ B = A = {2, 4, 6}$

Die nächsten beiden Aufgaben werden Dir verdeutlichen, welche Fälle es für die leere Menge noch gibt.

Eine leere Menge (A)

Es kann aber auch vorkommen, dass die Menge A eine leere Menge ist.

Aufgabe 4

Gegeben sind die Mengen $A = {}$ und $B = {2, 4, 6}$ .

Gib eine Lösung für die Differenzmenge $A \ B$ an.

Lösung

In einer Menge, die keine Elemente enthält, müssen auch keine weiteren Elemente entfernt werden. Die Differenz zu bilden, führt zu einer leeren Menge.

A \ B = {} \ {2, 4, 6} = {}

Zwei leere Mengen

Ein weiterer Sonderfall mag auf den ersten Blick etwas ungewohnt scheinen, ist aber bei näherer Betrachtung nur eine Erweiterung der Lösung aus dem vorherigen Beispiel.

Die Differenzmenge zweier leerer Mengen:

{} \ {} = {}

Was Dir aber noch klar sein muss: Du hast bislang den Fall betrachtet, dass die Differenzmenge A\B gesucht war. Natürlich kann auch mal die Differenzmenge von $B \ A$ gesucht sein, dann dreht sich das Ganze um. Es können auch die Mengen ganz einfach anders benannt sein $X \ Y$ , dann musst Du den Sachverhalt einfach von A und B auf X und Y übertragen.

Differenzmenge - Sonderfälle in Bezug auf Teilmengen

Dir ist sicher bekannt, dass Sonderfälle durchaus $\in$ (Element) von Mathe sind. Du hattest bislang für die Differenzmenge das klare Bild vor Augen, zwei Mengen, in diesem Fall A und B, schneiden sich und Du ziehst den Schnitt der beiden von einer Menge ab. Wie gehst Du allerdings vor, wenn die eine Menge die andere enthält, oder wenn beide sogar identisch sind?

Die Mengen

A = {2, 4, 6, 8}

und

B = {6, 8}

sind gegeben. Grafisch sieht das dann wie folgt aus:

Differenzmenge Eigenschaften der Differenzmenge in Mathe für eine echte Teilmenge, oder für identische Mengen StudySmarter Abbildung 7: Sonderfall Teilmenge

Aufgabe 5

Finde die Differenzmenge $A \ B$ der Mengen $A = \{2, 4, 6, 8\}$ und $B = \{6, 8\}$ .

Lösung

Auch hier streichst Du wieder nach bekanntem Vorgehen die Zahlen in A, welche auch in B vorkommen durch. Es bleibt:

$A \ B = {2, 4}$

Lass Dich also nicht von solch einer Grafik verunsichern, sondern gehe hierbei ebenso vor, wie in den Beispielen zuvor erwähnt.

Differenzmenge – Aufgaben

Nun kannst Du Dein Wissen mit diesen drei Aufgaben zur Differenzmenge auf die Probe stellen.

Aufgabe 6

Verschiedene Karten zu bekannten Kartenspielen sind gegeben. Bei Skat gibt es insgesamt 32 Karten, wobei sie sich auf 16 rote und 16 schwarze Karten aufteilen. (Es handelt sich also um das französische Blatt.)

A sind die Menge der Asse (es gibt sie zweimal in rot und zweimal in schwarz). B sind die Menge der roten Karten.

a) Was ist $A \ B$ ?

b) Danach kannst Du gerne auch $B \ A$ bestimmen.

Lösung

Zu a)

Du nimmst die Menge der Asse (zwei schwarze, zwei rote). Der Schnitt beider sind zwei Asse, die zu den roten Karten zählen. Du nimmst sie aus der Ergebnismenge heraus.

Das Ergebnis: $A \ B$ sind die zwei schwarzen Asse.

Zu b)

$B \ A$ sind alle roten Karten außer den zwei roten Assen.

Aufgabe 7

Da Du sie nun schon kennst, dürfen Louis, Jonas, Anna, Philipp, Simon und Peter nochmals in einer Aufgabe erscheinen. Dabei sind gegeben: Menge A entspricht Fußball, B soll Kino bedeuten und C ist nun Hockey. Dabei teilen sich die Freunde wie folgt auf:

$A = {L o u i s, J o n a s, P h i l i p p}$
$B = {P h i l i p p, A n n a, S i m o n}$
$C = {S i m o n, L o u i s, P e t e r}$

Gib für Teilaufgabe a) $A \ C$ und für b) $(B \ A) \ C$ an.

