\( \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 200} \)
Du kaufst Deiner Freundin oder Deinem Freund eine Kugel und für Dich zwei Kugeln Eis für insgesamt 5,40 €. Wie viel kostet also eine Kugel Eis?
\[1 \, \text{K}\text{ugel}+2 \,\text{Kugeln} = 5,40 \text{€}\]
Zu diesem Thema kannst Du eine sogenannte Gleichung aufzustellen, wobei Dir so etwas auch im Alltag häufig begegnen wird (etwa beim Einkaufen).
Wie genau Du quadratische und kubische Gleichungen lösen kannst, welche Regeln dabei gelten und was in den Bereich der Gleichungen aus der Algebra zählt, wirst Du in dieser Erklärung erfahren.
Gleichungen lösen – Wiederholung
Um später Gleichungen lösen zu können, solltest Du zunächst die Grundlagen dazu auffrischen.
Gleichungen – Definition
Die Gleichung hat ihren Namen vom Gleichheitszeichen.
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind.
Dabei ist zunächst erstmal egal, was links und rechts des Gleichheitszeichens steht.
\[\underbrace{5x - 5y + 3}_{\color{#1478c8}\text{T}\text{erm 1}} \, {\color{#00dcb4}=}\, \underbrace{x-11}_{\color{#1478c8}\text{T}\text{erm 2}}\]
Gleichungen – Äquivalenzumformungen
Stell Dir eine Gleichung wie eine Waage vor, die im Gleichgewicht ist. Möchtest Du auf einer der Seiten etwas verändern (zum Beispiel \(2 \text{kg}\) hinzufügen), musst Du das auch genauso auf der anderen Seite tun.
Äquivalenzumformungen beschreiben genau das in der Mathematik: Sie sind Umformungen, die auf beiden Seiten so viel wegzunehmen oder hinzuzufügen, dass die Waage weiterhin ausgependelt ist. Dabei kannst Du addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.
\begin{align} 4x + 2 &= 8 &&| \color{#1478c8} {-2} \\ 4x+2 {\color{#1478c8}-2} &= 8 \color{#1478c8}{-2} \\[0.2cm] 4x&= 6 &&| \color{#00DCB4}{: 4} \\ 4x \, {\color{#00dcb4}:4} &= 6 \, \color{#00DCB4}{:4} \\[0.2cm] x&=\frac{6}{4} \\[0.2cm] x &= {\frac{3}{2}} \end{align}
Hinter dem Strich wird angegeben, welche Rechenoperation auf beiden Seiten durchgeführt werden soll. So bleibt die Gleichung weiter im Gleichgewicht.
Gleichungen lösen einfach erklärt
Gleichungen auf beiden Seiten gleichermaßen zu verändern und zu lösen, funktioniert meist mithilfe der Äquivalenzumformungen. Eine Gleichung soll auf beiden Seiten identisch sein, wie zum Beispiel die klare Aussage:
\begin{align} 6 + 4 &= 5 + 5 \\ 10 & = 10 \, \checkmark \end{align}
Gleichungen werden mit Äquivalenzumformungen umgeformt, sodass auf eine Variable aufgelöst werden kann. Das heißt das Ziel ist es, eine Variable alleine auf eine Seite zu bringen.
Dafür können die Grundrechenarten, manchmal auch das Wurzelziehen oder Potenzieren, genutzt werden. Auch Binomische Formeln können dabei eine Rolle spielen.
Gleichungen lösen – Aufgaben
Es soll nun bereits einige Übungen geben, um Dich mit den Gleichungen vertraut zu machen. Auch das Verschieben von Variablen wird bereits angewendet.
Gleichungen lösen – Aufgabe 1
Berechne folgende Gleichung, indem Du nach der Variable x mithilfe von Äquivalenzumformungen umformst.
\[5x + 8 - 2 = 31 \]
Lösung
Schritt 1:
Relativ zu Beginn kannst Du nun alle Terme auf den beiden Seiten vereinfachen. In diesem Fall ist dies auf der linken Seite möglich.
\begin{align} 5x + \color{#1478c8}{8 - 2} &= 31 \\ 5x + \color{#1478c8}{6} &= 31 \end{align}
Schritt 2:
Nun ist es an der Zeit, durch eine Subtraktion die Konstante (\(6\)) von der linken Seite zu entfernen.
\begin{align} 5x + 6 &= 31 &&| \color{#1478c8}-6 \\ 5x+6 \color{#1478c8}-6 &=31 \color{#1478c8}-6 \\ 5x &= 25 \end{align}
Schritt 3:
Zum Schluss kannst Du nun durch eine Division die \(5\) auf die andere Seite bringen und somit nach x auflösen.
