Wurzeln addieren

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Du hast Dich in Mathe schon immer gefragt, was $\sqrt{7} + \sqrt{2}$ ist und möchtest jetzt endlich die Lösung wissen? Da wirst Du leider enttäuscht. $\sqrt{7} + \sqrt{2}$ ist und bleibt einfach $\sqrt{7} + \sqrt{2}$ . Hier funktioniert keine Wurzelrechnung. Da kannst Du nichts vereinfachen und nichts umformen.

Trotzdem kannst Du lernen, wie Du Wurzeln in speziellen Fällen addieren und subtrahieren kannst. Wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind, gibt es Rechenregeln, die Dir trotzdem das Addieren und Subtrahieren mit Wurzeln erleichtern. Aber was sind Wurzeln überhaupt genau?

Wurzeln addieren – Grundlagenwissen

Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens. Wenn Du zum Beispiel $4^{2} = 16$ gerechnet hast, kannst Du die Wurzel aus 16 ziehen und erhältst $\sqrt{16} = 4$ .

Die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ ist die Zahl x, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter dem Wurzelzeichen ergibt.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{a} & = & x \\ \Rightarrow & a = x^{2} \end{array}$

Wenn Du also $\sqrt{a}$ berechnen willst, kannst Du Dich fragen: Welche Zahl hoch 2 ergibt a? Wenn Du eine solche Zahl findest, ist dies die Quadratwurzel aus a.

In der Definition eben wurde das Wort "Quadratwurzel" verwendet. Dieser Begriff steht für die zweite Wurzel. Du kannst Dich ja fragen "Welche Zahl quadriert bzw. hoch 2 ergibt die Zahl unter der Wurzel?". Deswegen ist es die zweite Wurzel – auch Quadratwurzel genannt. Dafür könntest Du auch $\sqrt[2]{a}$ schreiben. Meistens wird die 2 aber weggelassen.

Es gibt auch höhere Wurzeln.

$\sqrt[n]{a}$ ist die n-te Wurzel aus $a$ . Gesucht ist eine Zahl $x$ , sodass $x^{n} = a$ ist.

Hier kannst Du Dich fragen: "Welche Zahl hoch n ergibt a?". So erhältst Du den Wurzelwert der Wurzel.

Wurzel Definition

Eben hast Du bereits einige Informationen zu Wurzeln erhalten. Aber woraus besteht eine Wurzel überhaupt?

In Abbildung 1 kannst Du einen Wurzelausdruck sehen. An dem Wurzelzeichen steht ein Wurzelexponent. Dieser wird bei der zweiten Wurzel meist weggelassen. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen wird Radikand genannt.

Wurzeln addieren und subtrahieren Bezeichnungen Wurzel StudySmarter Abbildung 1: Bezeichnung des Wurzelausdrucks

Der Wert der gesamten Wurzel wird auch Wurzelwert genannt.

Beispiele für Wurzeln

Bei einer Quadratwurzel kannst Du Dich fragen, welche Zahl quadriert ergibt die Zahl unter der Wurzel.

Gesucht ist jetzt die Quadratwurzel aus 144, also $\sqrt{144}$ . Du fragst Dich also: "Welche Zahl ergibt quadriert 144?"

Es ist $12^{2} = 144$ und deswegen ist $\sqrt{144} = 12$ .

Auch bei höheren Wurzeln kannst du so vorgehen.

Es soll die vierte Wurzel aus 16, also $\sqrt[4]{16}$ , bestimmt werden. Du fragst Dich: "Welche Zahl hoch vier ergibt 16?"

Es ist $2^{4} = 16$ und deswegen $\sqrt[4]{16} = 2$ .

Wenn der Radikand eine Quadratzahl ist, kannst Du die Quadratwurzel im Kopf bestimmen.

Bei höheren Wurzeln, wie zum Beispiel der vierten Wurzel, funktioniert es meist nicht ganz so leicht im Kopf.

Wurzeln addieren – Erklärung & Beispiele

Anders als beim Multiplizieren und Dividieren kannst Du nicht einfach beliebige Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten addieren. Man könnte zum Beispiel meinen, dass $\sqrt{36} + \sqrt{64}$ genau $\sqrt{100}$ ergibt. Am folgenden Beispiel kannst Du aber erkennen, dass dies nicht so ist.

