Mächtigkeit von Mengen

Die Mengenlehre der Mathematik beschäftigt sich mit der Menge von Objekten sowie ihrer Darstellung. Hierbei gibt es jedoch unterschiedliche Arten der Darstellung von Mengen. Die Mengenlehre ist insbesondere seit dem 
20. Jahrhundert bekannt und liefert einen grundlegenden Perspektivenwechsel auf die Unendlichkeit.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Menge in der Mathematik – Definition

    Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845–1918):

    Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen.

    Diese Definition sagt also aus, dass wir verschiedene Dinge nehmen können und diese zu einer Menge zusammenfassen können. Als Beispiel kann die Menge aller Gegenstände auf deinem Schreibtisch oder der Einkauf vom Supermarkt genannt werden.

    Georg Cantor

    Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor war ein deutscher Mathematiker (geboren 1845 in Sankt Petersburg, gestorben 1918 in Halle an der Saale).

    Cantor lieferte wichtige Beiträge zur modernen Mathematik. Insbesondere ist er der Begründer der Mengenlehre und veränderte den Begriff der Unendlichkeit. Der revolutionäre Gehalt seines Werks wurde erst im 20. Jahrhundert richtig erkannt.

    Mengen und Elemente – Erklärung

    Diese Dinge, die man zusammenfassen kann, haben in der Mathematik einen besonderen Namen:

    Die Objekte in einer mathematischen Menge M heißen Elemente der Menge M.

    21;2;3;4;5

    2 ist ein Element der Menge, da die Zahl 2 innerhalb der geschweiften Klammern vorkommt.

    21;3;5;6;7

    2 ist kein Element der Menge, da die Zahl 2 nicht innerhalb der geschweiften Klammer vorkommt.

    Durch diese Definition lernst du ein wichtiges Prinzip der Mengenlehre:

    Mengen enthalten Objekte. Diese werden Elemente einer Menge genannt.

    Was können mögliche Mengen sein?

    Die Zahlenmengen sind sehr bekannte Mengen:

    • Die Menge der natürlichen Zahlen = 0;1;2;3;4;....
    • Die Menge der ganzen Zahlen =...-3;-2;-1;0;1;2;3....
    • Es gibt noch die Menge der rationalen Zahlen , die Menge der reellen Zahlen und die Menge der komplexen Zahlen , die aber in der Schule nicht immer thematisiert werden.

    Es können aber auch beliebige Zahlen zusammengefasst werden, wie du im vorherigen Beispiel gesehen hast.

    Du siehst, es gibt schon einige Mengen, denen du bisher in der Mathematik begegnet bist.

    Mächtigkeit von Mengen – Besondere Mengen

    In den nun folgenden Abschnitten siehst du ein paar besondere Mengen. Diese sind zum einen die leere Menge und zum anderen die Einermenge.

    Die leere Menge

    Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge und wird dargestellt durch:

    m= oder m=

    Übrigens ist die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge!

    Eine Menge ist in einer zweiten Menge enthalten, wenn für jedes Element aus der ersten Menge gilt, dass es auch in der zweiten Menge liegt.

    Nehmen wir also mal an, dass:

    x

    (Diese Annahme ist für jedes x falsch, da es sich ja um die leere Menge handelt!)

    Aus einer falschen Annahme kann alles gefolgert werden, also gilt die Folgerung:

    xxM

    Daraus wiederum ergibt sich:

    M

    Es existiert kein x in der leeren Menge, welches nicht auch zu einer beliebigen Menge M gehört.

    Die Beweistechnik, bei der aus einer Sache etwas anderes gefolgert wird, heißt Implikation.

    Die Einermenge

    Eine weitere interessante Menge ist die Einermenge.

    Eine Menge, die genau ein Element enthält, heißt Einermenge.

    M=5

    M enthält nur ein Element, ist also eine Einermenge.

    Die Einermenge ist nicht eindeutig, es gibt also nicht die Einermenge. Das Element, das in der Einermenge enthalten ist, kann beliebig sein.

    Die Mächtigkeit von Mengen – Definition

    Die Mächtigkeit von Mengen stellt ihre Größe dar.

