Terme multiplizieren und dividieren

Q: Wie kann ich Terme multiplizieren?

Du kannst zwei Terme miteinander multiplizieren, indem du die Koeffizienten der Terme miteinander multiplizierst und anschließend die Variablen alphabetisch sortierst. Die sortierten Variablen schreibst du hinter das Ergebnis der multiplizierten Terme.

Q: Wie kann ich Terme dividieren?

Terme werden dividiert, indem die Elemente des Terms durch einen Bruchstrich geteilt (anstelle des Divisionszeichen) und so weit wie möglich gekürzt werden.

Q: Wie wird mit Variablen dividiert?

Gleiche Variablen ergeben bei einer Division gleich 1. Ungleiche Variablen können nicht durcheinander dividiert werden.

Q: Wie werden Terme mit geteilt vereinfacht?

Terme, in denen ein Divisionszeichen vorliegt, können auch als Bruchterm geschrieben werden. In Bruchtermen kann gekürzt werden. Das Kürzen entspricht dem Vereinfachen des Terms.

Algebra

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Du hast bestimmt schon die vier Grundrechenarten kennengelernt. Diese bestehen aus Addition ( $+$ ), Subtraktion ( $-$ ), Multiplikation ( $\cdot$ ) und Division ( $:$ ). Die Grundrechenarten tauchen in fast allen mathematischen Vorgängen auf. Auch in Termen finden diese Grundrechenarten ihren Platz. In dieser Erklärung erfährst Du, wie die Multiplikation und Division in Termen aussieht.

Terme – Wiederholung

Um die Multiplikation und Division in Termen zu verstehen, ist es sinnvoll, sich eine Wiederholung zu Termen allgemein anzuschauen!

Terme sind eine sinnvolle Verknüpfung von Rechenoperationen ( $+, -, \cdot, \div$ ), Zahlen und Variablen. Auch einzelne Zahlen oder Variablen können Terme darstellen.

Eine sinnvolle Verknüpfung bedeutet, dass Terme keine Gleichheitszeichen ( $=$ ), Ungleichheitszeichen ( $< o d e r >$ ) oder mathematisch sinnlose Verknüpfungen enthalten dürfen. Was als Term gilt und was nicht, kannst Du Dir in dem folgenden Beispiel anschauen.

Term	kein Term
$3 x + 4$	$2 x :$
$8 a - 2$	$5 < 9 x$

Und warum ist das so?

Auf der linken Seite der Tabelle findest Du Beispiele für Terme. Die beiden Terme enthalten sinnvolle Verknüpfungen von Rechenoperationen, Variablen und Zahlen.

Die rechte Seite der Tabelle enthält keine Terme. In der ersten Zeile steht eine unvollständige Rechnung, da nach dem Divisionszeichen kein Element folgt. Damit ist diese Verknüpfung sinnlos. In der zweiten Zeile steht eine Ungleichung. Diese enthält ein Ungleichheitszeichen und ist somit kein Term.

Wichtige Elemente in Termen, die auch bei der Multiplikation und Division eine große Rolle spielt, sind der sogenannte Koeffizient und der Exponent.

Terme – Wiederholung: Koeffizient und Exponent

Der Koeffizient wird auch Vorzahl genannt. Er ist ein Faktor vor einem unbestimmten beziehungsweise unbekannten Element. Dieses unbekannte Element wird auch Variable genannt. Der Exponent wird auch Hochzahl genannt. Er wird der Variable oder der Basis angefügt und potenziert diese.

Terme multiplizieren und dividieren Koeffizient Variable StudySmarter Abbildung 1: Koeffizient und Exponent

In Termen kannst Du multiplizieren. Wie das aussieht, findest Du im nächsten Abschnitt.

Terme multiplizieren – Erklärung und Beispiele

Die Multiplikation gehört zu den Grundrechenarten und wird meist durch das Rechenzeichen " $\cdot$ " (Malzeichen) dargestellt. Bei der Multiplikation werden zwei oder mehrere Elemente durch das Rechenzeichen miteinander verknüpft.

