Die Grundrechenarten stehen bereits in der Grundschule auf dem Lehrplan. Einer dieser Grundrechenarten ist die Division. Eine Division wäre zum Beispiel, wenn Du eine Dose mit sechs Keksen hast und Du diese gerecht auf drei Personen aufteilen möchtest. Du teilst also die sechs Kekse durch drei Personen, oder auch genannt den Teiler.
Abbildung 1: Kekse Division
Was ein Teiler genau ist, und was Du mit ihm alles machen kannst, erfährst Du hier.
Divisor, Dividend und Quotient
Die Division besteht immer aus den drei gleichen Bausteinen:
Abbildung 2: Division Begriffe
Wenn Du in der Schule das Thema Brüche bekommst, wirst Du wahrscheinlich die Division in der Form von Brüchen vorfinden:
Dabei wird der Dividend in einem Bruch auch Zähler und der Divisor auch Nenner genannt.
Teilweise wird in der Division auch das Zeichen verwendet, bedeuten tut es aber das gleiche wie der hier verwendete einfache Doppelpunkt.
Divisor – Bedeutung
In dieser Erklärung wird es jedoch hauptsächlich nur um den Divisor, der auch Teiler genannt wird, gehen.
Der Teiler – oder Divisor – steht in der Division hinter dem Geteiltzeichen oder unter dem Bruchstrich. Er teilt den Dividenden in entsprechend gleich große Teile, deren Größe Quotient genannt wird.
Wenn Du also eine Division mit konkreten Zahlen hast, würde das ungefähr so aussehen:
Du hast etwa die Division
Die erste Zahl von links ist die 12 und damit Dein Dividend. Danach kommt zuerst das Formelzeichen der Division, gefolgt von der 6, die entsprechend dann Dein Divisor ist. Als Letztes kommt dann nur noch die Zahl 2 nach dem Gleichheitszeichen, diese Zahl ist immer der Quotient.
In einem Bruch würde diese Division so aussehen:
In diesem Beispiel teilt also der Divisor 6 die Zahl 12 in 6 gleich große Teile, die 2 groß sind. Wenn Du Dir das wieder am Beispiel des Kuchens anschaust, heißt das, dass die 12 Kuchenstücke auf sechs Personen aufgeteilt werden und jede Person jeweils 2 Kuchenstücke erhält.
Divisor – Spezialfälle 1 und 0
In der Division gibt es drei Spezialfälle, die Du Dir merken solltest. Sie sind besonders bei dem Umgang mit Brüchen bedeutungsvoll.
- Die Division durch die Zahl 0 ist in der Mathematik „verboten“. Das Ergebnis ist nicht definiert.
- Die Division durch die Zahl 1 ergibt als Quotient immer den Dividenden.
- Wenn der Dividend und der Divisor gleich sind, kommt immer die 1 heraus, egal ob Dividend oder Divisor vertauscht werden.
Nur, wenn der Dividend und Divisor gleich sind, darfst Du diese auch vertauschen, sind sie nicht gleich, kannst Du sie nicht vertauschen, ohne das Ergebnis zu verändern!
Dividend durch Divisor Eselsbrücke
Manchen Schülern fällt es schwer, die Begriffe Dividend, Divisor und Quotient auseinanderzuhalten. In solchen Fällen können Eselsbrücken eine kleine Hilfestellung bieten.
Bei der Division gilt es, folgenden Satz zu merken:
Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten.
Was aber, wenn Du noch die Fachbegriffe im Kopf hast, aber Dir bei der Reihenfolge nicht mehr sicher bist? In dem Fall kannst Du Dir merken, dass die Wörter in alphabetischer Reihenfolge sind.
Sowohl Dividend als auch Divisor fangen mit "Divi" an und sind damit im Alphabet vor dem Wort Quotient. Das Wort Dividend hat jedoch als Nächstes den Buchstaben d und ist damit im Alphabet noch vor Divisor, der als Nächstes den Buchstaben s hat.
Schriftliche Division
Ab einem gewissen Punkt werden die Zahlen zu groß, als dass Du eine Division im Kopf durchführen kannst. In diesen Fällen kannst Du dann eine schriftliche Division durchführen.
In dieser Erklärung werden Themen der schriftlichen Division nur angerissen, da es hier hauptsächlich nur um den Divisor geht. Wenn Du die schriftliche Division noch einmal in der Tiefe durchgehen möchtest, kann Dir die Erklärung Division vielleicht weiterhelfen.
Schriftliche Division mit zweistelligem Divisor
Wenn Du Dich schon ein wenig mit der schriftlichen Division beschäftigt hast, kennst Du bereits die schriftliche Division mit einer einstelligen Zahl, doch wie sieht das aus, wenn Dein Divisor zweistellig ist?