    Die Anzahl der Elemente einer Menge M heißt bei endlichen Mengen auch Mächtigkeit der Menge M

    und wird symbolisch folgendermaßen dargestellt:

    M

    Manchmal ist es also ganz einfach, die Mächtigkeit einer Menge zu bestimmen, indem man einfach die Elemente zählt.

    Die Mächtigkeit der Menge M1=1,2,3,4,5 ist M1=5, da genau 5 Elemente in der Menge sind.

    Die Mächtigkeit der Zahlenmengen , , ist=== (unendlich), weil die Zahlenmengen unendlich viele Zahlen enthalten.

    Die Mächtigkeit der leeren Menge wird übrigens in den Übungsaufgaben am Ende des Artikels behandelt.

    Mächtigkeit von Mengen – Darstellung von Mengen

    Mengen kann man in beschreibender oder in aufzählender Form angeben. Es gibt also verschiedene Schreibweisen. Bei der aufzählenden Form schreibt man alle Elemente der Menge in eine geschweifte Klammer.

    Die aufzählende Form:

    Die Menge M aller reellen Zahlen, die größer als (-4) und höchstens gleich 3 sind.

    M=-3;-2;-1;0;1;2;3

    Da man bei der aufzählenden Form alle Elemente aufschreibt, muss die Menge endlich sein, und darf nicht zu viele Elemente beinhalten.

    Für unendliche Mengen bieten sich zwei andere Schreibweisen an. Hierzu zählen die beschreibende Form und die Intervallschreibweise.

    Die beschreibende Form:

    M=x|-4<x3

    Man spricht: "M ist die Menge aller x aus den reellen Zahlen, für die gilt: -4 ist kleiner als x und x ist kleiner oder gleich 3".

    Bei der beschreibenden Form sind alle Elemente aus der angegebenen Zahlenmenge (also hier aus den reellen Zahlen) eingeschlossen, die sich im angegebenen Bereich (also zwischen -4 und 3) befinden. Du kannst natürlich auch andere Zahlenmengen angeben, aus denen die Elemente kommen sollen.

    Zuletzt gibt es noch die Intervallschreibweise. Dabei gibt man nur den Zahlenbereich an, aus dem die Elemente kommen. Die Intervallschreibweise kann man allerdings nur für Teilmengen der reellen Zahlen verwenden.

    Bei der Intervallschreibweise sind die Klammern besonders wichtig, denn sie sagen aus, welche Zahlen noch mit eingeschlossen sind, und welche nicht mehr.

    Die Intervallschreibweise:

    M=(-4;3]=]-4;3]

    Dabei haben die Klammern die folgende Bedeutung:

    • Eckige Klammern, die nach innen zeigen, bedeuten, dass die angegebene Zahl eingeschlossen ist und Teil der Menge:

    M=1;2 sind alle Zahlen zwischen 1 und 2, wobei 1 und 2 Teil der Menge M sind.

    • Eckige Klammern, die nach außen zeigen, bedeuten, dass die angegebene Zahl nicht eingeschlossen ist und nicht Teil der Menge:

    M=]1;2[ sind alle Zahlen zwischen 1 und 2, wobei 1 und 2 nicht Teil der Menge M sind.

    • Runde Klammern haben dieselbe Bedeutung wie eckige Klammern, die nach außen zeigen. Sie schließen die Grenzen also auch aus.

    Mächtigkeit von Mengen – Beispiele und Aufgaben

    Damit du nochmal wiederholen kannst, was du in diesem Artikel gelernt hast, kannst du dir folgende Beispiele anschauen:

    Aufgabe 1

    Stelle die Menge M auf, die alle Primzahlen, die kleiner als 15 sind, enthält. Welche Mächtigkeit hat die Menge M?

    Lösung 1

    Diese Aufgabe enthält zwei Teilaufgaben. Zunächst musst du die Menge M aufstellen. Das machst du, indem du alle Primzahlen, die kleiner als 15 sind, zu einer Menge zusammenfasst.

    M=2;3;5;7;11;13

    Im zweiten Schritt musst du die Mächtigkeit der Menge M bestimmen. Dazu musst du nur zählen, wie viele Elemente die Menge M enthält.

    M=6

    Die Menge M hat eine Mächtigkeit von 6, da die Menge M sechs Primzahlen enthält.

