Trigonometrische Gleichungen können Dir überall im Alltag begegnen: Das Ventil eines Fahrradreifens dreht sich zum Beispiel immer wieder entlang einer Kreisbahn. Die Bewegung und Position eines Punktes auf einem Kreis wird durch Kosinus und Sinus beschrieben, diese sind Teil der Trigonometrischen Gleichungen. Eine Definition, die wichtigsten Regeln und Tipps zum Lösen von trigonometrischen Gleichungen gibt es in dieser Erklärung.
Abb. 1 - Ventil Fahrradreifen.
Trigonometrische Gleichungen – Erklärung
Für trigonometrische Gleichungen braucht es die trigonometrischen Funktionen, auch Winkelfunktionen genannt.
Trigonometrische Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus beschreiben die Abstände eines Punktes auf einem Einheitskreis um den Koordinatenursprung bei einem vorgegebenen Winkel.
Der Tangens ist der Quotient aus den beiden: \(tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}\).
Wenn Du mehr dazu wissen möchtest, schau Dir doch die Erklärung "trigonometrische Funktionen" an.
Abb. 2 - Trigonometrische Funktionen.
Die Abbildung zeigt, dass sich die Werte der allgemeinen Sinus- und Kosinusfunktion immer zwischen \(-1\) und \(1\) bewegen, dies wird auch als sogenannte Amplitude von \(A=1\)bezeichnet. Der Tangens stattdessen kann auch Werte darüber hinaus annehmen.
Zudem sind alle allgemeinen trigonometrischen Funktionen periodisch. Sinus und Kosinus besitzen eine Periode von \(2\pi\), der Tangens von \(\pi\).
Trigonometrische Gleichungen – Definition
Hier erfährst Du, wie Gleichungen aussehen, die mit den Winkelfunktionen arbeiten.
Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable innerhalb einer Winkelfunktion (trigonometrische Funktion) vorkommt.
Schau Dir dazu am besten einige Beispiele an.
Bei diesen Gleichungen handelt es sich um trigonometrische Gleichungen:
- \({\color{#1478c8}sin(x)} = \frac{1}{2}x\)
- \(\sqrt{2}-5= {\color{#1478c8}cos(x)}+3\)
- \(2\cdot {\color{#1478c8}tan(x)} = 16{,}6\)
Trigonometrische Gleichungen – Regeln
Wie bei allen mathematischen Operationen gibt es bei den Trigonometrischen Funktionen Regeln, die Dir das Rechnen leichter machen.
| Name der Regel | Rechenregel für trigonometrische Gleichungen |
| Trigonometrischer Pythagoras | $$ sin^2(x) + cos^2(x) = 1 $$ |
| Symmetrien | $$ sin(-x) = -sin(x) $$$$ cos(-x) = +cos(x) $$$$ tan(-x) = -tan(x) $$ |
| Phasenverschiebungen | $$ sin(x+ \frac {\pi}{2}) =sin(x+90°) = +cos(x)$$$$ cos(x+ \frac {\pi}{2}) =cos(x+90°) = -sin(x)$$$$ sin(x+ \frac {\pi}{2}) =sin(x+90°) = -tan(x)$$ |
| Doppelwinkelfunktionen | $$ sin(2x) = 2sin(x) \cdot cos(x) $$$$ cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1-2sin^2(x) = 2cos^2(x)-1 $$ |
| Halbwinkelformeln | $$ sin( \frac{x}{2} ) = \sqrt{ \frac{1-cos(x)}{2}} \in [0,2 \pi] $$$$ cos( \frac{x}{2} ) = \sqrt{ \frac{1+cos(x)}{2}} \in [ -\pi , \pi ] $$ |
| Quadrate der Winkelfunktionen | $$ sin^2(x)= \frac{1}{2}(1-cos(2x)) $$$$ cos^2(x)= \frac{1}{2}(1+cos(2x)) $$$$ tan^2(x)= \frac{1-cos(2x)}{1+cos(2x)} $$ |
Trigonometrische Gleichungen lösen – Tipps
Möchtest Du Trigonometrische Gleichungen lösen, gibt es mehrere verschiedene Möglichkeiten, wie Du vorgehen kannst.