Der Ablauf ist dabei fast identisch zu dem der schriftlichen Division mit nur einstelligen Zahlen. Grundsätzlich arbeitest Du bei der schriftlichen Division von links nach rechts und prüfst immer, wie oft der Divisor in den Dividenden passt. Hier siehst Du einmal, wie Du das Schritt für Schritt berechnest:
Aufgabe 1
Berechne folgende Division schriftlich:
Lösung
Schritt 1:
Da Du einen zweistelligen Divisor hast, betrachtest Du direkt die ersten zwei Zahlen – die wird Hilfswert genannt – und prüfst, ob der Divisor, die 21, in diese Zahl hinein passt. In diesem Beispiel ist das der Fall, denn .
Abbildung 3: schriftliche Division
2. Schritt:
Jetzt prüfst Du, wie oft der Divisor in den Hilfswert passt und bestimmst das zugehörige Vielfache. In diesem Beispiel passt die 21 genau 1-mal in die 29.
Damit erhältst Du den ersten Teil Deines Ergebnisses. Notiere also die 1 als die erste Ziffer Deines Ergebnisses. Jetzt gilt es noch das Vielfache, die 21, vom Hilfswert schriftlich von der 29 abzuziehen und zu notieren. Das sieht dann wie folgt aus:
Abbildung 4: schriftliche Division
3. Schritt:
Neben Deinem Ergebnis der Subtraktion schreibst Du jetzt die nächste Stelle des Dividenden, hier also die 4. Dein neuer Hilfswert ist somit die 84.
Abbildung 5: Schriftliche Division
Schritt 4:
Ab jetzt wiederholst Du wieder den ersten und den zweiten Schritt. Du suchst also erst wieder das Vielfache des Divisors, das noch in den Hilfswert passt – hier ist das die Zahl 84, das vierfache von 21. Dieses Vielfache zeihst Du vom Hilfswert wieder ab und notierst die Zahl 4 als nächsten Teil Deines Ergebnisses.
Abbildung 6: Schriftliche Division
Schritt 5:
Wenn Du wie in diesem Beispiel keine Ziffern des Dividenden mehr übrig sind, fehlt Dir nur noch den Rest zu ermitteln. Dieser ist der Rest der letzten Subtraktion, also in diesem Fall 0.
Abbildung 7: Schriftliche Division
Das Ergebnis der Division lautet somit 14.
Schriftliche Division mit Komma im Divisor
Nun muss der Divisor nicht immer eine natürliche Zahl sein, es kann unter anderem sein, dass Du in einer Aufgabe einen Divisor mit einer Kommastelle erhältst.
In einer schriftlichen Division darf der Divisor kein Komma beinhalten, das heißt in solchen Fällen gilt es, das Komma vorher herauszukürzen.
Der Rechenweg würde, dann beispielsweise so aussehen:
Aufgabe 2
Berechne folgende Division schriftlich:
Lösung
1. Schritt
Wenn Dein Divisor eine Kommastelle besitzt, kannst Du die Rechnung so umformen, dass die Kommastelle verschwindet. Dazu multiplizierst Du den ganzen Term solange mit der Zahl 10, bis das Komma raus multipliziert wird.
Wenn Du einen Wert in Deinem Term verändern möchtest, ohne das Ergebnis des Terms zu ändern, musst Du darauf achten, immer alle Rechenoperationen auf beiden Seiten durchzuführen!
Multipliziere jetzt also den in der Aufgabe gegebenen Term mal 10:
Jetzt hast Du einen neuen Term erhalten, den Du wie gewohnt schriftlich berechnen kannst.
2. Schritt
Betrachte jetzt wieder die erste Zahl des Dividenden und prüfe, ob der Divisor hineinpasst. Da Du hier der Fall ist, kannst Du die 2 als ersten Teil Deines Ergebnisses schreiben, denn die 3 passt genau zweimal in die 6. Subtrahiere dann noch das Vielfache von Deinem Dividenden.
Abbildung 8: Schriftliche Division
3. Schritt:
Schreibe jetzt wieder den neuen Hilfswert auf:
Abbildung 9: Schriftliche Division
4. Schritt:
Ermittle hier wieder das Vielfache des Divisors, das noch in den Hilfswert passt. In diesem Fall ist das die 30, das Zehnfache der 3. Dieses Vielfache musst Du jetzt noch von dem Hilfswert abziehen und anschließend schreibst Du noch die 10 als nächsten Teil Deines Ergebnisses.
Abbildung 10: Schriftliche Division
5. Schritt
Du hast jetzt wieder alle Ziffern des Dividenden verbraucht und jetzt gilt es nur noch den Rest 0 aufschreiben.
Abbildung 11: Schriftliche Division
Das Ergebnis der Division lautet somit 210.
Divisor berechnen
Nicht immer ist der Quotient gesucht. In einigen Aufgaben können der Dividend und der Quotient gegeben sein und dafür wird der Divisor gesucht. Wie Du so eine Aufgabe lösen kannst, findest Du in diesem Abschnitt.
Stell Dir vor, Du bist auf einer Feier, es gibt insgesamt 21 Muffins und jede Person kann drei essen. Wie viele Personen sind auf der Feier? Oder in anderen Worten, durch welchen Divisor muss 21 geteilt werden, damit 3 rauskommt?
