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Gleichungen lösen

Gleichungen lösen

\( \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 200} \)

Du kaufst Deiner Freundin oder Deinem Freund eine Kugel und für Dich zwei Kugeln Eis für insgesamt 5,40 €. Wie viel kostet also eine Kugel Eis?

\[1 \, \text{K}\text{ugel}+2 \,\text{Kugeln} = 5,40 \text{€}\]

Zu diesem Thema kannst Du eine sogenannte Gleichung aufzustellen, wobei Dir so etwas auch im Alltag häufig begegnen wird (etwa beim Einkaufen).

Wie genau Du quadratische und kubische Gleichungen lösen kannst, welche Regeln dabei gelten und was in den Bereich der Gleichungen aus der Algebra zählt, wirst Du in dieser Erklärung erfahren.

Gleichungen lösen – Wiederholung

Um später Gleichungen lösen zu können, solltest Du zunächst die Grundlagen dazu auffrischen.

Gleichungen – Definition

Die Gleichung hat ihren Namen vom Gleichheitszeichen.

Eine Gleichung besteht aus zwei Termen, die durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden sind.

Dabei ist zunächst erstmal egal, was links und rechts des Gleichheitszeichens steht.

\[\underbrace{5x - 5y + 3}_{\color{#1478c8}\text{T}\text{erm 1}} \, {\color{#00dcb4}=}\, \underbrace{x-11}_{\color{#1478c8}\text{T}\text{erm 2}}\]

Gleichungen – Äquivalenzumformungen

Stell Dir eine Gleichung wie eine Waage vor, die im Gleichgewicht ist. Möchtest Du auf einer der Seiten etwas verändern (zum Beispiel \(2 \text{kg}\) hinzufügen), musst Du das auch genauso auf der anderen Seite tun.

Äquivalenzumformungen beschreiben genau das in der Mathematik: Sie sind Umformungen, die auf beiden Seiten so viel wegzunehmen oder hinzuzufügen, dass die Waage weiterhin ausgependelt ist. Dabei kannst Du addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.

\begin{align} 4x + 2 &= 8 &&| \color{#1478c8} {-2} \\ 4x+2 {\color{#1478c8}-2} &= 8 \color{#1478c8}{-2} \\[0.2cm] 4x&= 6 &&| \color{#00DCB4}{: 4} \\ 4x \, {\color{#00dcb4}:4} &= 6 \, \color{#00DCB4}{:4} \\[0.2cm] x&=\frac{6}{4} \\[0.2cm] x &= {\frac{3}{2}} \end{align}

Hinter dem Strich wird angegeben, welche Rechenoperation auf beiden Seiten durchgeführt werden soll. So bleibt die Gleichung weiter im Gleichgewicht.

Nähere Informationen zu Gleichungen allgemein erhältst Du unter Gleichungen Grundlagen oder auch Äquivalenzumformungen.

Gleichungen lösen einfach erklärt

Gleichungen auf beiden Seiten gleichermaßen zu verändern und zu lösen, funktioniert meist mithilfe der Äquivalenzumformungen. Eine Gleichung soll auf beiden Seiten identisch sein, wie zum Beispiel die klare Aussage:

\begin{align} 6 + 4 &= 5 + 5 \\ 10 & = 10 \, \checkmark \end{align}

Gleichungen werden mit Äquivalenzumformungen umgeformt, sodass auf eine Variable aufgelöst werden kann. Das heißt das Ziel ist es, eine Variable alleine auf eine Seite zu bringen.

Dafür können die Grundrechenarten, manchmal auch das Wurzelziehen oder Potenzieren, genutzt werden. Auch Binomische Formeln können dabei eine Rolle spielen.

Gleichungen lösen – Aufgaben

Es soll nun bereits einige Übungen geben, um Dich mit den Gleichungen vertraut zu machen. Auch das Verschieben von Variablen wird bereits angewendet.

Gleichungen lösen – Aufgabe 1

Berechne folgende Gleichung, indem Du nach der Variable x mithilfe von Äquivalenzumformungen umformst.

\[5x + 8 - 2 = 31 \]

Lösung

Schritt 1:

Relativ zu Beginn kannst Du nun alle Terme auf den beiden Seiten vereinfachen. In diesem Fall ist dies auf der linken Seite möglich.

\begin{align} 5x + \color{#1478c8}{8 - 2} &= 31 \\ 5x + \color{#1478c8}{6} &= 31 \end{align}

Schritt 2:

Nun ist es an der Zeit, durch eine Subtraktion die Konstante (\(6\)) von der linken Seite zu entfernen.

