Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Substitution

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Mathe

Stell Dir vor, dein Schulfreund und Du, ihr kommt morgens zu spät zum Unterricht und bekommt eine Strafarbeit. Die Strafarbeiten sind aber unterschiedlich umfangreich. Du empfindest das als unfair und tauschst deshalb Deine Strafarbeit heimlich mit der Deines Freundes aus, als er nicht im Klassenzimmer ist. Nun musst Du statt der schweren Strafarbeit die viel leichtere bearbeiten und kannst Dich heute Nachmittag sogar noch mit Deinen Freunden treffen!

Substitution Strafarbeit StudySmarter

Aber was hat das nun alles mit der Substitution zu tun? Die Substitution funktioniert ganz ähnlich.

Substitution – Definition

Wenn Du in der Mathearbeit einer komplizierten Gleichung begegnest, kannst Du diese durch Substitution vereinfachen. Damit das dann auch wirklich klappt, lernst Du im Folgenden, was unter der Substitution zu verstehen ist.

Unter der Substitution ist das Ersetzen eines Terms durch einen neuen Term zu verstehen,

x2=u

Die Resubstitution oder Rücksubstitution bezeichnet das Rückgängigmachen dieses Vorgangs.

u=x2

Das Ziel der Substitution ist es, eine komplexe Gleichung in eine einfachere und lösbare Form zu überführen und so die Gleichung zu lösen. Oft kannst Du durch eine Substitution ein Problem und somit die Rechnung vereinfachen.

Substitution Schema der Substitution StudySmarterAbbildung 1: Schema der Substitution

Das Wort "Substitution" kommt von lateinisch "substituiere" und bedeutet "ersetzen".

Das Substitutionsverfahren ist eine Möglichkeit, Gleichungen nach x aufzulösen und die Nullstellen einer Gleichung höherer Ordnung zu finden. Oft kannst Du nach einer Substitution zum Beispiel die p-q-Formel / Mitternachtsformel anwenden, um dadurch eine Polynomdivision zu umgehen.

In einer Gleichung höherer Ordnung taucht die Potenz x3 oder sogar eine noch höhere Potenz auf. Oft wird diese Art der Gleichung auch als Polynom bezeichnet.

Eine Gleichung höherer Ordnung:

5x3-4x2+6x+4=0

Da Du nun weißt, was eine Substitution ist, soll diese im Folgenden gleich mal durchgeführt werden.

Das Substitutionsverfahren mit Rücksubstitution

Manchmal lassen sich Gleichungen durch ein geeignetes Substitutionsverfahren auf eine einfachere Gleichung zurückführen. Das bekannteste Beispiel dafür ist die sogenannte biquadratische Gleichung (Gleichung 4. Grades).

Voraussetzung für die Substitution ist, dass eine Potenz von x in einer Gleichung gerade und eine weitere ein Vielfaches des ersten Potenz ist.

Kurz gesagt:

  • Für vereinfachtes Lösen von Gleichungen.
  • Nur bei Gleichungen mit ausschließlich geraden Potenzen möglich oder zumindest muss die erste Potenz der Gleichung gerade sein.
  • Hochzahl des einen Terms ist doppelt so hoch wie die Hochzahl des anderen Terms.

Die erste Potenz der Gleichung ist gerade, die zweite Potenz jedoch ungerade. Die Substitution darf trotzdem angewandt werden:

ax6+bx3+c=0

Quadratische, Biquadratische Gleichungen usw. kannst Du lösen, indem Du x² durch u substituierst. Denn dadurch erhältst Du eine quadratische Gleichung mit der Variablen u.

Insgesamt gibt es vier Schritte bei der Substitution:

1. Schritt: Substitution

Im ersten Schritt ersetzt Du jedes x2 durch ein u. Folglich ist u2 auch x4.

2. Schritt: Löse die Gleichung mit u

Nun hast Du eine Gleichung mit u. Du löst die passende Gleichung durch die p-q-Formel oder die Mitternachtsformel und löst sie nach u auf.

3. Schritt: Resubstitution

Aus der Variable u wird wieder x2 und Du tauschst die beiden Variablen aus.

