Prozent

Algebra

INHALTSANGABE :

INHALTSANGABE

Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken

Jetzt kostenlos anmelden

Nie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Jetzt kostenlos anmelden

Prozente geben Anteile am Ganzen an. So enthält zum Beispiel eine ganze Packung Milch 3,5 % Fett oder ein T-Shirt besteht zu 90 % aus Baumwolle. Das Wort Prozent (in Zeichen %) kommt aus dem Italienischen (per cento) und heißt übersetzt „für hundert, bezogen auf hundert“. Was Prozent genau bedeutet und wie Du damit rechnest, erklären wir dir in diesem Artikel.

Prozent – Definition und Erklärung

Ein Prozent wird festgelegt durch:

$1 % = \frac{1}{100}$

Analog werden Prozent p % definiert durch:

$p % = \frac{p}{100}$

Das Prozentzeichen kann auch als Multiplikation mit dem Bruch $\frac{1}{100}$ aufgefasst werden. Hundertstelbrüche (Brüche mit dem Nenner 100) können mit der Prozent-Schreibweise einfach dargestellt werden. Ein Prozent entspricht also einem Hundertstel eines Ganzen.

Will man einen Anteil eines Ganzen beschreiben, kann man dafür neben gewöhnlichen Brüchen auch Prozent nutzen. Dazu muss man den Anteil in Hundertstel ausdrücken. Dies gelingt, indem man den Bruch auf den Nenner Hundert erweitert oder kürzt. Mit Prozent kann wie mit Brüchen gerechnet werden.

Prozentrechnung – Aufgaben

Aufgabe 1

12 % der 600 Schülerinnen und Schüler der sechsten Klassen kommen mit dem Fahrrad zur Schule. Wie viele Schüler*innen sind das?

Lösung

Es sind 12 % von 600 Schüler*innen. Das ist gleichbedeutend damit, dassvon 600 der Sechstklässler*innen mit dem Fahrrad kommen. Dies wird berechnet durch:

$12 % \cdot 600 = \frac{12}{100} \cdot 600 = \frac{12 \cdot 600}{100} = 12 \cdot 6 = 72$

Aufgabe 2

Von den 800 Schüler*innen der siebten Klassen kommen 600 mit dem Bus zur Schule. Wie viel Prozent der Schüler*innen sind das?

Lösung

Der Anteil ist 600 von 800. Dies kann mathematisch ausgedrückt werden durch den Bruch $\frac{600}{800}$ . Durch Kürzen mit 8 erhält man einen Hundertstelbruch: $\frac{600 \div 8}{800 \div 8} = \frac{75}{100}$ . Damit entsprechen 600 von 800 Schüler*innen 75 %.

Prozent – Bedeutung

Prozentangaben dienen zum einen der Darstellung von Anteilen und Größenverhältnissen.

Prozent Anteile darstellen Bedeutung StudySmarter

Zum anderen ermöglichen Prozentangaben den Vergleich unterschiedlicher Größen, indem die verschiedenen Größen im Verhältnis zum gleichen Grundwert (Hundert) betrachtet werden. Zur Verdeutlichung auch hierzu noch ein Beispiel für dich:

Aufgabe 3

Ein Schokoladenhersteller möchte Pistazien-Schokolade verkaufen. Dazu muss er Pistazien kaufen, die er dann weiter verarbeiten kann. Der Schokoladenhersteller hat zwei Pistazienverkäufer in die engere Auswahl genommen. Beide geben ihm eine Probe ihrer Pistazien:

Verkäufer A gibt dem Schokoladenhersteller 20 Pistazien, von denen 2 nicht brauchbar sind.

Verkäufer B gibt dem Schokoladenhersteller 25 Pistazien, von denen ebenfalls 2 nicht brauchbar sind.

Vergleicht man die absoluten Zahlen, dann sind bei Verkäufer A und B gleich viele Pistazien, nämlich 2 Stück, unbrauchbar.

Dieser Vergleich erscheint aber nicht ganz fair. Schließlich hat Verkäufer B eine größere Probe abgegeben als Verkäufer A. Der Anteil an unbrauchbaren Pistazien ist also bei beiden Verkäufern unterschiedlich:

Verkäufer A:

2 von 20 Pistazien: Das sind $\frac{2}{20}$ oder in Prozent geschrieben $\frac{2 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{10}{100} = 10 %$

Verkäufer B:

2 von 25 Pistazien: Das sind $\frac{2}{25}$ oder in Prozent geschrieben $\frac{2 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{8}{100} = 8 %$

Bei Verkäufer B ist der Anteil der unbrauchbaren Pistazien 8 % und damit geringer als bei Verkäufer A, bei dem der Anteil 10 % ist. Der Schokoladenhersteller wird also Verkäufer B als Pistazienlieferant wählen.