\begin{align} 5x + 6 &= 31 &&| \color{#1478c8}-6 \\ 5x+6 \color{#1478c8}-6 &=31 \color{#1478c8}-6 \\ 5x &= 25 \end{align}

Schritt 3:

Zum Schluss kannst Du nun durch eine Division die \(5\) auf die andere Seite bringen und somit nach x auflösen.

\begin{align} 5x &= 25 &&| \color{#00dcb4}:5 \\ 5x \color{#00dcb4}:5 &= 25 \color{#00dcb4}:5 \\ x &= 5 \end{align}

Gleichungen lösen – Aufgabe 2

Löse folgende Gleichung auf die Variable x auf.

\begin{align} 20x + 100 - 20 - 10x &= 5x \end{align}

Lösung

Auch hier kannst Du zunächst die Terme vereinfachen und kümmerst Dich dann darum, die Variable auf eine Seite zu bekommen.

\begin{align} 20x + 100 - 20 - 10x &= 5x \\ \color{#1478c8}{20x} \color{#000000}{+} \color{#00DCB4}{100} \color{#00DCB4}{- 20} \color{#1478c8}{- 10x} &= 5x \\ \color{#1478c8}{10x} \color{#000000}{+} \color{#00DCB4}{80} &= 5x &&| -5x \\ 5x+80 &=0 &&| - 80 \\ 5x &= -80 &&| : 5 \\ x &= - 16 \end{align}

Gleichungen lösen – Regeln

Du hast zwar bereits ein paar Regeln angewendet, unter anderem zu den Äquivalenzumformungen. Hier werden diese nochmal zusammengefasst.

Umkehraufgabe Gleichungen

Vor allem bei weniger komplexen Gleichungen kannst Du mit der Umkehraufgabe arbeiten. Diese nutzt das gleiche Prinzip wie die Äquivalenzumformung.

RegelBeispiel
Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion.\begin{align} 2x + 5 &= 9 &&\color{#1478c8}{| -5} \\ 2x + 5 \color{#1478c8}{-5} &= 9 \color{#1478c8}{-5} \\ 2x &= 4 \end{align}
Die Umkehrung der Subtraktion ist die Addition.\begin{align} 4x - 10 &= 10 &&\color{#1478c8}{| +10} \\ 4x - 10 \color{#1478c8}{+ 10} &= 10 \color{#1478c8}{+10} \\ 4x &= 20 \end{align}
Die Umkehrung der Multiplikation ist die Division.\begin{align} 2x &= 10 &&\color{#1478c8}{| :2} \\ 2x \color{#1478c8}{:2} &= 10 \color{#1478c8}{:2} \\ x &= 5 \end{align}
Die Umkehrung der Division ist die Multiplikation.\begin{align} \frac{x}{2} &= 10 &&\color{#1478c8}{| \cdot 2} \\ \frac{x}{2} \color{#1478c8}{ \cdot 2} &= 10 \color{#1478c8}{\cdot 2} \\ x &= 20 \end{align}

Weiterhin sind ein paar Dinge zu beachten:

  • Eine zusätzliche Regel bei der Division ist, dass auf keinen Fall durch Null geteilt werden darf.
  • Außerdem gilt auch hier die Punkt-vor-Strich Regel.

Zu den ganzen Äquivalenzumformungen findest Du in diesem Kapitel auch die Erklärung Umkehraufgabe Gleichungen. Schau gerne vorbei.

Gleichungen lösen mit Klammern

Zum Lösen von Gleichungen mit Klammern ist vor allem das Ausmultiplizieren entscheidend. Dabei ist beim Ausmultiplizieren einer Klammer das Distributivgesetz anzuwenden.

Sieh Dir dazu die Erklärung Distributivgesetz genauer an.

Beginne mit dem Faktor vor der Klammer und multipliziere diesen mit allen Summanden innerhalb der Klammer nacheinander (das Gleiche gilt für eine Division).

\begin{align} \color{#fa3273}{5} \color{#000000}{\cdot (} \color{#1478c8}{3x} \color{#00DCB4}{-2} \color{#000000}{)} \\ = \color{#fa3273}{5} \color{#000000}{\cdot} \color{#1478c8}{3x} \color{#000000} \color{#000000}{ {+}} \color{#fa3273}{5} \color{#000000}{\cdot} \color{#00DCb4}{(-2)} \end{align}

Eine weitere Möglichkeit ist, dass Du zwei Klammern miteinander multiplizieren musst. Auch dafür nimmst Du jede Zahl der ersten Klammer extra und multiplizierst sie einzeln mit den Ziffern aus der zweiten Klammer.

\begin{align} ({ \color{bl}{4x}} {\color{gr}{- 2}}) \cdot ({\color{r}{3}} + {\color{li}{2x}}) &= {\color{bl}{4x}} \cdot {\color{r}{3}} + {\color{bl}{4x}} \cdot {\color{li}{2x}} {\color{gr}{- 2}} \cdot {\color{r}{3}} {\color{gr}{- 2}} \cdot {\color{li}{2x}} \\ &= 12x + 8x^2 - 6 - 4x \\ &= 8x^2 + 8x -6 \end{align}

Handelt es sich bei den Termen in den Klammern um identische Terme, liegt eine binomische Formel vor.

