Umkehraufgabe Gleichungen

Q: Was ist eine Umkehraufgabe Beispiel?

Umkehraufgaben bezeichnen den Vorgang, eine gegenteilige Rechenoperation durchzuführen. Die gegenteilige Rechenoperation zur Addition ist die Subtraktion und die gegenteilige Rechenoperation zur Multiplikation ist die Division. Ein Beispiel für eine Umkehraufgabe zu 3+7=10 zu 7=10-3.

Algebra

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Stell Dir vor, Du hast 11 Bonbons in Deiner Tasche. Jemand schenkt Dir eine Tüte, in der ebenfalls Bonbons sind und sagt Dir: „Jetzt hast Du 18 Bonbons“. Wie findest Du dann heraus, wie viele Bonbons in der Tüte sind, ohne hereinzuschauen?

Das funktioniert mithilfe einer Gleichung. Diese kannst Du durch Umkehraufgaben lösen.

Umkehraufgabe Gleichungen – Grundlagen

Bevor Du Dir ansiehst, wie Du Gleichungen mithilfe von Umkehraufgaben lösen kannst, solltest Du Dir eine kurze Wiederholung zu Gleichungen ansehen.

Gleichungen bestehen aus zwei Termen, zwischen denen ein Gleichheitszeichen ( $=$ ) steht.

Gleichungen verbinden zwei Objekte mithilfe des Gleichheitszeichens miteinander. Sie sagen aus, dass links und rechts genau dasselbe steht.

In der Mathematik beinhalten Gleichungen meistens sogenannte Variablen, welche z. B. mit x, y, z oder anderen Buchstaben bezeichnet werden und stellvertretend für einen beliebigen Wert stehen.

Im Bonbon-Beispiel von oben wäre die Gleichung:

$11 + x = 18$

Denn Du hast bereits 11 Bonbons und addierst dazu eine unbekannte Anzahl x, damit Du am Ende 18 Bonbons besitzt.

Doch wie löst Du so eine Gleichung?

Gleichungen können auf verschiedene Arten gelöst werden. Eine davon ist das Lösen durch Umkehraufgaben.

Umkehraufgabe Gleichungen – Erklärung

Was Umkehraufgaben genau sind und wie Du sie nutzen kannst, erfährst Du im folgenden Abschnitt.

Umkehraufgaben Gleichungen – Einfach erklärt

Umkehraufgaben sind dafür da, einfache lineare Gleichungen, die maximal eine Variable enthalten, zu lösen. Das sind Gleichungen, die z. B. die Form $x + a = b$ haben, wobei $a$ und $b$ für Zahlen stehen.

Doch was genau sind Umkehraufgaben denn nun überhaupt?

Umkehraufgaben bezeichnen den Vorgang, eine gegenteilige Rechenoperation durchzuführen.

Jede der Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division besitzt dabei eine gegenteilige Rechenoperation. Welche das sind, zeigt Dir der nächste Abschnitt.

Umkehraufgabe Gleichungen – Formel

Die Umkehraufgabe der Multiplikation ist die Division und die Umkehraufgabe der Addition ist die Subtraktion.

In der folgenden Tabelle siehst Du, welche Rechenoperation Du bei Umkehraufgaben für die jeweiligen Grundrechenarten verwenden musst.

Grundrechenart	Gegenteilige Rechenoperation
Addition	Subtraktion
Subtraktion	Addition
Multiplikation	Division
Division	Multiplikation

Das bedeutet also, dass die Addition und die Subtraktion jeweils Umkehraufgaben voneinander bilden. Genauso verhält es sich mit der Multiplikation und der Division.

Das liegt daran, dass bei der Addition etwas dazu getan wird, während bei der Subtraktion etwas abgezogen wird. Rechnest Du also $+ 3$ ist das genau das Gegenteil von $- 3$ .

Die Multiplikation vervielfacht etwas, während die Division etwas wieder aufteilt. Somit ist $\cdot 2$ das Gegenteil von $: 2$ .

Hast Du also eine Gleichung mit einer Rechenart, so bringst Du die Zahl, die auf der Seite der Variable steht, mit dem gegensätzlichen Rechenzeichen auf die andere Seite.

