Terme vereinfachen

Terme sind in der Realität häufig zu finden. Du fragst Dich zum Beispiel, wie lang der Pfahl einer Fahnenstange ist. Vielleicht hat dieses Objekt oberhalb der Erde eine Höhe von 4 Metern und unterhalb eine zusätzliche, noch nicht bekannte Länge x. So ist die Gesamtlänge insgesamt 4 + x.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Terme vereinfachen Fahnenmast StudySmarter

    Dies ist ein möglicher Term, eine Umformung ist dabei kaum möglich. Für komplexere Terme ist dies allerdings schon zu erledigen und auch wichtig. Deshalb soll es in dieser Erklärung um Termumformungen und Terme vereinfachen gehen.

    Terme vereinfachen Grundlagenwissen

    Terme in der Mathematik sind Rechenausdrücke, die allerdings nicht mit einem Relationszeichen, wie =, <, , verbunden sind. Dabei werden oftmals viele Grundrechenarten miteinander verknüpft.

    Terme - Definition

    Ein Term ist ein mathematischer Rechenausdruck, der aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen bestehen kann. Ein Term kann ausschließlich aus Zahlen bestehen oder auch Variablen beinhalten.

    Ein Term ist eine sinnvolle Verknüpfung von Rechenzeichen, Variablen und Zahlen.

    Er enthält keine Relationszeichen (=,>,<).

    Zusätzlich ist oftmals für ein Beispiel das Wissen um Klammern und die Vorschriften, welche Operation als Erstes ausgeführt wird, wichtig. Im kommenden Beispiel kannst Du schriftlich einen Term berechnen und zusammenfassen.

    Aufgabe 1

    Berechne für dieses Beispiel den Term schriftlich ohne Taschenrechner.

    9 · (14 - 7)+ 15:5 - 19

    Lösung

    Dafür nutzt Du Dein Wissen über Terme, als auch über die Operationen und das Auflösen von Termen. Die Tabelle gibt Dir eine Übersicht über die geltenden Rechenregeln:

    RechenregelAnwendungBeispiel
    Punkt-vor-StrichPunkrechnung (· und :) vor Strichrechnung (+ und -)5 · 2 + 3 =10 + 3 =13
    KlammerregelKlammern werden zuerst berechnet[(5+3) ·3] =[8 · 3] =24
    AssoziativgesetzKlammern können für Multiplikationen und Additionen einfach versetzt werden(a + b) + c =a + (b + c)
    KommutativgesetzFür Addition und Multiplikation: Zahlen dürfen vertauscht werdena + b =b + a
    DistributivgesetzAusmultiplizieren(a + b) · c = a · c + b · c

    Möchtest Du noch Näheres zu den Rechengesetzen erfahren, dann wird Dir dafür die Erklärung Rechengesetze empfohlen.

    Zuerst kümmerst Du Dich um den Ausdruck in der Klammer, da die Klammer immer zuerst kommt. Außerdem kannst Du die Division durchführen.

    9 · (14 - 7)+ 15:5 - 19=9 · 7+ 3 - 19

    Nun nutzt Du die Multiplikation und Du kannst dazu auch die Subtraktion gleich ausprobieren.

    9 · 7+ (3 - 19)=63 - 16=47

    Dieser Term besitzt also den Wert 47.

    Das bedeutet also für Terme sind insbesondere diese zwei Regeln von Bedeutung.

    Für Terme mit Klammern werden in Aufgaben zuerst die Klammern ausgerechnet.

    Außerdem gilt: Punktrechnung kommt vor Strichrechnung.

    Termarten

    Es gibt übrigens auch Terme mit Variablen. Dabei können Terme nun in gleichartige, ungleichartige oder auch gleichwertige Terme aufgeteilt werden.

    Gleichartige Terme

    Während gleichartige Terme dieselben Variablen besitzen, ist das bei ungleichartigen nicht der Fall. Beispiele für gleichartige Terme sind Dir hier gegeben. Dabei sind dieselben Variablen x und b in diesen Termen enthalten.