Es gibt insgesamt drei verschiedene Arten von Binomischen Formeln. Diese kannst Du direkt nach den folgenden Regeln ausmultiplizieren.

  • 1. Binomische Formel: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
  • 2. Binomische Formel: \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
  • 3. Binomische Formel: \((a + b) \cdot (a - b) = a^2 - b^2\)

Möchtest Du noch bisschen mehr ausklammern, dann kannst Du bei Ausklammern und Ausmultiplizieren vorbeisehen oder bei Binomische Formeln.

Quadratische Gleichung lösen

Bei einer quadratischen Gleichung benötigst Du das Wissen über die sogenannte Lösungsformel, besser bekannt als Mitternachtsformel.

Quadratische Gleichung mit Mitternachtsformel lösen

Die klassische Form einer quadratischen Gleichung ist in dieser Form gegeben:

\[ax^2+bx+c=0\]

Zum Lösen einer solchen quadratischen Gleichung kann die Mitternachtsformel verwendet werden.

Die Mitternachtsformel sieht folgendermaßen aus:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}} {2 \cdot a}\]

Dafür muss die Gleichung in die Form \({\color{#1478c8}a}x^2 + {\color{#00dcb4}b}x +{\color{#fa3273}c} = 0\) gebracht werden und die jeweiligen Werte für \(\color{#1478c8}a\), \(\color{#00dcb4}b\) und \(\color{#fa3273}c\) aus der Gleichung in die Formel eingesetzt werden.

Näheres dazu findest Du unter Quadratische Gleichungen lösen und Mitternachtsformel.

Quadratische Gleichung lösen – Aufgabe 3

Dir ist eine Gleichung dieser Form gegeben. Berechne die Werte für x.

\begin{align} x^2 + 4x + 5 = 2 \end{align}

Lösung

Dazu soll die Gleichung erst umgestellt werden, damit auf einer der Seiten eine Null steht.

\begin{align} x^2 + 4x + 5 &= 2 &&| - 2 \\ { \color{bl}{1}}x^2 + { \color{gr}{4}}x + { \color{r}{3}} &= 0 \end{align}

Nun kann diese Gleichung verwendet werden, um die Werte in die Mitternachtsformel zu geben und nach x aufzulösen.

\begin{align} x_{1,2} &= \frac{- { \color{gr}{4}} \pm \sqrt{{ \color{gr}{4}}^2 - 4 \cdot { \color{bl}{1}} \cdot { \color{r}{3}}}}{2 \cdot { \color{bl}{1}}} \\ &= \frac{- 4 \pm \sqrt{4}}{2} \\ &= \frac{- 4 \pm 2}{2} \\ x_1 &= -3 \\ x_2 &= -1 \end{align}

Biquadratische Gleichungen lösen

Ist eine Gleichung gegeben, sodass Du durch einen "Ersatz der Variablen", diese auf eine Form bringen kannst, um die Mitternachtsformel oder pq-Formel anzuwenden, handelt es sich um eine Biquadratische Gleichung. Beispielsweise ist eine Gleichung wie folgt gegeben:

\[x^4 + 2x^2 - 5 = 0\]

Dabei kannst Du nun die zwei Variablen auch ersetzen durch:

\[x^2 = z\]

Damit sieht diese Gleichung nun so aus:

\[z^2 + 2x - 5 = 0 \]

Somit ist die Gleichung für die Mitternachtsformel nutzbar. Zum Schluss wird die Resubstitution angewandt.

Schau gerne bei der Erklärung Biquadratische Gleichungen vorbei oder auch bei Quadratische Gleichungen lösen.

Kubische Gleichungen lösen

Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung, bei der Du durch systematisches Probieren auf eine Nullstelle kommen sollst, um dann mithilfe einer sogenannten Polynomdivision eine quadratische Gleichung zu erhalten.

Eine kubische Gleichung ist eine Gleichung, die sich durch Äquivalenzumformung in die folgende Form bringen lässt:

\[ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\]

Da Du diese Gleichung mit Null gleichsetzen kannst, kannst Du somit die Nullstellen ermitteln.

