Mengenverknüpfungen

In diesem Kapitel lernst Du alles über verschiedene Mengenverknüpfungen und wie sich Mengen zueinander verhalten. Es gibt die Schnittmenge, Differenzmenge, Vereinigungsmenge und Symmetrische Differenz! Um nur einige zu nennen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Mengenverknüpfungen Mengenverknüpfungen für Freundeskreise StudySmarter

    Du wirst dabei immer wieder auf Freundesgruppen stoßen. Alle Personen, die Du in der Grafik erkennen kannst, sind Elemente aus einer Menge. Die Menge A ist dabei eine Mädchengruppe. Die Menge B eine Gruppe aus Jungen, wobei dort ein Mädchen involviert ist. Du betrachtest also zwei Freundeskreise.

    Die Sommerferien in der siebten Klasse stehen vor der Tür und Anna interessiert sich auch ein wenig für ihre männlichen Schulfreunde. Sie ist nicht nur mit Lena und Lina befreundet, sondern auch mit Jonas und Philipp. Sie selbst kannst Du als Schnittmenge bezeichnen. Es gibt jedoch auch viele weitere spannende Konstellationen. Es geht gleich los mit verschiedenen Mengenverknüpfungen.

    Mengenverknüpfungen Mengenverknüpfungen der Mengen A und B für zwei Freundeskreise StudySmarterAbbildung 1: Mengenverknüpfungen der Mengen A und B für zwei Freundeskreise

    Mengenverknüpfungen Mathe – Grundlagenwissen

    Mengen in Mathe spielen eine zentrale Rolle. Nicht nur in der mathematischen Forschung auch als Basis für viele Probleme. Du kannst letztlich alles auf Mengen zurückführen. Dein Wörterbuch kannst Du als Menge von Buchstaben interpretieren, und wie im Fall des Dudens für eine Menge aus Buchstaben A, alle Wörter darin als Elemente auffassen. Du kannst wie in der Einleitung auch einen Freundeskreis als Menge ansehen und die Elemente sind zum Beispiel Lena und Lina.

    Georg Cantor beschrieb schon im 19. Jhd., dass eine Menge eine Zusammenfassung von Objekten ist. Die Mengenlehre war maßgeblich von ihm bestimmt. Er bezog sich dabei immer auf die Mengenlehre und die Möglichkeiten, die Mengen und Mengenverknüpfungen für die Mathematik haben.

    Vergleich von Mengen

    Um eine Menge mit einer anderen zu vergleichen, gibt es zwei Ansätze. Auf der einen Seite kannst Du Dich fragen, wie häufig verschiedene Elemente in einer Menge enthalten sind. Auf der anderen Seiten können Mengen auch identisch sein.

    Dazu kannst Du beide folgenden Mengen genauer betrachten

    • A={Hamster, Hase, Hund}
    • B ={2, 3, 4}

    Auf den ersten Blick scheinen beide Mengen wenig miteinander gemeinsam zu haben, allerdings besitzen sie gleich viele Elemente, nämlich drei Stück. Für beide Mengen ist also die sogenannte Kardinalität, oder auch Mächtigkeit genannt, identisch. In der Mathematik kannst Du das nun in dieser Weise beschreiben:

    |A| =|B| =3

    Betrachte doch noch einmal kurz die Menge B und gehe davon aus, Du würdest irgendeine Zahl doppelt einfügen. Zum Beispiel kannst Du noch eine Vier in die Menge geben. Das bedeutet für Dich, dass zwar nun insgesamt vier Zahlen in der Menge B enthalten sind, die Kardinalität bleibt allerdings bei drei. Der Grund ist, dass die Anzahl an gleichen Elementen in einer Menge für die Kardinalität keine Rolle spielt.

    Nun soll eine dritte Menge gegeben sein, nämlich die Menge C. Dabei besitzt die Menge C auch die Zahlen 2, 3 und 4. In diesem Fall kann von einer Gleichheit von Mengen gesprochen werden. Da beide Mengen exakt dieselben Elemente in derselben Anzahl besitzen, sind beide also identisch. Man schreibt:

    B = C

    Für einen tieferen Einblick in die Mengenlehre kannst Du beim Artikel Mächtigkeit von Mengen vorbei sehen. Dabei sind mathematisch verschiedene spannende Fälle im Bezug auf die Mächtigkeit gegeben. Denn sowohl die leere Menge, als auch die Einermenge mit ihrer Mächtigkeit von eins, sind Sonderfälle, die hierbei noch weiter erläutert werden. Ebenso wird der Begriff der Menge auch auf die Zahlensysteme der natürlichen, wie auch rationalen Zahlen und weiteren ausgedehnt.

