Du hast eine Gleichung gegeben, in der sich ein Bruchterm befindet und du weißt nicht, wie du weiter vorgehen sollst? Kein Problem, wir erklären dir, wie du den Bruchterm schnell und einfach auflöst und so an die gewünschte Lösung kommst.
Bruchgleichungen – Definition & Beispiele
Um zu verstehen, was eine Bruchgleichung ist, solltest du zunächst verstanden haben, was ein Bruchterm ist.
Ein Bruchterm ist ein Term, welcher im Nenner mindestens eine Variable enthält.
Terme kennst du sicher bereits und Brüche ebenso. Zusammen werden sie zu Bruchtermen kombiniert, wobei die Unbekannte (wie beispielsweise x) im Nenner des Bruchs steht. Wir sehen uns dazu später Beispiele an.
Vom Bruchterm zur Bruchgleichung fehlt dann nicht mehr viel. Wir müssen lediglich ein Gleichheitszeichen zwischen zwei Terme einfügen. Mindestens einer dieser Terme muss ein Bruchterm sein. Mathematisch lassen sich Bruchgleichungen also wie folgt definieren:
Bruchgleichungen sind Gleichungen, welche mindestens einen Bruchterm enthalten.
Sehen wir uns dazu doch direkt ein Beispiel an.
Ein einfaches Beispiel für einen Bruchterm sieht folgendermaßen aus:
Im Nenner befindet sich in diesem Fall nur eine Variable, nämlich x.
Eine Bruchgleichung mit dem oben aufgeführten Bruchterm könnte so aussehen:
Hier wurde lediglich ein Gleichheitszeichen und ein weiterer Term (hier eine Zahl) auf der anderen Seite eingefügt.
Übrigens: Wenn du noch mehr über den Bruchterm wissen möchtest oder noch mehr Beispiele dazu benötigst, kannst du im Artikel Bruchterm nachschauen.
Bruchgleichungen lösen – mit Beispielen
Um Bruchgleichungen erfolgreich lösen zu können, gibt es einige Vorgehensweisen und Regeln, welche du beachten solltest.
Definitionsmenge einer Bruchgleichung
Wichtig ist zunächst, sich die Definitionsmenge einer Bruchgleichung anzusehen.
Die Definitionsmenge ist die Menge der Zahlen, für welche die Gleichung gilt, wenn sie für x eingesetzt werden. In der Regel ist das.
Die reellen Zahlen () sind ein Zahlenbereich, welcher sowohl die rationalen (), als auch die irrationalen Zahlen () umfasst. Die rationalen Zahlen wiederum enthalten die ganzen () und die natürlichen () Zahlen.
Da nicht durch 0 geteilt werden darf, müssen alle Werte, für welche der Nenner 0 werden würde, aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden. Die Gleichung würde sonst ungültig werden.
Für die Notation der Definitionsmenge nutzen wir das Zeichen "\", welches "ohne" bedeutet. Wir schließen so also entsprechende Zahlen aus der Definitionsmenge aus.
Du kannst das direkt anhand eines Beispiels ein mal üben.
Aufgabe 1
Gegeben ist die folgende Gleichung:
Du nimmst dir den Nenner, setzt diesen gleich 0 und löst die so erhaltene Gleichung auf. So können wir einen Wert ermitteln, den wir aus der Definitionsmenge ausschließen müssen, da unser Nenner nicht 0 werden darf.
Die Definitionsmenge dieser Gleichung ist:
Ausgesprochen bedeutet das, dass du in dieser Gleichung alle reellen Zahlen außer die 4 für x einsetzen kannst.
Das Bestimmen der Definitionsmenge ist ein erster wichtiger Schritt zur Lösung solcher Bruchgleichungen. Nun kommen wir direkt zum Lösen dieser Gleichungsart.
Bruchgleichungen mit Bruchterm rechnerisch lösen
Bei Bruchgleichungen mit nur einem Bruchterm kannst du für gewöhnlich folgendermaßen vorgehen:
- Lege die Definitionsmenge fest.
- Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner des Bruchs. (Erweitern)
- Die so erhaltene Gleichung kannst du mit der dir bekannten Vorgehensweise zum Lösen einer Gleichung auflösen.
- Überprüfe, ob deine Lösung in der Definitionsmenge liegt.
- Notiere deine Lösungsmenge.
Klingt erst mal kompliziert, oder? Ist es aber nicht. Sehen wir uns dazu zusammen ein Beispiel an.
Aufgabe 2
Folgende Gleichung ist dir gegeben. Bestimme deren Lösungsmenge.
Lösung
1. Lege zunächst die Definitionsmenge der Bruchgleichung fest.
Nimm dir dazu den Nenner, setze diesen gleich 0 und löse weiter auf. Wir haben also:
2. Dann multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit. Du erweiterst demnach beide Seiten der Gleichung mit dem Wert.
3. Durch die Multiplikation mitlöst sich der Bruch auf und es bleibt nur noch:
Warum steht auf der linken Seite jetzt keinmehr? Das liegt daran, dass der Ausdruck sowohl oben als auch unten im Bruch mit einem Malzeichen verbunden ist und somit gekürzt werden kann.
Subtrahiere.
Teile durch 4.
4. Prüfe nun, ob das Ergebnis in deiner Definitionsmenge enthalten ist.
5. Also ist die Lösungsmenge der Gleichung:
Du kannst die Lösung eines Bruchterms auch graphisch ermitteln. Wie das funktioniert, zeigen wir dir in folgendem Beispiel.
Bruchgleichungen mit Bruchterm graphisch lösen
Aufgabe 3
Dir ist diese Bruchgleichung gegeben. Bestimmen deren Lösungsmenge.
Um dies graphisch zu tun, zeichnest du für den Bruchterm auf der linken Seite des Gleichheitszeichens die Funktion f(x).
Für den Zahlterm auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens die Funktion.
Abbildung 1: Funktionenf(x) und g(x) mit Schnittpunkt S
Um die Lösungen der obigen Gleichung jetzt zu ermitteln, musst du alle Schnittpunkte von f(x) und g(x) finden. In unserem Beispiel ist das nur einer, nämlich der Schnittpunkt. Die Bruchgleichung hat also die Lösungsmenge:
Solche Aufgaben zu Bruchgleichungen waren noch relativ einfach, oder? Komplizierter wird es mit mehreren Bruchtermen in der Bruchgleichung. Sehen wir uns das einmal an.
Bruchgleichungen mit mehreren Bruchtermen rechnerisch lösen
Bruchgleichungen können auch mehr als einen Bruchterm enthalten. Die Bruchterme können ganz verschieden sein und sich auf beide Seiten des Gleichheitszeichens verteilen. So löst du die Bruchgleichung trotzdem ohne Probleme:
- Lege die Definitionsmenge fest.
- Bringe die Bruchterme auf eine Seite des Gleichheitszeichens.
- Bringe nun alle Brüche auf einen Hauptnenner.
- Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner.
- Die so erhaltene Gleichung kannst du mit der dir bekannten Vorgehensweise zum Lösen einer Gleichung auflösen.
- Überprüfe, ob deine Lösung in der Definitionsmenge liegt.
- Notiere deine Lösungsmenge.
1. Definitionsmenge von Bruchgleichungen mit mehreren Brüchen
Da du in diesem Fall nicht nur einen Bruchterm hast, sondern gleich mehrere, gibt es auch verschiedene Nenner, welche nicht 0 werden dürfen. Du musst aus der Definitionsmenge also sehr wahrscheinlich mehrere Zahlen ausschließen.
Aufgabe 4
Die Definitionsmenge der Bruchgleichung
ist:
Um das herauszufinden, nimmst du dir von jedem Bruchterm in der Bruchgleichung den Nenner, setzt diesen gleich 0 und löst nach x auf.
Da die beiden Bruchterme schon denselben Nenner haben, reicht es einmal zu zeigen, dass gilt:
So erhält du alle Werte, welche du für x in dieser Bruchgleichung nicht einsetzen darfst.
