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Überschlagsrechnung

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Überschlagsrechnung

Im Supermarkt willst du dir für dein Taschengeld von 20€ Süßigkeiten kaufen und schmeißt natürlich sofort saure Gummibärchen für 3,95€, Schokolade für 4,45€, Chips für 2,63€ und riesige Packung "bunter Mix" für 6,78€ in den Einkaufswagen. Aber reicht der 20€ Schein dafür, den du in deiner Hosentasche hast?

Überschlagsrechnung / Einkaufswagen / Übersicht / Erklärung / StudySmarter

Im Alltag begegnen uns überall solche krummen und komplizierten Zahlen, mit denen man im Kopf nicht mehr leicht rechnen kann. Um trotzdem im Supermarkt berechnen zu können, ob dein Taschengeld am Ende ausreicht, benötigst du die Überschlagsrechnung.

Definition Überschlagsrechnung

Doch was ist das Überschlagen eigentlich?

Unter dem Überschlagen in der Mathematik versteht man das Rechnen einer Aufgabe mithilfe grob gerundeter Zahlen.

Wendest du das auf deinen Supermarkteinkauf an, zählst du also nur die gerundeten Preisangaben zusammen. Die Überschlagsrechnung kannst du dann im Kopf durchführen und weißt anschließend, ob dir dein Geld reicht.

Ob dir dein Taschengeld also reicht, kannst du am Ende des Artikels überprüfen

Überschlagsrechnung, Runden und Schätzen

Unter den drei Begriffen Überschlagen, Runden und Schätzen stellst du dir vermutlich erst einmal fast das Gleiche vor. Es gibt allerdings Unterschiede und die sind auch wichtig. Deshalb kannst du im Folgenden jeden Begriff einmal einzeln durchgehen.

Genaueres dazu findest du auch noch in den einzelnen Artikeln zum Thema Runden und Schätzen.

Schätzen

Schau dir erstmal an, was das Schätzen eigentlich ausmacht!

Das Schätzen bezeichnet das Ermitteln eines ungefähren Ergebnisses einer Aufgabe anhand von persönlichen Erfahrungen oder mathematischen Vorgehensweisen.

Das bedeutet einfacher gesagt, dass du beim Schätzen selbst beurteilst, welche Zahl in etwa dargestellt oder gemeint sein könnte, ohne zu Zählen oder zu Rechnen. Hierbei gibt es keine Regeln und auch kein richtig oder falsch.

Mit einem Blick auf dieses Bild könntest du zum Beispiel die Anzahl der Menschen schätzen, natürlich ohne sie zu zählen.

Überschlagsrechnung / Schätzen / Beispiel / StudySmarter

Hier wäre eine Schätzung von 15-20 auf den ersten Blick recht gut.

Runden

Das Runden ist ein mathematisches, konkretes Vorgehen. Die genaue Definition siehst du hier:

Das Runden ist das Vereinfachen von Zahlen nach bestimmten Regeln.

Du hast beim Runden also schon eine Zahl vorgegeben, die du aber durch die sogenannten Rundungsregeln vereinfachst und damit auch ungenauer darstellst. Für manche Situationen reicht es jedoch, wenn eine Zahl oder das Ergebnis einer Rechnung ungefähr bekannt ist, beispielsweise die Zahl der Einwohner Deutschlands.

Du hast hier zum Beispiel die vierstellige Zahl 3641 vor dir und stellst sie mithilfe der Rundungsregeln beliebig einfach da. Natürlich ist das Rechnen mit der gerundeten Zahl dann deutlich ungenauer, aber in einigen Situationen reicht es, wenn das Ergebnis nur ungefähr bekannt ist. Je nachdem wie du rundest, können dabei unterschiedliche Zahlen bei herauskommen!

Überschlagsrechnung, Beispiel, Grundlagen, StudySmarter

Überschlagen

Hier sieht du erstmal, was das Überschlagen genau bedeutet!

Unter dem Überschlagen in der Mathematik versteht man das Rechnen einer Aufgabe mithilfe grob gerundeter Zahlen.

Das Überschlagen geht also noch einen Schritt weiter als das Runden. Du benötigst den Vorgang des Rundens und die gerundeten Zahlen, um dann mit ihnen rechnen zu können.

Zusammengefasst bedeutet das:

Beim Überschlag bringst du die Zahlen (durch Runden) in eine vereinfachte Form, mit der du die Aufgabe dann im Kopf rechnen kannst.

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Bei diesen beiden Zahlen ist es natürlich schwer sie auf Anhieb voneinander abzuziehen, deshalb werden sie durch das Runden zunächst vereinfacht und anschließend leicht im Kopf miteinander verrechnet.