    Besondere Arten von Mengen

    Mengen können mit ihren Elementen nicht nur alleine stehen. Viel mehr sind auch jene interessant, welche Besonderheiten bezüglich ihrer Elemente aufweisen.

    So kann die Menge A eine Teilmenge von B sein (geschrieben als AB), wenn jedes Element aus A auch in B liegt. B wird dabei als sogenannte Obermenge bezeichnet, wobei dieser Fall speziell als echte Teilmenge bezeichnet wird. Lediglich von einer Teilmenge wird gesprochen, wenn beide Mengen identisch sind.

    In diesem Fall soll die Menge Säugetiere eine echte Teilmenge von Tiere sein. Nicht alle Tiere sind nämlich automatisch Säugetiere. Es gibt auch Fische und Reptilien, um nur ein paar zu nennen. Hierbei handelt es sich auch um eine echte Teilmenge, da beide Mengen nicht identisch sind. Ansonsten dürfte es keine weiteren Lebewesen in der Menge Tiere geben, die es in der Menge Säugetiere nicht gibt.

    Mengenverknüpfungen Mengenverknüpfungen Teilmengen aus der Biologie StudySmarterAbbildung 2: Mengenverknüpfungen - Teilmengen aus der Biologie

    Eine leere Menge () beinhaltet keine Elemente, wobei sie die Teilmenge jeder einzelnen Menge ist.

    Für disjunkte Mengen, also Mengen ohne Schnittmenge kann allerdings weiterhin die Vereinigungsmenge gebildet werden. Für Mengen A und B gilt bei A\B, dass die Differenzmenge alle Elemente der Menge A beinhaltet.

    Genau das Prinzip der leeren Menge ist wiederum für die Potenzmenge (𝒫) entscheidend. Eine Potenzmenge einer Menge A lässt sich als die Menge aller Teilmengen von A beschreiben.

    In einem Beispiel für die Menge A ={1, 2} würdest Du wie folgt vorgehen:

    • A, die leere Menge ist Teilmenge jeder einzelnen Menge
    • {1} A, {2} A
    • {1, 2} A

    Das Endergebnis ist also 𝒫(A)={, {1}, {2}, {1, 2}}.

    Zwei Arten von Mengenschreibweisen

    Um die Elemente in einer Menge zu benennen, gibt es grundsätzlich zwei verschiedene Möglichkeiten nämlich die aufzählende und die beschreibende Mengenschreibweise:

    • Aufzählende Mengenschreibweise der Form M = {Element 1, Element 2, ...}: also kann eine Menge in der Form angegeben werden, zum Beispiel für Zahlen zwischen 5 und 10, dass diese Zahlen in geschweifte Klammern gesetzt werden.
    • Beschreibende Mengenschreibweise der Form M= {x|x besitzt die Eigenschaften}: die Eigenschaften kannst Du sowohl mathematisch formulieren, als auch in Textform. In den nächsten Artikeln zu den einzelnen Mengenverknüpfungen sind die Eigenschaften auch in beschreibender Mengenschreibweise angegeben.

    Aufgabe 1

    Die Menge K besitzt alle natürlichen Zahlen, die größer 8 sind und kleiner gleich 15. Gebe dazu...

    a) die aufzählende

    b) die beschreibende Mengenschreibweise an.

    Lösung

    a) Für die aufzählende Mengenschreibweise sind die Zahlen in geschweiften Klammern anzugeben.

    K = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}

    b) Als erstes kannst Du gerne die beschreibende Mengenschreibweise in Textform angeben.

    K = {x |x ist größer 8 und kleiner gleich 15}

    Die beschreibende Mengenschreibweise als Text mag durchaus etwas einfacher sein, da Du hierbei auch die Formulierung aus der Aufgabenstellung verwenden kannst. Mathematisch formuliert:

    K = {x | 8<x15}

    Mengenverknüpfungen – Schnittmenge und Vereinigungsmenge

    Nun hast Du bereits einen groben Überblick über die Thematik der Mengenlehre und wichtige erste Grundbegriffe erhalten. Jetzt ist es an der Zeit sich mit den verschiedenen Mengenverknüpfungen vertraut zu machen. Dabei kannst Du Dich an dem Text in der Einleitung orientieren, um die einzelnen Konzepte aus den Mengenverknüpfungen zu lernen.

