Was sind ganze Zahlen?

Ergänzt Du zu den natürlichen Zahlen (0, 1, 2, 3, 4, 5,...) die negativen Zahlen (-1, -2, -3, -4, -5,...), so erhältst Du die ganzen Zahlen .

Was sind benachbarte ganze Zahlen?

Stell Dir die Zahlengerade vor. Nun begibst Du Dich an irgendeine Stelle; konkret die Stelle der Zahl 3. Von dort aus blickst Du einmal nach links und einmal nach rechts. Was wirst Du sehen? Links von Dir siehst Du die Zahl 2 und rechts von Dir die Zahl 4. Diese beiden Zahlen sind die direkten Nachbarn der Zahl 3.

Wie werden ganze Zahlen addiert und subtrahiert?

Die Addition und Subtraktion kannst Du Dir allgemein als eine Wanderung entlang der Zahlengeraden vorstellen: positiven Zahlen sind Schritte "nach rechts"; negative Zahlen sind Schritte "nach links". Wenn die Zahlen groß sind, gibt es für das konkrete Rechnen Methoden, die sich schriftliche Addition bzw. schriftliche Subtraktion nennen.

Sind ganze Zahlen auch natürlichen Zahlen?

Nein; die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen. Du findest also innerhalb der ganzen Zahlen eine Kopie der natürlichen Zahlen; aber die ganzen Zahlen beinhalten auch die negativen Zahlen, die keine natürlichen Zahlen sind.

In eigenen Worten: Was sind die ganzen Zahlen?

Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen.

Was kannst Du mit den natürlichen Zahlen machen?

Die natürlichen Zahlen werden hauptsächlich zum Zählen verwendet.

Nenne Alltags-Beispiele, bei denen die natürlichen Zahlen nicht mehr ausreichen.

Zu den Alltags-Beispielen gehören Geld (wenn Du etwa Schulden hast) oder Temperaturen (wenn es etwa sehr kalt ist). In beiden Fällen brauchst Du die ganze Zahlen.

Wie kannst Du Dir die Addition mit Hilfe der Zahlengeraden veranschaulichen?

Die Addition zweier Zahlen ist wie eine Wanderung entlang der Zahlengeraden : Du beginnst bei einer der beiden Zahlen und gehst von dort aus nach rechts (wenn die zweite Zahl positiv ist) oder nach links (wenn die zweite Zahl negativ ist).

Was bedeutet die Aussagen: Für die Addition gilt das Kommutativgesetz?

Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge Du die Zahlen addierst.

Rechnen mit ganzen Zahlen: Übersicht & Beispiele

Werfe ein Blick auf die folgende Abbildung. Wie viele Finger sind es im Bild? Du könntest anfangen, zu zählen. Es gibt aber eine effizientere Methode.

Rechnen mit ganzen Zahlen Mehrere Hände StudySmarter Abbildung 1: Finger und Hände

Die Methode wird umso effizienter, je mehr Du zum Zählen hast; wie in der nächsten Abbildung.

Rechnen mit ganzen Zahlen Bild Hände vierfach StudySmarter Abbildung 2: Finger und Hände

Die ganzen Zahlen - eine Wiederholung

Die ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen.

Natürliche Zahlen

Mit Mengen von Objekten kommst Du jeden Tag in Kontakt. Um diese Menge zu zählen und anzugeben, verwendest Du die natürlichen Zahlen.

In der unteren Abbildung hast Du ein paar Exemplare einer Spielekonsole. Wie viele das genau sind, kannst Du mithilfe der natürlichen Zahlen feststellen, indem Du zählst.

Du fängst zum Beispiel oben an und sagst: Das ist die erste Spielekonsole. Dann gehst Du zur nächsten: Das ist die zweite Spielekonsole. Am Ende erreichst Du das letzte Exemplar: Das ist die dritte Spielekonsole.

Insgesamt hast Du also 3 Exemplare dieser Spielekonsole.

Rechnen mit ganzen Zahlen Zählen mit den natürlichen Zahlen StudySmarter Abbildung 3: Zählen mit den natürlichen Zahlen

Die Zahlen, mit denen Du die genaue Menge angibst, haben in der Mathematik einen eigenen Namen.

