Was ist eine Tangente?
Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graphen einer Funktion in genau einem Punkt, dem Berührpunkt, berührt und dort dieselbe Steigung wie die Kurve hat. Sie ist die beste geradlinige Näherung der Funktion an dieser Stelle. Die Tangentengleichung beschreibt diese Gerade als y = f'(x0)·(x − x0) + f(x0).
Anschaulich schmiegt sich die Tangente im Berührpunkt an die Kurve an: Sie streift den Graphen, ohne ihn dort zu durchqueren, und läuft in genau der Richtung, in die auch die Funktion an dieser Stelle zeigt. Deshalb wird sie in der Differentialrechnung genutzt, um das Verhalten einer Funktion lokal durch eine einfache Gerade zu beschreiben.
Der Berührpunkt hat die Koordinaten P(x0 | f(x0)). Dabei ist x0 die Stelle, an der die Tangente die Kurve berührt, und f(x0) der zugehörige Funktionswert. Über 40 Millionen Lernende nutzen StudySmarter, um solche Grundbegriffe der Analysis sicher für Klausur und Abitur zu beherrschen.
Tangentengleichung lernen?
Wie lautet die Formel der Tangentengleichung?
Die Formel der Tangentengleichung lautet y = f'(x0)·(x − x0) + f(x0). Sie entsteht aus der Punkt-Steigungs-Form einer Geraden: Du kennst mit dem Berührpunkt P(x0 | f(x0)) einen Punkt und mit m = f'(x0) die Steigung. Setzt du beides in die Punkt-Steigungs-Form ein, erhältst du direkt die Tangente.
Eine Gerade ist durch einen Punkt und eine Steigung eindeutig festgelegt. Die Punkt-Steigungs-Form dafür ist y = m·(x − x0) + y0. Für die Tangente ist der Punkt der Berührpunkt (x0, f(x0)) und die Steigung die Ableitung f'(x0). Setzt man y0 = f(x0) und m = f'(x0) ein, ergibt sich unmittelbar die Tangentengleichung.
Du brauchst also immer nur zwei Zutaten: die Steigung f'(x0) und den Funktionswert f(x0). Beide berechnest du aus der gegebenen Funktion und der gegebenen Stelle x0. Alles Weitere ist Einsetzen und Zusammenfassen zur bekannten Geradenform y = mx + b.
Warum ist die Tangentensteigung gleich der Ableitung?
Die Tangentensteigung ist gleich der Ableitung f'(x0), weil die Tangente der Grenzfall der Sekante ist. Lässt man den zweiten Punkt der Sekante gegen den Berührpunkt wandern, geht die durchschnittliche Steigung, der Differenzenquotient, in die momentane Steigung über, und genau diese ist als Ableitung f'(x0) definiert.
Eine Sekante verbindet zwei Punkte des Graphen und hat die durchschnittliche Steigung, den Differenzenquotienten. Rückt der zweite Punkt immer näher an den Berührpunkt heran, dreht sich die Sekante langsam in die Lage der Tangente. Im Grenzwert, wenn der Abstand gegen null geht, wird aus dem Differenzenquotienten der Differentialquotient, also die Ableitung.
Die Ableitung f'(x0) misst, wie stark die Funktion an der Stelle x0 ansteigt oder fällt. Genau dieser Wert ist die Steigung der Tangente. Ist f'(x0) positiv, steigt die Tangente; ist er negativ, fällt sie; ist er null, verläuft die Tangente waagerecht, zum Beispiel in einem Hoch- oder Tiefpunkt.
Wie stellt man eine Tangentengleichung auf?
Eine Tangentengleichung stellst du in vier Schritten auf: Zuerst die Funktion ableiten, dann x0 in die Ableitung einsetzen, um die Steigung m = f'(x0) zu bekommen, danach x0 in f einsetzen für den Funktionswert f(x0), und zuletzt beide Werte in y = f'(x0)·(x − x0) + f(x0) einsetzen und zusammenfassen.
Wenn der Berührpunkt über die Stelle x0 gegeben ist, ist das Vorgehen immer gleich. Diese vier Schritte funktionieren für Polynome, Wurzeln, e-Funktionen und alle anderen differenzierbaren Funktionen.
- Ableitung bilden: Bestimme f'(x) mit den Ableitungsregeln. Sie liefert die Steigung an jeder Stelle.
- Steigung berechnen: Setze x0 in f'(x) ein. Das Ergebnis m = f'(x0) ist die Steigung der Tangente.
- Berührpunkt bestimmen: Setze x0 in f(x) ein und erhalte den y-Wert f(x0) des Berührpunktes P(x0 | f(x0)).
- Einsetzen: Setze m und f(x0) in y = f'(x0)·(x − x0) + f(x0) ein und fasse zu y = mx + b zusammen.
