Brüche kürzen: Regeln & Beispiele | StudySmarter
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Brüche kürzen

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Mathe

In diesem Artikel erfährst du, wie man Brüche kürzen kann. Das ist eine Fähigkeit, die man in der Bruchrechnung sehr häufig braucht. Sicherlich bist du bei den Aufgaben in der Schule schon mal über den Hinweis "kürze vollständig" gestolpert. Wie das geht, lernst du hier.



Was bedeutet Brüche kürzen?


Brüche kürzen, Brüche erweitern, StudySmarterAbbildung: Graphische Darstellung des Kürzens


Du wirst mir sicherlich recht geben, dass in allen vier Rechtecken dieselbe Fläche rosa markiert ist. Wie du aber an den Bruchzahlen neben der jeweiligen Fläche sieht, sind diese Bruchzahlen nicht gleich. Beim Rechteck links oben ist eine Hälfte markiert, beim Rechteck rechts oben sind es zwei Viertel


Der Bruchteil ändert sich also nicht, wenn man Zähler und Nenner einer Bruchzahl mit der gleichen Zahl multipliziert oder sie durch die gleiche Zahl teilt. Und das "Teilen durch die gleiche Zahl" nennt man Kürzen (die andere Richtung ist dann das Erweitern). Man kann also die Brüche  und  zum Bruch  kürzen. Wie das genau geht, zeigen wir dir im weiteren Verlauf des Artikels.

 

Tipp: Beim Rechnen mit Brüchen kann es oft übersichtlicher sein, wenn die Brüche gekürzt sind und oft ist es auch einfacher. Denn: du kannst dann mit kleineren Zahlen rechnen!  



Wie kann man Brüche kürzen?


Nachdem du jetzt gesehen hast, was es bedeutet, einen Bruch zu kürzen, lernst du in diesem Abschnitt, wie man das genau macht.


Es gilt: 


Um Brüche zu kürzen, musst du den Zähler und den Nenner des Bruches durch die gleiche natürliche Zahl (≠0) dividieren. Dadurch bleibt der Wert des Bruches unverändert.


Das Kürzen eines Bruches ist dann auch nur möglich, wenn es eine natürliche Zahl gibt, die den Zähler und Nenner teilt. Diese Zahl heißt dann Kürzungszahl


Natürliche Zahlen sind dir sicher schon ein Begriff. Falls du dich nicht mehr genau erinnern kannst, so lies einfach im entsprechenden Kapitel der Zahlenmengen noch einmal nach. 


Kann man einen Bruch nicht weiter kürzen, so heißt dies vollständig gekürzt

Sehen wir uns einmal an, wie sich das Kürzen bei einem beliebigen Bruch durchführen lässt.


Brüche mit einem gemeinsamen Teiler kürzen


Als erstes Beispiel soll der Bruch  vollständig gekürzt werden.

Da Zähler und Nenner beide durch 2 teilbar sind, kann der Bruch also mit 2 gekürzt werden:



 und  sind also gleichwertig und dieselbe rationale Zahl.


Solltest du nicht mehr genau wissen, was es mit dem Begriff der rationalen Zahlen auf sich hat, so lies einfach im entsprechenden Unterkapitel der Zahlenmengen  nach.

Das ist aber noch kein vollständig gekürzter Bruch, denn Zähler und Nenner können noch weiter gekürzt werden: Beide Zahlen sind durch 3 teilbar:



Jetzt sind wir fertig, denn 3 und 4 haben keinen weiteren gemeinsamen Teiler. 


Oftmals ist es einfach zu erkennen, wenn ein Bruch mit der Kürzungszahl 2 oder 3 gekürzt werden kann. Je größer die Kürzungszahl jedoch ist, desto weniger Schritte brauchst du zum vollständigen Kürzen. 


Dafür ist es hilfreich, die Teilbarkeitsregeln im Kopf zu haben. Weißt du noch, wann eine Zahl durch 3 oder durch 9 teilbar ist? Du kannst hierfür nochmal unseren Artikel Teilbarkeitsregeln im Kapitel Zahlenlehre im Bereich Algebra anschauen!


Kürzen mit dem größten gemeinsamen Teiler (ggT)


Im Beispiel von eben hätten wir auch in einem Schritt vollständig kürzen können, wenn wir direkt mit 6 gekürzt hätten:


Wir nehmen wieder den gleichen Bruch und teilen ihn diesmal oben und unten durch die Zahl 6.



Die 6 ist dabei der größte gemeinsame Teiler (ggT) von 18 und 24.


Du siehst, beide Wege führen zum selben Ergebnis. Wenn du dir also nicht sicher bist, ob du mit einer höheren Zahl kürzen kannst, dann kannst du auch erstmal mit einer kleineren Zahl kürzen, und dafür mehrere Rechenschritte machen.


Brüche mithilfe von Primfaktorzerlegung kürzen


Ein dritter Weg, um Brüche zu kürzen, ist die Verwendung der Primfaktorzerlegung. Dabei zerlegst du Zähler und Nenner des Bruches jeweils in Primfaktoren und kannst dann direkt sehen, welche Faktoren oben und unten gleich vorkommen. Die gleichen Faktoren kannst du dann einfach herausstreichen. Aber Vorsicht, es müssen im Zähler und Nenner des Bruches gleich viele Faktoren weggestrichen werden!


Der Bruch soll mithilfe der Primfaktorzerlegung vollständig gekürzt werden.

Dazu werden Zähler und Nenner zunächst in Primfaktoren zerlegt:


Im Zähler kommt lediglich der Faktor 2 vor, dafür aber gleich fünfmal. Im Nenner kommt der Faktor 2 auch vor, zweimal, und je einmal die Faktoren 3 und 5.