Dieser Schritt ist der Gleiche, wie beim Lösen mit nur einem Bruchterm. Hat deine Bruchgleichung gleich mehrere Bruchterme, gibt es aber noch ein paar Schritte mehr zu erledigen.
2. und 3. Brüche auf eine Seite und auf einen Hauptnenner bringen
Wenn du zwei ungleichnamige Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen willst, suchst du zunächst nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner. Hast du diesen gefunden, erweiterst du die Brüche auf diesen gemeinsamen Nenner und kannst sie dann zusammenziehen. Solltest du dir mit diesem Verfahren noch unsicher sein, schau gerne im Artikel Brüche gleichnamig machen vorbei.
Aufgabe 5
Wir führen unser Beispiel von oben mit folgender Bruchgleichung weiter. Die Definitionsmenge haben wir bereits festgelegt. Jetzt müssen wir alle Bruchterme auf eine Seite verschieben und sie danach auf einen Hauptnenner bringen.
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Bringe zunächst beide Bruchterme auf eine Seite des Gleichzeichens, indem durechnest. (Schritt 2)
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In diesem Fall besitzen beide Brüche schon den gleichen Nenner. Es entfällt demnach Schritt 3. Ziehe nun die beiden Brüche zusammen.
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Du erhältst eine Gleichung mit nur noch einem Bruchterm.
Wenn du alle Brüche gleichnamig gemacht und danach zusammengezogen hast, gehst du so weiter vor, wie du es bei Bruchgleichungen mit einem Bruchterm tun würdest.
4. bis 7. Bruch auflösen und Lösungsmenge finden
Aufgabe 5
Wir greifen das obige Beispiel wieder auf und suchen die Lösungsmenge von:
Die Definitionsmenge dieser Bruchgleichung ist:
Um die Lösungsmenge zu erhalten, multiplizierst du mit . (Schritt 4)
Danach rechnest du +. (Schritt 5)
Um den Wert für x zu bekommen, teilst du noch durch 10.
Da die 1 in der Definitionsmenge D liegt, gilt (Schritt 6 und 7):
Bruchgleichungen mit mehreren Bruchtermen graphisch lösen
Genau wie bei Bruchgleichungen mit einem Bruchterm, gibt es auch die Möglichkeit, die Bruchgleichung über die graphische Darstellung zu lösen. Dafür werden die Terme auf beiden Seiten des Gleichzeichens als Funktionen dargestellt und deren Schnittpunkt ermittelt.
Aufgabe 6
Wir betrachten die folgende Bruchgleichung:
Um ihre Lösung graphisch zu ermitteln, zeichnen wir die beiden Funktionen:
Abbildung 2: Funktionen f(x) und g(x) mit Schnittpunkt S
Man erkennt sofort, dass die beiden Funktionen sich am Punktschneiden. Die Lösung der obigen Bruchgleichung ist also:
Bruchgleichungen umstellen, vereinfachen und lösen
Um deine Bruchgleichung zu lösen, gibt es einige hilfreiche Tipps, durch welche du schneller zur korrekten Lösung findest.
Kehrwert bilden
Bei manchen Gleichungen ist es sinnvoll den Kehrwert zu bilden, da man sie dann leichter auflösen kann. Besonders hilfreich ist das bei Brüchen ohne Variable im Zähler.
Aufgabe 7
Bilde den Kehrwert der Gleichung und löse die Gleichung dann weiter auf.
Der Kehrwert ist:
Das können wir vereinfachen zu:
Die Lösungsmenge der Gleichung ist also:
Multiplizieren über Kreuz
Diese Vorgehensweise wird häufig bei Bruchgleichungen mit zwei Bruchtermen angewendet. Die Bruchterme sollten dafür auf die beiden Seiten des Gleichzeichens aufgeteilt sein.
Beim Überkreuz multiplizieren multiplizierst du den Zähler des linken Terms mit dem Nenner des rechten Terms und den Zähler des rechten Terms mit dem Nenner des linken Terms. Durch dieses Vorgehen verlierst du die Brüche und kannst die Gleichung wie gewohnt auflösen.