Zusammenfassung – Überschlagsrechnung, Schätzen, Runden

Die wesentlichen Unterschiede zwischen Schätzen, Runden und Überschlagen sind also:

  • Beim Schätzen beurteilst du welche Zahl dargestellt oder gemeint ist (ohne Rechnen oder Zählen!)
  • Einzelne Zahlen können gerundet werden
  • Ein Überschlag wird bei komplizierten Aufgaben durchgeführt, um sie im Kopf lösen zu können

Gründe für Überschlagsrechnung

Häufig wird das Überschlagen als lästig empfunden, dabei hat es vor allem Vorteile für Rechnungen im Alltag:

  • das Überschlagen liefert sehr schnell ein einigermaßen genaues Ergebnis

  • einen Überschlag kannst du im Kopf durchführen, du brauchst dazu keinen Stift, Zettel oder Taschenrechner (das ist zum Beispiel beim Einkaufen sinnvoll)

  • den Überschlag kannst du gut zur Kontrolle deines vorher genau ausgerechneten Ergebnisses verwenden

Also: Überschlagen ist eine schnelle Möglichkeit und gute Kontrolle deiner Rechnung durch Kopfrechnen.

Runden als Grundlage für die Überschlagsrechnung

Ein wesentlicher Bestandteil der Überschlagsrechnung ist das Runden. Solltest du nicht mehr genau wissen, wie man richtig rundet, dann kannst du nochmal im Artikel zum Thema Runden nachlesen.

Bei der Rundung werden Zahlen deutlich vereinfacht dargestellt. Um das zu zeigen, schreibt man zwischen die genaue Zahl und die gerundete (und damit ungenauere) Zahl das so genannte Rundungszeichen .

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Außerdem ist es beim Runden enorm wichtig, auf welche Stelle einer Zahl gerundet wird. Die sogenannte Rundungsstelle ist die Ziffer innerhalb einer Zahl, an der entweder auf- oder abgerundet wird. Man sollte sie vorher bewusst auswählen.

Diese Rundungsstellen sind die häufigsten und bei deinen Rechnungen denkbar:

StelleRunden auf...
1234,5678Tausender
1234,5678Hunderter
1234,5678Zehner
1234,5678Ganze Zahl
1234,5678Zehntel
1234,5678Hundertstel
1234,5678Tausendstel

Tabelle 1: Rundungsstellen

Anleitung Überschlagsrechnung

Bei der Überschlagsrechnung musst du die folgenden zwei Schritte nacheinander ausführen:

  1. Zuerst rundest du alle Zahlen deiner Rechenaufgabe sinnvoll.
  2. Dann nutzt du diese gerundeten Zahlen, um die Rechnung im Kopf durchzuführen.

1. Schritt: Runden

Zunächst musst du dir klar machen, auf welche Stelle der Zahlen du runden möchtest, zum Beispiel auf Hundertstel, Ganze Zahlen, Zehner, Tausender oder ähnliches. Schau dir dazu nochmal die Tabelle 1 Rundungsstelle von oben genauer an.

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Abbildung 1: Beispielaufgabe Überschlagen

Jetzt schaust du dir nur die Ziffer nach der Stelle, auf die du runden möchtest, genauer an.

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Abbildung 2: Rundungsstelle

Ist diese Ziffer eine 0, 1, 2, 3 oder 4, rundest du ab. Das bedeutet an der Rundungsstelle bleibt die ursprüngliche Zahl stehen, alle Ziffern danach werden zu Nullen.

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Abbildung 3: Abrunden

Ist die Ziffer eine 5, 6, 7, 8 oder 9, rundest du auf. Die Zahl der Rundungsstelle wird in diesem Fall um eins erhöht, alle Ziffern danach werden zu Nullen.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Aufrunden, Übersicht, StudySmarter

Abbildung 4: Aufrunden

2. Schritt: Rechnung

Die gerundeten Zahlen aus Schritt 1 benutzt du jetzt für die Rechnung.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Anstatt der genauen Zahlen setzt du die gerundeten Zahlen ein und rechnest dann ganz normal deine Aufgabe.

Im Beispiel schreibst du 2700 statt 2738 und 1800 statt 1792. Die zwei gerundeten Zahlen addierst du dann ganz normal und kommst auf ein Ergebnis von 4500.

Dein Überschlagsergebnis ist also 4500. Das genaue Ergebnis wäre 4530 gewesen.

Überschlagsrechnung – Addition, Subtraktion, Multiplikation & Division

Du kannst in allen Rechenarten nach der obigen Anleitung die Überschlagsrechnung anwenden. Schaue dir im Folgenden das Vorgehen beim Überschlagen in jeder Grundrechenart anhand eines Beispiels genauer an.

Überschlagsrechnung – Addition

Aufgabe

Überschlage das Ergebnis der Summe 435+761.