Trigonometrische Gleichungen Schnittpunkt
Eine Gleichung kann immer aufgeteilt werden in einen Term links und einen Term rechts des Gleichheitszeichens.
Stellst Du Dir nun beide als eigene Funktionen vor, gibt der Schnittpunkt der beiden Funktionsgraphen die Lösung der Gleichung an.
In Deinem Buch steht etwa die folgende Gleichung:
$$ sin(x) = \frac{1}{2}x $$
Dann kannst Du die beiden Terme links und rechts des Gleichheitszeichens als einzelne Funktionen schreiben.
$$ f(x) = sin(x) $$
$$ g(x) = \frac{1}{2}x $$
Sie haben genau dort den gleichen Funktionswert, wo sie sich schneiden.
Abb. 3 - Trigonometrische Gleichungen lösen Schnittpunkt
Die Lösungen liegen also bei:
$$ x_1 \approx -1{,}90 $$
$$ x_2 = 0 $$
$$ x_3 \approx 1{,}90 $$
Trigonometrische Gleichungen im Intervall lösen
Kannst Du trigonometrische Gleichungen rechnerisch lösen, so werden oft die Lösungen für ein bestimmtes Intervall gesucht.
Schau Dir nun also eine Aufgabe im beschränkten Intervall an.
Aufgabe 1
Löse die trigonometrische Gleichung innerhalb des Intervalls \(I=[-\pi;\pi]\).
\[sin(x)+1=1,25\]
Lösung
Bringe zunächst die Winkelfunktion alleine auf eine Seite.
\begin{align}sin(x)+1&=1{,}25 &&|-1 \\ sin(x)&=0{,}25\end{align}
Anschließend kannst Du die Gleichung mithilfe der \(arcsin\)-Taste auf Deinem Taschenrechner lösen.
\begin{align}sin(x)&=1{,}25 \\ x&=arcsin(0{,}25) \\x_1&\approx 0{,}25\end{align}
Die zweite Lösung liegt beim Sinus bei \(\pi\) abzüglich der ersten Lösung.
\begin{align}x_2&=\pi-0{,}25 \\ x_2 &\approx 2{,}89\end{align}
Zuletzt ist die Frage, welche der unendlich vielen Lösungsmöglichkeiten innerhalb des gesuchten Intervalls liegen.
In diesem Fall sind das nur diese zwei Lösungen \(x_1\) und \(x_2\), alle weiteren Lösungen (\(x_{1/2}+n\cdot 2\pi\)) liegen außerhalb des gesuchten Intervalls \(I=[-\pi; \pi]\).
Damit kannst Du dann auch bei dieser Art von Gleichung eine endliche Lösungsmenge bestimmen.
Trigonometrische Gleichungen Nullstellen
Oft sind auch die Nullstellen von trigonometrischen Funktionen gefragt. Diese kannst Du mithilfe trigonometrischer Gleichungen berechnen.
Aufgabe 2
Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x).
$$f(x)= cos(x) - \frac{ \sqrt{3}}{2} $$
Lösung
Setze zunächst den Funktionsterm mit \(0\) gleich, um die Nullstellen zu berechnen.
$$ cos (x) - \frac{ \sqrt{3}}{2} = 0 $$
Dann stellst Du die Gleichung so um, dass die Winkelfunktion alleine auf einer Seite steht.
$$ cos (x) = \frac{ \sqrt{3}}{2} $$
Jetzt kannst Du über den sogenannten \(arccos\) oder auch \(cos^{-1}\) (auf dem Taschenrechner) die erste Lösung bestimmen.
$$ x = arccos ( \frac{ \sqrt{3}}{2} ) $$
Die erste Lösung ist also \( x_1 = \frac {1}{6} \pi \).
Ein Blick auf die Darstellung der Funktion zeigt, warum das unvollständig wäre.
Abb. 4 - Schnittpunkte einer trigonometrischen Funktion.
