Wurzeln sind ein wichtiges Konstrukt aus der Mathematik. Sie kommen unter anderem beim Lösen des Pythagoras vor. Du kannst mit ihnen auch, als Umkehroperation der Potenz, die Basis dieser Potenz bestimmen.
Es gibt allerdings nicht nur alleinstehende Wurzeln, sondern Du kannst auch innerhalb einer Gleichung eine Wurzel positionieren. Das Lösen von Wurzelgleichungen soll nun in dieser Erklärung erläutert werden.
Wurzelgleichungen – Grundlagenwissen
Da Du näheres zur Berechnung und zum Lösen von Wurzelungleichungen erfahren möchtest, solltest Du über die Konzepte der Gleichungen und Wurzeln insgesamt Bescheid wissen.
Gleichungen und Wurzeln berechnen
Gleichungen sind meistens in dieser Form gegeben:
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Dabei handelt es sich um lineare Gleichungen, da die höchste Potenz die eins ist. Verknüpft werden also zwei oder mehr Terme mit dem Relationszeichen ![]()
, was damit eine Gleichung beschreibt. Gleichungen können dabei allerdings auch mehrere Variablen enthalten.
Möchtest Du nun auf Wurzeln im Kontext von Gleichungen eingehen, so soll diese Beziehung für Dich wichtig sein.
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Da eine Wurzel die Umkehroperation einer Potenz ist, so kannst Du über das Potenzieren einer n-ten Wurzel von einer Zahl x die Zahl x selbst wieder erhalten, während Du den Ausdruck auf der anderen Seite der Gleichung wiederum potenzierst.
Um die Definitionsmenge einer Wurzelfunktion zu erhalten, so ist (zumindest in der Schule) entscheidend, dass der Radikand unterhalb der Wurzel größer oder gleich 0 ergibt.
Das Potenzieren bzw. Quadrieren für eine Funktion 2. Grades benötigst Du, um Wurzeln in einer Wurzelgleichung aufzulösen, da gilt:
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Wurzelgleichungen – allgemein
Wurzelgleichungen haben dabei in der Mathematik vielfältige Anwendungen. Nun geht es darum, Grundsätzliches zu den Wurzelgleichungen zu wiederholen.
Wurzelgleichungen bezeichnen eine Gleichung, bei der die Variable im Radikanden einer Wurzel vorzufinden ist. Der Radikand ist dabei der Term unterhalb der Wurzel.
Es ist dabei nicht entscheidend, ob es sich um eine zweite, oder dritte, etc. Wurzel handelt. Dabei können Wurzelterme nicht nur allein in dieser Gleichung zu finden sein, Du kannst dabei auch weitere Summanden, Brüche oder andere Operationen vorfinden.
Es gibt dabei verschiedene Beispiele für Wurzelgleichungen.
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Weiterhin kann eine Wurzelgleichung auch eine Variable öfter enthalten.
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Vorsicht: Keine Wurzelgleichung ist allerdings gegeben, falls es zwar eine Wurzel gibt, diese jedoch nur eine Zahl als Radikand beinhaltet, da es sich hierbei um einen ganz normalen Zahlenwert handelt.
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Wurzelgleichungen mit Variablen lösen
Nun hast Du also das Grundverständnis für Gleichungen und Wurzeln auffrischen können. Jetzt ist es an der Zeit, sich näher mit dem Lösen von Wurzelgleichungen zu befassen. Das Vorgehen beschreibt sich dabei in vier (fünf) Schritten.
Das Lösen einer Wurzelgleichung funktioniert wie folgt:
- Definitionsmenge bestimmen.
- Wurzel isolieren.
- Gleichung potenzieren.
- Löse nach einer Variablen x auf.
- Probe durchführen.
Um die Definitionsmenge zu bestimmen, ist das Wissen entscheidend, dass der Radikand unterhalb der Wurzel nicht kleiner 0 sein darf (zumindest für die reellen Zahlen). Das Ziel dieses Vorgehens ist es letztlich, die Gleichung durch das Isolieren der Wurzel und das Quadrieren in eine lineare Form zu bringen, bei der Du die Regeln zur Äquivalenzumformung nutzen kannst. Der 5. Punkt, der als Testen bzw. Probe bezeichnet werden kann, ist entscheidend, da in einem Beispiel als Lösung auch eine Scheinlösung angegeben sein kann, die Du danach löschen solltest.
Sieh Dir als Beispiel die folgende Gleichung an und berechne die Lösung.