$\sqrt{36} + \sqrt{64} = 6 + 8 = 14$

36 und 64 sind beides Quadratzahlen. Du kannst direkt die Wurzel ziehen und dann addieren. Jetzt weißt Du, dass $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 14$ ist.

Angenommen, Du addierst jetzt zuerst die Radikanden und würdest dann die Wurzel ziehen:

$\begin{array}{rcl} 36 + 64 & = & 100 \\ \sqrt{100} & = & 10 \end{array}$

Hier wäre dann $\sqrt{36} + \sqrt{64} = 10$ , was nicht richtig ist.

Merke Dir also, dass Du nicht zwei Wurzeln addieren kannst, indem Du die Radikanden der jeweiligen Wurzel addierst.

Wurzeln addieren – Regeln

Wenn zwei Wurzeln im Wurzelexponenten oder im Radikanden unterschiedlich sind, kannst Du sie gar nicht addieren!

Haben die Wurzeln aber denselben Exponenten und denselben Radikanden, kannst Du sie zusammenrechnen.

$3 \cdot \sqrt[3]{4} + 5 \cdot \sqrt[3]{4} = (3 + 5) \cdot \sqrt[3]{4} = 8 \cdot \sqrt[3]{4}$

In dem Beispiel haben beide Wurzeln die 4 als Radikand und die 3 als Exponent der Wurzel. Deswegen darfst Du die Faktoren addieren.

Als Faktor wird eine Zahl bezeichnet, mit der multipliziert wird.

Mit dieser Rechenregel kannst Du zusammenfassen, wie häufig die Wurzel vorkommt. Im Beispiel hast Du $\sqrt[3]{4}$ im ersten Summanden dreimal, da der Faktor ja 3 ist. Im zweiten Summanden hast Du $\sqrt[3]{4}$ genau fünfmal. Zusammen sind dies genau achtmal dritte Wurzel aus vier.

Zwei Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten und demselben Radikanden kannst Du addieren, indem du die Faktoren addierst.

$x \cdot \sqrt[n]{a} + y \cdot \sqrt[n]{a} = (x + y) \cdot \sqrt[n]{a}$

Die Grundlage für diese Wurzelrechnung ist das Distributivgesetz.

Das Distributivgesetz erlaubt es Dir, Klammern ausmultiplizieren zu können. So wird aus einem Rechenausdruck mit einem Faktor eine Summe.

$(7 + x) \cdot 10 = 7 \cdot 10 + x \cdot 10$

Auf der linken Seite der Klammer steht ein Produkt mit zwei Faktoren. Rechts steht eine Summe mit zwei Summanden.Das Distributivgesetz kannst Du aber auch umgekehrt anwenden und aus einer Summe ein Produkt machen. Du beginnst dann zum Beispiel mit

4 \cdot 5 + x \cdot 5

und klammerst die 5 aus, da sie in beiden Summanden vorkommt. Dann erhältst du

(4 + x) \cdot 5

$4 \cdot 5 + x \cdot 5 = (4 + x) \cdot 5$

Dieser Vorgang wird häufig auch als Ausklammern bezeichnet.Allgemein wird das Distributivgesetz so formuliert:

Für die Zahlen a, b und c gilt:

$a \cdot c + b \cdot c = (a + b) \cdot c$

Jetzt kannst Du die Variable c durch eine Wurzel ersetzen, zum Beispiel die Quadratwurzel $\sqrt{x}$ .

Dann hast Du $a \cdot \sqrt{x} + b \cdot \sqrt{x} = (a + b) \cdot \sqrt{x}$ und das ist genau die Rechenregel für das Addieren von Wurzeln.

Wurzeln addieren – Bedeutung der 1 als Faktor

Manchmal wird es vorkommen, dass beim Addieren vor der Wurzel keine Zahl steht. Dann musst Du besonders aufpassen und beim Zusammenfassen trotzdem eine 1 addieren.

$4 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} = (4 + 1) \cdot \sqrt{5} = 5 \cdot \sqrt{5}$

Im Beispiel kommt $\sqrt{5}$ im zweiten Summanden einmal vor. Es steht nur keine 1 als Faktor vor der Quadratwurzel, da diese 1 häufig weggelassen wird.

Beachte also immer: Steht keine Zahl vor der Wurzel, ist der Faktor trotzdem 1.