    Gleichartige Terme: 5xb und 5+x-b und 7-x+b

    Ist dies nicht der Fall, handelt es sich um ungleichartige Terme.

    Gleichwertige Terme

    Sind Terme jedoch gleichwertig, so können damit auch exakt dieselben Werte ermittelt werden. Dabei ist es irrelevant, ob Variablen in diesem Beispiel vorkommen oder nicht. Gleichwertig sind folgende Beispiele

    a - 5b und a - 5b

    4 · 5 + 10 und 3 · 10

    Terme und Gleichungen - Unterschied

    Du solltest dabei nicht den Begriff der Gleichung mit einem Term verwechseln. Zwei Terme, verbunden mit einem Gleichheitszeichen, beschreibt eine Gleichung. Der Unterschied ist also wie folgt:

    TermGleichung
    ax + bax + b = c

    Terme vereinfachen – Regeln

    Möchtest Du Terme vereinfachen, so solltest Du diese kleinen Regeln beachten, die Du eventuell bereits intuitiv verwenden würdest:

    Die Regeln zum Umformen von Termen sehen wie folgt aus:

    1. Klammern auflösen/Ausmultiplizieren → von der innersten Klammer zur äußersten
    2. So weit wie möglich zusammenfassen
      1. Erst Punktrechnung
      2. Danach Strichrechnung
    3. Zahlen und Variablen nach Größe der Potenz ordnen
    4. Überprüfen
      1. Sind alle Multiplikationszeichen entfernt?
      2. Sind alle Klammern aufgelöst?
      3. Sind alle gleichartigen Terme zusammengefasst?
      4. Sind alle Variablen alphabetisch sortiert?

    Terme vereinfachen – Zusammenfassen & Berechnen

    Um Rechnungen übersichtlicher zu gestalten, werden Terme (Rechenausdrücke) auf unterschiedliche Art und Weise vereinfacht.

    Terme vereinfachen bedeutet, die Terme durch die Dir bekannten Methoden wie Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Ausmultiplizieren und Ausklammern zu verkürzen oder übersichtlicher darzustellen.

    Terme addieren und subtrahieren

    Bei Additionen und Subtraktionen können gleichartige Variablen bzw. Zahlen zusammengefasst werden.

    Aufgabe 2

    Vereinfache den folgenden Term durch Addition und Subtraktion.

    2ab-b+4xy-5ab+3b+3xz

    Lösung

    Suche Dir zunächst gleichartige Ausdrücke heraus, die also die gleichen Variablen besitzen. Diese kannst Du miteinander addieren und subtrahieren.

    2ab-b+4xy-5ab+3b+3xz=-3ab+2b+4xy+3xz

    Ungleichartige Ausdrücke mit unterschiedlichen Variablen können nicht miteinander addiert oder subtrahiert werden und bleiben deshalb stehen.

    -3ab+2b+4xy+3xz=-3ab+2b+4xy+3xz

    Der Term konnte also durch Subtraktion und Addition vereinfacht werden. Achte dabei genau darauf, welche Ausdrücke gleichartig sind und welche nicht!

    Sieh Dir dazu auch die zugehörige Erklärung Terme addieren und subtrahieren genauer an.

    Terme multiplizieren und dividieren

    Bei Multiplikationen werden oft Zahlen mit Variablen multipliziert, diese Zahlen nennt man dann Koeffizient (Vorzahl vor der Variable). Zum Beispiel 2·x=2x mit der Zahl 2 als Koeffizienten der Variable x.

    Bei Termen gibt es oft noch eine Besonderheit: Multiplikationen können auch als Summen geschrieben werden und anders herum.

    Wenn Du mehrere Variablen mit dem gleichen Namen addierst, kannst Du die Terme zusammenfassen und als eine Multiplikation schreiben:

    3x + 2x - x + 5x= 5x - x + 5x=4x + 5x=9x

    Bei Divisionen ist es möglich und auch sinnvoll am Bruchstrich zu kürzen.