Das siehst Du an den folgenden Beispielen:

In dieser Tabelle findest Du einfache Gleichungen ohne Variablen und die dazu passenden Umkehraufgaben.

Gleichung	Umkehraufgabe
$3 + 7 = 10$	$7 = 10 - 3$
$28 - 16 = 12$	$28 = 12 + 16$
$3 \cdot 15 = 45$	$15 = 45 : 3$
$110 : 11 = 10$	$110 = 10 \cdot 11$

Achtung: Für die Umkehraufgabe spielt bei der Addition und Multiplikation die Reihenfolge keine Rolle, bei der Subtraktion und Division muss die Reihenfolge beachtet werden.

Umkehraufgaben – Gleichungen berechnen und bestimmen

Hast Du eine Gleichung gegeben, die Du durch Umkehraufgaben lösen willst, siehst Du Dir zuerst an, welche Rechenzeichen sich in der Gleichung befinden. Demnach bildest Du dann die entsprechende Umkehraufgabe und kannst dann ausrechnen, was als Lösung für die entsprechende Variable herauskommt.

Umkehraufgaben – Gleichungen mit Addition

Wie Du inzwischen schon weißt, ist die Umkehrung der Addition die Subtraktion. Hast Du also eine Gleichung gegeben, in der die Addition vorkommt, kannst Du sie lösen, indem Du die Subtraktion anwendest. Dazu folgt ein kleines Beispiel:

Gegeben ist die Gleichung $x + 8 = 14$ .

Du solltest hier die Subtraktion anwenden, um die Gleichung nach x aufzulösen.

Wie Du siehst, wird in der Gleichung eine 8 zu dem x addiert. Du bildest dementsprechend die Umkehraufgabe, indem Du die 8 mithilfe der Subtraktion auf die andere Seite bringst. Das geht so:

Umkehraufgabe Gleichungen Addition StudySmarter

Abbildung 1: Umkehraufgabe Addition

Da Du die Gleichung lösen möchtest, also einen Wert für die Variable x finden möchtest, steht diese auf der einen Seite des Gleichheitszeichens jetzt allein. Du erhältst:

$x = 14 - 8$ .

Die $14 - 8$ kannst Du jetzt im Kopf rechnen und erhältst diese Lösung für die Gleichung.

$x = 6$

Wie sieht das Ganze aus, wenn das x hinter der Zahl steht?

Wenn die Gleichung etwa $8 + x = 14$ lautet, kannst Du trotzdem die gleiche Umkehraufgabe aufstellen.

Die Reihenfolge der gegebenen Gleichung spielt bei der Addition keine Rolle.

Umkehraufgaben – Gleichungen mit Subtraktion

Die Umkehrung zur Subtraktion ist die Addition. Sollst Du also eine Gleichung mit Subtraktion lösen, gehst Du wie in folgendem Beispiel vor.

Die Gleichung $y - 32 = 41$ soll gelöst werden.

Mithilfe der Addition bringst Du die Zahl mit der umgekehrten Rechenoperation auf die andere Seite.

Umkehraufgabe Gleichungen Subtraktion StudySmarter

Abbildung 2: Umkehraufgabe Subtraktion

Dann kannst Du damit diese Umkehraufgabe aufstellen:

$y = 41 + 32$

Als Ergebnis erhältst Du dann:

$y = 73$

Es kann allerdings auch sein, dass bei der Subtraktion die Variable hinter der Zahl in der Gleichung steht und damit der Subtrahend ist. Das sieht dann so aus:

Die Gleichung lautet $75 - y = 15$ .

Hier ist es wichtig, auf die Reihenfolge zu achten. Das bedeutet, dass Du hier nicht mit der Addition arbeiten kannst. Dafür kannst Du das y und die 15 vertauschen.

Umkehraufgabe Gleichungen Subtraktion StudySmarter

Abbildung 3: Lösen mit Subtraktion

Die Gleichung, die Dich zur Lösung führt, sieht dann dementsprechend so aus:

$75 - 15 = y$

Als Lösung erhältst Du also $y = 60$ .