In Termen, in denen das Malzeichen auftaucht, kann durch Multiplikation vereinfacht werden.

Zwischen Variablen wird das Malzeichen oft weggelassen. Aus $12 \cdot a \cdot b$ wird dann $12 a b$ . Beide Schreibweisen sind richtig! Genaueres zum Thema Multiplikation kannst Du Dir in der Erklärung "Multiplizieren" anschauen.

Terme vereinfachen – Multiplikation

Bei der Multiplikation in Termen werden Variablen und Zahlen miteinander verrechnet. Dabei gelten die Rechengesetze für die Multiplikation auch bei der Anwendung auf Terme.

Die drei wichtigsten Rechengesetze sind das Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz.

Sollten Dir diese Begriffe nichts sagen oder entfallen sein, dann schau gerne in der Erklärung "Rechengesetze" vorbei!

Durch die Multiplikation können Terme vereinfacht werden. Besonders das Kommutativgesetz findet bei der Multiplikation in Termen oft seine Anwendung.

Bei der Multiplikation von Termen werden die Koeffizienten miteinander multipliziert und die Variablen alphabetisch geordnet.

Schau Dir dazu gerne das folgende Beispiel an:

Aufgabe 1

Vereinfache den Term $12 c \cdot 7 a \cdot 5 b$ .

Lösung

Wie Du siehst, besteht der Term aus drei verschiedenen Variablen mit jeweils drei verschiedenen Koeffizienten.

Weil die Koeffizienten einen Faktor vor den Variablen darstellen, kannst Du den Term umschreiben. Zwischen dem Faktor und der Variable ist nämlich ebenfalls ein Malzeichen zu finden:

$^{} 12 c \cdot 7 a \cdot 5 b = 12 \cdot c \cdot 7 \cdot a \cdot 5 \cdot b$

Und hier kommt jetzt das Kommutativgesetz ins Spiel. Weil alle Elemente des Terms miteinander multipliziert werden, kannst Du sie nach Belieben umsortieren. Um diesen Term zu vereinfachen, stellst Du ihn so um, dass alle Zahlen und alle Variablen (in alphabetischer Reihenfolge) nebeneinander stehen:

$12 \cdot 7 \cdot 5 \cdot a \cdot b \cdot c$

Die Zahlen kannst Du jetzt miteinander multiplizieren:

$420 \cdot a \cdot b \cdot c$

Die Variablen kannst Du nicht direkt miteinander verrechnen, da es unterschiedliche Variablen sind. Sie schreibst Du dann folgendermaßen:

$420 a b c$

Du verrechnest also die Koeffizienten miteinander und sortierst die Variablen nach dem Alphabet, um den Term zu vereinfachen.

In Termen können ebenfalls andere Elemente auftauchen, wie unter anderem die Klammern.

Terme multiplizieren – Klammern

Sind in einem Term, in dem multipliziert wird, Klammern enthalten, so kann der Term nicht direkt sortiert werden. Es werden also Zwischenschritte benötigt, um die Klammer aufzulösen. Wichtig dabei ist das Distributivgesetz.

Das Distributivgesetz besagt, dass

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ oder $a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Auch bei zwei Klammern lassen sich die Werte ausmultiplizieren und zusammenfassen.

$^{} (a + b) \cdot (c - d) = a \cdot c + a \cdot (- d) + b \cdot c + b \cdot (- d) = a c - a d + b c - b d$

Sind in der Klammer keine Summen oder Differenzen enthalten, greift das Assoziativgesetz. Klammern kannst Du dann nämlich umstellen, weglassen oder einfügen, ohne das Ergebnis zu verändern.

Schau Dir dazu gerne ein Beispiel an.

Aufgabe 2

Vereinfache den Term $5 x \cdot (3 - y)$ .

Lösung

Weil in diesem Term eine Klammer vorliegt, kannst Du hier nicht sofort nach Koeffizienten und Variablen ordnen und da ein Faktor vor der Klammer steht, kann die Klammer hier aufgelöst werden. Dabei kannst Du das Distributivgesetz anwenden.