Es können nur Faktoren gekürzt werden, die im Zähler und im Nenner vorkommen, also in diesem Fall nur die 2. Da sie im Zähler und Nenner gleich oft weggestrichen werden müssen, können jeweils nur zwei Zweier gekürzt werden, obwohl im Zähler fünf Zweier wären!


Durch Wegstreichen erhalten wir also:



Bist du dir nicht mehr ganz sicher, wie die Primfaktorzerlegung funktioniert? Kein Problem. Für mehr Informationen zu diesem Thema kannst du gerne auf StudySmarter im separaten Kapitel nachlesen.



Notation der Kürzungszahl


Manchmal wird beim Kürzen die Kürzungszahl unterhalb des = notiert. 



Der Bruch wird hierbei jeweils wieder oben und unten durch die Zahl 5 geteilt. 


Gerade zu Beginn der Bruchrechnung kann das hilfreich sein, um den Überblick zu behalten. Wenn dein Ergebnis zum Beispiel falsch ist, kannst du so ganz leicht nachvollziehen, wo dein Fehler war. Deshalb fordern manche Mathe-Lehrer das auch an Anfang ein. Es ist jedoch mathematisch nicht falsch, wenn du das nicht machst, und besonders wenn du schon fit im Kürzen bist, kannst du das weglassen. 



Spezielle Brüche


Ziel beim Brüche kürzen ist es, den Bruch so weit wie möglich zu kürzen. Das ist der Fall, wenn du im Zähler und Nenner zwei Zahlen stehen hast, die teilerfremd sind. Manchmal muss man das etwas umständlich überprüfen (wofür es auch wieder wichtig ist, die Teilbarkeitsregeln zu kennen! Du merkst, das ist der Schlüssel zum Thema Brüche kürzen!). In zwei Fällen ist es aber direkt ersichtlich:


Im Zähler oder Nenner steht eine 1


Wenn du eine 1 im Zähler oder Nenner hast, kannst du nicht weiter kürzen, da die 1 nur durch sich selbst geteilt werden kann. Somit ist der ggT mit einer anderen Zahl immer 1. Also könntest du nur mit der 1 kürzen, wodurch sich der Bruch aber nicht mehr verändert.



Die Differenz zwischen Zähler und Nenner ist 1


Wenn die Differenz zwischen Zähler und Nenner 1 ist, kannst du den Bruch auch nicht mehr weiter kürzen. Denn zwei aufeinanderfolgende Zahlen können nicht durch dieselbe natürliche Zahl (größer als 1) geteilt werden.




Kürzen als Umkehroperation von Erweitern


Vielleicht hast du im Mathematik Unterricht auch schon gelernt, wie du Brüche erweitern kannst. Das brauchst du beispielsweise für das Addieren oder Subtrahieren von Brüchen. 


Falls du nachlesen möchtest, wie man einen Bruch erweitert, dann empfehle ich dir den Artikel Brüche erweitern.


Das Kürzen ist die Umkehroperation vom Erweitern. Das heißt, dass man mit Kürzen das rückgängig machen kann, was man zuerst durch Erweitern gemacht hat, oder auch andersherum. 

Schauen wir uns das mal in einem Beispiel an:


Gegeben ist der Bruch .


Zunächst erweitern wir den Bruch mit der Erweiterungszahl 6:



Wenn wir nun  wieder mit der Kürzungszahl 6 kürzen, dann kommen wir wieder beim ursprünglichen Bruch heraus:



Du kennst bestimmt schon weitere Umkehroperationen: die Addition ist die Umkehroperation der Subtraktion, und die Multiplikation von der Division.



Übungsaufgaben zum Kürzen von Brüchen


Hier findest du noch ein paar Übungsaufgaben, damit du dein Verständnis noch verbessern kannst. 


Aufgabe

Kürze die folgenden Brüche vollständig.




Lösung





Brüche kürzen - Das Wichtigste auf einen Blick


  • Wird ein Bruch gekürzt, so wird der Zähler und der Nenner von derselben Zahl dividiert. 
  • Diese Zahl heißt Kürzungszahl.
  • Das Kürzen verändert den Wert des Bruchs nicht.
  • Vollständig gekürzt heißt: Zähler und Nenner sind teilerfremd.
  • Das Rechnen mit vollständig gekürzten Brüchen kann einfacher sein.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Brüche kürzen

Man kann einen Bruch kürzen, wenn der Zähler und der Nenner des Bruches einen gemeinsamen Teiler haben. Ist das nicht der Fall, kann man nicht kürzen.

Nein. Man kann nur Brüche kürzen, bei denen Zähler und Nenner durch die gleiche natürliche Zahl teilbar sind, sie also einen gemeinsamen Teiler haben. Ist das nicht der Fall, kann man den Bruch nicht kürzen.

Du darfst einen Bruch nicht kürzen, wenn der Zähler und der Nenner keinen gemeinsamen Teiler haben, also nicht durch dieselbe Zahl teilbar sind.

Normalerweise multipliziert man Brüche nicht überkreuz, sondern multipliziert jeweils die Zähler und die Nenner miteinander. Wenn man aber einen Bruch durch einen Bruch teilt, dann darf man stattdessen überkreuz multiplizieren. Einfacher ist es aber, vom Bruch, durch den geteilt wird, den Kehrbruch zu bilden, und dann wie gewohnt die beiden Brüche zu multiplizieren.

Finales Brüche kürzen Quiz

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

Brüche werden beim Kürzen kleiner.

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Antwort

Das ist falsch. Der Wert eines Bruches verändert sich nicht, wenn gekürzt wird.

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