Umkehraufgaben – Gleichungen mit Multiplikation

Um Gleichungen mit der Multiplikation lösen zu können, wendest Du die Division an. Hier spielt die Reihenfolge ebenfalls keine Rolle.

Lautet Deine Gleichung etwa $z \cdot 7 = 42$ , so musst Du durch 7 dividieren.

Umkehraufgabe Gleichungen Multiplikation StudySmarter

Abbildung 4: Umkehraufgabe Multiplikation

Damit ist das die passende Umkehraufgabe:

$z = 42 : 7$

Damit erhältst Du:

$z = 6$

Diese Umkehraufgabe dient ebenfalls als Lösung für die Gleichung $7 \cdot z = 42$ , bei der beide Faktoren vertauscht sind.

Umkehraufgaben – Gleichungen mit Division

Wenn Du eine Gleichung mit Division lösen möchtest, benötigst Du hierfür die Multiplikation. Hierbei spielt wieder die Reihenfolge eine wichtige Rolle.

Gegeben ist die Gleichung $x : 9 = 7$ . Hier bildest Du die Umkehraufgabe mithilfe der Multiplikation.

Umkehraufgabe Gleichungen Division StudySmarter

Abbildung 5: Umkehraufgabe Division

Die Umkehraufgabe lautet:

$x = 7 \cdot 9$

Und die Lösung somit:

$x = 63$

Bei der Division spielt die Reihenfolge der Gleichung wieder eine Rolle, weshalb Du für folgende Gleichung einen anderen Lösungsweg gehst.

Bei der Gleichung $132 : x = 11$ steht das x an zweiter Stelle und ist der Divisor, weshalb Du hier die Gleichung so veränderst: Du vertauschst wieder x und 11.

Umkehraufgabe Gleichungen Division StudySmarter

Abbildung 6: Lösen mit Division

Du erhältst:

$132 : 11 = x$

Die Lösung lautet dann:

$x = 12$

Wie Du vielleicht bereits gemerkt hast, kannst Du mithilfe von Umkehraufgaben bestimmte lineare Gleichungen lösen, jedoch keine quadratischen oder andere Gleichungsarten.

Doch woran liegt es, dass bei der Addition und Multiplikation die Reihenfolge keine Rolle spielt? Dafür kannst Du Dir diese kurze Erklärung zu Tauschaufgaben ansehen.

Umkehraufgaben vs. Tauschaufgaben

Zusätzlich zu Umkehraufgaben gibt es auch die sogenannten Tauschaufgaben. Bei diesen geht es nicht darum, die Aufgabe mit einer gegenteiligen Rechenoperation durchzuführen, sondern lediglich um das Vertauschen bestimmter Teile der Gleichung.

Du weißt nun, was Umkehraufgaben sind. Doch was genau sind Tauschaufgaben?

Tauschaufgaben sind Aufgaben, bei denen die Summanden oder Faktoren getauscht sind. Diese gibt es also nur für die Addition und Multiplikation.

Das liegt daran, dass die Addition und die Multiplikation kommutativ sind. Das bedeutet, dass es keine Rolle spielt, in welcher Reihenfolge Zahlen addiert bzw. multipliziert werden, das Ergebnis bleibt dasselbe.

Die Aufgabe $3 + 6 = 9$ hat die Tauschaufgabe $6 + 3 = 9$ .

Zur Aufgabe $3 \cdot 7 = 21$ gibt es die Tauschaufgabe $7 \cdot 3 = 21$ .

Doch was haben Tauschaufgaben jetzt mit Umkehraufgaben zu tun?

Umkehraufgaben zur Addition und Multiplikation sind immer gleich, egal an welcher Stelle die Variable in der Ursprungsaufgabe steht. Das liegt daran, dass die ursprüngliche Aufgabe mithilfe einer Tauschaufgabe immer so umgeformt werden kann, dass die Variable an erster Stelle steht. Hier ein kleines Beispiel dazu:

Die Aufgabe lautet

$18 + x = 32$ .