Die Zahlen

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots$

heißen die natürlichen Zahlen $ℕ$ . Die drei Punkte teilen Dir mit, dass Du die Folge beliebig lang fortsetzen kannst.

Sie sind die Zahlen, mit denen Du etwas zählen kannst und werden daher auch Zählzahlen genannt.

Von einer natürlichen Zahl zur nächsten gehst Du immer genau einen Schritt weiter (siehe Abbildung 4).

Du hast zwei natürliche Zahlen gegeben. Die Zahl, die sich entlang des Zahlenstrahls weiter rechts befindet, ist die größere Zahl.

Werfe einmal einen Blick auf Abbildung 4. Du schnappst Dir die beiden Zahlen 2 und 3. Da sich 3 rechts von der 2 befindet, ist 3 größer als 2.

Rechnen mit ganzen Zahlen Anordnung der natürlichen Zahlen entlang des Zahlenstrahls StudySmarter Abbildung 4: Anordnung der natürlichen Zahlen

Ganze Zahlen = Natürliche Zahlen + Negative Zahlen

Solange Du nur Objekte zählst, reichen die natürlichen Zahlen aus. Aber im Alltag triffst Du schnell auf Situationen, bei denen die natürlichen Zahlen nicht mehr ausreichend sind (siehe folgende Vertiefung).

Negative Zahlen im Alltag

Anders als positive Zahlen kannst Du negative Zahlen nicht "fassen". Drei Münzen oder drei Kekse kannst Du in Deinen Händen halten, aber minus drei Münzen oder minus drei Kekse?

Dennoch kannst Du negativen Zahlen im Alltag begegnen; und zwar im folgenden Sinn: Wann immer Du eine Richtung als "positiv" betitelst, die entgegengesetzte Richtung ist dann automatisch "negativ".

Im Alltag siehst Du das bei:

Temperaturen: In der "positiven" Richtung wird es wärmer, in der "negativen" Richtung hingegen kälter. So kannst Du im Winter Temperaturen von $- 7 ° C$ haben.

Geld: In der "positiven" Richtung besitzt Du Geld, in der "negativen" Richtung hast Du Schulden. Du kannst etwa Schulden von $100 €$ haben, die Dir dann als $- 100 €$ angegeben werden.

Parkhäuser: In der "positiven" Richtung geht es nach oben, in der "negativen" Richtung nach unten. Wenn Du Dich zwei Stockwerke unterhalb des Erdgeschosses befindest, so bist Du im Stockwerk $- 2$ .

Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um diese sogenannten negativen Zahlen. Du erkennst sie anhand eines neuen Zeichens: dem Minuszeichen.

Das Minuszeichen teilt Dir mit: Das sind Zahlen, die kleiner als die Null sind und damit als alle natürlichen Zahlen.

Auch die ganzen Zahlen begegnen Dir im Alltag immer wieder.

Die Menge der ganzen Zahlen $ℤ$ setzt sich zusammen aus den natürlichen Zahlen $ℕ$ und den negativen Zahlen.

$ℤ = {. . . - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, . . .}$

Die negativen Zahlen sind kleiner 0 und enthalten ein Minus (-) ; Zahlen rechts der Null werden auch als positive Zahlen bezeichnet.

In Abbildung 5 siehst Du alle wichtigen Begriffe und was sie darstellen, auf einen Blick. Diese Veranschaulichung der ganzen Zahlen findest Du auch unter dem Namen Zahlengerade.

Rechnen mit ganzen Zahlen Zahlengerade StudySmarter Abbildung 5: Zahlengerade

Rechnen mit ganzen Zahlen - Erklärung

Vorab: Wenn Du zu den einzelnen Grundrechenarten weitere Informationen und Beispiele sehen möchtest, werfe einen Blick auf die entsprechenden Erklärungen dazu.

Addieren ganzer Zahlen

Die Addition ganzer Zahlen kannst Du Dir wie einen Aufruf zur Wanderung vorstellen.