\begin{align} 5x &= 25 &&| \color{#00dcb4}:5 \\ 5x \color{#00dcb4}:5 &= 25 \color{#00dcb4}:5 \\ x &= 5 \end{align}
Gleichungen lösen – Aufgabe 2
Löse folgende Gleichung auf die Variable x auf.
\begin{align} 20x + 100 - 20 - 10x &= 5x \end{align}
Lösung
Auch hier kannst Du zunächst die Terme vereinfachen und kümmerst Dich dann darum, die Variable auf eine Seite zu bekommen.
\begin{align} 20x + 100 - 20 - 10x &= 5x \\ \color{#1478c8}{20x} \color{#000000}{+} \color{#00DCB4}{100} \color{#00DCB4}{- 20} \color{#1478c8}{- 10x} &= 5x \\ \color{#1478c8}{10x} \color{#000000}{+} \color{#00DCB4}{80} &= 5x &&| -5x \\ 5x+80 &=0 &&| - 80 \\ 5x &= -80 &&| : 5 \\ x &= - 16 \end{align}
Gleichungen lösen – Regeln
Du hast zwar bereits ein paar Regeln angewendet, unter anderem zu den Äquivalenzumformungen. Hier werden diese nochmal zusammengefasst.
Umkehraufgabe Gleichungen
Vor allem bei weniger komplexen Gleichungen kannst Du mit der Umkehraufgabe arbeiten. Diese nutzt das gleiche Prinzip wie die Äquivalenzumformung.
| Regel | Beispiel |
| Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion. | \begin{align} 2x + 5 &= 9 &&\color{#1478c8}{| -5} \\ 2x + 5 \color{#1478c8}{-5} &= 9 \color{#1478c8}{-5} \\ 2x &= 4 \end{align} |
| Die Umkehrung der Subtraktion ist die Addition. | \begin{align} 4x - 10 &= 10 &&\color{#1478c8}{| +10} \\ 4x - 10 \color{#1478c8}{+ 10} &= 10 \color{#1478c8}{+10} \\ 4x &= 20 \end{align} |
| Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. | \begin{align} 2x &= 10 &&\color{#1478c8}{| :2} \\ 2x \color{#1478c8}{:2} &= 10 \color{#1478c8}{:2} \\ x &= 5 \end{align} |
| Die Umkehrung der Division ist die Multiplikation. | \begin{align} \frac{x}{2} &= 10 &&\color{#1478c8}{| \cdot 2} \\ \frac{x}{2} \color{#1478c8}{ \cdot 2} &= 10 \color{#1478c8}{\cdot 2} \\ x &= 20 \end{align} |
Weiterhin sind ein paar Dinge zu beachten:
- Eine zusätzliche Regel bei der Division ist, dass auf keinen Fall durch Null geteilt werden darf.
- Außerdem gilt auch hier die Punkt-vor-Strich Regel.
Zu den ganzen Äquivalenzumformungen findest Du in diesem Kapitel auch die Erklärung Umkehraufgabe Gleichungen. Schau gerne vorbei.
Gleichungen lösen mit Klammern
Zum Lösen von Gleichungen mit Klammern ist vor allem das Ausmultiplizieren entscheidend. Dabei ist beim Ausmultiplizieren einer Klammer das Distributivgesetz anzuwenden.
Beginne mit dem Faktor vor der Klammer und multipliziere diesen mit allen Summanden innerhalb der Klammer nacheinander (das Gleiche gilt für eine Division).
\begin{align} \color{#fa3273}{5} \color{#000000}{\cdot (} \color{#1478c8}{3x} \color{#00DCB4}{-2} \color{#000000}{)} \\ = \color{#fa3273}{5} \color{#000000}{\cdot} \color{#1478c8}{3x} \color{#000000} \color{#000000}{ {+}} \color{#fa3273}{5} \color{#000000}{\cdot} \color{#00DCb4}{(-2)} \end{align}
Eine weitere Möglichkeit ist, dass Du zwei Klammern miteinander multiplizieren musst. Auch dafür nimmst Du jede Zahl der ersten Klammer extra und multiplizierst sie einzeln mit den Ziffern aus der zweiten Klammer.
\begin{align} ({ \color{bl}{4x}} {\color{gr}{- 2}}) \cdot ({\color{r}{3}} + {\color{li}{2x}}) &= {\color{bl}{4x}} \cdot {\color{r}{3}} + {\color{bl}{4x}} \cdot {\color{li}{2x}} {\color{gr}{- 2}} \cdot {\color{r}{3}} {\color{gr}{- 2}} \cdot {\color{li}{2x}} \\ &= 12x + 8x^2 - 6 - 4x \\ &= 8x^2 + 8x -6 \end{align}
Handelt es sich bei den Termen in den Klammern um identische Terme, liegt eine binomische Formel vor.
