2, 3, 5, 7 und 11... was haben diese Zahlen miteinander gemeinsam? Es handelt sich dabei um Primzahlen.
Doch wozu brauchst du diese Zahlen überhaupt? Stell dir vor, du hast gerade keinen Taschenrechner zur Hand und möchtest einen Bruch kürzen. Dann ist es sehr nützlich den Zähler und Nenner in Faktoren zu zerlegen, die selbst nicht mehr weiter teilbar sind. Und genau das ist die Eigenschaft von Primzahlen. Wie du diese Faktoren von einer Zahl genau berechnest, erfährst du hier.
Primfaktorzerlegung Grundlagenwissen
Bei der Primfaktorzerlegung geht es darum, eine Zahl in einzelne Faktoren zu zerlegen, die jeweils nicht weiter teilbar sind.
Mit der Primfaktorzerlegung kannst du eine Zahl als Produkt von Primzahlen darstellen.
Jede natürliche Zahl ist entweder schon selbst eine Primzahl oder du kannst sie in das Produkt von Primzahlen zerlegen.
Aber was sind Primzahlen eigentlich genau?
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die ausschließlich durch sich selbst und durch 1 teilbar ist.
Zur Erinnerung: Eine Zahl ist dann teilbar, wenn bei der Division dieser Zahl durch eine andere Zahl kein Rest bleibt.
Am besten schaust du dir dazu das kurze Beispiel an.
12 ist z. B durch 4 ohne Rest teilbar. Versuchst du allerdings 7 durch 5 zu teilen, bleibt ein Rest.
Aufgrund dessen ist 7 eine Primzahl.
Die folgende Auflistung zeigt dir die ersten acht Primzahlen. Lerne sie am besten auswendig.
Das Ziel der Primfaktorzerlegung ist es also, eine Zahl in ihre nicht mehr teilbaren "Bestandteile" (Primzahlen) zu zerlegen.
Primfaktorzerlegung berechnen
Möchtest du eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen, kannst du immer einem bestimmten Ablauf folgen. Zuerst suchst du die kleinste Primzahl, durch die deine Zahl teilbar ist. Danach spaltest du die Primzahl als Faktor ab und wiederholst die beiden Schritte mit dem Zwischenergebnis, bis alle Faktoren Primzahlen sind.
Um die Teilbarkeit möglichst schnell zu überprüfen, ist es hilfreich einige Teilbarkeitsregeln zu kennen!
Hier findest du eine kleine Übersicht der Teilbarkeitsregeln, die für die Primfaktorzerlegung hilfreich sind.
- Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist, also ihre letzte Ziffer eine 0,2,4,6 oder 8 ist.
- Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Zahl eine 5 oder 0 ist.
Die Anwendung der Teilbarkeitsregeln kannst du in dem Artikel dazu nachlesen und üben. Wie sieht die Primfaktorzerlegung aber jetzt im Detail aus?
Schritt 1: Finden der kleinsten, teilbaren Primzahl
Im ersten Schritt versuchst du die erste Primzahl zu finden, durch die deine Zahl teilbar ist. Dazu beginnst du immer mit der kleinsten Primzahl, also mit der 2. Schau dir das mal an einem Beispiel an.
Aufgabe 1
Zerlege 130 in ihre Primfaktoren!
Lösung Aufgabe 1
Du beginnst also damit zu überprüfen, ob die Zahl 130 ohne Rest durch 2 teilbar ist.
Das ist hier der Fall, da
Alternativ kannst du die Teilbarkeitsregel durch 2 anwenden.
Der erste Primfaktor ist somit die Primzahl 2.
Schritt 2: Abspalten des Primfaktors
Hier geht es jetzt darum, den ersten gefundenen Primfaktor von der Zahl abzuspalten.
Lösung Aufgabe 1
Du teilst also die Zahl durch den Primfaktor 2.
Da 130 : 2 = 65 ist, kannst du 130 auch als Produkt von 2 und 65 schreiben. Für unser Beispiel sieht das also so aus.
Jetzt hast du den ersten Primfaktor 2 erfolgreich abgespalten.
Für den Anfang kann es helfen, diese Schritte in einer Tabelle aufzuschreiben. In der linken Spalte notierst du die gefundenen Primfaktoren und in der rechten Spalte ist Platz für die Zwischenrechnungen.
Das sieht dann so aus:
Wiederholen von Schritt 1 und 2
Jetzt wiederholst du die beiden Schritte, bis keine weitere Zerlegung mehr möglich ist, also als Endergebnis eine Primzahl herauskommt.
Für das Beispiel sieht das wie folgt aus.
Lösung Aufgabe 1
Du prüfst jetzt, durch welche Primzahl das Zwischenergebnis 65 teilbar ist. Dabei fängst du wieder bei der kleinsten Primzahl 2 an.