$^{} 5 x \cdot (3 - y) = 5 x \cdot 3 - 5 x \cdot y$

Nachdem Du die Klammern aufgelöst hast, kannst Du jetzt die Elemente miteinander verrechnen:

$^{} 5 \cdot x \cdot 3 - 5 \cdot x \cdot y = 5 \cdot 3 \cdot x - 5 \cdot x \cdot y = 15 x - 5 x y$

So weit kannst Du den Term vereinfachen.

Eine weitere Besonderheit tritt ein, wenn in einem Term Exponenten auftauchen.

Terme mit Hochzahlen multiplizieren

Wie Du oben in der Vertiefung vielleicht schon gesehen hast, können Zahlen und Variablen Exponenten besitzen. Durch den Exponenten wird die Zahl oder Variable potenziert.

Wenn eine Zahl oder Variable potenziert wird, wird sie so oft mit sich selbst multipliziert, wie es der Exponent angibt:

$5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 x^{5} = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$

Wird eine Zahl potenziert, dann kannst Du vereinfachen, indem Du das Ergebnis ausrechnest. Bei Variablen ist die Vereinfachung der Potenzterm (bspw. x⁵).

Um Terme mit Hochzahlen zu multiplizieren, gibt es bestimmte Regeln.

1. Gleiche Basis: Die Basis bleibt gleich und die Exponenten werden miteinander addiert:

$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$

2. Gleicher Exponent: Der Exponent wird beibehalten und die Basis wird miteinander multipliziert:

$a^{x} \cdot b^{x} = {(a \cdot b)}^{x}$

3. Gleiche Basis und Exponent: Der Exponent bleibt gleich und die Basis wird miteinander multipliziert.

$a^{x} \cdot a^{x} = {(a \cdot a)}^{x}$

Wie das aussieht, kannst Du Dir in einem Beispiel anschauen.

Aufgabe 3

Vereinfache den Term $x^{9} \cdot x^{3} \cdot 2 y^{2}$ .

Lösung

Wie Du siehst, enthält dieser Term zwei gleiche Variablen mit unterschiedlichen Exponenten. Weil die Basis gleich ist, können die beiden gleichen Variablen miteinander verrechnet werden, indem Du die Exponenten miteinander addierst.

$^{} x^{9} \cdot x^{3} \cdot 2 y^{2} = x^{9 + 3} \cdot 2 y^{2} = x^{12} \cdot 2 y^{2}$

Weiterhin kannst Du den Term mithilfe des Kommutativgesetz vereinfachen:

$^{} x^{12} \cdot 2 \cdot y^{2} = 2 \cdot x^{12} \cdot y^{2} = 2 x^{12} y^{2}$

So gehst Du vor, wenn Exponenten in einem Term vorliegen.

Wie Du Terme multiplizierst, hast Du jetzt gesehen! Und wie sieht die Division in Termen aus?

Terme dividieren – Erklärung und Beispiele

So wie die Multiplikation gehört auch die Division zu den Grundrechenarten. Beim Dividieren wird das Divisionszeichen " $:$ " verwendet. Durch die Division werden Terme miteinander verknüpft.

Um Dein Wissen über die Division aufzufrischen, kannst Du gerne in die Erklärung "Dividieren" reinschauen!

Wenn Terme Divisionszeichen enthalten, kann durch Division vereinfacht werden.

Terme vereinfachen – Division

Beim Dividieren in Termen kannst Du ähnlich wie beim Kürzen von Brüchen vorgehen. Das geht deshalb, weil das Divisionszeichen auch durch einen Bruchstrich dargestellt werden kann.

Das Kürzen von Brüchen kannst Du Dir in der Erklärung "Brüche kürzen" anschauen!

Bei der Division ist zu beachten, dass das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz nicht gilt.

$(a : b) : c \neq a : (b : c)$
$a : b \neq b : a$

Ist in einem Term also ein Divisionszeichen enthalten, können die zu dividierenden Elemente auch untereinander – getrennt durch einen Bruchstrich – geschrieben werden.