Du möchtest diese beiden Zahlen addieren:

$2 + 3$

Für beide Zahlen gibt es genau eine Stelle entlang der Zahlengeraden. Beginne bei der ersten Zahl, hier also an der Stelle der Zahl 2.

Das Pluszeichen gemeinsam mit der Zahl 3 teilen Dir jetzt Folgendes mit: Von der Anfangsstelle (2) aus gehe 3 Schritte nach rechts.

Nach der Wanderung erreichst Du eine weitere Stelle der Zahlengeraden. Dort angekommen, blickst Du nach unten, um die Beschriftung dieser Stelle zu erkennen: Es ist die Zahl 5 (siehe Abbildung 6).

Rechnen mit ganzen Zahlen Addition als Wanderung StudySmarter Abbildung 6: Addition als Wanderung

Damit hast Du also die Aufgabe gelöst: $2 + 3 = 5 .$

Bei größeren Zahlen kannst Du nach wie vor an eine Wanderung entlang der Zahlengeraden denken. Das konkrete Rechnen ist aber etwas anspruchsvoller.

Als Hilfsmittel gibt es die schriftliche Addition.

Zwei große Zahlen schriftlich addieren

Du hast wieder eine Addition:

$235 + 147$

Für die schriftliche Addition schreibst Du die beiden Zahlen übereinander, sodass sich die entsprechenden Stellen direkt gegenüber befinden:

$\begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ + & 1 & 4 & 7 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 8 & 2 \end{matrix}$

Zunächst addierst Du die Einerstellen. Direkt darunter notierst Du Dir aber nur die Einerstelle dieser Addition, das heißt, Du hast

$\begin{matrix} 2 & 3 & 5 \\ + & 1 & 4 & 7 \end{matrix} \begin{matrix} 5 + 7 = 12 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 8 & 2 \end{matrix}$

Um nicht zu vergessen, dass die beiden Einerstellen eine Zehnerstelle erzeugt haben, schreibst Du eine kleine 1 direkt neben der 4.

$\begin{matrix} 2 & 3_{1} & 5 \\ + & 1 & 4_{1} & 7 \end{matrix} \begin{matrix} 5 + 7 = 12 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 8_{1} & 2 \end{matrix}$

Wenn Du jetzt die Zehnerstellen addierst, wirkt diese kleine 1 wie eine extra Zehnerstelle. Die Summe von 3 und 4 ist 7, wegen der kleinen 1 wird das aber zu einer 8:

$\begin{matrix} 2 & 3_{1} & 5 \\ + & 1 & 4_{1} & 7 \end{matrix} \begin{matrix} 3 + 4 + 1 = 8 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 8_{1} & 2 \end{matrix}$

Die Zehnerstellen erzeugen keine neue Hunderterstelle. Du kannst also die Hunderterstellen addieren, ohne Rücksicht auf "extra Stellen" geben zu müssen:

$\begin{matrix} 2 & 3_{1} & 5 \\ + & 1 & 4_{1} & 7 \end{matrix} \begin{matrix} 2 + 1 = 3 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 8_{1} & 2 \end{matrix}$

Subtrahieren ganzer Zahlen

Wenn Du von einer ganzen Zahl eine weitere ganze Zahl subtrahierst, so wird die Zahl kleiner. Du bewegst Dich also entlang der Zahlengeraden nach links.

Subtraktion ganzer Zahlen

Du hast diese Subtraktion gegeben:

$5 - 4$

Wie bei der Addition beginnst Du bei der Stelle der Zahl 5 als Startpunkt. Da die Zahl 4 von der 5 subtrahiert wird, gehst Du jetzt 4 Schritte nach hinten bzw. nach links.

Rechnen mit ganzen Zahlen Subtraktion als Wanderung StudySmarter Abbildung 7: Subtraktion 5 - 4 an der Zahlengeraden

Das Ergebnis ist also $5 - 4 = 1$ .

Für die Subtraktion von größeren Zahlen gibt es wie bei der Addition ein eigenes Schema: das schriftliche Subtrahieren.