Da 65 eine ungerade Zahl ist, ist sie nicht durch 2 teilbar. Also machst du mit der nächsten Primzahl 3 weiter.
Ist 65 durch 3 teilbar? – Auch nicht, da ihre Quersumme 11 nicht durch 3 teilbar ist (siehe Teilbarkeitsregel durch 3).
Die Primzahlen 2 und 3 müssen auch bei den anderen Zwischenergebnissen jetzt nicht mehr als Primfaktoren geprüft werden! Es kommt somit keine weitere 2 oder 3 in der Primfaktorzerlegung vor!
Als nächstes prüfst du, ob 65 durch die Primzahl 5 teilbar ist. Das ist hier der Fall:
.
Die 5 ist somit dein nächster Primfaktor, den du in die linke Spalte der Tabelle eintragen kannst. Das Zwischenergebnis 13 trägst du in die rechte Spalte ein.
Primfaktoren | |
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Da die Zahl 13 schon eine Primzahl ist, musst du sie nur noch als Primfaktor in die erste Spalte aufnehmen.
Primfaktoren | |
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Jetzt musst du die Primfaktoren aus der linken Spalte nur noch als Multiplikation für die Zahl 130 aufschreiben.
Die Primfaktorzerlegung für 130 ist somit folgende:
Primfaktorzerlegung bei großen Zahlen
Mit der zuvor gezeigten Vorgehensweise kommst du immer auf das richtige Ergebnis. Werden die Zahlen allerdings größer, können andere Verfahren einfacher und schneller zum Ergebnis führen.
Anders als zuvor, spaltest du jetzt zu Beginn keine Primzahl als Teiler ab, sondern du suchst beliebige Teiler für deine Zahl, um sie schneller und einfacher zu verkleinern.
Um das besser zu verstehen, schau dir direkt das Beispiel dazu an.
Aufgabe 2
Zerlege die Zahl 2600 in ihre Primfaktoren!
Lösung Aufgabe 2
Weil du ja jetzt den Teiler frei wählen darfst, bietet es sich an, die Zahl zunächst durch 10 zu teilen.
Dadurch wird die Zahl durch den Teiler 10 zerlegt.
Abbildung 1: Erste Stufe des Baumdigramms
Zur besseren Übersicht wird das ganze typischerweise in einem Baumdiagramm dargestellt.
Als Nächstes zerlegst du die beiden neuen Teiler, also die 10 und die 260.
Die 10 lässt sich in 2 und 5 zerlegen, die 260 kannst du erneut durch 10 teilen.
Abbildung 2: Zweite Stufe des Baumdiagramms
Die ersten Primfaktoren kannst du jetzt schon auf der linken Seite ablesen.
Damit du später alle Primfaktoren auf einer Ebene stehen hast, bietet es sich an sie mit einem geraden Strich in die nächste Ebene zu überführen.
Als Nächstes musst du also die 10 und 26 auf der rechten Seite erneut durch Faktoren zerlegen. Das sieht dann so aus.
Abbildung 3: Die letzte Stufe des Baumdiagramms
Da die letzte Ebene nur noch aus Primzahlen besteht, bist du an der Stelle fertig.
Die Primfaktorzerlegung für 2600 lautet somit:
Kommen die gleichen Primfaktoren wie an dieser Stelle mehrmals vor, bietet sich die abkürzende Potenzschreibweise an. Die jeweilige Anzahl der gleichen Primfaktoren schreibst du also einfach in den Exponenten des Faktors.
Weiter vereinfacht sieht das Ergebnis dann wie folgt aus:
Anwendungsbereiche der Primfaktorzerlegung
Nachdem du jetzt weißt, wie eine Primfaktorzerlegung durchgeführt wird, fragst du dich bestimmt, wofür du das eigentlich brauchst. Mit Hilfe der Primfaktorzerlegung kannst du den größten gemeinsamen Teiler (ggT) oder das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei Zahlen herausfinden.
Größter gemeinsamer Teiler (ggT)
Im folgenden lernst du, wie die Primfaktorzerlegung genau dabei hilft, den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu bestimmen. Aber was ist das überhaupt?
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b ist die größte natürliche Zahl, welche sowohl a als auch b teilt.
Der ggT wird mathematisch geschrieben durch .
Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu bestimmen, gehst du am besten folgendermaßen vor:
- Bestimme die Primfaktorzerlegung von Zahl a.
- Bestimme die Primfaktorzerlegung von Zahl b.
- Betrachte jetzt nur die Primfaktoren, die in beiden Zahlen vorkommen.
- Kommen die jeweiligen gemeinsamen Primfaktoren unterschiedlich häufig in den beiden Zerlegungen vor, wählst du die geringere Anzahl des Faktors bzw. in der Potenzschreibweise den Faktor mit dem kleineren Exponenten.
- Multipliziere diese miteinander.
Dafür solltest du die Primfaktorzerlegung in die Potenzschreibweise umwandeln.
