Eine Dezimalzahl stellt keine natürliche Zahl dar. Eine Dezimalzahl wird eigentlich als Dezimalbruch bezeichnet, da sie eigentlich ein Bruch ist, nur in anderer Schreibweise. In der Dezimalschreibweise wird der Bruch als Kommazahl notiert.
Dezimalzahlen rechnen – Erklärung
Jeder Bruch lässt sich also mit der Dezimalschreibweise darstellen.
Folgende Brüche sind gegeben:
In der Dezimalschreibweise sehen sie wie folgt aus:
Wie du sehen kannst, sind aus den Brüchen Kommazahlen geworden, die mit einem Komma getrennt sind.
Aufbau von Dezimalzahlen
Eine Dezimalzahl (mathematisch korrekt: ein Dezimalbruch) ist demnach aufgebaut aus Stellen vor dem Komma und den sogenannten Nachkommastellen oder Dezimalen nach dem Komma. Die Nachkommastellen können ebenfalls in der Stellenwerttafel dargestellt werden.
Gegeben ist folgender Bruch:
Alles, was vor dem Komma steht, ist eine Vorkommastelle. In diesem Fall ist das die 12.
Alles, was hinter dem Komma steht, zählt als Nachkommastelle.
Die Nachkommastellen können nochmal unterteilt werden. Am besten lässt sich das anhand der Stellenwerttafel zeigen:
Zehner | Einer | Komma | Zehntel | Hundertstel |
1 | 2 | , | 8 | 4 |
Die erste Nachkommastelle ist in diesem Fall die 8 und die zweite Nachkommastelle die 4.
Eine Dezimalzahl stellt keine natürliche Zahl dar. Eine Dezimalzahl wird eigentlich als Dezimalbruch bezeichnet, da sie eigentlich ein Bruch ist, nur in anderer Schreibweise. In der Dezimalschreibweise wird der Bruch als Kommazahl notiert.
Mit Dezimalzahlen rechnen
Jeder Bruch lässt sich also mit der Dezimalschreibweise darstellen.
Folgende Brüche sind gegeben:
In der Dezimalschreibweise sehen sie wie folgt aus:
Wie du sehen kannst, sind aus den Brüchen Kommazahlen geworden, die mit einem Komma getrennt sind.
Aufbau
Eine Dezimalzahl (mathematisch korrekt: ein Dezimalbruch) ist demnach aufgebaut aus Stellen vor dem Komma und den sogenannten Nachkommastellen oder Dezimalen nach dem Komma. Die Nachkommastellen können ebenfalls in der Stellenwerttafel dargestellt werden.
Gegeben ist folgender Bruch:
Alles, was vor dem Komma steht, ist eine Vorkommastelle. In diesem Fall ist das die 12.
Alles, was hinter dem Komma steht, zählt als Nachkommastelle.
Die Nachkommastellen können nochmal unterteilt werden. Am besten lässt sich das anhand der Stellenwerttafel zeigen:
Zehner | Einer | Komma | Zehntel | Hundertstel |
1 | 2 | , | 8 | 4 |
Die erste Nachkommastelle ist in diesem Fall die 8 und die zweite Nachkommastelle die 4.
Es lässt sich also jeder Bruch in eine Dezimalzahl umwandeln. Je nachdem, um welchen Bruch es sich handelt, entstehen daraus verschiedene Arten von Dezimalzahlen.
Mit Dezimalzahlen rechnen – Arten
Unterschieden werden die Dezimalzahlen in zwei große Kategorien:
Hier findest du einen guten Überblick über die verschiedenen Arten von Dezimalzahlen:
Abbildung 1: Arten von Dezimalbrüchen
Lies dir gerne den separaten Artikel zu Dezimalzahlen durch, um mehr darüber zu erfahren.
Dezimalzahlen rechnen – Anwendung
Normalerweise findest du im Alltag hauptsächlich endliche Dezimalzahlen. Ein gängiges Beispiel dafür wäre das Rechnen mit Geld.
Im Supermarkt sind selten Produkte zu finden, die genau einen oder zwei Euro kosten. Sie kosten beispielsweise oder .
Abbildung 2: Preise im Supermarkt
Im Folgenden lernst du, wie man mit abbrechenden, also endlichen Dezimalzahlen rechnet.