Wurzeln addieren mit unterschiedlichen Radikanden

Achtung, hier findest Du keine allgemeine Rechenregel zum Addieren von Wurzeln mit unterschiedlichen Radikanden!

Wenn zwei Wurzeln unterschiedlichen Radikanden und/oder Wurzelexponenten haben, kannst Du sie in den meisten Fällen nicht zusammenfassen.

$\sqrt{6} + \sqrt{5} = \sqrt{6} + \sqrt{5}$

Im Beispiel sind beide Wurzeln Quadratwurzeln. Sie haben also denselben Wurzelexponenten. Trotzdem kannst Du nichts vereinfachen, da die Radikanden unterschiedlich sind. $\sqrt{6} + \sqrt{5}$ ist und bleibt $\sqrt{6} + \sqrt{5}$ . Du kannst dort nichts zusammenfassen.

Manchmal kannst Du aber den Radikanden durch teilweises bzw. partielles Wurzelziehen so umformen, dass die Wurzeln dann denselben Radikanden haben und du zusammenfassen darfst.

$\begin{array}{rcl} \sqrt{8} + \sqrt{2} & = & \sqrt{4 \cdot 2} + \sqrt{2} \\ = & 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \\ = & (2 + 1) \cdot \sqrt{2} \\ = & 3 \sqrt{2} \end{array}$

$\sqrt{8}$ und $\sqrt{2}$ haben unterschiedliche Radikanden. Du kannst aber die $8$ in $4 \cdot 2$ zerlegen. Aus $\sqrt{4 \cdot 2}$ kannst Du teilweise die Wurzel ziehen. Dadurch erhältst Du zwei Wurzeln mit demselben Radikanden, die Du zusammenfassen darfst.

Wenn du also zwei Wurzeln mit unterschiedlichen Radikanden hast, prüfst Du, ob du einen Radikanden so zerlegen kannst, dass du teilweise die Wurzel ziehst und dann dieselben Radikanden hast.

Teilweises Wurzelziehen und partielles Wurzelziehen bedeutet dasselbe. Es sind nur unterschiedliche Ausdrucke. Als Fachwort kannst Du auch partielles Radizieren sagen.

Wurzeln subtrahieren – Erklärung & Beispiele

Das Subtrahieren von Wurzeln funktioniert genauso wie das Addieren von Wurzeln. Auch hier kannst Du nur subtrahieren, wenn die reine Wurzel gleich ist, sprich, wenn die Zahl unter dem Wurzelzeichen und Wurzelexponent übereinstimmen.

Wurzeln subtrahieren – Regeln

Wie beim Addieren darfst Du nicht die Radikanden subtrahieren, sondern darfst nur zusammenfassen.

$10 \cdot \sqrt[4]{6} - 2 \cdot \sqrt[4]{6} = (10 - 2) \cdot \sqrt[4]{6} = 8 \cdot \sqrt[4]{6}$

Beide Wurzeln sind bis auf den Faktor identisch. Analog zum Addieren fasst Du die Faktoren zusammen, indem Du das Distributivgesetz anwendest.

Zwei Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten und demselben Radikanden kannst Du subtrahieren, indem Du die Faktoren subtrahierst.

$x \cdot \sqrt[n]{a} + y \cdot \sqrt[n]{a} = (x + y) \cdot \sqrt[n]{a}$

Passe auch hier besonders auf, wenn keine Zahl als Faktor vor der Wurzel steht. Der Faktor ist dann trotzdem 1.

Wurzelgesetze

Manchmal werden diese Rechenregeln für das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln auch als Wurzelgesetze bezeichnet. Das ist auch in Ordnung. Die eigentlichen Wurzelgesetze beziehen sich aber häufig auf die Wurzelrechnung beim Multiplizieren und Dividieren. Dort kannst Du zum Beispiel Quadratwurzeln wirklich miteinander multiplizieren.

$\sqrt{7} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{7 \cdot 8} = \sqrt{56}$

Passe auf, dass Du die Wurzelgesetze für das Multiplizieren und Dividieren nicht mit den Rechenregeln für das Addieren und Subtrahieren zweier Wurzeln verwechselst.