Überkreuz multiplizieren:
wird zu
Üben wir das direkt an einem Beispiel.
Beispielsweise würde
durch Überkreuz multiplizieren zu:
Gleichung umstellen
Außerdem kannst du eine Bruchgleichung lösen, indem du sie in folgende Form bringst:
Um anschließend auf die Lösungsmenge zu kommen, gehst du folgendermaßen vor:
- Setze den Zähler gleich null und finde heraus, für welche Werte dieser gleich null wird.
- Den Wert, welchen du herausbekommen hast, setzt du in den Nenner ein. Das Ergebnis darf nicht null werden.
Aufgabe 8
Bringe folgende Bruchgleichung
in die Form:
Löse diese dann auf.
Lösung
Bringe die obige Gleichung zunächst in die obige Form:
Setze nun den Zähler gleich 0 und löse auf.
Setze das Ergebnis, also in den Nenner ein.
Da der Nenner nicht 0 wird, stimmt das Ergebnis und die Lösungsmenge ist:
So, die Theorie und das Vorgehen zur Lösung solcher Bruchgleichungen haben wir damit bereits kennengelernt. Dein neues Wissen dazu kannst du gleich in den folgenden Übungsaufgaben noch einmal vertiefen.
Bruchgleichungen – Übungsaufgaben
Aufgabe 9: Brüche auf einen Nenner bringen
Bringe folgende Bruchgleichung auf den gleichen Nenner.
Lösung
Bringe zunächst beide Bruchterme auf eine Seite des Gleichzeichens.
also mit
4.
Du erhältst also die Gleichung,
welche du dann weiter umformen kannst zu:
Aufgabe 10
Finde für folgende Bruchgleichung zunächst die Definitionsmenge und bestimme dann die Lösungsmenge.
Lösung
Die Definitionsmenge der obigen Gleichung ist:
Die 12 wird als Wert für x aus der Definitionsmenge ausgeschlossen, da für sie der Nenner Null und somit die Gleichung ungültig werden würde.
Du kannst jetzt die Gleichung nach x auflösen.
Multipliziere dafür beide Seiten der Gleichung zunächst mit dem Nenner des Bruchterms.
Jetzt kannst du wie gewohnt nach x auflösen.
Da 5 in der Definitionsmenge liegt, ist:
Abbildung 3: Funktionen f(x) und g(x) mit Schnittpunkt S
Aufgabe 11
Finde für folgende Bruchgleichung zunächst die Definitionsmenge und bestimme dann die Lösungsmenge.
Lösung
Die Definitionsmenge der obigen Gleichung ist
Wir bringen zunächst beide Bruchterme auf eine Seite der Gleichung und ziehen diese zusammen.
Anschließend multiplizieren wir mit dem Nenner des Bruchs und lösen dann die Gleichung weiter auf.
Da die Lösung in der Definitionsmenge enthalten ist, ist
Abbildung 4: Funktionen f(x) und g(x) mit Schnittpunkt S
Bruchgleichungen - Das Wichtigste
- Bruchgleichungen sind Gleichungen, welche mindestens einen Bruchterm enthalten.
- In einer Bruchgleichung können ein oder mehrere Bruchterme vorhanden sein.
- Die Definitionsmenge enthält alle reellen Zahlen, bis auf solche, für welche der Nenner gleich 0 werden würde.
- Zum Lösen einer Bruchgleichung bringst du zunächst alle Bruchterme auf eine Seite des Gleichzeichens und suchst dann ihren gemeinsamen Nenner.
- Der wichtigste Schritt beim Lösen der Bruchgleichung ist das Multiplizieren mit dem Nenner bzw. Hauptnenner.
- Über Kreuz multiplizieren, den Kehrwert bilden oder die Gleichung umstellen können hilfreiche Tipps zum Lösen dieser sein.
- Du kannst Bruchgleichungen auch graphisch lösen.
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