Lösung

Schritt 1:

Suche dir zuerst eine Stelle aus, auf welche du beide Zahlen runden möchtest. Für diese Rechnung ist zum Beispiel das Runden auf Zehner sinnvoll. Führe anschließend die Rundungen nach den Rundungsregeln durch.

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Schritt 2:

Addiere nun die gerundeten Zahlen im Kopf miteinander und erhalte dein Überschlagsergebnis.

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Überschlagsrechnung – Subtraktion

Aufgabe

Bilde den Überschlag der Subtraktion 3684–1253.

Lösung

Schritt 1:

Du suchst dir wieder eine Rundungsstelle aus (zum Beispiel diesmal die Hunderter), schaust dir die Ziffer direkt nach dieser Stelle an und rundest dementsprechend auf oder ab.

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Schritt 2:

Auch bei Subtraktionen gehst du identisch vor. Du benutzt ebenfalls die gerundeten Zahlen und subtrahierst sie im Kopf miteinander.

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Überschlagsrechnung – Multiplikation

Aufgabe

Führe eine Überschlagsrechnung der Multiplikationsaufgabe Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter durch.

Lösung

Schritt 1:

Beginne wieder, indem du die Rundungsstelle (beispielsweise dieses Mal die Zehner) festlegst und beide Zahlen demnach rundest. So vereinfachst du dir die Aufgabe.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Schritt 2:

Jetzt musst du nämlich nur noch die beiden gerundeten Zahlen multiplizieren, also miteinander mal nehmen.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Gerade bei der Multiplikation können grobe Rundungen zu großen Ungenauigkeiten beim Ergebnis führen.

Überschlagsrechnung – Division

Aufgabe

Überschlage das Ergebnis der folgenden Division Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter.

Lösung

Schritt 1:

Mit dem bekannten Vorgehen rundest du die beiden Quotienten auf ganze Zahlen (Rundungsstelle finden, Ziffer danach ansehen und auf- oder abrunden).

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Schritt 2:

Oft ist die Division dann super leicht und das Ergebnis der Rechnung ist meist ausreichend genau.

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Sonderfall – Überschlagsrechnung Dezimalzahlen

Wie du am Beispiel der Division siehst, benötigst du den Überschlag besonders häufig, wenn du eine Aufgabe mit (langen) Dezimalzahlen vor dir hast. Egal bei welcher Rechenart, das Rechnen mit Nachkommastellen ist oft sehr langwierig und mühsam.

Mit einer Überschlagsrechnung kannst du dir einiges an Zeit ersparen.

Aufgabe

Überschlage Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Lösung

Schritt 1:

Besonders wichtig ist der Umgang mit dem Runden bei Dezimalzahlen. Am Leichtesten ist es immer, wenn du auf eine ganze Zahl rundest. Du hast aber auch die Möglichkeit auf die Zehntel, Hundertstel, Tausendstel und so weiter zu runden.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Schritt 2:

Ganze Zahlen beziehungsweise anderweitig gerundete Dezimalzahlen eignen sich nun viel besser für die Rechnung.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Erinnerung:

StelleRunden auf...
1,2345Ganze Zahl
1,2345Zehntel
1,2345Hundertstel
1,2345Tausendstel

Beispiele Überschlagsrechnung

Um zu überprüfen, ob du die Überschlagsrechnung verstanden hast, kannst du die folgenden Übungsaufgaben durchrechnen.

Aufgabe 1

Überschlage grob im Kopf folgende Aufgabe:

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Lösung

Schritt 1:

In der Aufgabenstellung ist von einem groben Überschlag die Rede, das heißt du wählst eine höhere Rundungsstelle. Hier bieten sich die Hunderter an.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Hast du auf die Zehner oder auf die Hunderter gerundet, ist das aber auch nicht falsch.

Schritt 2:

Mit diesen Rundungswerten kannst du jetzt die Rechnung abschließen.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Aufgabe 2

Im Baumarkt kaufst du 4 Artikel für Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter.

Überschlage kurz, ob dir die 200€ in deinem Geldbeutel reichen.

Lösung

Schritt 1:

Bei diesen kleineren Beträgen ist es am Besten, wenn du auf ganze Zahlen rundest und ein relativ genaues Ergebnis bekommst.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Schritt 2:

Anschließend musst du natürlich noch alle vier Zahlen addieren.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Dank deines Überschlages kannst du also beruhigt sein, dass die 200€ aus deinem Geldbeutel reichen.

Aufgabe 3

Für den Geburtstag eines Freundes tut ihr euch zusammen und kauft ein Geschenk. Ihr seid 21 Leute und wollt ihm eine Urlaubsreise im Wert von 1198€ schenken.