Eine Zusammenfassung zum Rechnen mit Wurzeln findest Du im Artikel "Wurzelgesetze". Wenn Du speziell wissen möchtest, wie Du Wurzeln multiplizierst und dividierst, schau Dir den Artikel "Wurzeln multiplizieren und dividieren" an.

Wurzeln addieren und subtrahieren – Übungen mit Lösungen

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du die Wurzelrechnung üben.

Aufgabe

Vereinfache folgende Terme:

a) $8 \cdot \sqrt{5} + 3 \cdot \sqrt{5}$

b) $4 \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3}$

c) $6 \cdot \sqrt{3} + 4 \cdot \sqrt{2}$

d) $3 \cdot \sqrt[5]{2} - 2 \cdot \sqrt[5]{2}$

e) $4 \cdot \sqrt[3]{4} - \sqrt[4]{3}$

f) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$

Lösung

Beide Wurzeln sind Quadratwurzeln mit dem Radikanden 5. Deswegen kannst Du zusammenfassen.

$8 \cdot \sqrt{5} + 3 \cdot \sqrt{5} = (8 + 3) \cdot \sqrt{5} = 11 \cdot \sqrt{5} = 11 \sqrt{5}$

Die Wurzeln sind identisch. Du darfst vereinfachen.

$4 \cdot \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3} = (4 + 1) \cdot \sqrt[3]{3} = 5 \cdot \sqrt[3]{3} = 5 \sqrt[3]{3}$

Im zweiten Summanden steht vor der Wurzel kein Faktor. In der Klammer addierst Du trotzdem eine 1, da der Faktor 1 ist und nur nicht mitgeschrieben wurde.

Beide Wurzeln sind zwar Quadratwurzeln, aber die Radikanden sind unterschiedlich. Du kannst keine Wurzelrechnung machen.

Die Wurzeln stimmen überein. Du kannst zusammenfassen.

$3 \cdot \sqrt[5]{2} - 2 \cdot \sqrt[5]{2} = (3 - 2) \cdot \sqrt[5]{2} = 1 \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{2}$

Hier kannst du im letzten Umformungsschritt die 1 als Faktor weglassen.

Die Wurzeln sehen zwar sehr ähnlich aus, aber Radikand und Wurzelexponent sind vertauscht. Du kannst nicht vereinfachen.

Beide Quadratwurzeln sind gleich.

$\sqrt{3} + \sqrt{3} = (1 + 1) \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3}$

Achte hier besonders auf die Faktoren. Sie wurden in der Aufgabe nicht mitgeschrieben.

Wurzeln addieren – Das Wichtigste

Wurzeln können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn die Wurzeln selber gleich sind.
Sind die Radikanden oder die Wurzelexponenten verschieden, kannst Du nicht vereinfachen.
Für identische Wurzeln gilt:
- $x \cdot \sqrt[n]{a} + y \cdot \sqrt[n]{a} = (x + y) \cdot \sqrt[n]{a}$
- $x \cdot \sqrt[n]{a} - y \cdot \sqrt[n]{a} = (x - y) \cdot \sqrt[n]{a}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Wurzeln addieren

Du kannst zwei Wurzeln nur subtrahieren, wenn die Wurzeln gleich sind. Dann subtrahierst Du die Faktoren der Wurzeln. Sind die Wurzeln im Radikanden oder Exponenten unterschiedlich, kannst Du sie nicht verrechnen.

Wurzeln kannst Du zusammenfassen, wenn sie gleich sind. Das heißt, dass die Zahl unter dem Wurzelzeichen und der Wurzelexponent identisch sein müssen. Dann kannst du die Faktoren vor den Wurzeln zusammenfassen.

Beim Addieren und Subtrahieren kannst du Wurzeln nur vereinfachen, wenn sie gleich sind. Dann fasst du die Faktoren zusammen.

Beim Multiplizieren und Dividieren von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten kannst du die Radikanden multiplizieren bzw. dividieren, um sie zu vereinfachen.

Wurzeln an sich kannst du nicht addieren. Du kannst nur ihre Faktoren zusammenfassen, wenn die Wurzeln ansonsten gleich sind.

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Erkläre, ob alle Wurzeln addiert werden können.

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Wurzeln können nicht beliebig addiert werden. Eine Addition von Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzeln gleich sind.

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Wurzeln können nur addiert werden, wenn die Wurzeln gleich sind.

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