    Aufgabe 3

    Kürze sinnvoll und gib die Lösung des Terms an.

    3+48-2+1:2

    LösungDivisionen können immer auch als Bruch geschrieben werden. Versuche dann, wenn möglich, diese Brüche zu kürzen. Der Bruch 48 ergibt gekürzt mit der Zahl 4 den Ausdruck 12.

    3+48-2+1:2=3+48-2+12=3+12-2+12=2

    Damit ist der Wert des Terms gefunden.

    Falls Du multiplizierst oder dividierst, rechnest Du die Zahlen und die Variablen getrennt voneinander.

    Beachte beim Vereinfachen die Punkt-vor-Strich-Regel und die Klammern-zuerst-Regel.

    Auch hierzu gibt es eine ausführliche Erklärung "Terme multiplizieren und dividieren".

    Terme vereinfachen – Binomische Formeln

    Auch bei Termen können die Binomischen Formeln für Dich zum Lösen von Aufgaben interessant sein. Dabei gibt es die folgenden drei Formeln:

    1. Binomische Formel: (a+b)2 =a2+2ab+b2
    2. Binomische Formel: (a-b)2 =a2-2ab+b2
    3. Binomische Formel: (a+b)(a-b) =a2-b2

    Diese werden vor allem für Dich interessant, wenn Ausdrücke höheren Grades auftauchen.

    Sieh Dir dazu die Erklärung Binomische Formeln noch einmal genauer an.

    Als Beispiel ist die folgende Umformung gegeben:

    (2x-4)2 = (2x)2 - 2· 2x · 4 + 42= 4x2 - 16x + 16

    Nach der zweiten binomischen Formel kann die Klammer aufgelöst und der Term vereinfacht werden.

    Pascalsches Dreieck

    Bei diesem Dreieck handelt es sich um ein Pascal'sches Dreieck. Besonders bei diesem Dreieck ist, dass die äußersten Zahlen jeweils die Zahl 1 darstellen. Danach werden pro Zeile Additionen durchgeführt. Es werden also zwei Zahlen in der Reihe darüber verwendet, um diese zu addieren und das Ergebnis in die Reihe darunter zu schreiben (und zwar versetzt in der Mitte beider Zahlen).

    Das genauere Vorgehen wird Dir in der vorgesehenen Erklärung Pascalsches Dreieck näher erläutert.

    Terme vereinfachen Pascal'sches Dreieck StudySmarterAbbildung 1: Pascalsches Dreieck

    Terme umformen

    Zum Umformen für Terme gibt es grundsätzlich diese wichtigen Positionen:

    • Terme ausklammern beziehungsweise Faktorisieren
    • Terme ausmultiplizieren

    Beide Umformungen ergeben sich aus dem Distributivgesetz.

    Ganz genau definiert, sind das Ausklammern und das Ausmultiplizieren zwei Anwendungen des Distributivgesetzes. Das Distributivgesetz ist wie folgt definiert:

    a · (b ± c)=a · b ± a · c

    Das Ausklammern ist eine Anwendung des Distributivgesetzes von rechts nach links (eine Klammer wird gesetzt). Das Gegenteil ist das Ausmultiplizieren, wobei das Distributivgesetz von links nach rechts angewandt wird (die Klammer wird aufgelöst).

    Terme ausklammern

    Zunächst soll es nun also um das Ausklammern gehen.

    Beim Ausklammern wird eine Klammer gesetzt, indem ein Faktor abgetrennt wird, der in mehreren Summanden vorkommt. Liest Du z. B. das Distributivgesetz von rechts nach links, wird dort ausgeklammert.

    Um Terme mit Klammern zu berechnen, solltest Du zumindest ein wenig Erfahrung im Umgang mit Klammern haben, wenn nicht, schau Dir doch die Erklärung Ausklammern/Faktorisieren und Ausmultiplizieren an.

    Mit Ausklammern oder Faktorisieren wird eine Äquivalenzumformung bezeichnet, bei der durch Anwendung des Distributivgesetzes eine Summe in ein Produkt umgewandelt wird.