Die erste Nullstelle ist durch systematisches Probieren zu finden. Dabei kannst Du davon ausgehen, dass meist leicht bestimmbare Werte wie \(0, -1, 1\) oder \(2\) eine der Lösungen darstellen.

In der Erklärung Gleichung höheren Grades findest Du Informationen zu Gleichungen, die einen Grad höher als zwei besitzen.

Wie Du nun konkret bei einer kubischen Gleichung vorgehen kannst, erfährst Du in dieser kleinen Zusammenfassung:

Quadratische Gleichung lösen – Aufgabe 4

Dir ist folgende kubische Gleichung gegeben:

\[x^3 + 2x^2 + 5x - 8 = 0\]

Löse die Gleichung nach x auf.

Lösung

Dafür kannst Du nach folgendem Schema vorgehen.

Schritt 1 (Systematisches Probieren):

Versuche verschiedene Werte (meist \(-1, 0, 1\) oder \(2\)) für x einzusetzen, um einen x-Wert einer Nullstelle herauszufinden.

  • Für \(x = 2\):

\begin{align} 2^3 + 2 \cdot 2^2 + 5 \cdot 2 - 8 &= 0 \\ 18 &= 0 \, \, \times \end{align}

  • Für \( x = 1\):

\begin{align} x = 2: 1^3 + 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 - 8 &= 0 \\ 0 &= 0 \, \, \checkmark \end{align}

Das bedeutet, eine Nullstelle liegt bei \(x = 1\).

Alle weiteren Hintergründe findest Du in der Erklärung Systematisches Probieren.

Schritt 2 (Polynomdivision):

Nun teilst Du Deinen Term durch diese eine Nullstelle in Form einer Polynomdivision. Dabei erhältst Du eventuell einen Rest und eine Gleichung mit einem Grad niedriger, also in diesem Fall eine quadratische Gleichung.

\begin{align} \matrix {(x^3& + 2x^2& - x& - 2)&:&(x - 1)&=& \color{#1478c8} {x^2 + 3x + 2} \cr - (x^3& - x^2) \cr \phantom{-} & - (3x^2& -3x) \cr \phantom{-} & \phantom{-} & - (2x& - 2) \cr \phantom{-} & \phantom{-1} & \phantom{-1} & Rest: 0} \end{align}

Näheres zu diesen Rechenschritten findest Du detailliert zusammengefasst in der Erklärung Polynomdivision oder auch Polynomfunktion.

Schritt 3 (quadratische Gleichung lösen):

Nun kannst Du die erhaltene quadratische Funktion mithilfe der Mitternachtsformel berechnen, um x-Werte zu ermitteln.

Somit ist gegeben:

\[ax^2 + bx + c = 1x^2 + 3x + 2\]

Die Berechnung über die Mitternachtsformel lautet:

\begin{align} x_{1,2} &= \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} \\ &= \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2} \\ &= \frac{-3 \pm 1}{2} \\ x_1 &= -2 \\ x_2 &= -1 \end{align}

Das bedeutet also diese kubische Gleichung ist lösbar mit den Nullstellen \(x=-2\), \(x=-1\) und \(x=1\).

Weitere Gleichungen lösen

Du hast bereits über einige Gleichungsarten viel erfahren, doch in diesem Kapitel werden Dir noch weitere vorgestellt.

Bruchgleichungen lösen

Bei einer Bruchgleichung befindet sich die Variable, auf die aufgelöst werden soll, im Nenner eines Bruchs. Dabei soll diese Variable aus dem Bruch entfernt werden.

Sieh Dir dazu dieses Beispiel an.

Quadratische Gleichung lösen – Aufgabe 5

Gegeben ist eine Bruchgleichung. Dabei soll auf \(x \) aufgelöst werden.

\[ \frac{x + 1}{x -3} = 2 \]

Lösung

Du beginnst nun damit den Nenner zu eliminieren. Dazu wird dieser auf beiden Seiten multipliziert.

Im Anschluss können die Äquivalenzumformungen verwendet und gegebenenfalls die Mitternachtsformel angewendet werden.

\begin{align} \frac{x + 1}{x - 3} &= 2 &&| \cdot (x - 3) \\[0.2cm] x + 1 &= 2 \cdot (x - 3) \\[0.2cm] x + 1 &= 2x - 6 &&| - 2x \\[0.2cm] -x + 1 &= -6 &&| - 1 \\[0.2cm] -x &= -7 &&| : (-1) \\[0.2cm] x &= 7 \end{align}

Damit ist das Ergebnis also \(x=7\).

In der Erklärung Bruchgleichungen lösen gibt es unter anderem weitere Inhalte zu den Bruchgleichungen.