Es gibt insgesamt drei verschiedene Arten von Binomischen Formeln. Diese kannst Du direkt nach den folgenden Regeln ausmultiplizieren.
- 1. Binomische Formel: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- 2. Binomische Formel: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
- 3. Binomische Formel: \((a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2\)
Quadratische Gleichung lösen
Bei einer quadratischen Gleichung benötigst Du das Wissen über die sogenannte Lösungsformel, besser bekannt als Mitternachtsformel.
Quadratische Gleichung mit Mitternachtsformel lösen
Die klassische Form einer quadratischen Gleichung ist in dieser Form gegeben:
\[ax^2+bx+c=0\]
Zum Lösen einer solchen quadratischen Gleichung kann die Mitternachtsformel verwendet werden.
Die Mitternachtsformel sieht folgendermaßen aus:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}} {2 \cdot a}\]
Dafür muss die Gleichung in die Form \({\color{#1478c8}a}x^2 + {\color{#00dcb4}b}x +{\color{#fa3273}c} = 0\) gebracht werden und die jeweiligen Werte für \(\color{#1478c8}a\), \(\color{#00dcb4}b\) und \(\color{#fa3273}c\) aus der Gleichung in die Formel eingesetzt werden.
Quadratische Gleichung lösen – Aufgabe 3
Dir ist eine Gleichung dieser Form gegeben. Berechne die Werte für x.
\begin{align} x^2 + 4x + 5 = 2 \end{align}
Lösung
Dazu soll die Gleichung erst umgestellt werden, damit auf einer der Seiten eine Null steht.
\begin{align} x^2 + 4x + 5 &= 2 &&| - 2 \\ { \color{bl}{1}}x^2 + { \color{gr}{4}}x + { \color{r}{3}} &= 0 \end{align}
Nun kann diese Gleichung verwendet werden, um die Werte in die Mitternachtsformel zu geben und nach x aufzulösen.
\begin{align} x_{1,2} &= \frac{- { \color{gr}{4}} \pm \sqrt{{ \color{gr}{4}}^2 - 4 \cdot { \color{bl}{1}} \cdot { \color{r}{3}}}}{2 \cdot { \color{bl}{1}}} \\ &= \frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2} \\ &= \frac{- 4 \pm 2}{2} \\ x_1 &= -3 \\ x_2 &= -1 \end{align}
Biquadratische Gleichungen lösen
Ist eine Gleichung gegeben, sodass Du durch einen "Ersatz der Variablen", diese auf eine Form bringen kannst, um die Mitternachtsformel oder pq-Formel anzuwenden, handelt es sich um eine Biquadratische Gleichung. Beispielsweise ist eine Gleichung wie folgt gegeben:
\[x^4 + 2x^2 - 5 = 0\]
Dabei kannst Du nun die zwei Variablen auch ersetzen durch:
\[x^2 = z\]
Damit sieht diese Gleichung nun so aus:
\[z^2 + 2x - 5 = 0 \]
Somit ist die Gleichung für die Mitternachtsformel nutzbar. Zum Schluss wird die Resubstitution angewandt.
Kubische Gleichungen lösen
Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung, bei der Du durch systematisches Probieren auf eine Nullstelle kommen sollst, um dann mithilfe einer sogenannten Polynomdivision eine quadratische Gleichung zu erhalten.
Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung, die sich durch Äquivalenzumformung in die folgende Form bringen lässt:
\[ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\]
Da Du diese Gleichung mit Null gleichsetzen kannst, kannst Du somit die Nullstellen ermitteln.
Die erste Nullstelle ist durch systematisches Probieren zu finden. Dabei kannst Du davon ausgehen, dass meist leicht bestimmbare Werte wie \(0, -1, 1\) oder \(2\) eine der Lösungen darstellen.
In der Erklärung Gleichung höheren Grades findest Du Informationen zu Gleichungen, die einen Grad höher als zwei besitzen.
Wie Du nun konkret bei einer kubischen Gleichung vorgehen kannst, erfährst Du in dieser kleinen Zusammenfassung:
Quadratische Gleichung lösen – Aufgabe 4
Dir ist folgende kubische Gleichung gegeben:
\[x^3 + 2x^2 + 5x - 8 = 0\]
Löse die Gleichung nach x auf.