4. Schritt: Wurzel ziehen

Ziehe die passende Wurzel, um x zu erhalten.

Damit Du das Prinzip hinter der Substitution auch verstehst, siehst Du hier, warum Du überhaupt substituieren darfst:

Die Vorsilbe "bi-" bei biquadratischen Gleichungen kommt aus dem Lateinischen und bedeutet, dass etwas doppelt vorkommt.

ax2+bx+c=0 Quadratische Gleichung a(x2)2+b(x)2+c=0Biquadratische Gleichung

Du siehst, das ist eine quadratische Gleichung in x2. Mit den Potenzgesetzen ist das Prinzip der Substitution leicht erklärbar. Die Hochzahl (Exponent) ist die Anzahl der Multiplikationen der Basis x.

x2=u x·x=ux4=u2 x·xu·x·xu=u2

Das bedeutet, die Substitution klappt immer nur dann, wenn eine Hochzahl doppelt so groß ist wie die andere. Die kleinere Hochzahl wird u, die größere Hochzahl wird u². Die Substitutionsvariable kannst Du natürlich nennen, wie Du möchtest. Die meistgenutzten Variablen sind jedoch u und z.

Das sind die Fälle, die in der Schule am häufigsten vorkommen:

...x4+...x2+...=0...x6+...x3+...=0

Jede Gleichung, die Du substituierst, führt immer zu einer Gleichung der Form: ...u2+...u+...=0

Was zum Beispiel NICHT funktioniert, ist 2x4-x3+4=0

Du erhältst also in der Schule immer Gleichungen, die sich über Spezialfälle wie zum Beispiel der Substitution lösen lassen. Entweder ist die eine Hochzahl immer doppelt so groß wie die andere, oder hinten steht eine Zahl ohne Variable, dann kannst Du ausklammern.

Wie Du die Substitution durchführst, siehst Du im nächsten Abschnitt Schritt für Schritt.

Substitution in Mathe – Beispiel

Damit Du die Substitution besser verstehst, folgt nun ein Beispiel, indem diese Schritte angewendet werden.

Anhand der Gleichung 2x4-18x2=-40 lernst Du, wie eine Substitution funktioniert. Ziel ist es dabei immer, die Lösung der Gleichung zu bestimmen.

Da Du die Gleichung nicht einfach so nach x auflösen kannst, substituierst Du die Gleichung zur Vereinfachung.

2x4-18x2=-402x4-18x2=-40 +40

Bringe alles auf eine Seite und setze gleich 0.

2x4-18x2+40=02·x2·x2-18x2+40=0

1. Schritt: Substitution

Die gegebene Gleichung wird substituiert, indem Du alle x² durch u ersetzt.

→ Substitution x2=u

2u2-18u+40=0

2. Schritt: Löse die Gleichung mit u

Diese Gleichung kannst Du mit der Mitternachtsformel oder p-q-Formel lösen. Schau Dir hierzu gerne nochmal die passenden Artikel an, falls Du die beiden Lösungsverfahren wiederholen möchtest. Da vor dem höchsten Exponenten eine Zahl steht, kannst Du die Mitternachtsformel anwenden:

u1/2=-(-18)±(-18)2-4·2·402·2=18±44=18±24 u1=18+24=5 u2=18-24=4

3. Schritt: Resubstitution

Jetzt ganz wichtig: Du bist nun noch nicht fertig, denn Du hast nur die Lösungen für u rausgefunden! Dich interessieren aber die Lösungen für x. Am Anfang hast Du x² durch u substituiert. Das musst Du jetzt wieder resubstituieren.

Nun kannst Du x aus den Lösungen für u berechnen. Dazu ersetzt Du u mit x2:

u1=5 x2=5u2=4 x2=4

4. Schritt: Wurzel ziehen

Im letzten Schritt nimmst Du die ursprüngliche Gleichung und formst sie um. Da du vorhin x² für u gesetzt hast, ist x einfach die Wurzel aus u. Um x zu erhalten, ziehst Du die passende Wurzel. Beachte, dass Du beim Wurzelziehen immer zwei Lösungen hast und die Wurzel aus negativen Zahlen nicht existiert.

x2=5 x1/2=±5x2=4 x3/4=±2

Insgesamt hat die Gleichung vier Lösungen.

