Trigonometrische Gleichungen

Trigonometrische Gleichungen können Dir überall im Alltag begegnen: Das Ventil eines Fahrradreifens dreht sich zum Beispiel immer wieder entlang einer Kreisbahn. Die Bewegung und Position eines Punktes auf einem Kreis wird durch Kosinus und Sinus beschrieben, diese sind Teil der Trigonometrischen Gleichungen. Eine Definition, die wichtigsten Regeln und Tipps zum Lösen von trigonometrischen Gleichungen gibt es in dieser Erklärung.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Trigonometrische Gleichungen Beispiel StudySmarterAbb. 1 - Ventil Fahrradreifen.

    Trigonometrische Gleichungen – Erklärung

    Für trigonometrische Gleichungen braucht es die trigonometrischen Funktionen, auch Winkelfunktionen genannt.

    Trigonometrische Funktionen

    Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus beschreiben die Abstände eines Punktes auf einem Einheitskreis um den Koordinatenursprung bei einem vorgegebenen Winkel.

    Der Tangens ist der Quotient aus den beiden: \(tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}\).

    Wenn Du mehr dazu wissen möchtest, schau Dir doch die Erklärung "trigonometrische Funktionen" an.

    Trigonometrische Gleichungen Trigonometrische Funktionen StudySmarter

    Abb. 2 - Trigonometrische Funktionen.

    Die Abbildung zeigt, dass sich die Werte der allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion immer zwischen \(-1\) und \(1\) bewegen, dies wird auch als sogenannte Amplitude von \(A=1\)bezeichnet. Der Tangens stattdessen kann auch Werte darüber hinaus annehmen.

    Zudem sind alle allgemeinen trigonometrischen Funktionen periodisch. Sinus und Kosinus besitzen eine Periode von \(2\pi\), der Tangens von \(\pi\).

    Trigonometrische Gleichungen – Definition

    Hier erfährst Du, wie Gleichungen aussehen, die mit den Winkelfunktionen arbeiten.

    Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable innerhalb einer Winkelfunktion (trigonometrische Funktion) vorkommt.

    Schau Dir dazu am besten einige Beispiele an.

    Bei diesen Gleichungen handelt es sich um trigonometrische Gleichungen:

    • \({\color{#1478c8}sin(x)} = \frac{1}{2}x\)
    • \(\sqrt{2}-5= {\color{#1478c8}cos(x)}+3\)
    • \(2\cdot {\color{#1478c8}tan(x)} = 16{,}6\)

    Trigonometrische Gleichungen – Regeln

    Wie bei allen mathematischen Operationen gibt es bei den Trigonometrischen Funktionen Regeln, die Dir das Rechnen leichter machen.

    Name der RegelRechenregel für trigonometrische Gleichungen
    Trigonometrischer Pythagoras$$ sin^2(x) + cos^2(x) = 1 $$
    Symmetrien$$ sin(-x) = -sin(x) $$$$ cos(-x) = +cos(x) $$$$ tan(-x) = -tan(x) $$
    Phasenverschiebungen$$ sin(x+ \frac {\pi}{2}) =sin(x+90°) = +cos(x)$$$$ cos(x+ \frac {\pi}{2}) =cos(x+90°) = -sin(x)$$$$ sin(x+ \frac {\pi}{2}) =sin(x+90°) = -tan(x)$$
    Doppelwinkelfunktionen$$ sin(2x) = 2sin(x) \cdot cos(x) $$$$ cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1-2sin^2(x) = 2cos^2(x)-1 $$
    Halbwinkelformeln$$ sin( \frac{x}{2} ) = \sqrt{ \frac{1-cos(x)}{2}} \in [0,2 \pi] $$$$ cos( \frac{x}{2} ) = \sqrt{ \frac{1+cos(x)}{2}} \in [ -\pi , \pi ] $$
    Quadrate der Winkelfunktionen$$ sin^2(x)= \frac{1}{2}(1-cos(2x)) $$$$ cos^2(x)= \frac{1}{2}(1+cos(2x)) $$$$ tan^2(x)= \frac{1-cos(2x)}{1+cos(2x)} $$

    Trigonometrische Gleichungen lösen – Tipps

    Möchtest Du Trigonometrische Gleichungen lösen, gibt es mehrere verschiedene Möglichkeiten, wie Du vorgehen kannst.

    Trigonometrische Gleichungen Schnittpunkt

    Eine Gleichung kann immer aufgeteilt werden in einen Term links und einen Term rechts des Gleichheitszeichens.

