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Der größte gemeinsame Teiler wird als das "Gegenstück" zum kleinsten gemeinsamen Vielfachen gesehen.
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Im Folgenden lernst du, wie der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen genau definiert wird:
Der größte gemeinsame Teiler – kurz ggT – zweier ganzer Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, welche sowohl a als auch b teilt.
Der ggT wird mathematisch geschrieben durch 
.
Der größte gemeinsame Teiler ist genauso wie das kleinste gemeinsame Vielfache eindeutig. Zwei Zahlen können also nicht zwei verschiedene ggT haben.
Der ggT zweier Zahlen ist ein echter Teiler. Das heißt, teilt man die Zahlen a und b durch deren ggT, so funktioniert das Teilen ohne Rest.
Teilst du eine Zahl mit Rest, so spricht man von einem unechten Teiler.
Ebenso wie das kleinste gemeinsame Vielfache, ist der ggT in der Bruchrechnung von Bedeutung. Dies ist beispielsweise beim Kürzen von Brüchen der Fall. Bildest du den ggT von Zähler und Nenner, so kannst du den Bruch in einem Schritt vollständig kürzen.
Kürze den Bruch 
vollständig.
Wenn du den Bruch schrittweise kürzt, könntest du zunächst ein paar Mal mit der zwei kürzen:
Durch das Bilden der Quersumme kann man herausfinden, dass jetzt noch mit drei gekürzt werden kann:
Dieser Bruch ist nun vollständig gekürzt. Dafür wurden aber fünf Rechenschritte benötigt.
Alternativ wäre es möglich gewesen, in nur einem Schritt den Bruch vollständig zu kürzen, indem direkt mit der Zahl 48 gekürzt wird:
Die 48 ist nämlich der größte gemeinsame Teiler von 576 und 1680.
Wie man auf die 48 kommt, siehst du im folgenden Abschnitt.
Um den ggT zu berechnen, gibt es vier verschiedene Methoden.
Für diese Methode werden alle Teiler beider gegebenen Zahlen aufgelistet und anschließend verglichen. Die größte Zahl, die in beiden Teilermengen vorkommt, ist der ggT.
An dieser Stelle benötigst du die Teilermengen. Was genau das ist, kannst du im Artikel Teiler nachlesen.
Gesucht ist der ggT der Zahlen 18 und 24.
Die Teilermenge der Zahl 18 lautet T(18)={1, 2, 3, 6, 9, 18}.
Die Teilermenge der Zahl 24 lautet T(24)={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
In beiden Mengen kommen die Zahlen 1, 2, 3 und 6 vor. Da 6 die größte dieser Zahlen ist, ist sie der ggT. Also:
Bei kleineren Zahlen bietet sich diese Methode an, da sie relativ wenige Teiler haben. Je größer die Zahlen sind, desto komplizierter wird es jedoch, alle Teiler zu finden. Dann funktionieren die folgenden Methoden meistens besser.
Um den ggT zu finden, musst du zunächst die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen bestimmen. Anschließend nimmst du diejenigen Primfaktoren, die in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Kommt ein Primfaktor nur in einer der beiden Zerlegungen vor, darf er nicht genommen werden. Zu jedem Primfaktor nimmst du den niedrigsten vorkommenden Exponenten, also das Minimum der Exponenten. Multipliziert man diese gemeinsamen Primfaktoren nun, so ist das Ergebnis der ggT.
Um mit Hilfe der Primfaktorzerlegung den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen a und b zu zerlegen, gehst du zusammengefasst wie folgt vor:
Bestimme die Primfaktorzerlegung der Zahl a.
Bestimme die Primfaktorzerlegung der Zahl b.
Nimm jetzt die Primzahlen mit den kleinsten vorkommenden Potenzen innerhalb der beiden Primfaktorzerlegungen und multipliziere diese miteinander.
Wie man die Primfaktorzerlegung einer Zahl bestimmt, kannst du gern im Artikel Primfaktorzerlegung nachlesen.
Im Folgenden findest du ein Beispiel für eine Berechnung des ggT über die Primfaktorzerlegung:
Gesucht wird der ggT von den beiden Nennern aus dem Einstiegsbeispiel, also von 576 und 1680.
Schritt 1 und 2:
Die Primfaktorzerlegungen der beiden Zahlen sind:
und 
Schritt 3:
Insgesamt kommen in den Zerlegungen die Faktoren 2, 3, 5 und 7 vor:
Der ggT ist nun das Produkt dieser Faktoren hoch deren Minima:
Sind die beiden Zahlen a und b teilerfremd, ist der ggT der beiden Zahlen eins.
Da die Methode der Primfaktorzerlegung sehr aufwändig werden kann, wenn die Zahlen groß sind und viele Primteiler haben, bietet es sich an, den euklidischen Algorithmus zu erlernen. Er ist ein mathematisches Verfahren zur Bestimmung des ggT zweier Zahlen und wurde bereits von Euklid im antiken Griechenland beschrieben.
Grundsätzlich macht man beim euklidischen Algorithmus nichts anderes als Teilen mit Rest. Das wiederholt man nach einem bestimmten Schema so lange, bis es keinen Rest mehr gibt, also der Rest null ist. Der letzte Rest, der ungleich null war, ist dann der ggT der gesuchten Zahlen.
Wenn du dich damit vertieft beschäftigen möchtest, dann kannst du dir den Artikel Euklidischer Algorithmus anschauen. Du findest ihn im Kapitel Rechnen mit ganzen Zahlen.