Lösung
Dafür kannst Du nach folgendem Schema vorgehen.
Schritt 1 (Systematisches Probieren):
Versuche verschiedene Werte (meist \(-1, 0, 1\) oder \(2\)) für x einzusetzen, um einen x-Wert einer Nullstelle herauszufinden.
\begin{align} 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 - 8 &= 0 \\ 18 &= 0 \, \, \times \end{align}
\begin{align} x = 2: 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 - 8 &= 0 \\ 0 &= 0 \, \, \checkmark \end{align}
Das bedeutet, eine Nullstelle liegt bei \(x = 1\).
Schritt 2 (Polynomdivision):
Nun teilst Du Deinen Term durch diese eine Nullstelle in Form einer Polynomdivision. Dabei erhältst Du eventuell einen Rest und eine Gleichung mit einem Grad niedriger, also in diesem Fall eine quadratische Gleichung.
\begin{align} \matrix {(x^3& + 2x^2& - x& - 2)&:&(x - 1)&=& \color{#1478c8} {x^2 + 3x + 2} \cr - (x^3& - x^2) \cr \phantom{-} & - (3x^2& -3x) \cr \phantom{-} & \phantom{-} & - (2x& - 2) \cr \phantom{-} & \phantom{-1} & \phantom{-1} & Rest: 0} \end{align}
Näheres zu diesen Rechenschritten findest Du detailliert zusammengefasst in der Erklärung Polynomdivision oder auch Polynomfunktion.
Schritt 3 (quadratische Gleichung lösen):
Nun kannst Du die erhaltene quadratische Funktion mithilfe der Mitternachtsformel berechnen, um x-Werte zu ermitteln.
Somit ist gegeben:
\[ax^2 + bx + c = 1x^2 + 3x + 2\]
Die Berechnung über die Mitternachtsformel lautet:
\begin{align} x_{1,2} &= \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} \\ &= \frac{-3 \pm 1}{2} \\ x_1 &= -2 \\ x_2 &= -1 \end{align}
Das bedeutet also diese kubische Gleichung ist lösbar mit den Nullstellen \(x=-2\), \(x=-1\) und \(x=1\).
Weitere Gleichungen lösen
Du hast bereits über einige Gleichungsarten viel erfahren, doch in diesem Kapitel werden Dir noch weitere vorgestellt.
Bruchgleichungen lösen
Bei einer Bruchgleichung befindet sich die Variable, auf die aufgelöst werden soll, im Nenner eines Bruchs. Dabei soll diese Variable aus dem Bruch entfernt werden.
Sieh Dir dazu dieses Beispiel an.
Quadratische Gleichung lösen – Aufgabe 5
Gegeben ist eine Bruchgleichung. Dabei soll auf \(x \) aufgelöst werden.
\[ \frac{x + 1}{x -3} = 2 \]
Lösung
Du beginnst nun damit den Nenner zu eliminieren. Dazu wird dieser auf beiden Seiten multipliziert.
Im Anschluss können die Äquivalenzumformungen verwendet und gegebenenfalls die Mitternachtsformel angewendet werden.
\begin{align} \frac{x + 1}{x - 3} &= 2 &&| \cdot (x - 3) \\[0.2cm] x + 1 &= 2 \cdot (x - 3) \\[0.2cm] x + 1 &= 2x - 6 &&| - 2x \\[0.2cm] -x + 1 &= -6 &&| - 1 \\[0.2cm] -x &= -7 &&| : (-1) \\[0.2cm] x &= 7 \end{align}
Damit ist das Ergebnis also \(x=7\).
Exponential- und Logarithmusgleichungen
Eine weitere Art der Gleichungen ist die der Exponential- und Logarithmusgleichungen.
Für die Exponentialgleichung gibt es verschiedene Möglichkeiten, auf die Lösung zu kommen:
- Exponentenvergleich
- Lösen durch Logarithmieren
- Grafisch lösen
Eine der Möglichkeiten ist, die Exponenten zu vergleichen. Das bedeutet, dass die Basen jeweils als Potenzen umgeschrieben werden können, um die Rechnung zu vereinfachen.
Sieh Dir dazu ein kurzes Beispiel an.
