Tangensfunktion

Du wolltest schon immer mehr zur Tangensfunktion wissen? Dann bist du hier genau an der richtigen Stelle. Die Tangensfunktion ist der große Bruder von der Sinus- und Kosinusfunktion und findet oft praktische Anwendung.

Tangensfunktion Tangensfunktion

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Damit du alle Bereiche der Tangensfunktion abdeckst, kannst du dich in diesem Artikel mit der allgemeinen Definition, dem Wertebereich, der Periode, den Nullstellen, der Symmetrie, dem Verhalten im Unendlichen, dem y-Achsenabschnitt, der Ableitung, den Extremstellen und den Wendepunkten befassen.

    Allgemeines zu der Tangensfunktion

    Bei der Tangensfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich nach der Periode pdasselbe wiederholt. Das passiert immer und immer wieder.

    Schau dir doch zuerst einmal das Schaubild der Tangensfunktion an:

    Tangensfunktion, allgemein Graph, StudySmarterAbbildung 1: Schaubild der Tangensfunktion

    Die Tangensfunktion wird mit folgender Funktionsgleichung definiert:

    Die Funktion f(x) mit

    f(x)=tan(x)=sin(x)cos(x)

    wird Tangensfunktion genannt.

    Die Definition der Tangensfunktion ergibt sich auch aus dem Einheitskreis. Wenn du mehr dazu wissen möchtest, kannst du dir unseren Artikel Einheitskreis anschauen.

    Die Tangensfunktion hat die Besonderheit, dass sie Definitionslücken besitzt. Das kommt daher, dass der Kosinus im Nenner steht und somit an jeder Nullstelle der Kosinusfunktion durch null geteilt werden würde.

    Die Periode der Tangensfunktion

    Bei der Tangensfunktion handelt es sich um eine periodische Funktion. Das bedeutet, dass sich ihre y-Werte in bestimmten Abschnitten immer wiederholen. Diese Periode wird mit dem Buchstaben p angegeben.

    Möchtest du nochmal genauer nachlesen, was die Periode ist? Dann solltest du dir den Artikel Periodizität anschauen!

    Bestimmt kennst du die Periode von f(x)=tan(x). Diese beträgtp=π.

    Das bedeutet, dass sich die Funktionswerte der Tangensfunktion in Abständen von π immer wiederholen.

    Vielleicht wunderst du dich, wieso die Periode p bei der Tangensfunktion nur π, während sie bei der Sinus- und Tangensfunktion 2π beträgt.

    Dies kommt durch die Definition der Tangensfunktion:

    f(x)=tan(x)=sin(x)cos(x)

    Tatsächlich ist es so, dass sich sowohl bei der Sinus- als auch bei der Tangensfunktion die Werte nach einer halben Periode p2=πwiederholen. Allerdings mit umgedrehten Vorzeichen.

    Da beim Tangens, der Sinus durch den Kosinus geteilt wird, spielen die Vorzeichen keine Rollen, da diese sich ausgleichen.

    Das heißt zum Beispiel auch, dass wenn sich an der Stelle x=0 eine Nullstelle befindet, dass sich auch an der Stelle x=0+p=π eine Nullstelle befindet. Zur Veranschaulichung kannst du dir das folgende Schaubild anschauen:

    Tangensfunktion, Periode, StudySmarter Abbildung 2: Periode der Tangensfunktion

    Du siehst also, dass sich das Schaubild der Tangensfunktion immer wiederholt.

    Da die Tangensfunktion eine Periode von p=π besitzt, musst du dir das Ganze so vorstellen, dass die Tangensfunktion zwischen -π2 und π2 genau so aussieht wie zwischen π2 und 3π2 oder zwischen 3π2 und 5π2. Das kannst du so beliebig weitermachen. Die Tangensfunktion sieht dann zwischen 201π2 und 203π2 auch wieder genauso aus.

    Mathematisch wirkt sich die Periode p wie folgt auf die Tangensfunktion aus:

    tan(x)=tan(x+p)=tan(x+π)

    Wertebereich der Tangensfunktion

    Schauen wir uns als Nächstes den Wertebereich der Tangensfunktion an.

    Zur Erinnerung:

    • Ein Wertebereich Wf betrachtet die maximalen und die minimalen y-Werte einer Funktion f(x).
    • Der niedrigste y-Wert ist dabei die untere, der größte y-Wert die obere Grenze.
    • Damit lautet der Wertebereich Wf wie folgt: Wf=[ymin,ymax].
    Falls du noch einmal im Detail nachlesen willst, lies dir unseren Artikel zum Wertebereich durch.

    Schau dir zuerst das Schaubild der Tangensfunktion an, und überlege, wie der Wertebereich der Tangensfunktion sein könnte:

    Tangensfunktion, Wertebereich, StudySmarter Abbildung 3: Wertebereich der Tangensfunktion

    Aufgrund der Periode p reicht es aus, die Tangensfunktion zwischen -π2 und π2 zu betrachten. Die Erkenntnis für den Bereich zwischen -π2 und π2 lässt sich anschließend auf die gesamte Tangensfunktion anwenden.