    Beim Ausklammern gibt es auch mehrere Fälle:

    1. Du kannst eine Zahl oder Variable ausklammern, die in allen Summanden vorkommen (oft das x oder eine einfache Zahl).
    2. Du kannst mehrere Zahlen oder Variablen ausklammern (meist eine Variable zusammen mit einer Zahl).
    3. Du kannst eine ganze Klammer ausklammern.

    Im Folgenden sind Fälle für Dich zusammengefasst und mit einem Beispiel illustriert.

    Aufgabe 4

    Berechne diesen Terme:

    3x + 4x

    Lösung

    Du kannst die Variable x ausklammern, da diese Variable in beiden Summanden vorkommt.

    3x + 4x = x(3 + 4)= 7x

    Das Ausklammern kannst Du Dir praktisch an einem Einkaufskorb vorstellen. In Deinem Korb befinden sich 2 Äpfel und 3 Bananen. Du hast also aktuell 5 Gegenstände im Korb, die Du verdoppeln möchtest.

    Es macht dabei keinen Unterschied, wie Du vorgehst: Du kannst zunächst die Äpfel verdoppeln und dann die Bananen verdoppeln oder aber direkt noch mal 2 Äpfel und 3 Bananen in die Hand nehmen und sie dann dem Einkaufkorb hinzufügen.

    2 · 2 Äpfel + 2 · 3 Bananen 2 · (2 Äpfel + 3 Bananen)

    Es befinden sich immer 10 Lebensmittel im Korb.

    Terme ausmultiplizieren

    Das Ausmultiplizieren ist eine Umformung, durch die eine oder mehrere Klammern aufgelöst werden. Wenn Du etwa das Distributivgesetz von links nach rechts liest, wird dort ausmultipliziert.

    Mit Ausmultiplizieren wird eine Äquivalenzumformung bezeichnet, bei der durch Anwendung des Distributivgesetzes ein Produkt in eine Summe umgewandelt wird.

    Oft stehen ein oder mehrere Faktoren vor der Klammer. In diesem Fall kannst Du vorgehen, wie in der Tabelle beschrieben:

    Multiplikationsklammer:Der Wert vor der Klammer (a) wird mit jedem Wert in der Klammer (b und c) einzeln multipliziert.Divisionsklammer:Die Werte in der Klammer (a und b) werden einzeln nacheinander durch den Divisor außerhalb der Klammer (c) geteilt.
    a · (b + c) = ab + ac(a + b) : c = a : c + b : c
    a · (b - c) = ab - ac(a - b) : c = a : c - b : c

    Es kann aber auch sein, dass Du direkt zwei Klammern miteinander Ausmultiplizieren musst. Dann gelten die folgenden Regeln:

    Klammer · Klammer (Jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer multiplizieren)

    (a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

    (a + b) · (c - d) = ac - ad + bc - bd
    (a - b) · (c + d) = ac + ad - bc - bd
    (a - b) · (c - d) = ac - ad - bc + bd

    Terme vereinfachen Ausmultiplizieren mit Hilfsbögen StudySmarterAbbildung 1: Ausmultiplizieren mit Hilfsbögen

    Hier liegt ein ganz besonderer Fall vor: Es werden einzelne Summen (oder auch Differenzen) miteinander multipliziert.

    Dafür schaust Du dir jeden Summand der ersten Klammer einzeln an und multiplizierst ihn mit jedem Summanden der zweiten Klammer.

    Sieh Dir dazu auch noch einmal die Hilfsbögen in Abbildung 1 an.

    Möchtest Du mehr zum Thema Summen multiplizieren erfahren, dann lese Dich gerne mal in unseren Artikel dazu ein.


    Ein Beispiel zu den beiden Fällen soll Dir helfen, Terme ganz sicher ausmultiplizieren zu können.

    Aufgabe 5

    Multipliziere diese Terme aus.

    a) -3x · (4x + 2)

    b) (x - 5)· (3 + 6x)

    Lösung

    a) Der erste der Terme beschreibt den ersten Fall. Dabei solltest Du das Distributivgesetz anwenden.

