Trigonometrische Gleichungen

Bei diesen Gleichungen handelt es sich um trigonometrische Gleichungen:

• \({\color{#1478c8}sin(x)} = \frac{1}{2}x\)
• \(\sqrt{2}-5= {\color{#1478c8}cos(x)}+3\)
• \(2\cdot {\color{#1478c8}tan(x)} = 16{,}6\)

In Deinem Buch steht etwa die folgende Gleichung:

$$ sin(x) = \frac{1}{2}x $$

Dann kannst Du die beiden Terme links und rechts des Gleichheitszeichens als einzelne Funktionen schreiben.

$$ f(x) = sin(x) $$

$$ g(x) = \frac{1}{2}x $$

Sie haben genau dort den gleichen Funktionswert, wo sie sich schneiden.

Abb. 3 - Trigonometrische Gleichungen lösen Schnittpunkt

Die Lösungen liegen also bei:

$$ x_1 \approx -1{,}90 $$

$$ x_2 = 0 $$

$$ x_3 \approx 1{,}90 $$

Aufgabe 1

Löse die trigonometrische Gleichung innerhalb des Intervalls \(I=[-\pi;\pi]\).

\[sin(x)+1=1,25\]

Lösung

Bringe zunächst die Winkelfunktion alleine auf eine Seite.

\begin{align}sin(x)+1&=1{,}25 &&|-1 \\ sin(x)&=0{,}25\end{align}

Anschließend kannst Du die Gleichung mithilfe der \(arcsin\)-Taste auf Deinem Taschenrechner lösen.

\begin{align}sin(x)&=1{,}25 \\ x&=arcsin(0{,}25) \\x_1&\approx 0{,}25\end{align}

Die zweite Lösung liegt beim Sinus bei \(\pi\) abzüglich der ersten Lösung.

\begin{align}x_2&=\pi-0{,}25 \\ x_2 &\approx 2{,}89\end{align}

Zuletzt ist die Frage, welche der unendlich vielen Lösungsmöglichkeiten innerhalb des gesuchten Intervalls liegen.

In diesem Fall sind das nur diese zwei Lösungen \(x_1\) und \(x_2\), alle weiteren Lösungen (\(x_{1/2}+n\cdot 2\pi\)) liegen außerhalb des gesuchten Intervalls \(I=[-\pi; \pi]\).

Aufgabe 2

Bestimme die Nullstellen der Funktion f(x).

$$f(x)= cos(x) - \frac{ \sqrt{3}}{2} $$

Lösung

Setze zunächst den Funktionsterm mit \(0\) gleich, um die Nullstellen zu berechnen.

$$ cos (x) - \frac{ \sqrt{3}}{2} = 0 $$

Dann stellst Du die Gleichung so um, dass die Winkelfunktion alleine auf einer Seite steht.

$$ cos (x) = \frac{ \sqrt{3}}{2} $$

Jetzt kannst Du über den sogenannten \(arccos\) oder auch \(cos^{-1}\) (auf dem Taschenrechner) die erste Lösung bestimmen.

$$ x = arccos ( \frac{ \sqrt{3}}{2} ) $$

Die erste Lösung ist also \( x_1 = \frac {1}{6} \pi \).

Ein Blick auf die Darstellung der Funktion zeigt, warum das unvollständig wäre.

Abb. 4 - Schnittpunkte einer trigonometrischen Funktion.

Denn beim symmetrischen Kosinus gibt es auf der anderen Seite der x-Achse noch eine zweite Lösung.

$$ x_2 = - \frac {1}{6} \pi $$

Diese wird üblicherweise innerhalb von \(360°\) beziehungsweise \(2\pi\) angegeben, womit die zweite Lösung dann, nach einer vollständigen Drehung wäre:

$$ x_2 = 2 \pi - \frac {1}{6} \pi = \frac {11}{6} \pi $$

Korrekt sind also alle diese Lösungen, genauso wie unendlich viele andere Lösungen, die jeweils eine komplette Periode von diesen beiden entfernt sind.

Damit ergeben sich als vollständige Lösungen:$$ x_1 = \frac {1}{6} \pi + n \cdot 2 \pi ; n \in \mathbb{Z} $$

$$ x_2 = \frac {11}{6} \pi + n \cdot 2 \pi ; n \in \mathbb{Z} $$

Aufgabe 3

Finde die Nullstellen der Funktion:

$$ f(x)=tan(x) + \pi $$

Lösung

Setze zunächst die gegebene Funktion mit \(0\) gleich.

$$ f(x)=tan(x) + \pi = 0 $$

Stelle die Gleichung dann so um, dass die Winkelfunktion isoliert auf einer Seite steht.

$$ tan(x) = - \pi $$

Mit \(tan^{-1}\) auf dem Rechner kannst Du dann die Lösungen bestimmen und die Periode des Tanges anhängen.

$$ x \approx -1{,}26 +n \cdot \pi \text{ mit } n \in \mathbb{Z} $$

Aufgabe 4

Gib die Lösungen aus Aufgabe 3 (\( x \approx -1{,}26 + n\cdot \pi \text{ mit } n \in \mathbb{Z} \)) für das Intervall \( x \in [-2\pi;2\pi] \) an.

Lösung

Die Lösungen liegen bekanntlich bei:

$$ x \approx -1{,}26 + n\cdot \pi ; n \in \mathbb{Z} $$

Jetzt musst Du also herausfinden, welche der Lösungen auch in dem Intervall liegen. Dafür schaust Du Dir an, welche n Du einsetzen kannst, um Lösungen innerhalb des Intervalls zu erhalten.

Teste dafür einmal \(n=-2\), \(n=-1\), \(n=1\) und \(n=2\) aus.

\begin{align}x&=-1{,}26-2\cdot \pi \approx {\color{#fa3273}-7{,}55} \\x_2&=-1{,}26-1\cdot \pi \approx -4{,}40 \\x_3&=-1{,}26+1\cdot \pi \approx 1{,}88 \\x_4&=-1{,}26+2\cdot \pi \approx 5{,}02 \end{align}

Der Wert für \(n=-2\) liegt nicht innerhalb des Intervalls, alle anderen schon. Deshalb ergeben sich folgende Lösungen für das begrenzte Intervall \(I\):

\[x_1 \approx -1{,}26, x_2 \approx -4{,}40, x_3 \approx 1{,}88 \text{ und } x_4 \approx 5{,}02\]