Exponential- und Logarithmusgleichungen

Eine weitere Art der Gleichungen ist die der Exponential- und Logarithmusgleichungen.

Für die Exponentialgleichung gibt es verschiedene Möglichkeiten, auf die Lösung zu kommen:

  • Exponentenvergleich
  • Lösen durch Logarithmieren
  • Grafisch lösen

Dazu findest Du mehr in den Erklärungen Exponentialgleichungen lösen, Logarithmusgleichungen lösen oder Gleichungen grafisch lösen.

Eine der Möglichkeiten ist, die Exponenten zu vergleichen. Das bedeutet, dass die Basen jeweils als Potenzen umgeschrieben werden können, um die Rechnung zu vereinfachen.

Sieh Dir dazu ein kurzes Beispiel an.

Gegeben ist diese Exponentialgleichung:

\[128^x = 8\]

Dabei fällt auf, dass sowohl \(8\) als auch \(128\) Vielfache von \(2\) sind und als Potenz geschrieben werden können.

\[128 = 2^7 \text{ und } 8 = 2^4\]

Damit lautet die Gleichung nun:

\[(2^7)^x = 2^3\]

Dies lässt sich über die Potenzgesetze umschreiben, zu:

\[2^{7x} = 2^3\]

Da die beiden Basen identisch sind, können diese nun getilgt werden und es werden nur noch die Exponenten verglichen.

\begin{align} 7x = 3 \\ x = \frac{3}{7} \end{align}

Wurzelgleichungen

Zuletzt geht es noch um die Wurzelgleichungen und trigonometrischen Gleichungen.

Die Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable unterhalb einer Wurzel positioniert ist.

Die Wurzelgleichung lautet wie folgt:

\[\sqrt{18 + x} = 5\]

Zur Lösung gibt es zwei wesentliche Schritte.

Schritt 1:

Hierbei wird die Wurzel auf beiden Seiten über das Potenzieren aufgelöst.

\begin{align} \sqrt{18 + x} &= 5 &&| \sqrt{} \\ 18 + x & = 25\end{align}

Schritt 2:

Dann wird die erhaltene lineare Gleichung auf \(x\) aufgelöst.

\begin{align} 18 + x &= 25 &&| - 18 \\ x &= 7 \end{align}

Näheres findest Du in der Erklärung Wurzelgleichungen lösen.

Trigonometrische Gleichungen

In trigonometrischen Gleichungen ist immer eine trigonometrische Funktion zu finden. Allgemein können diese Gleichungen also folgendermaßen aussehen:

  • \( \sin{x}=c\)
  • \( \cos{x}=c \)
  • \( \tan{x}=c \)

Beim Berechnen dieser Gleichungen sollte man die Eigenschaften dieser Funktionen im Kopf haben.

  • trigonometrische Funktionen sind periodisch
  • \(sin(x)\) und \(cos(x)\) besitzen eine Amplitude von \(A=1\), sie bewegen sich also immer zwischen den Werten \(y=-1\) und \(y=1\)
  • es gibt unendlich viele Nullstellen im periodischen Abstand

Hier ist ein Ausschnitt der Sinusfunktion zu sehen.

Gleichungen lösen Gleichungen lösen – Trigonometrische Gleichung StudySmarterAbbildung 1: Gleichungen lösen – Trigonometrische Gleichung \(sin\)

Weitere detailliertere Informationen und Übungen findest Du in der Erklärung Trigonometrische Gleichungen lösen.

Gleichungen lösen – Aufgaben

Hier kannst Du Dein theoretisches Wissen praktisch anwenden.

Quadratische Gleichung lösen – Aufgabe 6

Löse folgende Gleichung.

\[4 \cdot (2x + 3) = 16 + 4\]

Lösung

Zuerst kannst Du die Terme auf beiden Seiten soweit vereinfachen bzw. auch ausmultiplizieren.

\begin{align} 4 \cdot (2x + 3) &= 16 + 4 \\ 4 \cdot 2x + 4 \cdot 3 &= 20 \\ 8x + 12 &= 20\end{align}

Nun kannst Du zuerst eine Subtraktion durchführen und daraufhin durch 8 teilen.

\begin{align} 8x + 12 &= 20 &&| - 12 \\ 8x &= 8 &&| : 8 \\ x &= 1 \end{align}

Das bedeutet also die Lösung ist zwei. Möchtest Du das als Lösungsmenge notieren, so ist diese:

\[ \mathbb{L} = \{1\}\]