Schau dir dazu mal das folgende Beispiel an.
Aufgabe 2
Finde den ggT zu 20 und 2600.
Lösung Aufgabe 2
Als Erstes bildest du die Primfaktorzerlegung zu beiden Zahlen.
Wie das funktioniert, weißt du ja mittlerweile.
In beiden Primfaktorzerlegungen findest du die 2 und 5 als Primfaktor. Davon wählst du jetzt die jeweils kleinere Potenz, also 22 und 5, aus und multiplizierst sie miteinander.
Also ist 20 der größte gemeinsame Teiler von 20 und 2600.
Der größte gemeinsame Teiler ist beim Vereinfachen bzw. Kürzen von Brüchen hilfreich.
Abgeleitet aus dem obigen Beispiel, weißt du jetzt nämlich, dass der Bruch mit dem Teiler 20 auf den Bruch gekürzt werden kann. Damit ist der Bruch so weit wie möglich gekürzt.
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
Das kleinste gemeinsame Vielfache wird auf eine ähnliche Art und Weise bestimmt wie der größte gemeinsame Teiler. Aber der Reihe nach: Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache genau?
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgv) zu zwei Zahlen a und b, ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von beiden ist.
Mathematisch wird das kgV geschrieben durch .
Um das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen zu bestimmen, gehst du folgendermaßen vor.
- Du bestimmst wieder die Primfaktorzerlegung von Zahl a und b in Potenzschreibweise.
- Jetzt betrachtest du alle Primfaktoren. Handelt es sich um jeweils gleiche Primfaktoren, wählst du die mit dem höheren Exponenten aus.
- Abschließend multipliziere diese Primfaktoren.
Schau dir das am besten direkt an einem Beispiel an.
Aufgabe 3
Finde das kgV zu 130 und 20.
Lösung Aufgabe 3
Zuerst bildest du wieder die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen.
Die Primfaktoren 2 und 5 findest du bei beiden Primfaktorzerlegungen wieder. Davon wählst du jeweils den Faktor mit dem größten Exponenten, also 22 und 52. Diese multiplizierst du jetzt noch mit der anderen Primzahl 13.
Somit ist 1300 das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 130.
Das kleinste gemeinsame Vielfache hilft bei der Addition und Subtraktion von Brüchen, einen gemeinsamen Nenner zu finden.
Primfaktorzerlegung – Aufgaben
Mithilfe der folgenden Übungsaufgaben kannst du jetzt nochmal überprüfen, ob du den Inhalt zur Primfaktorzerlegung verstanden hast und dein Wissen weiter vertiefen.
Aufgabe 4
Zerlege die Zahl 80 in ihre Primfaktoren.
Lösung Aufgabe 4
| Primfaktoren | |
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Aufgabe 5
Zerlege 102 in ihre Primfaktoren.
Lösung Aufgabe 5
| Primfaktoren | |
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Aufgabe 6
Zerlege 90 in ihre Primfaktoren.
Lösung Aufgabe 6
| Primfaktoren | |
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Aufgabe 7
Zerlege die Zahl 5600 in ihre Primfaktoren.
Lösung Aufgabe 7
Abbildung 4: Lösung zu Aufgabe 7 als Baumdiagramm
Die Primfaktorzerlegung lautet somit:
Aufgabe 8
Berechne das kgv und den ggT zu 90 und 36.
Lösung Aufgabe 8
Bestimme die Primfaktorzerlegung:
Berechnung kgV:
Berechnung ggT:
Primfaktorzerlegung – Das Wichtigste
- jede Natürliche Zahl ist entweder eine Primzahl oder in ein Produkt von Primzahlen zerlegbar
- eine Primzahl ist ausschließlich durch sich selbst und 1 teilbar
- Die Primfaktorzerlegung besteht aus vier Schritten
- Schritt 1: Finden der kleinsten, teilbaren Primzahl
- Schritt 2: Teilen der Zahl durch die Primzahl
- Schritt 3: Primfaktor notieren
- Schritt 4: Wiederholen von Schritt 1 bis 3
- Mit der Primfaktorzerlegung kannst du den größten gemeinsamen Teiler (ggT), sowie das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zweier Zahlen bestimmen
- Berechnung ggT:
- Bestimme die Primfaktorzerlegung von Zahl a und b in Potenzschreibweise
- Betrachte nur die Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen vorkommen (bei gleichen Faktoren mit unterschiedlichen Exponenten sind nur die Primfaktoren mit kleinerem Exponent relevant)
- Multipliziere diese Primfaktoren miteinander
- Berechnung kgV:
- Bestimme die Primfaktorzerlegung von Zahl a und b in Potenzschreibweise
- Betrachte alle Primfaktoren (bei gleichen Primfaktoren sind nur die mit höherem Exponenten relevant)
- Multipliziere sie miteinander
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