Nimm dabei an, dass Dein unbekannter Divisor ist, dann kannst Du schreiben:
Um diese Gleichung zu lösen, kannst Du Folgendes anwenden:
Um einen unbekannten Divisor berechnen zu können, kannst Du den Dividenden durch den Quotienten dividieren:
Wie würde das aussehen, wenn Du das auf das obige Beispiel anwendest?
Aufgabe 3
Du hast bereits die Formel gegeben, berechne den unbekannten Divisor dieser Gleichung.
Lösung
1. Schritt:
Setze als Erstes Deine Werte in die Formel zur Berechnung des Divisors ein:
2. Schritt:
Berechne jetzt den Wert für den unbekannten Divisor :
Auf der Feier sind demnach sieben Personen.
Divisor – Aufgaben zum Üben
Zum Abschluss kannst Du Dein neu erlerntes Wissen über den Teiler bei einer Division mit einigen Übungsaufgaben vertiefen.
Aufgabe 4
Berechne mit der schriftlichen Division folgende Gleichung:
Lösung
1. Schritt:
Prüfe, wie oft der Divisor in den ersten Hilfswert passt und schreibe die Anzahl als den ersten Teil des Ergebnisses. Ziehe danach das Vielfache des Divisors vom Hilfswert ab:
Abbildung 12: Schriftliche Division
2. Schritt:
Schreibe jetzt die letzte Ziffer des Dividenden neben die 7 und prüfe, wie oft die 13 in diesen neuen Hilfswert hereinpasst. Schreibe dann wieder die Anzahl als nächsten Teil Deines Ergebnisses auf und ziehe das Vielfache von Deinem Hilfswert ab:
Abbildung 13: Schriftliche Division
3. Schritt:
Da alle Ziffern des Dividenden verbraucht sind, musst Du jetzt nur noch den Rest 0 hinschreiben und Deine Rechnung ist fertig:
Abbildung 14: Schriftliche Division
Das Ergebnis der Division lautet somit 26.
Aufgabe 5
Berechne mit der schriftlichen Division folgende Gleichung:
Lösung
1. Schritt:
Als Erstes kürzt Du die Kommastelle aus Deinem Divisor raus, indem Du die Gleichung mit 100 multiplizierst:
Jetzt, wo Du keine Kommastelle mehr in Deiner Gleichung hast, kannst Du die Aufgabe wie in den anderen Beispielen berechnen.
2. Schritt:
Prüfe, wie oft der Divisor in den ersten Hilfswert passt und schreibe die Anzahl als den ersten Teil des Ergebnisses. Ziehe danach das Vielfache des Divisors vom Hilfswert ab:
Abbildung 15: Schriftliche Division
3. Schritt:
Schreibe jetzt die nächste Ziffer des Dividenden neben die 17 und prüfe, wie oft die 25 in diesen neuen Hilfswert hereinpasst. Schreibe dann wieder die Anzahl als nächsten Teil Deines Ergebnisses auf und ziehe das Vielfache von Deinem Hilfswert ab:
Abbildung 16: Schriftliche Division
4. Schritt:
Die letzten beiden Ziffern des Dividenden sind Nullen, das heißt statt kannst Du auch schreiben:
Entsprechend sieht der letzte Schritt dann so aus:
Abbildung 17: Schriftliche Division
Das Ergebnis der Division lautet somit 1700.
Aufgabe 6
Berechne den unbekannten Divisor der folgenden Formel:
Lösung
1. Schritt:
Setze als Deine Werte in die Formel zur Berechnung des Divisors ein:
2. Schritt:
Berechne jetzt den Wert für den unbekannten Divisor :
Der Divisor lautet somit 6.
Divisor – Das Wichtigste
- Die Division besteht aus den drei Bausteinen
- oder
- In einem Bruch wird der Dividend auch Zähler und der Divisor auch Nenner genannt.
- Der Teiler – oder Divisor – steht in der Division hinter dem geteilten Zeichen oder unter dem Bruchstrich. Er teilt den Dividenden in entsprechend gleich große Teile, deren Größe Quotient genannt wird.
- Als Merkhilfe kann der Satz „Dividend durch Divisor gleich Wert des Quotienten.“ helfen. Die Reihenfolge der Begriffe ist Alphabetisch.
- Grundsätzlich arbeitest Du bei der schriftlichen Division von links nach rechts und kommst zum Ergebnis, indem Du jeweils prüfst, wie oft der Divisor in einen Teil des Dividenden passt
- Bei der schriftlichen Division mit Komma kürzt Du zuerst das Komma weg, indem Du die Gleichung mit 10, 100 oder einer höheren Zahl multiplizierst. Anschließend fährst Du wie in der normalen schriftlichen Division fort.
- Um einen unbekannten Divisor berechnen zu können, kannst Du den Dividenden durch den Quotienten dividieren:
Nachweise
- encyclopediaofmath.org: Division. (05.06.2022)
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