In diesem Artikel erfährst Du, wie man Brüche kürzen kann. Das ist eine Fähigkeit, die man in der Bruchrechnung regelmäßig benötigt. Sicherlich bist Du bei den Aufgaben in der Schule schon mal über den Hinweis „kürze vollständig“ gestolpert. Wie das geht, lernst Du hier.
Brüche erweitern und kürzen
Jeder Bruch kann erweitert werden, indem der Zähler und der Nenner des Bruchs mit derselben Zahl multipliziert werden. Das Kürzen eines Bruchs ist das Gegenteil des Erweiterns. Beim Kürzen wird der Zähler und der Nenner mit derselben Zahl dividiert.
Erweitern: \begin{align}&\cdot 2 \\ \frac{1}{2}\quad &=\quad\frac{1\cdot2 }{2\cdot2}\quad = \quad \frac{2}{4} \end{align}
Kürzen: \begin{align}&: 2 \\ \frac{2}{4}\quad &=\quad\frac{2:2 }{4:2}\quad = \quad \frac{1}{2} \end{align}
Beim Erweitern und Kürzen bleibt der Wert des Bruchs gleich. Den Bruch \(\frac{1}{2}\) kannst Du Dir als die Hälfte eines Ganzen vorstellen zum. Beispiel die Hälfte eines Rechtecks. Durch Erweitern des Bruchs mit \(2\) erhälst Du den Bruch \(\frac{2}{4}\). Wie Du in der Abbildung 1 sehen kannst, bleibt die markiertet Fläche auch nach dem Erweitern gleich.
Abbildung 1: Graphische Darstellung des Kürzens
Brüche kürzen – Trick
Brüche mit einem gemeinsamen Teiler kürzen
Kürzen kannst Du immer dann, wenn sowohl der Nenner als auch der Zähler durch dieselbe Zahl geteilt werden können.
Zum Kürzen von Brüchen ist es hilfreich, die „Teilbarkeitsregeln“ im Kopf zu haben. Weißt Du noch, wann eine Zahl durch 4 oder durch 9 teilbar ist? Du kannst hierfür unseren Artikel „Teilbarkeitsregeln“ ansehen!
Bei vielen Zahlen kannst Du schnell erkennen, ob sie durch eine andere teilbar sind. Beispielsweise lässt sich jede gerade Zahl durch \(2\) teilen.
Der Bruch \(\frac{36}{72}\) soll vollständig gekürzt werden. Du erkennst vielleicht sofort, dass Du mit 36 kürzen kannst. \begin{align}&: 36 \\ \frac{36}{72}\quad &=\quad\frac{36:36 }{72:36}\quad = \quad \frac{1}{2} \end{align}
Falls nicht, kannst Du aber auch kleinschrittiger vorgehen. \(36\) und \(72\) sind gerade Zahlen und lassen sich damit durch \(2\) teilen. Du kannst also wie folgt in mehreren Schritten rechnen:
\begin{array}{cccc}\,&:2&\,& :2&\,& :2&\,&:3\\ \frac{36}{72} & =&\frac{18 }{36}& = & \frac{9}{18} &= &\frac{3}{6}&=& \frac{1}{2}\end{array}
Brüche kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT)
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist eine weitere Möglichkeit, um einen Bruch zu kürzen. Dafür stellst Du jeweils für den Nenner und den Zähler die Teilermengen auf und kürzt den Bruch mit dem größten Wert, der in beiden Mengen gleichzeitig vorkommt.
Angenommen Dein Bruch lautet \(\frac{36}{90}\).Die Teilermengen für den Zähler (36) und den Nenner (90) lauten hier: \begin{align}T_{36}&=\{2; 3; 4; 6; 12; 18; 36\}\\T_{90}&=\{2; 3; 5; 6; 10; 12; 15; 18; 30; 45; 90\}\end{align}
Die größte Zahl, die in beiden Mengen vorkommt, ist \(18\). Also lässt sich der Bruch vollständig mit \(18\) kürzen
\begin{array}{ccc}\,&:18&\\ \frac{36}{90} & =&\frac{2 }{5}\end{array}
Mehr zum ggT kannst Du in der Erklärung „größter gemeinsamer Teiler“ nachlesen.