Gegeben ist diese Exponentialgleichung:
\[128^x = 8\]
Dabei fällt auf, dass sowohl \(8\) als auch \(128\) Vielfache von \(2\) sind und als Potenz geschrieben werden können.
\[128 = 2^7 \text{ und } 8 = 2^4\]
Damit lautet die Gleichung nun:
\[(2^7)^x = 2^3\]
Dies lässt sich über die Potenzgesetze umschreiben, zu:
\[2^{7x} = 2^3\]
Da die beiden Basen identisch sind, können diese nun getilgt werden und es werden nur noch die Exponenten verglichen.
\begin{align} 7x = 3 \\ x = \frac{3}{7} \end{align}
Wurzelgleichungen
Zuletzt geht es noch um die Wurzelgleichungen und trigonometrischen Gleichungen.
Die Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable unterhalb einer Wurzel positioniert ist.
Die Wurzelgleichung lautet wie folgt:
\[\sqrt{18 + x} = 5\]
Zur Lösung gibt es zwei wesentliche Schritte.
Schritt 1:
Hierbei wird die Wurzel auf beiden Seiten über das Potenzieren aufgelöst.
\begin{align} \sqrt{18 + x} &= 5 &&| \sqrt{} \\ 18 + x & = 25\end{align}
Schritt 2:
Dann wird die erhaltene lineare Gleichung auf \(x\) aufgelöst.
\begin{align} 18 + x &= 25 &&| - 18 \\ x &= 7 \end{align}
Trigonometrische Gleichungen
In trigonometrischen Gleichungen ist immer eine trigonometrische Funktion zu finden. Allgemein können diese Gleichungen also folgendermaßen aussehen:
- \( \sin{x}=c\)
- \( \cos{x}=c \)
- \( \tan{x}=c \)
Beim Berechnen dieser Gleichungen sollte man die Eigenschaften dieser Funktionen im Kopf haben.
- trigonometrische Funktionen sind periodisch
- \(sin(x)\) und \(cos(x)\) besitzen eine Amplitude von \(A=1\), sie bewegen sich also immer zwischen den Werten \(y=-1\) und \(y=1\)
- es gibt unendlich viele Nullstellen im periodischen Abstand
Hier ist ein Ausschnitt der Sinusfunktion zu sehen.
Abbildung 1: Gleichungen lösen – Trigonometrische Gleichung \(sin\)
Gleichungen lösen – Aufgaben
Hier kannst Du Dein theoretisches Wissen praktisch anwenden.
Quadratische Gleichung lösen – Aufgabe 6
Löse folgende Gleichung.
\[4 \cdot (2x + 3) = 16 + 4\]
Lösung
Zuerst kannst Du die Terme auf beiden Seiten soweit vereinfachen bzw. auch ausmultiplizieren.
\begin{align} 4 \cdot (2x + 3) &= 16 + 4 \\ 4 \cdot 2x + 4 \cdot 3 &= 20 \\ 8x + 12 &= 20\end{align}
Nun kannst Du zuerst eine Subtraktion durchführen und daraufhin durch 8 teilen.
\begin{align} 8x + 12 &= 20 &&| - 12 \\ 8x &= 8 &&| : 8 \\ x &= 1 \end{align}
Das bedeutet also die Lösung ist zwei. Möchtest Du das als Lösungsmenge notieren, so ist diese:
\[ \mathbb{L} = \{1\}\]
Quadratische Gleichung lösen – Aufgabe 7
Berechne folgende quadratische Gleichung:
\begin{align} 4x^2 + 10x = -4 \end{align}
Lösung
Dazu solltest Du im ersten Schritt die Gleichung in die Form bekommen, damit ein Term mit Null gleichgesetzt wird.
\begin{align} 4x^2 + 10x &= -4 &&| + 4 \\ 4x^2 + 10x + 4 &= 0\end{align}
Nun ist es an der Zeit die Lösungsformel zu verwenden. Für die allgemeine Formel sind also die Buchstaben \(a = 4\), \(b = 10\) und \(c = 4\) gegeben.
\begin{align} x_{1,2} &= \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4} \\ &= \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{8} \\ &= \frac{-10 \pm 6}{8} \\ x_1 &= -2 \\ x_2 &= -0,5 \end{align}
Die Lösungsmenge ist also:
\[ \mathbb{L} = \{-2, -0,5\} \]
Gleichungen lösen – Das Wichtigste
- Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind.
- Äquivalenzumformungen sind Umformungen, die auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Rechnung vornehmen.
- Gleichungen werden mit Äquivalenzumformungen gelöst, indem die Variable alleine auf eine Seite gebracht wird.
- Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen:
- Es gibt einige Tricks und Regeln beim Lösen vom Gleichungen:
- Umkehraufgaben
- Gleichungen grafisch lösen
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