Quadratische Gleichung lösen – Aufgabe 7

Berechne folgende quadratische Gleichung:

\begin{align} 4x^2 + 10x = -4 \end{align}

Lösung

Dazu solltest Du im ersten Schritt die Gleichung in die Form bekommen, damit ein Term mit Null gleichgesetzt wird.

\begin{align} 4x^2 + 10x &= -4 &&| + 4 \\ 4x^2 + 10x + 4 &= 0\end{align}

Nun ist es an der Zeit die Lösungsformel zu verwenden. Für die allgemeine Formel sind also die Buchstaben \(a = 4\), \(b = 10\) und \(c = 4\) gegeben.

\begin{align} x_{1,2} &= \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4}}{2 \cdot 4} \\ &= \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{8} \\ &= \frac{-10 \pm 6}{8} \\ x_1 &= -2 \\ x_2 &= -0,5 \end{align}

Die Lösungsmenge ist also:

\[ \mathbb{L} = \{-2, -0,5\} \]

Gleichungen lösen – Das Wichtigste

  • Es gibt einige Tricks und Regeln beim Lösen vom Gleichungen:
  • Umkehraufgaben
  • Gleichungen grafisch lösen

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gleichungen lösen

Für das Lösen einer Gleichung benötigst Du Äquivalenzumformungen wie die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Manchmal bietet sich auch eine graphische Lösung an oder eine Lösung durch systematisches Probieren.

Zuerst sollten die Klammern auf jeder Seite des Gleichheitszeichens aufgelöst werden, beispielsweise durch Ausmultiplizieren. Dabei wird der Faktor vor der Klammer mit jedem einzelnen Summanden in der Klammer multipliziert. Dann kann die Gleichung wie gewohnt gelöst werden.

Quadratische Gleichungen löst Du indem Du die Wurzel ziehst, falls es nur eine Variable mit der Potenz zwei gibt. Falls es noch zusätzlich eine Variable im Grad eins gibt, so verwendest Du die Mitternachtsformel bzw. Lösungsformel um auf x aufzulösen.

Kubische Gleichungen kannst Du lösen indem Du durch systematisches Probieren eine Nullstelle des Terms ermittelst, den Du Null gesetzt hast. Durch diese Nullstelle teilst Du dann in einer sogenannten Polynomdivision, um eine quadratische Gleichung zu erhalten. Danach benötigst Du die Mitternachts- bzw. Lösungsformel, um die x-Werte zu ermitteln.

Finales Gleichungen lösen Quiz

Frage

Zwei Grafen schneiden sich in einem Punkt. Wie viele Lösungen hat die zugehörige Gleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt eine Lösung der Gleichung.

Frage anzeigen

Frage

Was versteht man unter einem Gleichungssystem?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Wert der Variablen muss für alle Gleichungen des Systems gelten.

Frage anzeigen

Frage

Kann man quadratische Funktionen grafisch lösen? Falls ja, welche Lösung erhält man?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, man erhält dabei die Nullstellen der Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Können die Grafen zweier linearer Funktionen keinen Schnittpunkt haben? Warum?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, zwei lineare Funktionen können keine gemeinsame Lösung haben. In diesem Fall verlaufen die Grafen parallel zueinander.

Frage anzeigen

Frage

Was ist das Problem bei grafisch ermittelten Lösungen?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie sind nur Näherungen und nicht exakt.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele gemeinsame Lösungen können zwei lineare Funktionen haben?

Antwort anzeigen

Antwort

keine

Frage anzeigen

Frage

Wie kann es sein, dass zwei lineare Funktionen unendlich viele Schnittpunkte haben?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie haben den exakt selben Verlauf.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst du kontrollieren, ob die grafisch ermittelten Nullstellen einer quadratischen Funktion richtig sind?

Antwort anzeigen

Antwort

Du kannst den Graf der ursprünglichen quadratischen Funktion zeichnen.

Frage anzeigen

Frage

Wie kann man quadratische Funktionen rechnerisch lösen?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit der Mitternachts- oder abc-Formel.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der 1. Schritt, um Gleichungen grafisch zu lösen?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Funktionsgleichungen notieren.

Frage anzeigen

Frage

Was heißt log4(64)=3 ?

Antwort anzeigen

Antwort

Dass man die 4 drei mal mit sich selbst multiplizieren muss um auf 64 zu kommen. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne die zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Nullstellen einer biquadratischen Gleichung.

Antwort anzeigen

Antwort

Die 1. Möglichkeit die Nullstellen einer biquadratischen Formel zu berechnen, ist die pq-Formel anzuwenden. Die zweite Möglichkeit ist die Mitternachtsformel.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Schritte, die bei der Berechnung der Nullstellen einer biquadratischen Gleichung mit der pq-Formel zu beachten sind.