$a : b = \frac{a}{b}$

Wichtig ist dabei, dass der Dividend immer den Zähler bildet und der Divisor den Nenner.

Dann kannst Du die Zahlen und Variablen miteinander verrechnen.

Aufgabe 4

Vereinfache den Term $9 x y : 3 x y z$ .

Lösung

Der Term enthält ein Divisionszeichen. Das bedeutet, Du kannst den Term in einen Bruchterm umwandeln:

$15 x y : 3 x y z = \frac{15 x y}{3 x y z}$

Danach kannst Du kürzen, um die Zahlen und Variablen miteinander zu verrechnen:

$\frac{15 \cdot x \cdot y}{3 \cdot x \cdot y \cdot z} = \frac{3 \cdot 5 \cdot x \cdot y}{3 \cdot 1 \cdot x \cdot y \cdot z} = \frac{5}{1 \cdot z} = \frac{5}{z}$

Vereinfacht ist der Term also $\frac{5}{z}$ .

Wie bei der Multiplikation in Termen, können Klammern auch bei der Division in Termen auftauchen.

Dividieren von Termen – Klammern

Auch beim Dividieren von Termen greift das Distributivgesetz. Dabei ist eine Ausnahme zu beachten.

Das Distributivgesetz gilt nur, wenn der Divisor rechts von der Klammer steht:

$(a - b) : c = a : c - b : c$

Es gilt nicht, wenn der Divisor vor Klammer steht:

$a : (b + c) \neq a : b + a : c$

Wie das Dividieren in Termen mit Klammern aussieht, kannst Du Dir in dem folgenden Beispiel anschauen!

Aufgabe 5

Vereinfache den Term $(18 x - y) : 6$ .

Lösung

Weil der Divisor hier hinter der Klammer steht, kannst Du das Distributivgesetz anwenden, um den Term zu vereinfachen.

$_{} (18 x - 12) : 6 = 18 x : 6 - 12 : 6 = \frac{18^{3} \cdot x}{6_{1}} - \frac{12^{2}}{6_{1}} = 3 x - 2$

Der vereinfachte Term lautet $3 x - 2$ .

Und wie sieht das aus, wenn Potenzen in Divisionstermen stehen?

Division von Termen mit Potenzen

Liegen in Divisionstermen Potenzen vor, so können die Terme nach bestimmten Regeln vereinfacht werden.

1. Gleiche Basis: Die Basis wird beibehalten und die Exponenten werden miteinander subtrahiert:

$a^{x} : a^{y} = a^{x - y}$

2. Gleicher Exponent: Der Exponent wird beibehalten und die Basen werden dividiert:

$a^{x} : b^{x} = {(a : b)}^{x}$

3. Gleiche Basis und Exponent: Werden zwei Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponenten dividiert, ist das Ergebnis immer 1:

$a^{x} : a^{x} = 1^{x} = 1$

Die Anwendung dieser Regeln kannst Du Dir in dem folgenden Beispiel anschauen.

Aufgabe 6

Vereinfache den Term $21 x^{11} : (- 3 x^{2})$ .

Lösung

Wie Du siehst, sind in dem Term Potenzen enthalten und es wird dividiert. Um Terme mit Potenzen zu dividieren, muss entweder eine gleiche Basis, ein gleicher Exponent oder eine gleiche Basis und ein gleicher Exponent vorhanden sein. Hier ist die Basis gleich. Das bedeutet, die Basis wird beibehalten und die Exponenten werden subtrahiert:

$_{} 21 x^{11} : (- 3 x^{2}) = 21 : (- 3) \cdot x^{11 - 2} = - 7 \cdot x^{9} = - 7 x^{9}$

Der vereinfachte Term ist also $- 7 x^{9}$ .

Wichtig ist, zu beachten, ob und welche Regeln für die Division auf den Term zutreffen, um ihn richtig zu vereinfachen!