    Schnittmenge

    Eine der Mengen aus dem Bereich der Mengenverknüpfungen ist die Schnittmenge, auch Durchschnittsmenge genannt.

    Bei einer Schnittmenge handelt es sich um genau diese Menge, welche sowohl Elemente aus der einen Menge UND auch der anderen Menge enthält. Das Symbol für die Schnittmenge ist .

    Das Vorgehen für diese Art der Mengenverknüpfung ist es, die Elemente, die in beiden Mengen A und B enthalten sind, zu markieren und sie in die Ergebnismenge zu schreiben.

    Ganz anschaulich an den beiden Freundeskreisen, soll die Mädchengruppe als Menge A und die Gruppe aus Jungs zusammen mit Anna als Menge B bezeichnet werden.

    • A = {Lena, Lina, Anna}
    • B ={Jonas, Philipp, Anna}

    Die Schnittmenge ist also AB ={Anna}.

    Würde Anna kein gesondertes Interesse an den Jungen in ihrer Klasse haben und nur der Menge der Mädchen zugeordnet werden können, würden sich die Mengen nicht schneiden. Die Schnittmenge wäre also eine leere Menge.

    Der Sonderfall der Schnittmenge für eine echte Teilmenge ist anschaulich anhand eines Tierbeispiels im Kapitel Schnittmenge gegeben.

    Mengen – Vereinigung

    Ein weiterer Fall, den Du betrachten kannst und bei dem Du alle Elemente aus den Mengen nutzen kannst, ist die Vereinigung.

    Die Vereinigungsmenge ist die Menge, welche alle Elemente aus A ODER alle Elemente aus B enthält. Die Vereinigungsmenge aus einer Menge A und B würde man formal als AB schreiben.

    Diese Mengenverknüpfung mag durchaus eine der einfacheren sein, da für diesen Fall lediglich alle Elemente aus den Mengen zusammengefügt werden müssen. Du brauchst also weder Elemente markieren, noch streichen.

    Betrachte noch einmal den Freundeskreis aus der Einleitung.

    Für den Freundeskreis ergibt sich also, genauso wie in der darauffolgenden Grafik zu erkennen:

    A B ={Lena, Lina, Anna, Jonas, Philipp}

    Hierbei wurde bewusst Anna markiert, um zu verdeutlichen, dass Anna zwar in beiden Mengen vorkommt, Du allerdings doppelt vorkommende Elemente nur einmal angeben solltest.

    Mengenverknüpfungen Vereinigungsmenge für Menge A und B StudySmarterAbbildung 3: Vereinigungsmenge für Menge A und B

    Differenzmenge, Symmetrische Differenz und weitere Fälle

    Du kannst zwei weitere Fälle unterscheiden. Dabei baut die symmetrische Differenz auf der Differenzmenge auf.

    Differenzmenge

    Die Differenzmenge ist sehr interessant für solche Fälle, in denen Du eine Menge näher betrachtest und nur den Teil herausgreifst, der keinen Schnitt mit einer anderen Menge besitzt.

    Die Differenzmenge A\B ("A ohne B") ist die Ergebnismenge, welche Elemente aus A, aber nicht aus B enthält. Die Differenzmenge lässt sich auch als B\A beschreiben und steht folglich für die Elemente, die in B, aber nicht in A enthalten sind.

    Das Vorgehen lässt sich mit zwei Schritten realisieren (für A\B) :

    • Suche nach Zahlen, die in A und B enthalten sind, also die Schnittmenge.
    • Nun gibst Du für die Ergebnismenge die Menge A hinein, aber ohne der ermittelten Schnittmenge.

    Mengenverknüpfungen Differenzmenge für Menge A und B StudySmarterAbbildung 4: Differenzmenge für Menge A und B

    Für die Mädchengruppe ist Anna das Mitglied, das auch in der Menge B enthalten ist. Als ersten Schritt markierst Du Anna und darauffolgend kannst Du sie aus der Menge A entfernen.

    A\B ={Lena, Lina}

    Die Sonderfälle für die leere Menge, aber vor allem auch für drei Mengen, sollen nicht weiter Gegenstand dieses Artikels sein, sind aber durchaus ein wichtiger Faktor.