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1. Schritt:
Dieser Schritt ist nur wichtig, falls danach in einer Aufgabenstellung gefragt wird. Zur Bestimmung der Definitionsmenge solltest Du Dir ansehen, welche Werte die Variable x in diesem Beispiel als Lösung annehmen darf. Du nutzt also den Radikand unterhalb der Wurzel und erstellst eine Ungleichung mit 0. Das bedeutet also, dass der Radikand größer oder gleich 0 sein soll.
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Das bedeutet, die Variable x darf nur Werte größer oder gleich -1 annehmen.
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2. Schritt:
Subtrahiere nun 5, sodass auf einer Seite die Wurzel steht, bzw. die Wurzel isoliert wird.
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3. Schritt:
Potenziere nun die Gleichung. Da es sich um eine 3-te Wurzel handelt, wird die 3 auf beiden Seiten der Gleichung potenziert.
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4. Schritt:
Jetzt nutzt Du das Wissen über Gleichungen, um diese linear zu lösen. Dazu verwendest Du Äquivalenzumformungen.
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5. Schritt:
Teste anschließend das Ergebnis für die Gleichung. Setze dazu die Lösung ein.
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Da das Einsetzen der Lösung für dieses Beispiel in dieser Gleichung eine wahre Aussage ergibt, kannst Du jetzt die Lösungsmenge angeben.
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Komplexe Wurzelgleichungen lösen
Im Folgenden geht es nun um weitere Arten von Wurzelgleichungen. Dabei kannst Du mit mehreren Wurzeln und auch Brüchen rechnen.
Wurzelgleichungen lösen – mit 2 Wurzeln
Um Wurzelgleichungen für zwei oder mehr Wurzeln zu berechnen, kannst Du zwei Fälle unterscheiden:
- Du hast die Art von Gleichung gegeben, bei der sich auf beiden Seiten ausschließlich eine Wurzel derselben Potenz befindet, dann kannst Du mit derselben Potenz die Gleichung sofort linear umformen
- Es befindet sich auf einer Seite zusätzlich noch ein Summand, bzw. ein weiterer Term. Dann sind die Binomischen Formeln anzuwenden.
Unabhängig davon, welche Form gegeben ist, ist beim Lösen für ein Beispiel dennoch die Definitionsmenge zu bilden, falls gefordert.
Löse die folgende Wurzelgleichung nach x auf.
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1. Schritt:
Auch hierbei kannst Du die Definitionsmenge bestimmen. Da es sich um zwei Wurzeln handelt, sollst Du für jede die Bedingung abprüfen. In diesem Fall haben allerdings beide Wurzeln denselben Radikand. Deshalb brauchst Du es nur einmal machen. Auch hierbei ist wichtig, dass der Radikand größer oder gleich 0 sein soll.
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Das bedeutet, dass x die Werte von ![]()
bis Unendlich oder ![]()
bis Minus Unendlich annehmen darf. Diese beiden Bedingungen mit einem sogenannten "logischen Oder" verknüpft, ergeben folgende Definitionsmenge:
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Das logische Oder steht dafür, dass x die einen Werte annehmen kann oder auch die anderen.
2. Schritt:
Nun kannst Du die Rechnung durchführen. Dabei werden alle weiteren Schritte dieses Mal zusammengefasst. Hierbei werden die Wurzeln auf eine Seite gebracht und anschließend quadriert.
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Das Ergebnis lautet also: ![]()
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Wurzelgleichungen lösen – mit 3 Wurzeln
In einer Aufgabe können auch 3 oder mehrere Wurzeln gegeben sein. Dies soll nachfolgend anhand eines Beispiels berechnet werden. Auch hier ist das allgemeine Vorgehen zum Isolieren der Wurzel und das darauffolgende Potenzieren für Dich von Bedeutung.
Was ist die Lösung für diese Wurzelgleichung?
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In diesem Fall solltest Du auch hierbei die Wurzeln isolieren, also alle Wurzeln auf eine Seite bringen. Anschließend kannst Du dann die gesamte Gleichung quadrieren, um die Wurzeln zu eliminieren.
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In diesem Fall kannst Du bereits alles zusammenfassen, da letztlich eine lineare Gleichung aus der ursprünglichen Wurzelgleichung geworden ist.
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Die Lösung der Gleichung lautet ![]()
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Wurzelgleichungen mit Brüchen lösen
Das Lösen von Wurzelgleichungen mit Brüchen unterscheidet sich wenig von den anderen Wurzelgleichungen, die Du bisher gesehen hast. Das Wissen um Bruchgleichungen kann hierbei allerdings von Nutzen sein.