    Im Bereich x=-π2 laufen die y-Werte gegen -. Im Bereich x=π2 laufen die y-Werte gegen . Damit entspricht der Wertebereich Wf=(-,).

    Da die y-Werte - und nie eingeschlossen sind, wurden die Klammern entsprechend so gewählt, dass sie die Grenzen nicht einschließen.

    Tangensfunktion: Symmetrie

    Da du weißt, dass die Tangensfunktion periodisch ist, kannst du eine weitere Eigenschaft erkennen: Die Tangensfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

    Zur Erinnerung: Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt: f(x)=-f(-x).

    Mehr dazu kannst du im Artikel Punktsymmetrie nachlesen.

    Bei der Tangensfunktion gilt also folgendes:

    f(x)=tan(x)=-tan(-x)

    Du kannst dir am folgenden Schaubild veranschaulichen, dass diese Bedingung erfüllt ist:

    Tangensfunktion Symmetrie StudySmarter Abbildung 4: Symmetrie der Tangensfunktion

    Du siehst daran, dass tan(π)=-tan(-π)=0 und tan(1)=-tan(-1)1,58 ist.

    Um dir dies noch für mehr Werte zu zeigen, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen:

    tan(x)-tan(-x)
    x=0,5tan(0,5)0,55-tan(-0,5)-(-0,55)=0,55
    x=0,7tan(0,7)0,84-tan(-0,5)-(-0,55)=0,55
    x=6tan(6)-0,29-tan(-6)-0,29
    x=2πtan(2π)=0-tan(-2π)=0

    Das Verhalten im Unendlichen – Grenzwert der Tangensfunktion

    Wenn man über das Verhalten einer Funktion im Unendlichen spricht, dann macht man sich darüber Gedanken, wie sich die Funktion verhält, wenn der x-Wert immer größer oder kleiner wird.

    Funktionen können beispielsweise auch in y-Richtung ins Unendliche gehen, wenn ein sehr großer x-Wert eingesetzt wird, oder sie können sich immer mehr an die x-Achse annähern.

    Du kannst das Verhalten im Unendlichen der Tangensfunktion recht leicht herausfinden, da es sich um eine periodische Funktion handelt.

    Wir haben vorhin schon gesehen, dass die Tangensfunktion zwischen -π2 und π2 genau so aussieht wie zwischen 201π2 und 203π2. Damit sieht sie auch zwischen 2000000001π2 und 2000000003π2 genau so aus.

    Das bedeutet, dass die Tangensfunktion im Unendlichen irgendwo im Bereich zwischen - und pendelt, sich aber auch nie einem y-Wert annähert. In der Fachsprache sagt man dazu, dass die Funktion unbestimmt divergiert.

    Wenn eine Funktion immer zwischen zwei Werten verläuft, sagt man auch, dass sie oszilliert.

    Tangensfunktion: Nullstellen

    Schauen wir uns nun die Nullstellen der Tangensfunktion an.

    Zur Erinnerung: Nullstellen sind die x-Werte der Schnittpunkte einer Funktion f(x) mit der x-Achse.

    Um noch einmal nachzulesen, wie Nullstellen bestimmt werden, schau dir unseren Artikel Nullstellen berechnen an.

    Schau dir wieder einmal das Schaubild der Tangensfunktion an, um die Nullstellen zu bestimmen:

    Tangensfunktion Nullstellen StudySmarter Abbildung 5: Nullstellen der Tangensfunktion

    Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen x-1=-π, x0=0, x1=π und x2=2π eine Nullstelle existiert.

    Die Tangensfunktion besitzt aufgrund ihrer Definition dieselben Nullstellen wie die Sinusfunktion.

    Da es sich um eine periodische Funktion handelt, kannst du für die Nullstellen eine allgemeine Formel aufstellen, da sich die Nullstellen wiederholen. Wenn du dazu mehr wissen möchtest, kannst du dir den nächsten vertiefenden Abschnitt anschauen. Falls dir das zu viel ist, kannst du einfach nach dem Kasten die nächste Eigenschaft der Tangensfunktion anschauen.

    Innerhalb einer Periode p gibt es genau eine Nullstelle. Das heißt, dass sich die Nullstellen nach jeweils einer Periode p wiederholen. Bei der Tangensfunktion ist die Periode p=π.

    Da nach jeweils einer Periode p=π eine Nullstelle existiert, kannst du die Formel für allgemeine Nullstellen bei der reinen Tangensfunktion wie folgt aufstellen:

    Für eine ganze Zahl k gibt es an der Stelle xk eine Nullstelle:

    xk=π·k

    Um dir zu zeigen, wie du dir die Formel vorstellen musst, kannst du dir die folgende Tabelle anschauen. Dies sind die Nullstellen von x-1 bis x6:

    k=-1k=0k=1k=2k=3k=4k=5k=6
    x-1=-πx0=0x1=πx2=2πx3=3πx4=4πx5=5πx6=6π

    Der y-Achsenabschnitt der Tangensfunktion

    Der y-Achsenabschnitt ist der y-Wert des Schnittpunktes einer Funktion mit der y-Achse.