Mit Dezimalzahlen rechnen – Addition, Subtraktion, Multiplikation & Division
Wenn du mit verschiedenen Zahlen rechnest, benötigst du auch noch eine Angabe darüber, was du mit diesen Zahlen machen sollen. Du kannst sie beispielweise zusammenzählen oder abziehen, aber auch noch weitere Grundrechenarten nutzen.
Kurz zur Wiederholung: Als Grundrechenarten gelten:
- Addieren
- Subtrahieren
- Multiplizieren
- Dividieren
Falls du zu den Grundrechenarten noch Schwierigkeiten hast, kannst du dich gerne in den jeweiligen Artikeln auf StudySmarter durchlesen.
Bevor du das Rechnen mit Dezimalbrüchen lernst, findest du im Folgenden eine Einführung in das Runden.
Dezimalzahlen rechnen – Das Runden
Wenn du mit Dezimalzahlen im Kopf rechnen musst, kann dir das Runden behilflich sein.
Beim Runden geht es darum, dass du eine Zahl auf eine Zahl auf- oder abrundest, mit der du leichter rechnen kannst.
Du kannst eine Zahl entweder aufrunden oder abrunden. Bei den Zahlen wird abgerundet, bei den Zahlen wird aufgerundet.
Man kann eine Zahl auf verschiedene Nachkommastellen wie Zehner, Hunderter, Tausender etc. runden. Am einfachsten lässt sich das wieder anhand der Stellenwerttafel zeigen.
Gegeben sind die folgenden Zahlen:
Diese lassen sich ebenfalls in die Stellenwerttafel eintragen:
Zehner | Einer | Komma | Zehntel | Hundertstel |
8 | 9 | , | 2 | 4 |
4 | 2 | , | 9 | 8 |
Beide Dezimalzahlen sollen auf Zehntel gerundet werden. Bei der ersten Dezimalzahl wird abgerundet, bei der zweiten aufgerundet. Du erhältst demnach:
Du möchtest noch mehr zum Thema Runden erfahren? Dann lies gerne den entsprechenden Artikel auf StudySmarter.
Dezimalzahlen addieren
Im Prinzip besteht beim Addieren von Dezimalzahlen kaum ein Unterschied zum Addieren mit ganzen Zahlen. Möglich ist die Addition sowohl im Kopf bei einfachen Zahlen als auch schriftlich.
Meist sind Dezimalzahlen schlecht im Kopf zusammenzurechnen, weshalb hier hauptsächlich die schriftliche Addition gezeigt wird.
Mehr Informationen und Übungsbeispiele dazu findest du im entsprechenden Kapitel.
Beim schriftlichen Addieren kannst du zunähst so rechnen wie mit natürlichen Zahlen. Schreibe jedoch immer die jeweiligen Kommata untereinander und ziehe es dir am Ende runter.
Du möchtest dir eine Flasche Wasser im Supermarkt für kaufen.Dazu kommt noch das Pfand von.
1. Schritt: Schreibe dir die Dezimalzahlen untereinander auf:
2. Schritt: Nun rechne weiter, so wie du es schon aus der schriftlichen Addition kennst.
Zunächst musst du rechnen, was 17 ergibt. Das heißt, du schreibst die 7 unter den Strich und die 1 schreibst du klein im nächsten Schritt oberhalb der Linie auf. Das ist der sogenannte Übertrag:
Beim nächsten Schritt musst du rechnen. Das ergibt 4. Allerdings musst du noch die kleine 1 (den Übertrag) aus dem vorherigen Schritt mit einberechnen. Das Ergebnis lautet dann:
Zuletzt berechnest du noch die Summe von :
Im letzten Schritt verändert sich das Komma.
Dieses musst du nun vor die 5 setzen, das heißt, du ziehst es dir runter. Das Ganze sieht dann so aus:
Du weißt nun, dass du für deinen Einkauf benötigst.
Dezimalzahlen subtrahieren
Das Subtrahieren funktioniert ähnlich wie das Addieren. Auch hier kannst du so schriftlich subtrahieren, wie du es auch mit natürlichen Zahlen machen würdest.
Mit der folgenden Übungsaufgabe kannst du dein Wissen nun prüfen:
Aufgabe
Du kaufst beim Supermarkt für ein.