Substitution – Wurzel substituieren

Hin und wieder wirst Du in einer Gleichung auf einen Wurzelausdruck stoßen. Es kann hilfreich sein, in so einem Fall die Substitution anzuwenden, die das Lösen der Gleichung sehr vereinfachen kann.

Die Substitution ist anwendbar, wenn die Radikanden gleich sind. Als Radikand wird die Zahl bezeichnet, die unter der Wurzel steht.

Dabei gehst Du folgendermaßen vor:

  • Betrachte die Wurzel zunächst als normalen Term, welcher ausgetauscht werden soll, aber achte dabei darauf, dass die Radikanden gleich sind.
  • Hilfreich ist es, Dir in Erinnerung zu rufen, dass Wurzelziehen die Umkehrung des Quadrierens ist. Das folgende Beispiel zeigt Dir diese Tatsache:

x=x2=u

  • Verfahre bis zur Resubstitution wie gewohnt. Löse die Gleichung standardmäßig auf und resubstituiere anschließend die Lösung. Dazu setzt Du die Lösung in die Substitutionsgleichung ein und löst nach x auf.
  • Wichtig: Die Gleichung, nach der Du auflösen musst, wird der Term mit der Wurzel sein.

Um es Dir anschaulicher zu erklären, wird eine Wurzelgleichung nun ausführlich substituiert.

Berechne die Nullstellen folgender Gleichung:

2·x-342u+x-34u-3=0

Wie Du siehst, sind hier zwei gleiche Wurzeln vorhanden und deshalb kann die Substitution durchgeführt werden:

1. Schritt: Substitution

Du setzt also x-34=u, um mit dem Wurzelausdruck leichter rechnen zu können.

Jetzt erhältst du eine quadratische Gleichung:

2u2+u-3=0

2. Schritt: Löse die Gleichung mit u

In diesem Fall ist es geschickter, die Mitternachtsformel anzuwenden, um komplizierte Bruchausdrücke zu vermeiden. Hier nochmal zu Erinnerung die allgemeine Form der Mitternachtsformel:

u1/2=-b±b2-4ac2a

In die kannst Du jetzt die Zahlen aus deiner substituierten Gleichung einsetzen:

u1/2=-1±12-4·2·(-3)2·2u1/2=-1±254=-1±54u1=1 u2=-32

3. Schritt: Resubstitution

Für u1=1: Du führst die Resubstitution für u1=1 durch, d.h. Du setzt das erste gefundene Ergebnis u1 in die Substitutionsgleichung und löst die Gleichung nach x auf.

Substitutionsgleichung:

x-34=u

Darin u1 einsetzen:

x-34=1

Nun löst Du die Wurzelgleichung:

x-344=14x-3=1x1=4

Für u2=-32: Jetzt führst Du die Resubstitution auch für das zweite Ergebnis durch. Es entsteht eine Gleichung, die keine Lösung haben kann. Der Grund hierfür ist, dass auf der rechten Seite eine negative Zahl steht, der Wert unter der Wurzel aber nicht negativ sein darf und somit für kein x ein negatives Ergebnis entstehen würde.

x-34=-32

Die Lösung der Gleichung lautet also: L=4.

Substitution – Aufgaben zum Üben

Damit du alles noch besser verstehst, folgen nun ein paar Übungsaufgaben!

Die folgende Gleichung soll nun mit dem Substitutionsverfahren gelöst werden. Dazu sollen die Nullstellen berechnet werden:

  1. f(x)=x6+2x3+1
  2. g(x)=x4 - 4x2+4
  3. h(x)=2x4+4x2 - 4

Rechenweg und Lösung zu Übungsaufgabe 1

Um die Nullstellen zu berechnen, musst Du die Gleichung gleich 0 setzen und alles auf eine Seite bringen.Es gilt also: f(x)=0

x6+2x3+1=0

1. Schritt: Substitution mit x3=u

Folglich wird auch x6=u2!