Ihre Tauschaufgabe lautet demnach

$x + 18 = 32$

und so kann nun einfach die Umkehraufgabe gebildet und die Lösung herausgefunden werden:

$x = 32 - 18 x = 14$

Um zu überprüfen, ob Dein Ergebnis richtig ist, kannst Du immer Deine herausgefundene Zahl anstelle der Variable einsetzen und schauen, ob die Gleichung so stimmt. In diesem Fall setzt Du also 14 anstelle von x in die Aufgabe ein:

$\begin{array}{rcl} 18 + 14 & = & 32 \\ 32 & = & 32 \end{array}$

Diese Gleichung stimmt, also ist die Lösung richtig.

Wenn Du mehr darüber erfahren willst, was genau kommutativ bedeutet, schau gern in der Erklärung über das Kommutativgesetz nach.

Umkehraufgabe Gleichungen – Beispiele

Hier findest Du noch ein paar weitere Beispiele für das Lösen von Gleichungen mit Umkehraufgaben.

Gleichung	Umkehraufgabe	Lösung	Anmerkung
$118 + x = 220$	$x = 220 - 118$	$x = 102$
$z \cdot 19 = 57$	$z = 57 : 19$	$z = 3$
$16 - x = 7$	$16 - 7 = x$	$x = 9$	Achtung: Hier kannst Du nicht mit der Addition arbeiten. Tausche x und 7!
$y : 4 = 4$	$y = 4 \cdot 4$	$y = 16$
$a - 13 = 222$	$a = 222 + 13$	$a = 235$
$y + 208 = 818$	$y = 818 - 208$	$y = 610$
$36 : x = 4$	$36 : 4 = x$	$x = 9$	Achtung: Hier kannst Du nicht mit der Multiplikation arbeiten. Tausche x und 4!
$8 \cdot a = 64$	$a = 64 : 8$	$a = 8$

Umkehraufgaben Gleichungen erkennen – Aufgaben

Damit Du üben kannst, Gleichungen durch Umkehraufgaben zu lösen, findest Du nachfolgend ein paar Aufgaben zu dem Thema.

Aufgabe 1

Löse die Bonbonaufgabe von oben mithilfe von Umkehraufgaben: Du hast 11 Bonbons, jemand gibt Dir eine Tüte mit weiteren Bonbons. Nun hast Du insgesamt 18 Bonbons. Wie viele Bonbons befinden sich in der Tüte?

Lösung

Die passende Gleichung lautet

$11 + x = 18$ .

Die Umkehraufgabe bildest Du mithilfe der Subtraktion und erhältst:

$x = 18 - 11$

Dies kannst Du ausrechnen und erhältst als Lösung $x = 7$ .

In der Tüte befinden sich also 7 Bonbons.

Aufgabe 2

Löse die Gleichungen mithilfe von Umkehraufgaben.

a) $x + 127 = 312$

b) $12 \cdot x = 144$

c) $x : 18 = 3$

d) $130 + x = 229$

e) $x - 55 = 96$

f) $180 : x = 6$

Lösung

Hier findest Du die Umkehraufgaben und die Lösungen der Gleichungen.

a) $x = 312 - 127 x = 185$

b) $x = 144 : 12 x = 12$

c) $x = 3 \cdot 18 x = 54$

d) $x = 229 - 130 x = 99$

e) $x = 96 + 55 x = 151$

f) Hier tauschst Du die 6 und das x, um die Lösung zu erhalten:

$x = 180 : 6 x = 30$

Aufgabe 3

Ordne den Gleichungen aus der Tabelle die passenden Umkehraufgaben zu.

Gleichung	Umkehraufgabe
a) $x - 116 = 200$	1) $x = 7 \cdot 49$
b) $200 - x = 116$	2) $x = 345 - 123$
c) $x : 7 = 49$	3) $x = 200 + 116$
d) $123 + x = 345$	4) $x = 543 - 321$
e) $7 \cdot x = 49$	5) $x = 200 - 116$
f) $543 - x = 321$	6) $x = 49 : 7$

Lösung

In folgender Tabelle sind die Umkehraufgaben ihren Gleichungen zugeordnet.