Antwort anzeigen

Antwort

1. Schritt (falls nötig): Gleichung in die Normalform bringen

2. Schritt: Substituieren

3. Schritt: p und q herausfinden

4. Schritt: pq-Formel anwenden

5. Schritt: Resubstituieren

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Schritte, die bei der Berechnung der Nullstellen einer biquadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel zu beachten sind.

Antwort anzeigen

Antwort

1. Schritt: Substituieren

2. Schritt: Mitternachtsformel anwenden

3. Schritt: Resubstituieren

Frage anzeigen

Frage

Was zeichnet eine gemischtquadratische Gleichung aus?


Es handelt sich dabei um eine quadratische Gleichung

Antwort anzeigen

Antwort

ohne lineares Glied

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine reinquadratische Gleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Reinquadratische Gleichungen beinhalten kein lineares Glied .

Frage anzeigen

Frage

Was sind die Schritte zur Lösung gemischtquadratischer Gleichungen ohne absolutem Glied?


Antwort anzeigen

Antwort

Die Schritte lauten:


  1. x Ausklammern
  2. Faktoren gleich 0 setzen
  3. nach x auflösen

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Lösungsverfahren für gemischtquadratische Gleichungen mit absolutem Glied in der allgemeinen Form.

Antwort anzeigen

Antwort

Gemischtquadratische Gleichungen mit absolutem Glied können in der allgemeinen Form durch die Mitternachtsformel gelöst werden. Alternativ kannst Du auch die pq-Formel anwenden, wenn Du die Gleichung vorher in die Normalform bringst.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Lösungsverfahren für gemischtquadratische Gleichungen mit absolutem Glied in der Normalform.

Antwort anzeigen

Antwort

p-q-Formel

Frage anzeigen

Frage

Definiere den Begriff der Wurzelgleichung.

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Antwort

Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der mindestens eine Variable sich in einer Wurzel als Radikand befindet.

Frage anzeigen

Frage

Was solltest Du tun, damit Du für eine Wurzelgleichung die Definitionsmenge bestimmen kannst?

Antwort anzeigen

Antwort

Den Radikand größer gleich 0 setzen.

Frage anzeigen

Frage

Was benötigst Du häufig für Gleichungen mit zwei Wurzeln?

Antwort anzeigen

Antwort

Mitternachtsformel

Frage anzeigen

Frage

Was ermittelst Du, wenn Du grafisch eine Wurzelgleichung lösen möchtest?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Schnittpunkte der Graphen

Frage anzeigen

Frage

Was ist ein Bruchterm?

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Antwort

Ein Bruchterm ist ein Bruch, bei dem sowohl im Zähler als auch im Nenner neben konkreten Zahlen ebenfalls Variablen stehen dürfen.

Frage anzeigen

Frage

Worauf musst Du bei Bruchterme besonders achten?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Variablen dürfen nur Zahlen eingesetzt werden, die den Nenner nicht zu Null werden lassen. Das stellst Du sicher, indem Du die Definitionsmenge angibst.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Bruchgleichung?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Gleichung mit Bruchtermen heißt Bruchgleichung, wenn sich die Variable in mindestens einem der Nenner befindet.

Frage anzeigen

Frage

Worauf musst Du bei Bruchgleichungen besonders achten?

Antwort anzeigen

Antwort

Da Bruchgleichungen per Definition Bruchterme enthalten, erben sie dasselbe Problem: Du musst eine Definitionsmenge angeben, damit kein Nenner Null wird.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe in eigenen Worten, was Du beim Lösen einer Bruchgleichung im Allgemeinen versuchst.

Antwort anzeigen

Antwort

Im ersten Schritt wird die Definitionsmenge bestimmt. Anschließend versuchst Du die Bruchgleichung so umzuformen, dass die unbekannte Variable nicht im Nenner, sondern im Zähler steht.

Frage anzeigen

Frage

Welche wichtigen Tricks gibt es beim Lösen von Bruchgleichungen?

Antwort anzeigen

Antwort

Zu den wichtigsten Hilfsmitteln gehören die binomischen Formeln und das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren.

Frage anzeigen

Frage

Wie kannst Du Bruchgleichungen graphisch lösen?

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Antwort

Du kannst die linke und rechte Seite einer Bruchgleichung als Funktionen auffassen. Die Graphen der Funktionen können eingezeichnet werden: Haben sie mindestens einen Schnittpunkt, so besitzt die Bruchgleichung eine Lösung. Die x-Koordinate des Schnittpunkts ist dabei eine Lösung der Bruchgleichung.

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Nenne die Schritte des Ausklammerns zur Lösung von Gleichungen höheren Grades.