Lösung

Zu a)

Hier nimmst Du die Menge A und entfernst den Namen, der auch in C vorkommt, also Louis.

$A \ C$ sind also Jonas und Philipp.

Zu b)

Erst siehst Du Dir B an und entfernst Philipp, der sowohl in A als auch in B vorkommt. Es bleiben Anna und Simon aus Menge B übrig und da Simon auch in C vorkommt, wird er entfernt.

(B \ A) \ C

ist also Anna.

Aufgabe 8

Du betrachtest Schach ein wenig genauer. Es spielen 16 schwarze gegen 16 weiße Spielfiguren, Du kannst sie auch Elemente nennen. Ganz zentral natürlich: der König. Es gibt ihn sowohl einmal in schwarz als auch einmal in weiß.

Verwende nun:

die Menge A für die zwei Könige
die Menge B für alle schwarzen Figuren

Was ergibt sich daraus für $A \ B$ ?

Lösung

In der Menge A sind zwei Könige enthalten und da einer eine schwarze Figur ist (also in B enthalten ist) nimmst Du ihn aus der Menge A\B heraus, Du bildest also die Differenz und übrig bleibt nur der weiße König.

Die Differenzmenge $A \ B$ ist also der weiße König.

Differenzmenge - Das Wichtigste

Die Differenzmenge A\B ist eine Menge an Elementen aus A und B, die in A, aber nicht in B enthalten sind.
Die Schreibweise für die Differenzmenge ist $A \ B = {x | x \in A \land x \notin B}$
Es gilt kein Assoziativgesetz und Kommutativgesetz beim Rechnen mit drei oder mehr Mengen.
Zeichne Dir notfalls oder auch für das bessere Verständnis eine kleine Skizze (Mengendiagramm bzw. Venn-Diagramm)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Differenzmenge

Die Differenzmenge A\B (sprich: 'A ohne B') beschreibt eine Menge an Elementen aus A und B, die in A aber nicht in B enthalten sind. Grafisch nimmt man also aus der Menge A die Zahlen aus dem Schnitt der beiden Mengen heraus.

Die Mengendifferenz A\B (sprich: 'A ohne B') beschreibt eine Menge an Elementen aus A und B, die in A aber nicht in B enthalten sind. Die Differenzmenge kann auch aus drei Mengen bestehen. Näheres dazu im folgenden Artikel.

Beispiel: A soll die Menge der zwei Könige im Schachspiel sein und B die Menge der schwarzen Figuren. Dann ist A\B der weiße König. Umgekehrt (B\A) wären es alle schwarzen Spielfiguren ohne den König.

Eigenschaften der Differenzmenge sind diese: sie ist weder kommutativ noch assoziativ. A\(B\C) und (A\B)\C sind also nicht dasselbe. Sind beide Teilmengen voneinander und identisch, ist die Differenzmenge die leere Menge. Es gibt auch noch andere Regeln für die leere Menge.

Karteikarten in Differenzmenge12 Lerne jetzt

Erkläre die Differenzmenge allgemein.

Die Differenzmenge ist die Differenz einer Menge und dem Schnitt mit einer anderen Menge.

Die Menge A sind alle Asse. Die Menge B sind alle roten Karten.

Was im Spiel ist A\B?

Alle schwarzen Asse.

Da du dir alle Asse (in A) als erstes ansiehst und die streichst, welche rot (in B) sind. Also schwarz bleibt übrig.

Wie gehst du vor, wenn du eine Differenzmenge ermitteln möchtest? Hier A\B!

Nach Zahlen suchen, die es in A und B gibt und streiche diese aus A heraus. Das ist deine Differenzmenge für A\B. Für B\A andersherum.

A ist die leere Menge und B enthält verschiedene Quadrate. Was ist A\B?

Die leere Menge. Da Elemente aus einer leeren Menge abzuziehen, die leere Menge ergibt.

Leere Menge ohne leere Menge ist...?

Leere Menge

A enthält die Elemente 2, 4, 5, 6, 8. B enthält die Elemente 1, 4, 7. Was ist A\B?

A\B = {2, 5, 6, 8}

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