    Symmetrische Differenz

    Die symmetrische Differenz ist schlussendlich die Königsdisziplin unter den Mengenverknüpfungen, da hier das Wissen um die Schnittmenge und Differenzmenge vereint wird.

    Die Symmetrische Differenz AB sind die Elemente, die entweder in A oder in B enthalten sind. Dabei ist ausdrücklich die Schnittmenge nicht in der Symmetrischen Differenz enthalten.

    Um auf die Symmetrische Differenz zu schließen, ist es wichtig, zuvor die Schnittmenge beider Mengen zu ermitteln, um darauffolgend diese von der Vereinigungsmenge abzuziehen. Du kannst aber genauso A\B und B\A ermitteln und zusammenfassen.

    Mengenverknüpfungen Symmetrische Differenz für A und B mit größerem Freundeskreis StudySmarterAbbildung 5: Symmetrische Differenz für A und B mit größerem Freundeskreis

    Für das Beispiel mit der größeren Freundesgruppe aus der Einleitung mit...

    • A = {Lena, Lina, Anna}
    • B = {Jonas, Philipp, Simon, Anna}

    erhältst du für beide Mengen als symmetrische Differenz:

    AB ={Lena, Lina, Jonas, Philipp, Simon}

    Anna fehlt als Schnitt beider Mengen.

    Um den Umfang für diesen Text zu anderen beizubehalten und auch detailliert in die Tiefe gehen zu können, mit umfangreichen Beispielen, sind die Artikel Schnittmenge, Differenzmenge, Vereinigungsmenge und Symmetrische Differenz erstellt worden. Da wirst Du auch die Freundeskreise in den Aufgaben wieder finden.

    Mengenverknüpfungen – Regeln

    Rechenregeln und deren Anwendung sind in vielen Aufgaben der Mathematik sehr zentral, auch für die Mengenverknüpfungen können sie von Nutzen sein. Vor allem auch um zwei unterschiedliche Aussagen auf deren Gleichheit zu beweisen. Damit können Beweise gemacht werden.

    Regeln Schnitt- und Vereinigungsmenge

    Für beide genannten Mengen kannst du sowohl das Kommutativgesetz als auch das Assoziativgesetz anwenden. Das Kommutativgesetz lässt sich bereits bei zwei Mengen anwenden, da

    AB = BA

    oder auch

    AB =BA.

    Das Assoziativgesetz lässt sich für drei Mengen anwenden und bedeutet, dass Du die Klammern bei einem der beiden Zweierausdrücke der Mengen setzen kannst, ohne eine Veränderung für die Schnittmenge oder Vereinigungsmenge.

    Kombinierst Du sowohl die Schnitt- als auch die Vereinigungsmenge miteinander, lässt sich auch das Distributivgesetz anwenden.

    (AB)C =(AC)(BC)

    Regeln Symmetrische Differenz und Differenzmenge

    Während die Möglichkeiten für die Differenzmenge beschränkt sind, kann auch bei der Symmetrischen Differenz die Assoziativität und Kommutativität greifen, zum Beispiel für das Assoziativgesetz:

    (AB)C =A(BC)

    Eine Kombination einer Menge A mit der leeren Menge ergibt die Menge A, wobei gilt:

    AA =

    Beweise hierfür wird es im dafür vorgesehenen Artikel über die Symmetrische Differenz geben.

    Für die Differenzmenge ist es nicht möglich die Assoziativität und Kommutativität anzuwenden, da die Menge A ohne den Elementen aus B verschieden zu der Menge B ohne Elementen aus A ist. Eine interessante Umformung ist jedoch A\B =A¬B, wobei ¬B für das Komplement von B steht.

    Hier nochmal alles komprimiert in dieser Tabelle zu den Rechenregeln der Mengenverknüpfungen:

    KommutativgesetzAssoziativgesetzDistributivgesetz
    SchnittmengeJaJa, ab drei MengenZusammen mit Vereinigungsmenge
    VereinigungsmengeJaJa, ab drei MengenZusammen mit Schnittmenge
    DifferenzmengeNeinNeinNein
    Symmetrische DifferenzJaJa, ab drei MengenNein

    Mengenverknüpfungen - Aufgaben und Übungen

    In den kommenden beiden Aufgaben wirst Du über jeden der vier zentralen Mengenverknüpfungen abgefragt. Falls Du eventuell weitere Informationen benötigst, um diese Aufgaben zu lösen, sieh Dir doch nochmal gerne die Zusammenfassung an, ansonsten kannst Du Dir bereits die dazugehörigen Artikel ansehen.