Zwei große Zahlen schriftlich subtrahieren

Die Subtraktion ist dieses Mal:

$211 - 112$

Das Schema der schriftlichen Subtraktion sieht genauso aus wie das der schriftlichen Addition. Du hast nur ein Minuszeichen statt eines Pluszeichens:

$\begin{matrix} 2_{1} & 1_{1} & 1 \\ - & 1_{1} & 1_{1} & 2 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3_{1} & 8_{1} & 2 \end{matrix}$

Wie bei der schriftlichen Addition gehst Du von rechts nach links. Zunächst kommt also die Einerstelle. Weil die obere Einerstelle kleiner ist als die untere Einerstelle,

$1 < 2 (gelesen : 1 ist kleiner 2),$

leihst Du Dir von der benachbarten Zehnerstelle eine Eins aus. Aus der Einerstelle 1 wird also die Zahl 11 und Du rechnest

$11 - 2 = 9 .$

Um anzudeuten, dass Du Dir von der Zehnerstelle eine Eins ausgeliehen hast, streichst Du die Zehnerstelle weg und notierst direkt darüber, wie viele Zehner übrig sind. Genau dasselbe machst Du mit der Einerstelle:

$\begin{matrix} 2^{0} & 1^{0} & 1^{11} \\ - & 1^{0} & 1^{0} & 2^{10} \end{matrix} \begin{matrix} + & 3^{0} & 8^{1} & 9^{21} \end{matrix}$

Nun gehst Du zur Zehnerstelle über. Da Du Dir für die Einerstelle eine Eins ausgeborgt hast, hat die obere Zahl keinen Zehner mehr übrig. Das heißt, Du hast oben eine Null und unten eine 1

$\begin{matrix} 2^{0} & 1^{0} & 1^{11} \\ - & 1^{0} & 1^{1} & 2^{10} \end{matrix} \begin{matrix} + & 3^{0} & 8^{1} & 9^{21} \end{matrix}$

und es ist $0 < 1$ .

Du gehst also eine Stelle weiter und leihst Dir von der Hunderterstelle eine Eins aus. Die Rechnung hier ist dadurch

$10 - 1 = 9 .$

Im Schema deutest Du das wieder durch Wegstreichen an:

$\begin{matrix} 2^{1} & 1^{10} & 1^{11} \\ - & 1^{0} & 1^{11} & 2^{10} \end{matrix} \begin{matrix} + & 3^{0} & 9^{10} & 9^{21} \end{matrix}$

Die Hunderterstelle der oberen Zahl hat jetzt eine Eins weniger. Dadurch hast Du oben eine 1 und unten eine 1 stehen. Damit bekommst Du im letzten Schritt:

$\begin{matrix} 2^{1} & 1^{10} & 1^{11} \\ - & 1^{0} & 1^{10} & 2^{10} \end{matrix} \begin{matrix} + & 0^{0} & 9^{11} & 9^{21} \end{matrix}$

Das Ergebnis der Subtraktion ist daher: $211 - 112 = 99 .$

Multiplizieren ganzer Zahlen

Die Multiplikation zweier Zahlen ist im Alltag überall präsent. Sie ist in gewisser Weise eine Addition.

Von einer Multiplikation zu einer Addition

Betrachte die Multiplikation

$4 \cdot 3 .$

In Worten heißt es: "Viermal die Zahl 3". Ausgeschrieben ist das

$3 + 3 + 3 + 3 .$

Du kannst die Multiplikation auch als "Dreimal die Zahl 4" lesen, also

$4 + 4 + 4 .$

Das wird in Abbildung 8 veranschaulicht.

Rechnen mit ganzen Zahlen 4 mal 3 unterschiedlich interpretiert StudySmarter Abbildung 8: Multiplikation veranschaulicht

Mit der Multiplikation kannst Du daher sich wiederholende Ausdrücke kompakter schreiben. Auch hier gibt es ein Schema, das sich schriftliche Multiplikation nennt. Schaue Dir dazu die Erklärung Multiplikation mit ganzen Zahlen an.