Statt der Punkt-Steigungs-Form kannst du auch die Steigung m = f'(x0) in y = mx + b einsetzen und dann den Berührpunkt (x0, f(x0)) benutzen, um b zu bestimmen. Beide Wege führen zur selben Tangente, die Punkt-Steigungs-Form spart dabei einen Rechenschritt.
Tangentengleichung an einem Beispiel durchgerechnet
Ein durchgerechnetes Beispiel macht das Vorgehen greifbar. Für f(x) = x² an der Stelle x0 = 3 ergibt sich die Steigung f'(3) = 6 und der Funktionswert f(3) = 9. Eingesetzt in die Formel führt das auf die Tangentengleichung y = 6x − 9. Die Probe an der Stelle x0 bestätigt das Ergebnis.
Wir rechnen zwei Beispiele: eine Parabel und eine kubische Funktion. So siehst du, dass das Schema unabhängig vom Funktionstyp funktioniert.
1) Ableitung: f'(x) = 2x.
2) Steigung: m = f'(3) = 2 · 3 = 6.
3) Berührpunkt: f(3) = 3² = 9, also P(3 | 9).
4) Einsetzen: y = 6·(x − 3) + 9 = 6x − 18 + 9 = 6x − 9.
Probe: An der Stelle x = 3 liefert 6 · 3 − 9 = 9 = f(3). Der Berührpunkt liegt korrekt auf der Tangente.
1) Ableitung: f'(x) = 3x² − 2.
2) Steigung: m = f'(1) = 3 · 1² − 2 = 1.
3) Berührpunkt: f(1) = 1³ − 2 · 1 + 1 = 0, also P(1 | 0).
4) Einsetzen: y = 1·(x − 1) + 0 = x − 1.
Probe: An der Stelle x = 1 liefert 1 − 1 = 0 = f(1). Passt.
In beiden Fällen sind es dieselben vier Schritte. Wichtig ist nur, sauber zwischen der Funktion f (für den y-Wert) und der Ableitung f' (für die Steigung) zu unterscheiden.
Tangente, Sekante oder Normale: Was ist der Unterschied?
Der Unterschied liegt in der Lage zur Kurve: Eine Sekante schneidet die Kurve in zwei Punkten, eine Tangente berührt sie in genau einem Punkt, und die Normale steht im Berührpunkt senkrecht auf der Tangente. Für die Steigungen von Tangente und Normale gilt der Zusammenhang m_Tangente · m_Normale = −1.
Diese drei Geraden werden in Aufgaben leicht verwechselt, gehören aber eng zusammen. Die Sekante ist gewissermaßen die Vorstufe der Tangente, und die Normale ergibt sich direkt aus der Tangente.
| Gerade | Lage zur Kurve | Steigung |
|---|---|---|
| Sekante | schneidet die Kurve in zwei Punkten | Differenzenquotient (Durchschnitt) |
| Tangente | berührt die Kurve in genau einem Punkt | m = f'(x0) |
| Normale | steht senkrecht auf der Tangente | −1/f'(x0) |
Die Normalengleichung lautet y = f(x0) − 1/f'(x0)·(x − x0), sofern f'(x0) ≠ 0 ist. Für die Parabel aus Beispiel 1 mit m = 6 im Punkt P(3 | 9) hat die Normale die Steigung −1/6 und damit die Gleichung y = −1/6·(x − 3) + 9. Der Berührpunkt ist bei Tangente und Normale derselbe, nur die Steigung unterscheidet sich.
Wie bestimmt man den Berührpunkt bei gegebener Steigung?
Ist nur die Steigung m gegeben und der Berührpunkt gesucht, setzt du f'(x0) = m und löst nach x0 auf. Die so gefundene Stelle x0 setzt du in f ein, um f(x0) zu erhalten. Mit x0 und f(x0) stellst du die Tangente dann wie gewohnt über die Formel auf.
Bei diesem Aufgabentyp ist nicht die Stelle vorgegeben, sondern die Steigung, die die Tangente haben soll. Da die Ableitung die Steigung an jeder Stelle beschreibt, liefert die Gleichung f'(x0) = m genau die Stelle(n), an denen die Tangente diese Steigung hat.
Ansatz: f'(x0) = 6. Mit f'(x) = 2x folgt 2·x0 = 6, also x0 = 3. Dann f(3) = 9. Die Tangente mit Steigung 6 berührt die Parabel im Punkt P(3 | 9) und lautet y = 6x − 9, genau wie in Beispiel 1.
Bei Funktionen höheren Grades kann f'(x0) = m mehrere Lösungen für x0 haben. Dann gibt es mehrere Berührstellen und entsprechend mehrere Tangenten mit derselben Steigung. Löse die Gleichung vollständig und prüfe jede Lösung.
