Die Prozentrechnung findet im Alltag sehr häufig Anwendung: Beispielsweise beim Einkaufen, wenn etwas um 25 % reduziert ist, oder wenn eine Quote aufgestellt wird wie "Jede*r zehnte Bewohner*in geht bei der Bäckerei Brot kaufen''.
Mit bestimmten Methoden kann dann der Prozentsatz, der Grundwert oder der Prozentwert berechnet werden. Wie das geht, erfährst Du im Folgenden.
Rückblick: Prozentrechnung und ihre Grundgleichung
Ein Prozent ist festgelegt als:
Demnach kann man eine Prozentangabe auch als Bruch schreiben (zum Beispiel als Anteil von Hundert), aber auch als Dezimalzahl oder mithilfe des Prozentzeichens als Prozentsatz. Das kannst Du an diesem Beispiel sehen:
Auf Deinem Tisch liegen 10 Buntstifte, davon sind 2 rot. Dann kannst Du diese wie gehabt als Bruch darstellen. In den Zähler schreibst Du die Anzahl der farbigen Buntstifte, hier 2 rote, und in den Nenner die Gesamtzahl der Buntstifte:
Du kannst den Bruch auch kürzen oder als Dezimalzahl schreiben:
Durch die unterschiedlichen Schreibweisen kannst Du den gleichen Sachverhalt umformulieren. So kannst Du aus dem gekürzten Bruch schlussfolgern: "Jeder fünfte Stift ist rot." Doch Du kannst das auch zu einer Prozentdarstellung umwandeln.
Somit sind 20 % aller Stifte auf dem Tisch rot.
Wenn das noch alles sehr neu für Dich ist, dann schaue zuerst im Artikel Prozente in diesem Kapitel vorbei!
Mit Prozenten kann man Anteile und Größenverhältnisse nicht nur besser darstellen als über Brüche, man kann mit ihnen auch gut rechnen:
Die Grundgleichung der Prozentrechnung dient zur Berechnung von Grundwert (G), Prozentwert (P) oder Prozentsatz (p%). Die Gleichung ist immer die gleiche, sie wird nur nach dem gesuchten Wert umgestellt.
Berechnung des Prozentsatzes p%:
Berechnung des Prozentwertes P:
Berechnung des Grundwertes G:
Wenn zwei Werte gegeben sind, kann der dritte Wert berechnet werden.
Achtung: Die Benennung von Grundwert als G, Prozentwert als P und Prozentsatz als p%, ist nicht in allen Lehrbüchern gleich!
Um Dir besser merken zu können, wie die Formel bei welchem Wert aussieht, gibt es das Dreieck der Prozentrechnung.
Abbildung 1: Formeldreieck der Prozentrechnung
Prozentwert berechnen mit der Grundgleichung
Der Prozentwert P ist der absolute Anteil am Gesamten. Wenn Du also davon sprichst, dass zwei Schüler*innen aus der gesamten Klasse ein bestimmtes Merkmal aufweisen, dann entsprechen diese dem Prozentwert.
Der Prozentwert ist demnach ein Zahlenwert, der vom Grundwert abhängig ist und mit dem Prozentsatz ins Verhältnis gesetzt wird. Wie kannst Du nun den Prozentwert berechnen?
Schaue Dir dazu das Dreieck an. Daraus kannst Du erschließen, wie die Gleichung aussieht, um den Prozentwert zu berechnen.
Abbildung 2: Grundwert aus dem Formeldreieck der Prozentrechnung
Die Formel zeigt Dir, dass Du den gesuchten Prozentwert erhältst, wenn Du den Grundwert mit dem Prozentsatz multiplizierst. Zur besseren Veranschaulichung folgt hier ein Beispiel:
Aufgabe 1
Stelle Dir vor, dass Du eine Smartwatch besitzt und ein Schrittziel von 10.000 Schritten pro Tag angegeben hast. Du hast am Ende des Tages 62,3 % Deines Schrittziels erreicht. Wie viele Schritte bist Du gelaufen?
Lösung
Du hast 10.000 Schritte eingestellt. Das heißt, das ist Dein Grundwert, da Du diese Schrittanzahl jeden Tag erreichen willst. Dein Prozentsatz entspricht den 62,3 %. Nun kannst Du die Werte einfach in die obige Formel einsetzen:
Du bist heute also 6.230 Schritte gelaufen!
Prozentwert berechnen mit dem Dreisatz
Abgesehen von der intuitiven Berechnung von Prozenten oder der Grundgleichung der Prozentrechnung, gibt es noch einen weiteren Weg. Du kannst auch den Dreisatz verwenden, welcher die direkte Proportionalität der Prozentwertung nutzt.