Eine Bruchgleichung beschreibt in der Algebra eine Gleichung mit mindestens einem Bruchterm, wobei eine Unbekannte bzw. Variable sich im Nenner befindet. Durch Multiplikation des Nenners ist diese wieder auf eine lineare Gleichung zurückzuführen.
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Allerdings ist auch hier der Schritt zum Isolieren der Wurzel und das weitere Lösen durch Potenzieren zu beachten. Daraufhin wirst Du das Lösen von
Bruchgleichungen anwenden können.
Berechne die Lösung für dieses Beispiel:
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Zuerst quadrierst Du auf beiden Seiten.
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Nun kannst Du die Bruchgleichung auflösen.
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Nun kannst Du die Mitternachtsformel anwenden.
Eine Gleichung ist in dieser Form gegeben:
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Die Mitternachts- bzw. Lösungsformel dazu lautet allgemein:
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Führe jetzt die Probe durch. Setze dazu Deine beiden Lösungen in die Gleichung ein und prüfe, ob Du auf beiden Seiten das gleiche Ergebnis erhältst.
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Auch für die andere Lösung ergibt sich eine wahre Aussage, also dasselbe steht auf beiden Seiten der Gleichung.
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Das bedeutet, die Lösungsmenge für diese Bruchgleichung lautet:
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Wurzelgleichungen – Scheinlösung
Wie Du zuvor in dieser Aufgabe bemerkt hast, wurde schlussendlich getestet, ob eine Gleichung tatsächlich eine Lösung enthält. In diesem Fall sind jeweils zweimal eine wahre Aussage entstanden, das ist jedoch nicht immer der Fall.
Die Wurzeln werden in Wurzelgleichungen isoliert, also auf eine Seite gebracht. Danach wird eine Potenzierung durchgeführt, um die Wurzeln zu eliminieren. Das ist nötig, damit Du die Gleichung in eine Form bringst, mit der Du weiter rechnen kannst. Allerdings handelt es sich beim Potenzieren nicht um eine Äquivalenzumformung. So kann zwar die Lösung einer Gleichung ausschließlich die Zahl zwei sein, durch das Potenzieren würde allerdings auch die -2 als Lösung anerkannt, da
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gilt.
Anschaulich lässt sich das an diesem Beispiel beweisen:
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Nach all dem bereits Gelernten würdest Du die Gleichung potenzieren und auf x auflösen.
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Laut der Berechnung wärst Du fertig und könntest 70 als Ergebnis festhalten, allerdings würde das nicht richtig sein. Teste doch das Ergebnis. Gebe dazu in die ursprüngliche Gleichung Dein Ergebnis ein, so erhältst Du Folgendes:
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Die Aussage stimmt nicht überein und damit ist die Lösung dieser Gleichung die leere Menge. Das kannst Du Dir in diesem Fall bereits vor der eigentlichen Berechnung erschließen. Es ist schlichtweg unmöglich für eine Seite der Gleichung mit nur einer Wurzel einen negativen Wert zu erhalten, da Du über eine Wurzel nur die natürlichen Zahlen mit der 0 erhalten kannst.
Wurzelgleichungen grafisch lösen
Für das grafische Lösen einer Wurzelgleichung kannst Du anhand einer gegebenen Zeichnung durch den Schnittpunkt bzw. die Schnittpunkte erfahren, was Deine Lösungsmenge ist. Das ist deshalb der Fall, da ein Schnittpunkt aussagt, dass zwei Gleichungen denselben Punkt und dieselben Werte teilen, also führt die Gleichung in diesem Beispiel zu einer wahren Aussage.
Für das grafische Lösen einer Wurzelgleichung gehst Du wie folgt vor:
- Zeichne die geforderten Funktionen in ein Koordinatensystem ein.
- Für eine lineare Funktion: Stelle die Geradengleichung
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auf für die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t. - Für andere Funktionen: Berechne ein paar Koordinaten der Funktion und zeichne die Punkte ein.
- Ermittle den oder die Schnittpunkt/e P der beiden Funktionen.
- Gebe die x-Werte dieser Schnittpunkte als Deine Lösungsmenge an.
Das kannst Du nun grafisch anhand eines kleinen Beispiels ausprobieren.
Erstelle die Lösung dieser Wurzelgleichung grafisch.