Brüche kürzen mithilfe von Primfaktorzerlegung
Ein dritter Weg, um Brüche zu kürzen, ist die Verwendung der Primfaktorzerlegung.
Jede natürliche Zahl, die größer als 1 ist, kann man als eindeutiges Produkt aus Primzahlen schreiben. Dieses Produkt wird auch Primfaktorzerlegung der Zahl genannt.
"Eindeutig" ist die Primfaktorzerlegung bis auf Reihenfolge. Das heißt, dass die vorkommenden Primzahlen eindeutig sind, in welcher Reihenfolge sie aber aufgeschrieben sind, ist nicht eindeutig.
Beispiel: Die Primfaktorzerlegung der Zahl 12 ist oder auch . Die Primfaktoren sind dieselben, aber in einer anderen Reihenfolge aufgeschrieben.
Jede Zahl kann also als Produkt mehrerer Primzahlen aufgeschrieben werden, vorausgesetzt sie ist größer als 1 und nicht selbst eine Primzahl.
Um nun einen Bruch mithilfe der Primfaktorzerlegung zu kürzen, zerlegst du zunächst Zähler und Nenner des Bruches jeweils in Primfaktoren. Dann kannst du direkt sehen, welche Faktoren oben und unten gleich vorkommen. Die gleichen Faktoren kannst du dann herausstreichen. Aber Vorsicht, es müssen im Zähler und Nenner des Bruches gleich viele Faktoren weggestrichen werden!
Aufgabe 3
Der Bruch soll mithilfe der Primfaktorzerlegung vollständig gekürzt werden.
Lösung
Dazu werden Zähler und Nenner zunächst in Primfaktoren zerlegt:
Im Zähler kommt lediglich der Faktor 2 vor, dafür aber gleich fünfmal. Im Nenner kommt der Faktor 2 auch vor, zweimal, und je einmal die Faktoren 3 und 5.
Es können jetzt nur Faktoren gekürzt werden, die im Zähler und im Nenner vorkommen, also in diesem Fall nur die 2. Da sie im Zähler und Nenner gleich oft weggestrichen werden müssen, können jeweils nur zwei Zweier gekürzt werden, obwohl im Zähler fünf Zweier wären!
Durch Wegstreichen erhält man also:
Bist du dir nicht mehr ganz sicher, wie die Primfaktorzerlegung funktioniert? Kein Problem. Für mehr Informationen zu diesem Thema kannst du gerne auf StudySmarter im separaten Kapitel nachlesen.
Brüche mit Variablen kürzen – Regel
Brüche mit Variablen nennt man auch Bruchterme.
Einen Term der Form , bei dem S und T ebenfalls Terme sind, nennt man Bruchterm. Dabei darf der Term T im Nenner nicht der Nullterm sein.
Wenn du ein Profi im Umgang mit Bruchtermen werden willst, dann schau dir unbedingt den gleichnamigen Artikel dazu an!
Sind in einem Bruch Variablen enthalten, kann man unter Umständen trotzdem kürzen. Hier wird aber eine Regel besonders wichtig, die du dir unbedingt merken solltest:
Regel zum Kürzen von Brüchen:
Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!
Die Regel sagt das Folgende aus: hast du einen Bruch gegeben, bei dem im Zähler und Nenner jeweils Terme (eventuell sogar mit Variablen) vorkommen, dann darfst du nur kürzen, wenn diese Terme Produkte oder Quotienten sind. Sind die Terme Summen oder Differenzen, wird also + oder - gerechnet, so darf man nicht kürzen.