Terme multiplizieren und dividieren - Übungen

Hier kannst Du Dein Können in dem Thema überprüfen. Solltest Du irgendwo nicht mehr weiterkommen, ist das kein Problem, scroll dann gerne hoch und lies Dir die Abschnitte noch mal durch!

Aufgabe 7

Vereinfache den folgenden Term:

$(5 x \cdot 2 y) : (5 y \cdot 2 x)$

Lösung

In dem Term sind sowohl Multiplikation und Division enthalten. Weil die Produktterme jeweils in Klammern stehen, rechnest Du die Klammern zuerst aus:

$^{} (5 x \cdot 2 y) : (5 y \cdot 2 x) = (10 \cdot x \cdot y) : (10 \cdot x \cdot y)$

Jetzt kannst Du den Divisionsterm als Bruch ausdrücken und in dem Bruch kürzen.

$^{} (10 \cdot x \cdot y) : (10 \cdot y \cdot x) = \frac{10 \cdot x \cdot y}{10 \cdot y \cdot x} = \frac{1}{1} = 1$

Vereinfacht beträgt der Term also 1.

Aufgabe 8

Vereinfache den Term $8 x \cdot (9 y - 2 x^{2}) + 16 x^{3}$ .

Lösung

Hier steht ein Faktor vor der Klammer, und zwar 8x. In der Klammer selbst kannst Du nicht weiter vereinfachen, da die Variablen unterschiedlich sind. Das bedeutet, Du löst die Klammer nach dem Distributivgesetz auf:

$^{} 8 x \cdot (9 y - 2 x^{2}) + 16 x^{3} = 8 x \cdot 9 y + 8 x \cdot (- 2 x^{2}) + 16 x^{3}$

Dieses Ergebnis vereinfachst Du dann soweit es geht:

$^{} 8 x \cdot 9 y + 8 x \cdot (- 2 x^{2}) + 16 x^{3} = 72 x y - 16 x^{3} + 16 x^{3} = 72 x y$

Der vereinfachte Term lautet $72 x y$ .

Terme multiplizieren und dividieren - Das Wichtigste

Ein Term ist eine sinnvolle Verknüpfung von Zahlen, Variablen und Rechenoperationen
Auch einzelne Zahlen oder Variablen können Terme sein
Durch Multiplikation und Division können Terme vereinfacht werden
Die drei Rechengesetze (Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz) gelten bei der Multiplikation in Termen
Terme werden multipliziert, indem die Koeffizienten miteinander multipliziert und die Variablen alphabetisch sortiert werden
Bei der Division in Termen gilt das Assoziativ - und Kommutativgesetz nicht
Zu dividierende Terme können auch als Bruch dargestellt werden
In Bruchtermen kann gekürzt werden

Nachweise

Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.
Dorn et al. (2009). Gymnasium – Tafelwerk. Ernst Klett Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Terme multiplizieren und dividieren

Du kannst zwei Terme miteinander multiplizieren, indem du die Koeffizienten der Terme miteinander multiplizierst und anschließend die Variablen alphabetisch sortierst. Die sortierten Variablen schreibst du hinter das Ergebnis der multiplizierten Terme.

Terme werden dividiert, indem die Elemente des Terms durch einen Bruchstrich geteilt (anstelle des Divisionszeichen) und so weit wie möglich gekürzt werden.

Gleiche Variablen ergeben bei einer Division gleich 1. Ungleiche Variablen können nicht durcheinander dividiert werden.

Terme, in denen ein Divisionszeichen vorliegt, können auch als Bruchterm geschrieben werden. In Bruchtermen kann gekürzt werden. Das Kürzen entspricht dem Vereinfachen des Terms.

Karteikarten in Terme multiplizieren und dividieren4 Lerne jetzt

Gilt das Assoziativgesetz auch für die Division?

Nein.

Gilt das Kommutativgesetz für die Division?

Nein.

Wie werden Potenzen mit gleicher Basis dividiert?

Indem die Basis gleich bleibt und die Exponenten subtrahiert werden.

Wie werden Potenzen mit gleichen Exponenten multipliziert?

Indem der Exponent beibehalten wird und die Basen miteinander multipliziert werden.

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