Da du aber noch einen Pfandbon über hast, muss das noch vom Preis abgezogen werden.
Kannst du berechnen, wie viel du an der Kasse bezahlen musst?
Lösung
Schreibe dir die Dezimalzahlen wieder untereinander auf. Achte vor allem darauf, dass die Kommata untereinander stehen.
Dann schaust du dir schonmal die hinterste Zahl an und rechnest . Das Ergebnis wäre 1, daher schreibst du eine 1 unter den Strich.
Das sollte bei dir so aussehen:
Im nächsten Schritt berechnest du . Da das Ergebnis 0 ist, kannst du eine 0 unter den Strich schreiben und dann mit der nächsten Zahl weitermachen:
Im letzten Schritt ziehst du dann wieder das Komma runter und berechnest die nächste Aufgabe.Da ist, kannst du es wieder unter den Strich schreiben und bekommst dann dein Ergebnis:
Aufpassen musst du bei der Berechnung mit Zahlen, bei denen ein Übertrag nötig ist. Dabei gibt es verschiedene Verfahren zur Subtraktion:
- Entbündeln
- Auffüllen
- Erweitern
Dezimalzahlen multiplizieren
Nachdem du nun schon gelernt hast, wie man Dezimalzahlen addiert und subtrahiert, lernst du hier das Vorgehen beim Multiplizieren.
Einfache Zahlen lassen sich noch leicht im Kopf multiplizieren. Bei Dezimalzahlen wird das meist zu kompliziert, weshalb dort meist die schriftliche Multiplikation genutzt wird.
Für das Multiplizieren von Dezimalzahlen wird das Komma beim Rechnen zunächst nicht betrachtet.
Auch muss man unterscheiden, ob man eine Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl multipliziert oder mit einer anderen Dezimalzahl. Das grundsätzliche Verfahren bleibt dasselbe, sie unterscheiden sich nur etwas.
Multiplikation einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl
Folgende Berechnung soll durchgeführt werden:
Zunächst schreibst du die Aufgabe auf und ziehst einen Strich darunter. Zur Veranschaulichung sind die Zahlen farbig markiert.
Du beginnst damit, die 4 zuerst mal 1 und dann mal 2 zu nehmen. Das schreibst du dann unter den Strich.
Das Ergebnis ist: .
Im zweiten Schritt wendest du das gleiche Verfahren noch einmal für die 1 hinter dem Komma an.
Also rechnest du zuerst . Die Ergebnisse 1 und 2 schreibst du dann unter das andere:
Als letzten Schritt musst du dann die beiden Ergebnisse miteinander addieren. Dann ziehst du noch das Komma von oben runter, und schon hast du das Ergebnis:
Multiplikation von zwei Dezimalzahlen
Das Verfahren bleibt ähnlich. Jedoch werden alle Kommas zunächst ignoriert. Du schreibst sie bei Berechnung daher vorerst nicht auf und führst die schriftliche Multiplikation durch.
Folgende Dezimalzahlen sollen miteinander multipliziert werden:
Zur Veranschaulichung sind die Zahlen in verschiedenen Farben markiert. Alle Kommata werden erstmal ignoriert.
Du beginnst mit der hellgrünen Zahl und rechnest erst und dann .Die Ergebnisse schreibst du unter den Strich:
Im nächsten Schritt wendest du das gleiche Verfahren für die orange Zahl an. Dafür rechnest du zunächst . Das Ergebnis ist 25.
Du schreibst eine 5 in das Ergebnis und merkst dir den Übertrag von 2.
Dann rechnest du. Das Ergebnis ist 5. Zusammen mit dem Übertrag ergibt das dann 7. Das schreibst du dann ins Ergebnis rein:
Im nächsten Schritt wendest du das Verfahren noch einmal mit der letzten Zahl an.Dafür rechnest du und:
Im letzten Schritt addierst du wieder jede Spalte der Ergebnisse miteinander:
Dein Ergebnis enthält noch kein Komma. Dazu musst du noch die richtige Stelle ermitteln. Du zählst die Anzahl der Nachkommastellen für jede Dezimalzahl zusammen:
![]()
Das Ergebnis muss demnach 2 Nachkommastellen aufweisen. Entsprechend setzt du das Komma vor die Zahl 6:
Es gibt auch die Möglichkeit, Dezimalzahlen über das Multiplizieren von Brüchen zu lösen. Sieh dir dazu gerne unsere Vertiefung an.