Das Vorgehen beim Dreisatz ist immer ähnlich:
- Du setzt den Grundwert mit 100 % gleich.
- Du errechnest den Grundwert für den Prozentsatz 1 % aus, oder einem anderen Vielfachen, indem Du auf beiden Seiten die gleiche Rechnung vornimmst.
- Zum Schluss multiplizierst Du die 1 % mit dem gegebenen Prozentsatz, damit der gesuchte Prozentwert herauskommt.
Zur Veranschaulichung folgt hier wieder das obige Beispiel mit der Smartwatch:
Aufgabe 2
Stelle Dir dazu vor, dass Du eine Smartwatch besitzt und ein Schrittziel von 10.000 Schritten pro Tag angegeben hast. Du hast am Ende des Tages 62,3 % Deines Schrittziels erreicht. Wie viele Schritte bist Du gelaufen?
Lösung
Das "Dach" auf dem Gleichheitszeichen bedeutet als gesamtes Symbol "entspricht". Da es keinen Sinn ergeben würde zu sagen, dass 62,3 % das Gleiche wäre wie 6.230 Schritte. Man sagt eben, dass 62,3 % den 6.230 Schritten entsprechen!
Auch hier kommst Du wieder auf das Ergebnis, dass Du 6.230 Schritte gelaufen bist!
Aufgabe 3
Zurzeit bekommst Du 10,00 € Taschengeld. Zum nächsten Schuljahr bekommst Du 20 % mehr Taschengeld. Das haben Dir Deine Eltern so versprochen. Wie viel Taschengeld würdest Du dann erhalten?
Lösung
Der Grundwert entspricht den 10 €, die Du zurzeit bekommst. Nach der Erhöhung bekommst Du 20 % mehr. In Summe bekommst Du also 120 % Deines Taschengeldes. Du könntest aber auch ausrechnen, wie viel 20 % von 10 € sind und diese dann zu Deinen bisherigen 10 € Taschengeld dazu addieren.
Demnach bekommst Du 2 € mehr Taschengeld, was Dich zu insgesamt 12,00 € Taschengeld bringt!
Prozente sind umkehrbar. Den folgenden Trick kannst Du immer anwenden, wenn Du den Prozentwert berechnen sollst.
Angenommen Du sollst ausrechnen, was 12 % von 50 ist. Nun kannst Du das auch in die entsprechende Formel einfügen. Alternativ kannst Du die Aufgabe aber auch schnell im Kopf lösen.
Gesucht ist der Prozentwert, also würdest Du rechnen:
Wie bereits erwähnt, kann die Rechnung auch gewissermaßen umgekehrt werden:
Statt auszurechnen, was 12 % von 50 ist, kannst Du auch berechnen, was 50 % von 12 ist. Das ist deutlich leichter und die Antwort liegt auf der Hand: 50 % ist die Hälfte und die Hälfte von 12 ist 6.
Beispiele zum Üben
Zum Schluss kannst Du Dein Wissen an den folgenden Aufgaben noch einmal testen. Versuche die Aufgaben eigenständig zu lösen, ohne vorher in die Lösung zu schauen.
Aufgabe 4
Eine Buchautorin erhält 2 % vom Preis jeden verkauften Buches. Das Buch kostet im Laden 12,34 €. Insgesamt wurden 23.000 Bücher verkauft, wie viel hat die Autorin mit ihrem Buch verdient?
Lösung
Zuerst berechnest Du, wie viel die Autorin pro Buch bekommt.
Die Autorin erhält also rund 25ct pro verkauftes Buch. Da sie 23.000 Bücher verkauft hat, sind die Gesamteinkünfte:
Somit hat sie 4.936 € verdient.
Aufgabe 5
Beim Fahrradhändler gibt es diese Woche 23 % Rabatt beim Kauf eines neuen Fahrrads. Das Fahrrad sollte ursprünglich 673 € kosten. Wie viel kostet es nach der Preisreduzierung?
Lösung
Dazu setzt Du den Grundwert von 637 € einfach in die Gleichung von oben ein:
Man bekommt also rund 146 € rabattiert. Das gesparte Geld kannst Du vom ursprünglichen Kaufpreis abziehen und erhältst, was Du mit dem Rabatt nur noch bezahlen musst:
Für das Fahrrad müssen also noch 488,18 € bezahlt werden.
Prozentwert berechnen – Das Wichtigste
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