Gleichung	Umkehraufgabe
a) $x - 116 = 200$	3) $x = 200 + 116$
b) $200 - x = 116$	5) $x = 200 - 116$
c) $x : 7 = 49$	1) $x = 7 \cdot 49$
d) $123 + x = 345$	2) $x = 345 - 123$
e) $7 \cdot x = 49$	6) $x = 49 : 7$
f) $543 - x = 321$	4) $x = 543 - 321$

Umkehraufgabe Gleichungen – Das Wichtigste

Umkehraufgaben bezeichnen den Vorgang, eine gegenteilige Rechenoperation durchzuführen.
Die gegenteilige Rechenoperation zur Addition ist die Subtraktion und umgekehrt.
- Beispiel:
  Aufgabe
  Umkehraufgabe
  $22 + x = 33$ $x = 33 - 22$
  $x - 12 = 45$ $x = 45 + 12$
Die gegenteilige Rechenoperation zur Multiplikation ist die Division und umgekehrt.
- Beispiel:
  Aufgabe
  Umkehraufgabe
  $x \cdot 5 = 25$ $x = 25 : 5$
  $x : 7 = 6$ $x = 6 \cdot 7$
Bei der Subtraktion und Division spielt die Reihenfolge der Zahlen bzw. Variablen eine Rolle beim Bilden der Umkehraufgabe, bei der Addition und Multiplikation ist die Reihenfolge unwichtig.
- Beispiel: Bei der Aufgabe $17 - x = 7$ steht die Variable an zweiter Stelle und bildet somit den Subtrahenden. Hier kann keine Umkehraufgabe mithilfe der Addition gebildet werden. Stattdessen können das x und die 7 ausgetauscht werden und Du erhältst $17 - 7 = x$ .
Tauschaufgaben sind Aufgaben, bei denen die Summanden oder Faktoren getauscht sind. Diese gibt es also nur für die Addition und Multiplikation.

Nachweise

Heitmann (2020). #einfachmathemagisch - Terme und Gleichungen: Schülerarbeitsheft (7. bis 10. Klasse). Auer Verlag.
Graef (2007). Mein Grundschulwissen: Lernen und Nachschlagen. Tessloff Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Umkehraufgabe Gleichungen

Umkehraufgaben bezeichnen den Vorgang, eine gegenteilige Rechenoperation durchzuführen. Die gegenteilige Rechenoperation zur Addition ist die Subtraktion und die gegenteilige Rechenoperation zur Multiplikation ist die Division. Ein Beispiel für eine Umkehraufgabe zu 3+7=10 zu 7=10-3.

Die Umformung einer Gleichung formt die Gleichung um, ohne den Wert der Gleichung zu verändern.

Eine Gleichung kann mithilfe von Umkehraufgaben rückwärts gerechnet werden. Umkehraufgaben bezeichnen den Vorgang, eine gegenteilige Rechenoperation durchzuführen. Dabei wird die Addition zur Subtraktion sowie die Multiplikation zur Division und umgekehrt.

Karteikarten in Umkehraufgabe Gleichungen7 Lerne jetzt

Erkläre, wozu Umkehraufgaben nützlich sind.

Umkehraufgaben sind nützlich zum Lösen einfacher Gleichungen.

Entscheide, welche der Rechenarten gegenteilig zur Addition ist.

Multiplikation

Entscheide, welche der Rechenarten gegenteilig zur Division ist.

Multiplikation

Erkläre, was eine Tauschaufgabe ist.

Tauschaufgaben sind Aufgaben, bei denen die Summanden oder Faktoren getauscht sind. Diese gibt es also nur für die Addition und Multiplikation.

Entscheide, bei welchen der folgenden Rechenarten die Reihenfolge eine Rolle beim Bilden von Umkehraufgaben spielt.

Addition

Erkläre, was es bedeutet, dass die Reihenfolge der Zeichen keine Rolle bei der Addition oder Multiplikation spielen.

Bei der Addition bzw. Multiplikation können die Summanden bzw. Faktoren vertauscht werden, ohne dass sich die Summe bzw. das Produkt ändert.

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