    Aufgabe 2

    Gegeben sind Dir die Mengen A ={1, 3, 5, 7} und B ={4, 12, 20, 28}.

    a) Wie stehen die Zahlen in den beiden Mengen zueinander in Relation?

    b) Gebe die Schnittmenge an.

    c) Gebe die Vereinigungsmenge an.

    Lösung

    a) Jede Zahl aus A wird mit 4 multipliziert und man erhält die Elemente der Menge B.

    b) Die Schnittmenge ist die leere Menge . Da beide Mengen keine gemeinsamen Elemente miteinander teilen, besitzen die Mengen A und B keine Schnittmenge, sie ist leer.

    c) Für die Vereinigungsmenge nimmst Du alle Elemente aus beiden Mengen und fügst sie zusammen.

    AB ={1, 3, 4, 5, 7, 12, 20, 28}

    Aufgabe 3

    Gegeben sind Dir die Mengen X ={1, 3, 5, 6} und Y ={5, 7, 9}.

    a) Gebe die Differenzmenge X\Y an.

    b) Erkläre den Begriff der Symmetrischen Differenz.

    c) Bestimme die Symmetrische Differenz.

    Lösung

    a) Die Schnittmenge von Menge X und Menge Y ist die Zahl 5, also nimmst Du die Zahlen aus X und entnimmst die Schnittmenge {5}.

    X\Y ={1, 3, 6}

    b) Die Symmetrische Differenz sind alle Elemente aus den beiden Mengen, außer die Schnittmenge.

    c) Es sind also alle Zahlen in der Ergebnismenge enthalten, außer diejenige Zahl aus der Schnittmenge.

    XY ={1, 3, 6, 7, 9}

    Mengenverknüpfungen - Das Wichtigste

    • Eine bedeutende Persönlichkeit für die Mengenlehre ist Georg Cantor, der das Konzept der Mengen als zentral in der Mathematik erkannt hat.
    • Es gibt einen Unterschied, ob Mengen identisch sind oder dieselbe Kardinalität aufweisen. Für die Kardinalität ist die Häufigkeit der Elemente entscheidend.
    • Die Schnittmenge AB für die Menge A und B ist die Ergebnismenge, bei der alle Elemente enthalten sind, die in A UND B enthalten sind.
    • Die Vereinigungsmenge AB sind alle Elemente der gegebenen Mengen.
    • Die Differenzmenge A\B ist die Menge mit den Elementen aus A ohne denen aus B.
    • Die Symmetrische DifferenzAB ist die Vereinigung aus A\B und B\A
    • Das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz kann bei der Vereinigungsmenge, der Schnittmenge und der Symmetrischen Differenz angewendet werden, jedoch nicht bei der Differenzmenge.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Mengenverknüpfungen

    Welche Verknüpfungen von Mengen gibt es?

    Eine der einfachsten Formen einer Mengenverknüpfung ist das disjunkte Ereignis. Zwei Mengen schneiden sich dabei nicht. Das Gegenereignis ist ebenso eine Form. Schneiden sich Mengen, gibt es eine Schnittmenge und eine Vereinigungsmenge. Die Differenzmenge ist die Menge mit den Elementen, die in der einen Menge, aber nicht in der anderen enthalten sind. Die Symmetrische Differenz stellt die Vereinigungsmenge ohne der Schnittmenge dar.

    Was versteht man unter einer Mengenschreibweise? 

    Es gibt grundsätzlich zwei Arten von Mengenschreibweisen: die aufzählende Mengenschreibweise ist mit A = {1, 2, 3} gegeben. Die beschreibende Mengenschreibweise wird in dieser Form verfasst: A = {x | x besitzt Eigenschaft 1, 2, ...}.

    Was versteht man unter einer Menge? 

    Eine Menge ist eine Zusammenfassung aus unterscheidbaren Objekten, bzw. Elementen. Du kannst eine Zahl 1 mit der 3 und 4, obwohl sie unterschiedlich sind, zusammenführen zu einer Menge, die die Zahlen von 1 bis 4 beinhaltet.

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    A enthält die Elemente 2, 4, 5, 6, 8. B enthält die Elemente 1, 4, 7. Was ist A\B?

    Gilt nun für die Differenzmenge das Assoziativ- und Kommutativgesetz?

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