    Schau dir das Schaubild der Tangensfunktion an. Du erkennst dann direkt, welchen y-Achsenabschnitt die Tangensfunktion hat:

    Tangensfunktion y-Achsenabschnitt StudySmarter Abbildung 6: y-Achsenabschnitt der Tangensfunktion

    Da du aus dem vorherigen Abschnitt weißt, dass die Tangensfunktion eine Nullstelle bei x=0 besitzt, weißt du, dass die Tangensfunktion die y-Achse im Punkt P=(0|0) schneidet. Das kannst du auch im Schaubild ablesen.

    Die Tangensfunktion besitzt also den y-Achsenabschnitt y=0.

    Tangensfunktion: Ableitung

    An dieser Stelle beschäftigen wir uns kurz mit der Ableitung zur Tangensfunktion. Wenn du mehr zur Ableitung wissen möchtest, wie zum Beispiel die Herleitung, dann kannst du den Artikel Ableitung trigonometrischer Funktionen lesen.

    Du hast für die Ableitung f'(x) der Tangensfunktion folgende Definition:

    Die Ableitung f'(x) der Tangensfunktion f(x)=tan(x) lautet:

    f'(x)=1cos2(x)=1+tan2(x)

    Extremstellen der Tangensfunktion

    Die Tangensfunktion besitzt keine Extremstellen.

    Zur Erinnerung:

    • Ein Hoch- bzw. Tiefpunkt ist ein Punkt einer Funktion mit dem größten bzw. kleinsten y-Wert.
    • Bei gleichbleibender Steigung kann kein Extrempunkt vorliegen, da eine Extremstelle die Nullstelle der Ableitung ist.

    Dazu kannst du dir noch einmal das Schaubild der Tangensfunktion anschauen:

    Tangensfunktion Extremstellen StudySmarter Abbildung 7: Extremstellen der Tangensfunktion

    Da zur Betrachtung der gesamten Tangensfunktion der Bereich von -π2 bis π2 ausreicht, kannst du diesen Bereich betrachten.

    Da der Wertebereich Wf=(-,) beträgt und im Bereich von -π2 bis π2 die Tangensfunktion streng monoton steigt, also lediglich eine positive Steigung vorliegt, besitzt die Tangensfunktion keine Extremstellen.

    Wendepunkte der Tangensfunktion

    Wendepunkte sind Punkte, in denen eine Funktion ihr Krümmungsverhalten verändert. An Wendepunkten besitzt dann die Ableitung der Funktion einen Extrempunkt.

    Um mehr über Wendepunkte zu erfahren, kannst du dir unseren Artikel Krümmung und Wendepunkte anschauen.

    Schau dir wieder das Schaubild der Tangensfunktion an, um die Wendepunkte zu bestimmen:

    Tangensfunktion Wendepunkte StudySmarterAbbildung 8: Wendepunkte der Tangensfunktion

    Du kannst im Schaubild sehen, dass an den Stellen x-1=-π, x0=0, x1=π und x2=2π ein Wendepunkt existiert.

    Die y-Koordinate der Wendepunkte beträgt y=0.

    Vielleicht hast du bemerkt, dass die Wendestellen den Nullstellen entsprechen. Du brauchst also für die Wendestellen lediglich die Nullstellen berechnen.

    Jetzt weißt du eine ganze Menge über die Tangensfunktion. Für einen kurzen Überblick aller Eigenschaften der Tangensfunktion kannst du dir noch den nächsten Abschnitt durchlesen.

    Tangensfunktion - Das Wichtigste

    • Die Periode p der Tangensfunktion beträgtπ.
    • Die Tangensfunktion hat einen WertebereichWf von Wf=(-,).
    • Die Tangensfunktion weist eine Punktsymmetrie zum Ursprung auf.
    • Der y-Achsenabschnitt der Tangensfunktion isty=0.
    • Die ersten Nullstellen bzw. Wendestellen rechts von der y-Achse der Tangensfunktion sind x0=0, x1=π, x2=2π.
    • Es gibt eine allgemeine Formel für alle Nullstellen bzw. Wendestellen der Tangensfunktion: xk=π·k.
    • Die Ableitung f'(x) der Tangensfunktion f(x)=tan(x) ist: f'(x)=1cos2(x)=1+tan2(x).
    • Die Tangensfunktion besitzt keine Extremstellen.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Tangensfunktion

    Wie definiert sich der Tangens?

    Der Tangens hat die folgende Funktionsgleichung:

    f(x)=tan(x)=sin(x)/cos(x)

    Welche Werte kann Tangens annehmen?

    Der Tangens hat einen Wertebereich von minus Unendlich bis plus Unendlich. Dementsprechend kann er alle Werte annehmen.

    Was ist die Umkehrfunktion des Tangens?

    Die Umkehrfunktion des Tangens ist Arcustangens. Diese wird oft auch als tan^(-1) gekennzeichnet.

    Wann nimmt man den Tangens?

    Den Tangens nimmt man zur Berechnung der Ankathete oder der Gegenkathete. Ebenso kann damit der Winkel Alpha oder Beta berechnet werden.

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