Im Folgenden lernst du den euklidischen Algorithmus anhand eines Beispiels kennen:
Gesucht ist der ggT der Zahlen 148 und 34:
Abbildung 1: Euklidischer Algorithmus
Der ggT der beiden Zahlen ist der letzte Rest ungleich null. Also:
Wenn das kgV – also das kleinste gemeinsame Vielfache – der zwei gegebenen Zahlen bekannt ist, kann man auch mit ihm den ggT berechnen. Das hat den Grund, dass das kgV und der ggT durch eine Formel zusammenhängen:
Seien a und b ganze Zahlen. Dann gilt:
Diese Formel sagt aus, dass das Produkt zweier Zahlen den gleichen Betrag hat wie das Produkt aus ggT und kgV dieser Zahlen.
Wenn nun das kgV bekannt ist, kann die Formel umgestellt werden, indem durch das kgV geteilt wird:
Gegeben sind die Zahlen 21 und 35. Ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches ist 
.
Setzt man dies in die umgestellte Formel ein, so ergibt sich:
Das kgV zweier Zahlen kann null sein, wenn eine der beiden Zahlen null ist. Dann darf diese Formel nicht verwendet werden, denn durch null darf man nicht teilen!
In diesem Fall ist der ggT gleich der Zahl, die nicht null ist.
In den vorherigen Abschnitten hast du den größten gemeinsamen Teiler zu zwei Zahlen gelernt. Man kann jedoch zu beliebig vielen Zahlen einen ggT bestimmen.
Der größte gemeinsame Teiler von n Zahlen 
ist die größte natürliche Zahl, die alle 
teilt.
Man schreibt: 
.
Für die Berechnung des ggT mehrerer Zahlen können dieselben Methoden verwendet werden wie für den ggT von nur zwei Zahlen. Meistens ist jedoch die Methode der Teilermengen recht aufwändig.
Für den ggT gibt es bestimmte Rechenregeln. Beispielsweise gilt hier das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz.
Sind a, b und c ganze Zahlen, dann gilt:
.
.
.Des Weiteren gilt:
Mithilfe dieser Übungsaufgaben kannst du nochmal überprüfen, ob du den Inhalt dieses Artikels verstanden hast.
Berechne jeweils den ggT der folgenden Zahlen:
a. Du arbeitest zunächst mit den Teilermengen. Diese sind:
T(80)={1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 40, 80} und T(30)={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Die größte Zahl, die in beiden Mengen vorkommt, ist die 10.
Daher ist .
b. Da 144 durch 12 teilbar ist, und der größte Teiler der Zahl 12 die Zahl selbst ist,
ist .
c. 19 und 13 sind beides Primzahlen. Da Primzahlen nur durch sich selbst und durch eins teilbar sind, ist .
d. Hier arbeitest du mit der Primfaktorzerlegung. Es ist:
und
Der ggT ist also: .
e. Nun arbeitest du wieder mit der Primfaktorzerlegung. Es ist:
und
Es ist also .
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Was ist der größte gemeinsame Teiler?
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte natürliche Zahl, die zwei oder mehrere gegebene Zahlen teilt.
Wie berechnet man den ggT mit Primfaktorzerlegung?
Um den ggT mithilfe der Primfaktorzerlegung zu finden, muss zunächst die Primfaktorzerlegung der gegebenen Zahlen bestimmt werden. Anschließend nimmt man diejenigen Primfaktoren, die in allen Primfaktorzerlegungen vorkommen. Kommt ein Primfaktor nicht in allen Zerlegungen vor, darf er nicht genommen werden! Zu jedem Primfaktor nimmt man den niedrigsten vorkommenden Exponenten. Multipliziert man diese gemeinsamen Primfaktoren nun, so ist das Ergebnis der ggT.
Wie findet man den größten gemeinsamen Teiler?
Der größte gemeinsame Teiler kann entweder über die Primfaktorenzerlegung, das Teilermengenverfahren, den euklidischen Algorithmus oder die Formel ggT(a,b)*kgV(a,b)=|a*b| bestimmt werden.
Wie berechnet man den ggT und kgV?
Sowohl ggT als auch kgV können mithilfe der Primfaktorenzerlegung berechnet werden. Außerdem kann man die Formel ggT(a,b)*kgV(a,b)=|a*b| nutzen, wenn einer der beiden bekannt ist.
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Lily Hulatt ist Digital Content Specialist mit über drei Jahren Erfahrung in Content-Strategie und Curriculum-Design. Sie hat 2022 ihren Doktortitel in Englischer Literatur an der Durham University erhalten, dort auch im Fachbereich Englische Studien unterrichtet und an verschiedenen Veröffentlichungen mitgewirkt. Lily ist Expertin für Englische Literatur, Englische Sprache, Geschichte und Philosophie.
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Gabriel Freitas ist AI Engineer mit solider Erfahrung in Softwareentwicklung, maschinellen Lernalgorithmen und generativer KI, einschließlich Anwendungen großer Sprachmodelle (LLMs). Er hat Elektrotechnik an der Universität von São Paulo studiert und macht aktuell seinen MSc in Computertechnik an der Universität von Campinas mit Schwerpunkt auf maschinellem Lernen. Gabriel hat einen starken Hintergrund in Software-Engineering und hat an Projekten zu Computer Vision, Embedded AI und LLM-Anwendungen gearbeitet.
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