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Das Ausklammern besteht aus den folgenden Schritten:


  • Schritt 1: Variable x mit dem kleinsten Exponenten ausklammern
  • Schritt 2: Beide Faktoren gleich null setzen
  • Schritt 3: Gleichungen nach der Variable x auflösen

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Welche Verfahren kennst Du, um Gleichungen höheren Grades zu lösen?

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Zur Lösung von Gleichungen höheren Grades gibt es folgende Verfahren:


  • Ausklammern
  • Substitution
  • Polynomdivision

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Nenne die Schritte der Polynomdivision zur Lösung von Gleichungen höheren Grades.

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Die Polynomdivision besteht aus den folgenden Schritten:


  • Schritt 1: Finde eine Nullstelle als Divisor durch Ausprobieren
  • Schritt 2: Führe die Polynomfunktion durch, indem Du die Gleichung durch die Nullstelle teilst
  • Schritt 3: Berechne die Lösungen für x aus den Faktoren

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Erkläre, wozu Umkehraufgaben nützlich sind.

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Umkehraufgaben sind nützlich zum Lösen einfacher Gleichungen.

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Entscheide, welche der Rechenarten gegenteilig zur Addition ist.

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Multiplikation

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Entscheide, welche der Rechenarten gegenteilig zur Division ist.

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Multiplikation

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Erkläre, was eine Tauschaufgabe ist.

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Tauschaufgaben sind Aufgaben, bei denen die Summanden oder Faktoren getauscht sind. Diese gibt es also nur für die Addition und Multiplikation. 


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Entscheide, bei welchen der folgenden Rechenarten die Reihenfolge eine Rolle beim Bilden von Umkehraufgaben spielt.

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Addition

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Erkläre, was es bedeutet, dass die Reihenfolge der Zeichen keine Rolle bei der Addition oder Multiplikation spielen.

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Bei der Addition bzw. Multiplikation können die Summanden bzw. Faktoren vertauscht werden, ohne dass sich die Summe bzw. das Produkt ändert.

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Bewerte folgende Aussage:


Umkehraufgaben müssen Variablen enthalten.

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Falsch, Umkehraufgaben helfen lediglich dabei, Gleichungen mit einer Variablen zu lösen. Sie können an sich auch nur Zahlen enthalten.

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Handelt es sich hierbei um einen Term?


\[5x + 3y - 4x + z\]

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Ja, da alle Rechenzeichen und Variablen ordnungsgemäß verwendet wurden.

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Handelt es sich hierbei um einen Term?


\[4x :) 2x + 17ab\]

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Nein, da :) kein Rechenzeichen ist (sondern ein netter Smiley).

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Was zeichnet eine Äquivalenzumformung aus?

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Eine Äquivalenzumformung ist eine Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division einer Zahl oder einer Variablen auf beiden Seiten der Gleichung, damit die Aussage weiterhin wahr bleibt.

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Nutze Äquivalenzumformungen für diese Gleichung:


\[4x - 2 = 2\]

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\begin{align} 4x - 2 & = 2 &&| + 2 \\ 4x &= 0 &&| : 4 \\ x &= 0 \end{align}

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Was ist die Umkehrung der Subtraktion?

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Addition

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Multipliziere folgenden Term aus:


\begin{align} 12 \cdot (3 - 2x - 5) \end{align}

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\begin{align} 12 \cdot (3 - 2x - 5) &= 12 \cdot 3 + 12 \cdot (-2x) + 12 \cdot (-5) \\ &= 36 - 24x - 60 \\ &= -24x - 24 \end{align}

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Multipliziere diesen Term aus:


\begin{align} (2x + 4) \cdot (-3 + x) \end{align}

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\begin{align} (2x + 4) \cdot (-3 + x) &= 2x \cdot (-3) + 2x \cdot x + 4 \cdot (-3) + 4 \cdot x \\ &= -6x + 2x^2 - 12 + 4x \\ &= 2x^2 - 2x - 12 \end{align}

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Was ist die zweite Binomische Formel?


\[(a - b)^2\]

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\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\]

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Löse folgende quadratische Gleichung:


\begin{align} x^2 + 4 = 40 \end{align}

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\begin{align} x^2 + 4 &= 40 &&| - 4 \\ x^2 &= 36 &&| \sqrt{} \\ x_1 &= -6 \\ x_2 &= 6 \end{align}

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Stelle das Wurzelziehen mathematisch auf, ausgehend von folgender Gleichung:


\[c^n = d\]

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\begin{align} c^n &= d &&| \sqrt{} \\ c &= \sqrt[n] {d} \end{align}

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