Da sich jeder Bruch als Dezimalzahl darstellen lässt, kannst du bei endlichen Dezimalzahlen diese auch zurück in einen Bruch wandeln und dann berechnen.
Dafür verwendest du dasselbe Beispiel wie gerade eben bei der Multiplikation zweier Dezimalzahlen:
Berechnet werden soll das Produkt aus . Du wandelst diese Zahlen zunächst zurück in einen Bruch:
Somit erhältst du das Produkt aus:
Die Multiplikation der Brüche lässt sich durchführen, indem der Nenner mit dem Nenner multipliziert wird und der Zähler mit dem Zähler:
Dieser Bruch lässt sich dann auch wieder in einen Dezimalbruch umwandeln und du erhältst:
Wie du sehen kannst, erhältst du auch durch die Multiplikation über Brüche das gleiche Ergebnis.
Dezimalzahlen dividieren
Wenn man mit Dezimalzahlen dividiert, muss man auch hier wieder zwischen einer Division zweier Dezimalzahlen und die einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl unterscheiden. Grundsätzlich bleibt die Vorgehensweise gleich.
Division einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl
Bei einer Division von einer Dezimalzahl mit einer natürlichen Zahl ignorierst du zunächst das Komma und ziehst es danach wieder runter.
Folgende Aufgabe soll gelöst werden:
Da du das Komma ignorierst, schreibst du zunächst 258 geteilt durch 6 auf:
Dann rechnest du so, als würdest wie gewohnt schriftlich dividieren wollen. Das heißt, du schaust im ersten Schritt an, wie oft die 6 in die 25 reinpasst.
Die 6 passt viermal in die 25 rein und deshalb schreibst du die 4 in das Ergebnis und dann eine 24 unter den Strich:
Da der Rest 1 ist, schreibst du die 1 unter den nächsten Strich. Dann ziehst du dir die 8 herunter.
Da die 6 genau dreimal in die 18 passt, schreibst du die 3 in das Ergebnis und als Rest unter den Strich die 0:
Im letzten Schritt fügst du das Komma wieder hinzu und schreibst es in das Ergebnis. Dazu zählst du wieder die Anzahl der Nachkommastellen der einzelnen Dezimalzahlen ab. Hier hat lediglich eine Kommazahl eine Nachkommastelle. Du setzt das Komma daher vor die 3:
Division zweier Dezimalzahlen
Folgende Aufgabe soll berechnet werden:
Zunächst kannst du das Komma in beiden Zahlen um eine Stelle nach rechts verschieben, um durch eine ganze Zahl teilen zu können. Das Ergebnis verändert sich dadurch nicht:
Auch hier ignorierst du zunächst das Komma und rechnest nach dem normalen Verfahren der schriftlichen Division. Das heißt, du rechnest so, als würde dort stehen.
Du beginnst damit, zunächst zu rechnen, da nicht möglich ist. Du schreibst eine 5 in das Ergebnis und schreibst die 25 unter den Bruchstrich. Der Rest ist 0:
Im nächsten Schritt ziehst du die 5 herunter und dividierst das mit 5. Das Ergebnis ist 1 und wird in das Ergebnis geschrieben. Der Rest ist wieder 0:
Zum Schluss musst du noch das Komma setzen. Bei
enthält der Dividend (also ) eine Nachkommastelle. Der Divisior (5) nicht. Daher kannst du das Komma zwischen die 5 und die 1 setzen und erhältst als Ergebnis 5,1.
Mehr Informationen und Übungsaufgaben zur Division von Dezimalzahlen findest du im entsprechenden Kapitel.
Wie bei der Multiplikation von Dezimalzahlen, gibt es auch teilweise die Möglichkeit, diese Kommazahlen wieder in Brüche umzuwandeln und damit weiterzurechnen.
Wenn du Dezimalzahlen dividierst, gibt es verschiedene Methoden, die du dafür anwenden kannst. Zum Beispiel kannst du auch im Kopf dividieren oder über einen Bruch multiplizieren.