Überschlage kurz, wie viel jeder Einzelne zahlen müsste.

Lösung

Schritt 1:

Hier liegt es an dir, eine passende Rundungsstelle zu finden. Schaue dir dazu am besten die Zahlen genau an, dann siehst du, dass es Sinn macht auf die Zehner zu runden.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Schritt 2:

Um jetzt herauszufinden, wie viel jeder Einzelne bezahlen muss, teilst du den Gesamtbetrag durch die Anzahl der Personen, die sich beteiligen. Das Ganze im Kopf natürlich mit den gerundeten Zahlen.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Jeder Mitzahler müsste also circa 60€ für das Geschenk beisteuern.

Zurück in den Supermarkt:

Schaffst du es jetzt die Rechnung, die wir uns am Anfang des Artikels gestellt haben, zu beantworten?

Jetzt kannst du auf jeden Fall im Kopf überschlagen, ob dir dein Taschengeld von 20€ von deinem Supermarkteinkauf zu Beginn des Artikels für saure Gummibärchen im Wert von 3,95€, Schokolade für 4,45€, Chips für 2,63€ und riesige Packung "bunter Mix" für 6,78€ reicht.

Aufgabe 4

Überschlage folgende Rechnung

3,95€+4,45€+2,63€+6,78€=

Lösung

Schritt 1:

Runden der Süßigkeitenpreise.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Schritt 2:

Berechnen des Gesamtpreises.

Überschlagsrechnung Überschlagen, Beispiel, Runden, Übersicht, StudySmarter

Deine 20€ Taschengeld reichen also aus!

Überschlagsrechnung - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Unter dem Überschlagen in der Mathematik versteht man das Rechnen einer Aufgabe mithilfe grob gerundeter Zahlen.
  • Die Vorteile des Überschlagens sind: es ist sehr schnell, man kann es im Kopf rechnen und es ist eine gute Kontrolle von Rechnungen
  • Anleitung Überschlagen:
    • 1. Runde alle Zahlen deiner Rechenaufgabe
    • 2. Führe die Rechnung mit den vorher gerundeten Zahlen im Kopf durch.
  • Du kannst die Überschlagsrechnung in jeder Rechenart durchführen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division
  • Deine Rundungsstelle solltest du je nach Anforderung gezielt auswählen (bei Dezimalzahlen oft auf Ganze Zahlen)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Überschlagsrechnung

Beim Runden vereinfachst du einzelne Zahlenach bestimmten Regeln.


Beim Überschlagen dagegen rechnest du eine Aufgabe mit vereinfachten Zahlen. Dazu rundest du die Zahlen zunächst und rechnest anschließend die Aufgabe im Kopf.

Eine Überschlagsrechnung geht schneller als die genaue Rechnung und kann im Kopf gerechnet werden. Deshalb brauchen wir sie oft im Alltag (z. B. beim Einkaufen) oder um ein genaues Ergebnis (bei dessen Berechnung eventuell Fehler passiert sind) zu kontrollieren.

Zunächst werden die Zahlen gerundet und anschließend die Aufgabe im Kopf gerechnet.

Zunächst werden die Zahlen gerundet und anschließend die Aufgabe im Kopf gerechnet.

Finales Überschlagsrechnung Quiz

Frage

Nenne die Vorteile einer Überschlagsrechnung gegenüber einer genauen Rechnung.

Antwort anzeigen

Antwort

​Eine Überschlagsrechnung

  • geht schneller
  • kann im Kopf, ohne weitere Materialien, gerechnet werden
  • eignet sich gut zum Überprüfen der genauen Rechnung
Frage anzeigen

Frage

Du möchtest eine Rechnung mit Dezimalzahlen überschlagen. Worauf rundest du meist am besten?

Antwort anzeigen

Antwort

Einer

Frage anzeigen

Frage

Bei welcher Rechenart kommt es bei groben Rundungen schnell zu sehr ungenauen Ergebnissen?

Antwort anzeigen

Antwort

Multiplikation

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was man unter Überschlagen versteht.

Antwort anzeigen

Antwort

Unter dem Überschlagen in der Mathematik versteht man das Rechnen einer Aufgabe mithilfe grob gerundeter Zahlen.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere den Unterschied zwischen Runden, Schätzen und Überschlagen.

Antwort anzeigen

Antwort

Die wesentlichen Unterschiede zwischen Schätzen, Runden und Überschlagen sind:

  • Beim Schätzen beurteilst du welche Zahl dargestellt oder gemeint ist (ohne Rechnen oder Zählen!).
  • Einzelne Zahlen können gerundet werden.
  • Ein Überschlag wird bei komplizierten Aufgaben durchgeführt, um sie im Kopf lösen zu können.
Frage anzeigen
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