Übungsaufgaben zur Tangentengleichung
Fünf Übungsaufgaben zur Tangentengleichung decken die Formel, das Ableiten, die Steigungsberechnung, den Sonderfall gegebener Steigung und die Normale ab. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst, klappe dann die Lösung auf und vergleiche deinen Lösungsweg Schritt für Schritt mit der Musterlösung.
y = f'(x0)·(x − x0) + f(x0). Dabei ist f'(x0) die Steigung und f(x0) der y-Wert im Berührpunkt.
f'(x) = 2x, m = f'(2) = 4, f(2) = 4. Tangente: y = 4·(x − 2) + 4 = 4x − 4.
f'(x) = 3x², m = f'(1) = 3, f(1) = 1. Tangente: y = 3·(x − 1) + 1 = 3x − 2.
f'(x) = 2x, Ansatz 2·x0 = 10, also x0 = 5. Der Berührpunkt ist P(5 | 25), die Tangente lautet y = 10x − 25.
Wegen m_Tangente · m_Normale = −1 gilt m_Normale = −1/4. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente.
Karteikarten zur Tangentengleichung
Sechs Karteikarten zu den wichtigsten Punkten rund um die Tangentengleichung, von der Formel über die Steigung als Ableitung bis zum Berührpunkt und der Normale. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen durch das Set.
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Tangentengleichung, das Wichtigste
Eine Tangentengleichung beschreibt die Gerade, die den Graphen im Berührpunkt berührt: y = f'(x0)·(x − x0) + f(x0). Die Steigung ist die Ableitung f'(x0), der y-Wert ist f(x0). Du bildest die Ableitung, setzt x0 in f' und f ein und trägst beides in die Formel ein.
- Formel: y = f'(x0)·(x − x0) + f(x0).
- Steigung: m = f'(x0), die Ableitung an der Stelle x0.
- Berührpunkt: P(x0 | f(x0)) liegt auf Kurve und Tangente.
- Ablauf: ableiten, x0 in f' und f einsetzen, in die Formel einsetzen, Probe machen.
- Normale: Steigung −1/f'(x0), steht senkrecht auf der Tangente.
Häufige Fragen zur Tangentengleichung
Die Tangente an eine Funktion f im Berührpunkt an der Stelle x0 hat die Gleichung y = f'(x0)·(x − x0) + f(x0). Dabei ist f'(x0) die Steigung der Tangente und f(x0) der Funktionswert im Berührpunkt P(x0 | f(x0)).
Man bildet zuerst die Ableitung f'(x). Dann setzt man die Stelle x0 in f'(x) ein, um die Steigung m = f'(x0) zu erhalten, und in f(x), um den Berührpunkt f(x0) zu bekommen. Beide Werte setzt man in y = f'(x0)·(x − x0) + f(x0) ein und fasst zusammen.
Die Tangente ist der Grenzfall der Sekante: Lässt man den zweiten Punkt gegen den Berührpunkt wandern, geht der Differenzenquotient der Sekante in die Ableitung f'(x0) über. Deshalb ist die Tangentensteigung genau der Wert der Ableitung an der Stelle x0.
Eine Sekante schneidet die Kurve in zwei Punkten, eine Tangente berührt sie in genau einem Punkt, und die Normale steht im Berührpunkt senkrecht auf der Tangente. Für die Steigungen gilt m_Tangente · m_Normale = −1.
Ist nur die Steigung m gegeben, setzt man f'(x0) = m und löst nach x0 auf. Damit hat man die Stelle des Berührpunktes; f(x0) liefert den zugehörigen y-Wert, und beides setzt man wie gewohnt in die Tangentengleichung ein.
Die Normale hat die Steigung −1/f'(x0) und die Gleichung y = f(x0) − 1/f'(x0)·(x − x0), sofern f'(x0) ungleich null ist. Sie steht im Berührpunkt senkrecht auf der Tangente.
Quellen
Die fachlichen Inhalte orientieren sich an etablierter Fachliteratur, einem Landesbildungsserver und offenen Lehrmaterialien:
- Tangente (Definition, Steigung als Ableitung, lineare Näherung, Abgrenzung Sekante). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Normale (Definition, Steigung −1/f'(x0), Senkrechtstellung zur Tangente). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Landesbildungsserver Baden-Württemberg: Tangenten- und Normalengleichungen (Punkt-Steigungs-Form, Aufgabentypen). schule-bw.de
- Ableitung und Differenzierbarkeit (Differenzenquotient, Grenzwert, Ableitung). Wikibooks, Mathe für Nicht-Freaks. de.wikibooks.org