Du möchtest folgende Dezimalzahlen dividieren:
Zunächst wandelst du diese beiden Zahlen wieder zurück in zwei Brüche. Du erhältst demnach:
Jetzt kannst du die Division über die Brüche weiterführen:
Erinnerst du dich noch, wie sich Brüche dividieren lassen? Jetzt kannst du sie einfach über den Kehrwert multiplizieren:
Dann multiplizierst du einfach beide Brüche miteinander und erhältst dein Ergebnis:
Du kannst dir das gerne auch genauer in unserem Artikel Dezimalzahlen ansehen!
Mit periodischen Dezimalzahlen rechnen
Um mit unendlichen, also nicht-abbrechenden, Zahlen zu rechnen, muss man ein paar Dinge beachten. Da sie nicht nach einer bestimmten Nachkommastelle aufhören, gibt es verschiedene Möglichkeiten zur Berechnung:
- Zahlen verrechnen mit vielen Nachkommastellen
- Zahlen verrechnen mit Brüchen (geht nicht für irrationale Zahlen)
Folgende periodische Dezimalzahlen sollen miteinander addiert werden:
Zunächst schreibst du dir die beiden Zahlen untereinander auf, so wie du es schon vom schriftlichen Addieren kennst. Dabei solltest du versuchen, viele Nachkommastellen aufzuschreiben.
Dann rechnest du das Ergebnis aus und schaust, wie sich eine neue periodische Zahl bildet:
Die Zahlen 4 und 9 könnten sich hier endlos weiter wiederholen. Daher kannst du sie zusammenfassen zu:
Eine genauere Berechnung von periodischen Dezimalzahlen führt über den Bruch.
Man kann periodische Dezimalzahlen auch in einen Bruch umwandeln und damit rechnen. Dafür musst du erst die Stellen der Periode zählen und dann in den Nenner des Bruches genau so viele Neunen übertragen. In den Zähler kommt die Periode selbst.
Ein Beispiel für einen Bruch der periodischen Dezimalzahl wäre dann:
Die Stellen vor dem Komma sind ganze Zahlen und müssen bei der Umrechnung nicht beachtet werden. Da die periodische Dezimalzahl nur eine Stelle als Periode hat, muss bei dem Bruch in den Nenner nur eine 9.Das eine Ganze muss dann dementsprechend erweitert werden, um den periodischen Anteil einzurechnen:
Mit Dezimalzahlen rechnen – Übungen
Aufgabe
Du und deine 3 Freunde planen eine Halloween-Party und ihr müsst noch mal einkaufen gehen für den Abend.
Hierfür geht ihr zusammen in den Supermarkt.
Ihr braucht: 2 Tüten Chips, 3 Packungen Gummibärchen und 1 Flasche Cola.
Abbildung 3: Preise des Einkaufs
- Berechne den Betrag, den ihr bezahlen müsst.
- Zudem habt ihr noch einen Rabattcode, der euch einen Preisnachlass gewährt.Berechne nun den neuen Betrag, den ihr bezahlen müsst.
- Anschließend möchtet ihr euch die Rechnung aufteilen. Wie viel muss jeder von euch zahlen?
Lösung
1) Du beginnst, indem du die verschiedenen Preise für die jeweiligen Produkte berechnest. Da ihr nur eine Flasche Cola habt, kannst du dafür einfach den Preis aus der Preisliste nehmen:
Cola:
Chips:
Gummibärchen:
Nun musst du alle Beiträge zusammen addieren: .
2) Du ziehst den Rabattcode nun von dem Betrag ab: .
3) Da ihr zu viert seid, müsst ihr den übrigen Betrag durch 4 teilen: .
Jeder von euch muss also bezahlen.
Dezimalzahlen rechnen - Das Wichtigste
- Eine Dezimalzahl ist ein Bruch in Dezimalschreibweise und wird daher Dezimalbruch genannt.
- Sie besteht aus Stellen vor dem Komma und den Nachkommastellen (Dezimalen).
- Es kann zwischen abbrechenden und nicht-abbrechenden Dezimalzahlen unterschieden werden.
- Dezimalzahlen können mit den verschiedenen Grundrechenarten verrechnet werden:
- Das Runden ermöglicht es, mit leichteren Zahlen zu rechnen bzw. das Ergebnis zu überschlagen.
- Dezimalzahlen können sowohl in Dezimalschreibweise als auch in Form eines Bruchs verrechnet werden.
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