Dividieren ganzer Zahlen

Die letzte Grundrechenart ist die Division ganzer Zahlen. Du teilst eine Zahl durch eine andere Zahl. Das Ergebnis dieser Division ist diejenige Zahl, mit der Du die zweite Zahl multiplizieren musst, um zur ersten Zahl zu gelangen.

Ein anderer Blick auf die Division

Das Ergebnis der Division

$12 : 4$

ist diejenige Zahl, die multipliziert mit der Zahl 4 die Zahl 12 ergibt. Und das ist gerade die Zahl 3, denn

$\begin{array}{rcl} 4 \cdot ? & = & 12 \\ 4 \cdot 3 & = & 12 \end{array}$

Geometrisch kannst Du die Division so auffassen: Du sollst einen großen Block mit 12 Kästchen in 4 kleinere Blöcke aufteilen. Wie viele Kästchen passen in jeden der vier Blöcke hinein? Die Antwort ist genau 3 Kästchen pro Block (siehe Abbildung 9).

Rechnen mit ganzen Zahlen Geometrische Deutung der Division StudySmarter Abbildung 9: Division veranschaulicht

Auch für das Dividieren gibt es ein Schema, das sich schriftliches Dividieren nennt. Für Details und Beispiele werfe einen Blick auf die Erklärung Division mit ganzen Zahlen.

Der Euklidische Algorithmus

Mit dem euklidischen Algorithmus kannst Du unter anderem effizient den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen bestimmen.

Für die Anwendung des euklidischen Algorithmus brauchst Du alle vier Grundrechenarten. Wenn Du Dir die entsprechenden Erklärungen zu den Grundrechenarten angesehen hast, werfe auf jeden Fall auch einen Blick in die Erklärung "euklidischer Algorithmus".

Rechnen mit ganzen Zahlen und Klammern

Wenn Klammer auftauchen, musst Du insbesondere in zwei Fällen achtsam sein:

Direkt vor der Klammer befindet sich ein Minuszeichen: Vergesse dann nicht, die Vorzeichen aller Zahlen innerhalb der Klammer umzudrehen.

Direkt vor der Klammer befindet sich eine Zahl: Du kannst die Klammer auflösen, indem Du alle Zahlen innerhalb der Klammer mit der Zahl direkt vor der Klammer multiplizierst.

Minuszeichen direkt vor der Klammer

Du sollst den folgenden Ausdruck

$2 - (3 + 4 - 1)$

ausrechnen. Du hast bei Klammern zwei Optionen: Entweder zuerst das innerhalb der Klammer vereinfachen oder direkt die Klammer auflösen und dann vereinfachen.

Option 1: Zuerst innerhalb der Klammer vereinfachen

Hier rechnest Du

$2 - (3 + 4 - 1) = 2 - (7 - 1) = 2 - (6) = 2 - 6 = - 4 .$

Option 2: Klammer direkt auflösen, dann vereinfachen

Wegen des Minuszeichens vor der Klammer musst Du alle Vorzeichen innerhalb der Klammer umkehren. Du hast also

$2 - (3 + 4 - 1) = 2 - 3 - 4 + 1 .$

Jetzt kannst Du die Zahlen zusammenrechnen

$2 - (3 + 4 - 1) = 2 - 3 - 4 + 1 = - 1 - 4 + 1 = - 5 + 1 = - 4 .$

Zahl direkt vor der Klammer

Dieses Mal hast Du den Ausdruck

$- 5 + 3 \cdot (4 + 2)$

gegeben. Erneut hast Du wie im vorherigen Beispiel dieselben zwei Optionen.

Option 1: Zuerst innerhalb der Klammer vereinfachen

Die Rechnung hier ist

$- 5 + 3 \cdot (4 + 2) = - 5 + 3 \cdot (6) = - 5 + 18 = 13$

Option 2: Klammer direkt auflösen, dann vereinfachen

Die Zahl direkt vor der Klammer kannst Du verschwinden lassen, indem Du sie nacheinander mit den Zahlen innerhalb der Klammer multiplizierst. Du rechnest also

$- 5 + 3 \cdot (4 + 2) = - 5 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = - 5 + 12 + 6 = 7 + 6 = 13 .$

Des Rätsels Lösung

Schaue Dir Abbildung 10 an. Zu jeder Hand wurde die Anzahl an Fingern angegeben: fünf Finger pro Hand.