Betrachte den Bruch . Falls du dir jetzt denkst "juhu, ich kürze ", dann müssen wir dich leider enttäuschen. Der Zählerterm ist eine Summe, weshalb du hier nicht kürzen darfst. ist nämlich kein Teiler des Zählers.
Betrachte dagegen den Bruch . Hier darfst du mit kürzen, denn das ist ein Teiler des Zählers, weil der Zähler in Produktform vorliegt.
Hast du also einen Bruch mit Variablen und Termen gegeben, musst du immer zuerst überprüfen, ob im Zähler und Nenner Produkte vorliegen.
Manchmal kann man aber auch einen kleinen Trick anwenden: Durch Ausklammern kann man nämlich Summen in Produkte umwandeln!
Dazu ein kurzes Beispiel:
Aufgabe 4
Klammere beim folgenden Bruch geschickt aus, um kürzen zu können.
Lösung
Wenn du genau hinschaust, liegt im Zähler eine binomische Formel vor! Im Nenner kann zudem der Faktor 2 ausgeklammert werden:
Sowohl im Zähler, als auch im Nenner findet sich jetzt der Faktor , der also gekürzt werden kann:
Brüche über Kreuz kürzen
Vielleicht hast du schon einmal vom "über Kreuz Kürzen" gehört. Das kann man beim Multiplizieren machen.
In einem Produkt kann überkreuz gekürzt werden, wenn die Zahlen a und d und/oder die Zahlen b und c einen gemeinsamen Teiler haben.
Das heißt, man kann überkreuz kürzen, wenn der Zähler des ersten Bruches und der Nenner des zweiten Bruches, oder der Zähler des zweiten Bruches und der Nenner des ersten Bruches einen gemeinsamen Teiler haben.
Das über Kreuz Kürzen hat den Vorteil, dass die Zahlen, mit denen du multiplizieren musst, kleiner werden. Zudem kannst du es selbst dann anwenden, wenn die Brüche einzeln schon vollständig gekürzt sind.
Aufgabe 5
Berechne. Kürze zuerst über Kreuz:
Lösung
Die Zahlen 8 und 64 können beide mit der 8 gekürzt werden:
Außerdem können die Zahlen 15 und 20 beide mit der 5 gekürzt werden:
Jetzt kann nicht mehr überkreuz gekürzt werden.
Das Ergebnis kann jedoch noch gekürzt werden.
Du hättest auch vor dem Multiplizieren den hinteren Bruch noch vollständig kürzen können.
Brüchen kürzen – Aufgaben
Hier findest du noch ein paar Übungsaufgaben, damit du dein Verständnis noch verbessern kannst.
Aufgabe 6
Kürze die folgenden Brüche vollständig.
Lösung
kann nicht weiter gekürzt werden, da die Differenz zwischen Zähler und Nenner 1 ist.
Aufgabe 7
Berechne. Wenn es möglich ist, kürze zuerst über Kreuz.
Lösung
Aufgabe 8
Kürze in den folgenden Bruchtermen so viel wie möglich.
Lösung
Brüche kürzen – Das Wichtigste
- Die Umformung des Bruches zu wird Kürzen genannt.
- Das Kürzen von Brüchen ist die Umkehroperation des Erweiterns.
- Brüche kürzen braucht man, um Multiplikationen und Divisionen mit Brüchen zu vereinfachen, oder um ein Ergebnis in Bruchform anschaulicher darzustellen.
- Um einen Bruch zu kürzen, muss man Zähler und Nenner durch dieselbe natürliche Zahl teilen.
- Haben Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr, so heißt der Bruch vollständig gekürzt.
- Brüche kann man mit dem größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner, mit einem beliebigen Teiler von Zähler und Nenner oder mithilfe der Primfaktorzerlegung kürzen.
- Regel zum Kürzen von Brüchen mit Variablen: Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.
- Beim Multiplizieren von zwei Brüchen kann man über Kreuz kürzen, indem der Zähler des einen Bruchs und der Nenner des anderen Bruchs durch dieselbe natürliche Zahl geteilt werden.
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