    -3x · (4x + 2)= -3x · 4x -3x · 2=-12x2 - 6x

    b) Für den zweiten der beiden Terme ist der zweite Fall für Dich entscheidend. Jedes Termmitglied der vorderen, wird mit jeder der hinteren Klammer multipliziert.

    (x - 5) · (3 + 6x)=x · 3 + x · 6x - 5 · 3 - 5 · 6x=3x + 6x2 - 15 - 30x=6x2 + 3x - 30x - 15=6x2 - 27x - 15

    Terme vereinfachen – Übungen

    Nutze nun Dein Wissen, um praktisch die folgenden Aufgaben zu lösen. Dabei kannst Du verschiedene Konzepte für Terme anwenden. Viel Spaß!

    Aufgabe 6

    Vereinfache die folgenden Terme:

    a) 2x - 15 - 17x · 0,5

    b) 14y :7y + 12x - y ·3xy

    Lösung

    a) Für diesen Fall verwendest Du die Multiplikation und Subtraktion.

    2x - 15 - 17x · 0,5= 2x - 15 - 8,5 x=2x - 8,5x - 15=- 6,5x - 15

    b) Für den zweiten der beiden Terme kannst Du auch hier vereinfachen, wobei Du auf die beiden Variablen aufpassen musst.

    14y:7y + 12x - y · 3xy=14y7y + 12x - 3xy2= 2 + 12x - 3xy2=-3xy2 + 12x + 2

    Aufgabe 7

    Nun ist es Zeit auch die Klammern mit ins Boot zu holen, damit Du ausklammern und ausmultiplizieren üben kannst.

    15x · (2x + 3)- 4x - 18x + 14 - 13:2

    Lösung

    In diesem Fall ist es sogar wichtig, sowohl das Ausmultiplizieren, als auch das Ausklammern zu verwenden.

    15x · (2x + 3)- 4x - 18x + 14 - 13:2=15x · 2x + 15x · 3 + x(-4-18) + 14 - 13: 2= 30x2 + 45x - 22x + 14 - 6,5=30x2 + 23x + 7,5

    Terme vereinfachen - Das Wichtigste

    • Ein Term besteht aus Zahlen, Variablen und Rechenzeichen.
    • Gleichheitszeichen sind nicht enthalten
    • Zwei mit einem Gleichheitszeichen verbundene Terme werden Gleichung genannt
    • Terme werden in einer bestimmten Vorgehensweise berechnet
      • Löse die Klammern auf, von der innersten zur äußersten
      • Führe die Multiplikationen und Divisionen durch
      • Führe die Additionen und Subtraktionen durch
      • Überprüfe nochmal Deine Rechenschritte
    • Zum Ausmultiplizieren und Ausklammern nutzt Du das Distributivgesetz a · (b ± c)=a · b ± a · c.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Terme vereinfachen

    Wie rechnet man mit Termen in Klammern? 

    Du kannst Terme in Klammern ausmultiplizieren, indem Du das Distributivgesetz anwendest. Oder Du kannst auch ausklammern, indem Du einen Faktor findest, mit dem Du alle einzelnen Teile eines Terms multiplizieren könntest. Dabei gehst Du immer so vor, indem Du erst die innerste Klammer berechnest und dann von innen nach außen gehst.

    Was ist Terme vereinfachen? 

    Um einen Term zu vereinfachen kannst Du verschiedenes beachten. Zum einen kannst Du mit den Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) einen Term zusammenfassen. Das geht auch mit Ausklammern und Ausmultiplizieren.

    Wie berechnet man den Wert des Terms? 

    Um den Wert eines Terms zu bestimmen, kannst Du für die jeweiligen Variablen bzw. für die jeweilige Variable einen Wert verwenden und das Ergebnis schrittweise ausrechnen.

    Wie kann man einen Term vereinfachen? 

    Terme vereinfachst Du, indem Du die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) und evtl. das Ausklammern und Ausmultiplizieren verwendest.

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