Rechnen mit ganzen Zahlen Hände mit Anzahl an Fingern pro Hand StudySmarter Abbildung 10: Hände mit Anzahl an Fingern

Da im Bild insgesamt fünf Hände vorhanden sind, beträgt die Anzahl an Fingern genau

$\underset{\begin{matrix} Anzahl \\ Hände \end{matrix}}{\underset{⏟}{5}} \cdot \underset{\begin{matrix} Finger \\ pro Hand \end{matrix}}{\underset{⏟}{5}} = 25 .$

Du kannst das auch als eine Addition auffassen: Du hast fünf Hände mit jeweils fünf Fingern, das heißt

$\underset{Insgesamt fünf Hände}{\underset{⏟}{\overset{\begin{matrix} \begin{matrix} Pro Hand \\ fünf Finger \\ ↓ \end{matrix} \end{matrix}}{5} + 5 + 5 + 5 + 5}} = 25 .$

Wenn Du jetzt vier solcher Bilder hast, musst Du das Ergebnis von einem Bild nur mit der Zahl 4 multiplizieren. In vier Bildern hast Du also insgesamt

$4 \cdot 25 = 100$

Finger.

Rechnen mit ganzen Zahlen - Aufgaben und Übungen

In den Aufgaben findest Du nur die schriftliche Addition und Subtraktion. Für weitere Beispiele dazu und insbesondere für die schriftliche Multiplikation und Division werfe einen Blick auf die entsprechenden Erklärungen.

Aufgabe 1

Berechne das Ergebnis der folgenden Addition

$123 + 207 .$

Lösung

Verwendung der schriftlichen Addition ergibt

$\begin{matrix} 1 & 2_{1} & 3 \\ + & 2 & 0_{1} & 7 \end{matrix} \begin{matrix} + & 3 & 3_{1} & 0 \end{matrix}$

und daher lautet das Ergebnis

$123 + 207 = 330 .$

Aufgabe 2

Berechne das Ergebnis der folgenden Subtraktion

$427 - 155 .$

Lösung

Das Schema der schriftlichen Subtraktion liefert Dir

$\begin{matrix} 4^{3} & 2^{12} & 7 \\ - & 1^{0} & 5^{11} & 5 \end{matrix} \begin{matrix} + & 2^{0} & 7^{11} & 2 \end{matrix}$

und damit lautet das Ergebnis

$427 - 155 = 272 .$

Rechnen mit ganzen Zahlen – Das Wichtigste

Die ganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen.
Du kannst die ganzen Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
Die Addition ganzer Zahlen kannst Du Dir wie eine Wanderung entlang der Zahlengeraden vorstellen: Bei positiven Zahlen gehst Du nach rechts, bei negativen Zahlen hingegen nach links.
Die Subtraktion ganzer Zahlen erzeugt aus zwei Zahlen eine kleinere Zahl. Entlang der Zahlengeraden bewegst Du Dich nach links.
Die Multiplikation ganzer Zahlen ist eine versteckte Addition.
Und schließlich ist das Ergebnis der Division ganzer Zahlen diejenige Zahl, mit der Du die zweite Zahl multiplizieren musst, um die erste Zahl zu erhalten.
Treten zusätzlich Klammern auf, so gibt es insbesondere zwei Fälle zu beachten (Du kannst auch eine Kombination beider Fälle haben):
- Ein Minuszeichen direkt vor der Klammer
- Eine Zahl direkt vor der Klammer

Nachweise

Gründers (2021). Mathe übersichtlich: Von den Basics bis zur Analysis. Springer Spektrum Berlin, Heidelberg.
Padberg, Büchter (2015). Einführung Mathematik Primarstufe - Arithmetik. Springer Spektrum Berlin, Heidelberg.

Rechnen mit ganzen Zahlen

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