    Stellst Du Dir nun beide als eigene Funktionen vor, gibt der Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen die Lösung der Gleichung an.

    In Deinem Buch steht etwa die folgende Gleichung:

    $$ sin(x) = \frac{1}{2}x $$

    Dann kannst Du die beiden Terme links und rechts des Gleichheitszeichens als einzelne Funktionen schreiben.

    $$ f(x) = sin(x) $$

    $$ g(x) = \frac{1}{2}x $$

    Sie haben genau dort den gleichen Funktionswert, wo sie sich schneiden.

    Trigonometrische Gleichungen Winkelfunktion Schnittpunkt lineare Funktion StudySmarterAbb. 3 - Trigonometrische Gleichungen lösen Schnittpunkt

    Die Lösungen liegen also bei:

    $$ x_1 \approx -1{,}90 $$

    $$ x_2 = 0 $$

    $$ x_3 \approx 1{,}90 $$

    Trigonometrische Gleichungen im Intervall lösen

    Kannst Du trigonometrische Gleichungen rechnerisch lösen, so werden oft die Lösungen für ein bestimmtes Intervall gesucht.

    Schau Dir nun also eine Aufgabe im beschränkten Intervall an.

    Aufgabe 1

    Löse die trigonometrische Gleichung innerhalb des Intervalls \(I=[-\pi;\pi]\).

    \[sin(x)+1=1,25\]

    Lösung

    Bringe zunächst die Winkelfunktion alleine auf eine Seite.

    \begin{align}sin(x)+1&=1{,}25 &&|-1 \\ sin(x)&=0{,}25\end{align}

    Anschließend kannst Du die Gleichung mithilfe der \(arcsin\)-Taste auf Deinem Taschenrechner lösen.

    \begin{align}sin(x)&=1{,}25 \\ x&=arcsin(0{,}25) \\x_1&\approx 0{,}25\end{align}

    Die zweite Lösung liegt beim Sinus bei \(\pi\) abzüglich der ersten Lösung.

    \begin{align}x_2&=\pi-0{,}25 \\ x_2 &\approx 2{,}89\end{align}

    Zuletzt ist die Frage, welche der unendlich vielen Lösungsmöglichkeiten innerhalb des gesuchten Intervalls liegen.

    In diesem Fall sind das nur diese zwei Lösungen \(x_1\) und \(x_2\), alle weiteren Lösungen (\(x_{1/2}+n\cdot 2\pi\)) liegen außerhalb des gesuchten Intervalls \(I=[-\pi; \pi]\).

    Damit kannst Du dann auch bei dieser Art von Gleichung eine endliche Lösungsmenge bestimmen.

    Trigonometrische Gleichungen Nullstellen

    Oft sind auch die Nullstellen von trigonometrischen Funktionen gefragt. Diese kannst Du mithilfe trigonometrischer Gleichungen berechnen.

    Aufgabe 2

    Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x).

    $$f(x)= cos(x) - \frac{ \sqrt{3}}{2} $$

    Lösung

    Setze zunächst den Funktionsterm mit \(0\) gleich, um die Nullstellen zu berechnen.

    $$ cos (x) - \frac{ \sqrt{3}}{2} = 0 $$

    Dann stellst Du die Gleichung so um, dass die Winkelfunktion alleine auf einer Seite steht.

    $$ cos (x) = \frac{ \sqrt{3}}{2} $$

    Jetzt kannst Du über den sogenannten \(arccos\) oder auch \(cos^{-1}\) (auf dem Taschenrechner) die erste Lösung bestimmen.

    $$ x = arccos ( \frac{ \sqrt{3}}{2} ) $$

    Die erste Lösung ist also \( x_1 = \frac {1}{6} \pi \).

    Ein Blick auf die Darstellung der Funktion zeigt, warum das unvollständig wäre.

    Trigonometrische Gleichungen Winkelfunktion StudySmarterAbb. 4 - Schnittpunkte einer trigonometrischen Funktion.

    Denn beim symmetrischen Kosinus gibt es auf der anderen Seite der x-Achse noch eine zweite Lösung.

    $$ x_2 = - \frac {1}{6} \pi $$

    Diese wird üblicherweise innerhalb von \(360°\) beziehungsweise \(2\pi\) angegeben, womit die zweite Lösung dann, nach einer vollständigen Drehung wäre:

    $$ x_2 = 2 \pi - \frac {1}{6} \pi = \frac {11}{6} \pi $$

    Korrekt sind also alle diese Lösungen, genauso wie unendlich viele andere Lösungen, die jeweils eine komplette Periode von diesen beiden entfernt sind.