    Aufgabe 2

    Was wird hier dargestellt? Wie liest man eine solche Darstellung? Formuliere es in einem Satz.

    B=x|x<4

    Lösung 3

    Du siehst hier zunächst die Menge B und diese Menge B enthält nur Zahlen, die Elemente der reellen Zahlen sind und kleiner als die Zahl 4 sind.

    Die richtige Antwort: B ist die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner als 4 sind.

    Aufgabe 4

    Was stellt die Menge C dar? Welche Mächtigkeit hat die Menge C?

    C=

    Lösung 4

    Die Mächtigkeit einer solchen leeren Menge ist 0, da die Menge ja leer ist.

    Folglich ist deine Antwort, dass die Menge C die leere Menge darstellt und die Mächtigkeit 0 hat.

    C=0

    Und jetzt kommt eine etwas schwierigere Aufgabe:

    Aufgabe 5

    Gebe die Einermenge an, die als Element die leere Menge besitzt.

    Lösung 5

    D=

    und die Mächtigkeit von der Menge D ist

    D=1

    Die zugrunde liegende Idee

    Der Gedanke hier ist, dass eine neue Menge als eine abgeschlossene Einheit betrachtet wird.

    Stell dir vor, du gehst einkaufen und du hast unter anderem auch ein Sack Orangen gekauft. Dann sind diese Orangen in der Tüte auch eine eigenständige Menge (denn in dem Sack Orangen befinden sich zum Beispiel 5 Stück), aber zugleich sind diese auch ein Element der Gesamtmenge (also der gesamte Einkauf).

    Das bedeutet, obwohl die leere Menge an sich keine Mächtigkeit besitzt, da sie ja leer ist, besitzt die Menge der leeren Menge als Element einer anderen Menge doch noch eine Mächtigkeit.

    Du musst immer darauf achten, ob die Mengenklammern vorkommen oder nicht.

    Die Beispiele C und D stellen beide die leere Menge dar, haben aber unterschiedliche Mächtigkeiten.

    Der Unterschied ist, dass D Mengenklammern enthält und C nicht, die leere Menge hat keine Mächtigkeit, aber die Menge der leeren Menge hat eine Mächtigkeit von 1, da es sie ja einmal in der Menge gibt.

    Mächtigkeit von Mengen - Das Wichtigste

    1. Georg Cantor ist der Begründer Mengenlehre.

    2. Die Objekte innerhalb einer Menge heißen Elemente.

    3. Die Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge.

      1. Darstellung der leeren Menge: M=

      2. Darstellung der leeren Menge: M=

    4. Die Menge, die nur ein Element enthält, heißt Einermenge.

      1. Darstellung einer Einermenge: M=4

    5. Die Anzahl der Elemente einer Menge M heißt bei endlichen Mengen auch Mächtigkeit der Menge M.

      1. Darstellung der Mächtigkeit: M

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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Mächtigkeit von Mengen

    Was ist die Mächtigkeit einer Menge?

    Die Mächtigkeit einer Menge ist die Anzahl der Elemente dieser Menge d.h. eine Menge die nur 3 Elemente enthält hat eine Mächtigkeit von 3. 

    Welche Mengen sind gleich mächtig?

    Das ist von Fall zu Fall unterschiedlich aber die Bedingung für eine gleiche Mächtigkeit ist, dass Beide Mengen dieselbe Anzahl an Elementen enthalten müssen.


    z.B. Menge A hat zwei Elemente und die Menge B hat ebenfalls zwei Elemente, dann sind diese beiden Mengen gleichmächtig

    Was ist die Größe einer Menge?

    Die Größe einer Menge ist abhängig von der Prämisse die man stellt.


    z.B. Nenne mir die Menge aller Zahlen von 0 bis 10, dann ist die Größe gleich 11

    oder 

    z.B. Nenne mir die Menge aller Zahlen gleich 5, dann ist die Größe gleich 1, da es ja nur eine 5 gibt.

    Wann ist eine Menge unendlich?

    Auch hier gilt es die Formulierung zu betrachten, z.B. Nenne mir alle natürlichen/reellen/ganzen Zahlen.

    Das würde ins unendliche gehen, da ich nicht festgelegt habe wo die Grenze ist du müsstest ewig weitere aufzählen.


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