u2+2u+1=0

2. Schritt: Anwendung p-q/ Mitternachtsformel.

p-q-Formelx1/2=-p2±p22-qu1/2=-2±22-4·1·12·1=-2±02u=-1

3. Schritt: Resubstitution

Du ersetzt nun u wieder mit x3:

u=-1 x3=-1

4. Schritt: Wurzel ziehen

Ziehe nun die dritte Wurzel, um x zu erhalten, In diesem Fall darfst Du die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen, indem Du das Minus vor die Wurzel schreibst, denn die dritte Potenz einer negativen Zahl ergibt eine negative Zahl.

x3= -1 x = -1x = -1

Zum Schluss schreibst Du nur noch die Nullstellen der Funktion f(x) auf:

L={-1}

Rechenweg und Lösung zu Übungsaufgabe 2

Setze die Gleichung wieder Null:

x4-4x2+4=0

1. Schritt: Substitution mit x2=u.

Hier wird somit auch wieder x4=u2

u2-4u+4=0

2. Schritt: Anwendung der p-q/ Mitternachtsformel.

u1/2=42±-422-4=2±4-4=2±0u1=2+0=2u2=2-0=2

Bei der Anwendung der p-q-Formel ergibt der Wert unterhalb der Wurzel null. Aus diesem Grund kommen keine unterschiedlichen Ergebnisse für u1 und u2 heraus und Du erhältst lediglich genau eine Nullstelle.

3. Schritt: Resubstitution

Du ersetzt nun u wieder mit x2.

u=2 x2=2

4. Schritt: Wurzel ziehen

Ziehe nun die Quadratwurzel, um x zu erhalten.

x2=2 x1=2x2=-2

Beim Wurzel ziehen ergeben sich hier zwei Lösungen für x.

L=2; -2

Rechenweg und Lösung zu Übungsaufgabe 3

Um auch hier die Nullstellen zu berechnen, musst Du die Gleichung wieder null setzen.

2x4+4x2-4=0 :2x4+2x2-2=0

1. Schritt: Substitution mit x2=u und x4=u2.

u2+2u-2=0

2. Schritt: Anwendung p-q/ Mitternachtsformel.

u1/2=-22±222+2=-1±1+2=-1±3u1=1+3u2=1-3

3. Schritt: Resubstitution

Du ersetzt u wieder mit x2.

In diesem Fall muss Du nur u1 resubstituieren, da Du von einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen darfst.

u1=-1+3 x2=-1+3

4. Schritt: Wurzel ziehen

Ziehe nun die Quadratwurzel, um x zu erhalten.

x2=-1+3 x1=-1+3x2=--1+3

Beim Wurzel ziehen ergeben sich hier zwei Lösungen für x.

L=--1+3; -1+3

Substitution – Das Wichtigste

  • Substituieren bedeutet: Term durch anderen Term ersetzen.
  • Bei der Substitution vertauschst Du einen schwierigen Term mit einem einfachen (z.B. u). Damit lässt sich einfacher rechnen und so mit bekannten Formeln, wie der p-q/ Mitternachtsformel die Gleichung auflösen.
  • Hast Du dann eine Lösung für u raus, musst Du noch Resubstituieren, damit Du auch wirklich Deine Lösungen für x bekommst.
  • Achtung: Hin und wieder wird anstelle der Variable u die Variable z verwendet. Lass Dich davon nichtbeirren!
  • Folgende Schritte solltest Du dabei befolgen:
    1. Alles auf eine Seite bringen.
    2. Substituieren: Jedes x² durch u ersetzen. x² = u.
    3. Mit bekannten Formeln die Gleichung lösen.
    4. Resubstitution. x² = u auflösen.
    5. Lösungsmenge aufschreiben.
  • Vergiss niemals das Resubstituieren!

Substitution

Gleichungen mit geraden Potenzen oder die Hochzahl des einen Terms ist doppelt so groß wie die Hochzahl des anderen Terms. 

Oft kann durch eine Substitution ein Problem vereinfacht werden, weil nach dem Ersetzen ein Verfahren wie z.B. die Mitternachtsformel oder p-q-Formel anwendbar ist. Das vereinfachte Lösen von Gleichungen ist dadurch möglich.