Denn beim symmetrischen Kosinus gibt es auf der anderen Seite der x-Achse noch eine zweite Lösung.
$$ x_2 = - \frac {1}{6} \pi $$
Diese wird üblicherweise innerhalb von \(360°\) beziehungsweise \(2\pi\) angegeben, womit die zweite Lösung dann, nach einer vollständigen Drehung wäre:
$$ x_2 = 2 \pi - \frac {1}{6} \pi = \frac {11}{6} \pi $$
Korrekt sind also alle diese Lösungen, genauso wie unendlich viele andere Lösungen, die jeweils eine komplette Periode von diesen beiden entfernt sind.
Damit ergeben sich als vollständige Lösungen:$$ x_1 = \frac {1}{6} \pi + n \cdot 2 \pi ; n \in \mathbb{Z} $$
$$ x_2 = \frac {11}{6} \pi + n \cdot 2 \pi ; n \in \mathbb{Z} $$
Trigonometrische Gleichungen – Beispiele und Aufgaben
Versuche Dich also nun selbst einmal an ein paar Aufgaben.
Aufgabe 3
Finde die Nullstellen der Funktion:
$$ f(x)=tan(x) + \pi $$
Lösung
Setze zunächst die gegebene Funktion mit \(0\) gleich.
$$ f(x)=tan(x) + \pi = 0 $$
Stelle die Gleichung dann so um, dass die Winkelfunktion isoliert auf einer Seite steht.
$$ tan(x) = - \pi $$
Mit \(tan^{-1}\) auf dem Rechner kannst Du dann die Lösungen bestimmen und die Periode des Tanges anhängen.
$$ x \approx -1{,}26 +n \cdot \pi \text{ mit } n \in \mathbb{Z} $$
Und mit dieser Lösung kannst Du dann danach herausfinden, welche davon in einem vorgegebenen Intervall liegen.
Aufgabe 4
Gib die Lösungen aus Aufgabe 3 (\( x \approx -1{,}26 + n\cdot \pi \text{ mit } n \in \mathbb{Z} \)) für das Intervall \( x \in [-2\pi;2\pi] \) an.
Lösung
Die Lösungen liegen bekanntlich bei:
$$ x \approx -1{,}26 + n\cdot \pi ; n \in \mathbb{Z} $$
Jetzt musst Du also herausfinden, welche der Lösungen auch in dem Intervall liegen. Dafür schaust Du Dir an, welche n Du einsetzen kannst, um Lösungen innerhalb des Intervalls zu erhalten.
Teste dafür einmal \(n=-2\), \(n=-1\), \(n=1\) und \(n=2\) aus.
\begin{align}x&=-1{,}26-2\cdot \pi \approx {\color{#fa3273}-7{,}55} \\x_2&=-1{,}26-1\cdot \pi \approx -4{,}40 \\x_3&=-1{,}26+1\cdot \pi \approx 1{,}88 \\x_4&=-1{,}26+2\cdot \pi \approx 5{,}02 \end{align}
Der Wert für \(n=-2\) liegt nicht innerhalb des Intervalls, alle anderen schon. Deshalb ergeben sich folgende Lösungen für das begrenzte Intervall \(I\):
\[x_1 \approx -1{,}26, x_2 \approx -4{,}40, x_3 \approx 1{,}88 \text{ und } x_4 \approx 5{,}02\]
Trigonometrische Gleichungen – Das Wichtigste
- Trigonometrische Gleichungen sind Gleichungen, bei denen die gesuchte Variable innerhalb einer Winkelfunktion (trigonometrische Funktion) vorkommt.
- Ohne Intervall haben trigonometrische Gleichungen meist unendlich viele Lösungen
- bei trigonometrischen Gleichungen im Intervall werden die Anzahl der Lösungen beschränkt
- es gibt praktische Regeln für das Rechnen mit Winkelfunktionen, um trigonometrische Gleichungen zu lösen
- Du kannst trigonometrische Gleichungen so umstellen, dass Du am Ende nur die Nullstellen bestimmen musst.
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