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Um folgende Gleichung grafisch losen zu können, solltest Du die Gleichung so teilen, dass jede Seite der Gleichung eine alleinstehende Funktion darstellt.
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Diese Funktionen solltest Du jetzt eine nach der anderen in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Für die Funktion f(x) startest Du im Punkt (0/4), da der y-Achsenabschnitt 4 beträgt. Da die Steigung 2 angegeben ist, gehst Du einen Schritt in positive x-Richtung und zwei Schritte in positive y-Richtung.
Abbildung 1: Gleichung aufstellen mit y-Achsenabschnitt t = 4 und Steigung m = 2
Für die Funktion g(x) benötigst Du einen Taschenrechner. Falls Du in der Schule keinen verwenden darfst, werden Dir höchstwahrscheinlich Funktionen gegeben sein, die Du auch schriftlich berechnen kannst.
Du fügst also unter anderem folgende Punkte ein und verbindest sie. So erhältst Du den Graphen g.
Abbildung 2: Wurzelgleichung grafisch lösen
Zeichnest Du beide Graphen zusammen in ein Koordinatensystem, so sind die x-Werte der Schnittpunkte der Graphen die Lösung der obigen Gleichung.
Die Lösung besteht demnach aus den Werten 1 und 4.
Falls Du auch detaillierter Dein Wissen über das Zeichnen von Geraden oder Parabeln vertiefen möchtest, schau doch gerne auf den Seiten Geradengleichung aufstellen oder Parabeln vorbei.
Wurzelgleichungen lösen – Aufgaben
Nach diesen theoretischen Grundlagen und einem Beispiel zu jedem Bereich darfst Du nun selbst aktiv werden. Viel Spaß!
Aufgabe 1
Löse die folgende Wurzelgleichung. Gebe zuvor die Definitionsmenge an.
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Lösung
Schritt 1:
Bei der Bestimmung der Definitionsmenge darf der Radikand unterhalb der Wurzel nicht kleiner 0 werden.
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Die Definitionsmenge lautet also: ![]()
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Schritt 2:
Jetzt kannst Du die Lösung für dieses Beispiel bestimmen. Denke an das Isolieren der Wurzel und das Quadrieren.
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Wende jetzt die Mitternachtsformel an:
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Sind tatsächlich beide Ergebnisse in der Lösungsmenge enthalten? Verwende dafür die Probe. Probiere es für den ersten Wert.
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Die erste Lösung ist also kein valides Ergebnis. Nun verwende die zweite Lösung für die Gleichung:
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Die zweite Lösung stimmt, also lautet Deine Lösungsmenge wie folgt:
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Aufgabe 2
Löse diese Wurzelgleichung.
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Lösung
Um diese Ungleichung zu lösen, bringst Du die Wurzeln erst einmal auf eine Seite.
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Weiter geht es nun damit, die beiden Seiten zu quadrieren.
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Als Nächstes kannst Du zusammenfassen.
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Jetzt hast Du nur noch eine Wurzel, deshalb rechnest Du in diesem Fall weiter, wie Du mit einer Wurzel rechnen würdest. Also Du quadrierst hierbei wieder und löst auf x auf.
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Für den Wert 2 ist diese Gleichung also erfüllt.
Wurzelgleichungen lösen – Das Wichtigste auf einen Blick
- Eine Lineare Gleichung besteht aus
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, da hierbei die höchste Potenz die Eins ist. - Du kannst eine Wurzel in eine Potenz umwandeln:
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- Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der sich die Variable in einer Wurzel befindet.
- Für die Definitionsmenge versuchst Du für jede Wurzel herauszufinden, für welche Werte einer Variablen der Radikand größer oder gleich 0 ist.
- Die Wurzeln sollen auf eine Seite der Gleichung gebracht, also isoliert werden. Danach soll potenziert werden, damit die Wurzel wegfällt.
- Für zwei oder mehr Wurzeln benötigst Du die Mitternachts- bzw. Lösungsformel.
- Zur grafischen Lösung von Wurzelfunktionen gehst Du wie folgt vor:
- Zeichne die geforderten Funktionen in ein Koordinatensystem ein.
- Für eine lineare Funktion: Stelle die Geradengleichung
![]()
auf für die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t. - Für andere Funktionen: Berechne ein paar Koordinaten der Funktion und zeichne die Punkte ein.
- Ermittle den oder die Schnittpunkt/e der beiden Funktionen.
- Gebe die x-Werte dieser Schnittpunkte als Deine Lösungsmenge an.
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