Das Ersetzen eines Terms durch einen anderen mit dem gleichen Zweck. Zum Schluss muss der entsprechende Term wieder resubstituiert werden. 

Das Substitutionsverfahren ist ein Verfahren, das bei einem geeigneten Aufbau der Gleichung die Lösung der Gleichung höherer Ordnung in zwei Schritten ermöglicht. 

Finales Substitution Quiz

Frage

Wie kannst Du eine Substitution durchführen? 

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn in einer Gleichung lediglich gerade Potenzen von x auftreten, kann eine Substitution durchgeführt werden.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine Substitution? 


Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer Substitution ersetzt Du einen Term (bzw. Teile eines Terms) durch einen anderen, mit dem Ziel, diesen in eine einfacher lösbare Form zu bringen.

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet Substituieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Term durch anderen Term ersetzen

Frage anzeigen

Frage

Für die folgende Gleichung sollen die Nullstellen berechnet werden.



Substituiere  . Wie lautet die Gleichung danach?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wobei ist die Substitution hilfreich?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe der Substitution kannst Du Gleichungen vereinfachen und dadurch mit bekannten Formeln – wie der p-q- oder der Mitternachtsformel –  die Gleichung auflösen. Vergesse dabei nicht, zurück zu substituieren

Frage anzeigen

Frage

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit Du eine Wurzel substituieren darfst?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Substitution ist anwendbar, wenn die Radikanden gleich sind. Als Radikand wird die Zahl bezeichnet, die unter der Wurzel steht.  

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet biquadratisch?

Antwort anzeigen

Antwort

Unter einem Biquadrat versteht man die 4. Potenz, also quasi das Quadrat im Quadrat. Daher Biquadrat.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird eine biquadratische Gleichung gelöst?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Biquadratische Gleichung in allgemeine Form bringen.
  2. Substitution: 
  3. Quadratische Gleichung mit der Variablen z lösen.
  4. Resubstitution: 
  5. Wurzel ziehen.
  6. Lösungsmenge aufschreiben.
Frage anzeigen

Frage

Wann ist die Anwendung der Substitution sinnvoll?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Substitution wendest Du an, wenn Du zwei Terme sowie eine Zahl hast, wobei die Hochzahl des einen Terms doppelt so hoch wie die Hochzahl des anderen Terms ist. Nun substituierst (ersetzt) Du einen Term durch , den anderen durch  und erhältst eine Mitternachtsformel, aus welcher Du  und  berechnest.

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet die Mitternachtsformel? 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mitternachtsformel ist eine Lösungsformel für quadratische Gleichungen. Eigentlich heißt sie aber abc-Formel, weil sie Gleichungen vom Typ  löst.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet das Ziel der Substitution?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Ziel ist die Überführung des Ausgangsterms in eine einfachere, lösbarere Form. Danach kann er mit der p-q-Formel oder Mitternachtsformel gelöst werden.

Frage anzeigen

Frage

Welche Voraussetzungen müssen erfüllt sein, damit Du eine Gleichung substituieren kannst?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Die erste Potenz von x muss gerade sein.
  2. Alle Potenzen der Gleichung müssen gerade sein.
  3. Die Hochzahl des ersten Terms muss doppelt so hoch sein, wie die Hochzahl des anderen Terms.
Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die vier Schritte der Substitution?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Substitution
  2. Löse die Gleichung mit u
  3. Resubstitution 
  4. Wurzel ziehen
Frage anzeigen

Frage

Wie lauten die gängigsten Variablen zum Substituieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Die gängigsten Variablen sind u und z. Du kannst aber auch jeden beliebigen anderen Buchstaben verwenden.

Frage anzeigen

Frage

Wann musst Du Resubstituieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei manchen Gleichungen vereinfacht es das Lösen der Gleichung, wenn Du die zu berechnende Unbekannte substituierst, sprich ersetzt. Allerdingst musst Du am Ende der Rechnung durch Resubstitution wieder auf die ursprüngliche Unbekannte kommen. Das bedeutet, Du machst den Vorgang rückgängig.

Frage anzeigen
60%

der Nutzer schaffen das Substitution Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.