    Damit ergeben sich als vollständige Lösungen:$$ x_1 = \frac {1}{6} \pi + n \cdot 2 \pi ; n \in \mathbb{Z} $$

    $$ x_2 = \frac {11}{6} \pi + n \cdot 2 \pi ; n \in \mathbb{Z} $$

    Durch Addition und Subtraktion kannst Du viele Gleichungen in diese Form bringen.

    Trigonometrische Gleichungen – Beispiele und Aufgaben

    Versuche Dich also nun selbst einmal an ein paar Aufgaben.

    Aufgabe 3

    Finde die Nullstellen der Funktion:

    $$ f(x)=tan(x) + \pi $$

    Lösung

    Setze zunächst die gegebene Funktion mit \(0\) gleich.

    $$ f(x)=tan(x) + \pi = 0 $$

    Stelle die Gleichung dann so um, dass die Winkelfunktion isoliert auf einer Seite steht.

    $$ tan(x) = - \pi $$

    Mit \(tan^{-1}\) auf dem Rechner kannst Du dann die Lösungen bestimmen und die Periode des Tanges anhängen.

    $$ x \approx -1{,}26 +n \cdot \pi \text{ mit } n \in \mathbb{Z} $$

    Und mit dieser Lösung kannst Du dann danach herausfinden, welche davon in einem vorgegebenen Intervall liegen.

    Aufgabe 4

    Gib die Lösungen aus Aufgabe 3 (\( x \approx -1{,}26 + n\cdot \pi \text{ mit } n \in \mathbb{Z} \)) für das Intervall \( x \in [-2\pi;2\pi] \) an.

    Lösung

    Die Lösungen liegen bekanntlich bei:

    $$ x \approx -1{,}26 + n\cdot \pi ; n \in \mathbb{Z} $$

    Jetzt musst Du also herausfinden, welche der Lösungen auch in dem Intervall liegen. Dafür schaust Du Dir an, welche n Du einsetzen kannst, um Lösungen innerhalb des Intervalls zu erhalten.

    Teste dafür einmal \(n=-2\), \(n=-1\), \(n=1\) und \(n=2\) aus.

    \begin{align}x&=-1{,}26-2\cdot \pi \approx {\color{#fa3273}-7{,}55} \\x_2&=-1{,}26-1\cdot \pi \approx -4{,}40 \\x_3&=-1{,}26+1\cdot \pi \approx 1{,}88 \\x_4&=-1{,}26+2\cdot \pi \approx 5{,}02 \end{align}

    Der Wert für \(n=-2\) liegt nicht innerhalb des Intervalls, alle anderen schon. Deshalb ergeben sich folgende Lösungen für das begrenzte Intervall \(I\):

    \[x_1 \approx -1{,}26, x_2 \approx -4{,}40, x_3 \approx 1{,}88 \text{ und } x_4 \approx 5{,}02\]

    Trigonometrische Gleichungen – Das Wichtigste

    • Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable innerhalb einer Winkelfunktion (trigonometrische Funktion) vorkommt.
    • Ohne Intervall haben trigonometrische Gleichungen meist unendlich viele Lösungen
      • bei trigonometrischen Gleichungen im Intervall werden die Anzahl der Lösungen beschränkt
    • es gibt praktische Regeln für das Rechnen mit Winkelfunktionen, um trigonometrische Gleichungen zu lösen
    • Du kannst trigonometrische Gleichungen so umstellen, dass Du am Ende nur die Nullstellen bestimmen musst.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Trigonometrische Gleichungen

    Wie löst man eine Sinus Gleichung?

    1. Bringe die Winkelfunktion sin(x) alleine auf eine Seite.

    2. Berechne die Lösung mithilfe von sin-1 mit Deinem Taschenrechner.

    Wie viele Lösungen kann eine trigonometrische Gleichung haben?

    Trigonometrische Gleichungen haben oft unendlich viele Lösungen oder keine Lösungen.

    Ist ein Intervall gegeben, wird die Lösungsanzahl endlich.

    Wie lauten die Gleichungen der Funktionen Trigonometrie?

    • sin(x)
    • cos(x)
    • tan(x) = sin(x)/cos(x)

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