Bei einem absoluten Vergleich werden Werte direkt verglichen. Im Beispiel haben sowohl Verkäufer A als auch Verkäufer B zwei nicht brauchbare Pistazien in ihrer Probe.

Bei einem relativen Vergleich hingegen werden Anteile verglichen. Dabei werden die absoluten Werte auf den Grundwert bezogen. Beim Vergleich von Prozentangaben handelt es sich also um einen relativen Vergleich. Im Beispiel wäre der relative Vergleich, der Vergleich der 10 % mit den8 %.

Prozentrechnung – Begriffe und Beispiele

Wenn du mit Prozenten rechnest, spielen die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz eine wichtige Rolle. Hierzu haben wir wieder ein Beispiel für dich:

Aufgabe 4

Ein Fläschchen Reinigungshandgel (150 ml) enthält 70 % Alkohol.

Es sind also 105 ml Alkohol im Handgel enthalten, denn:

$150 m l \cdot 70 % = 150 m l \cdot \frac{70}{100} = \frac{150 m l \cdot 70}{100} = \frac{150 m l \cdot 7}{10} = \frac{15 m l \cdot 7}{1} = 105 m l$

Anders ausgedrückt:Grundwert G = 150 ml

Prozentsatz p% = 70 %

Prozentwert P = 105 ml

Prozent – Grundwert G

Das Ganze, auf das sich der Prozentwert P bezieht, entspricht dem Grundwert G:

Der Grundwert G ist der Begriff für das Ganze. Er entspricht 100 %.

Im Beispiel ist der Grundwert das gesamte Volumen des Reinigungshandgels, also 150 ml.

Prozentwert P

Der Prozentwert P bezieht sich auf den oben eingeführten Grundwert.

Der Prozentwert P ist der Anteil des Ganzen, der betrachtet wird. Dieser Anteil entspricht dem Prozentsatz.

Im Beispiel sind die 105 ml Alkohol, die im Reinigungshandgel enthalten sind, der Teil des gesamten Handgels (150 ml), der betrachtet wird.

Prozentsatz p%

Der Prozentsatz lässt sich mit dem Grund- und dem Prozentwert berechnen.

Der Prozentsatz p% beschreibt den Anteil am Ganzen, angegeben in %.

Im Beispiel ist der Prozentsatz 70 %. Dies entspricht dem Anteil des Alkohols im Handgel.

Wenn du in Aufgaben Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz berechnen musst, kannst du dazu den Dreisatz oder die Grundgleichung der Prozentrechnung verwenden.

Prozentrechnung mit dem Dreisatz

Mit dem Dreisatz können Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz berechnet werden, wenn zwei dieser Werte bereits bekannt sind. Der Dreisatz ist deshalb so hilfreich, weil Prozentsatz und Prozentwert direkt proportional zueinander sind.

Wenn du genauer wissen möchtest, wie und warum der Dreisatz funktioniert, dann wirf einen Blick in den Artikel Dreisatz. In den folgenden Abschnitten haben wir auch noch einige Beispiele für dich, um zu verdeutlichen, wie Prozentwert, Prozentsatz und Grundwert berechnet werden können:

Prozentwert P mit dem Dreisatz berechnen

Damit du den Prozentwert mit dem Dreisatz berechnen kannst, müssen Grundwert und Prozentsatz gegeben sein.

Aufgabe 5

In Deutschland produzierte im Jahr 2019 jeder Einwohner durchschnittlich ca. 460 Kilogramm Haushaltsabfall. Davon werden etwa 27 % wieder verwertet. Wie viel kg Hausmüll werden pro Einwohner wieder verwertet?

Lösung

Was wird gemacht?	Prozent	Prozentwert
Schreibe das Verhältnis auf, das du kennst:Teile durch 100, um herauszufinden, wie viel Kilogramm Haushaltsabfall einem Prozent entsprechen.Multipliziere mit 27, um zu berechnen, wie viel Kilogramm Hausmüll wieder verwertet werden.	100 % 1 % 27 %	460 kg 4,6 kg 124,2 kg

Prozentsatz p% mit dem Dreisatz berechnen

Damit du den Prozentsatz berechnen kannst, müssen Grundwert und Prozentwert gegeben sein.

Aufgabe 6

Eine Hose wurde von 80 € auf 35 € reduziert. Wie viel Prozent des ursprünglichen Preises muss der Käufer noch bezahlen?

Lösung

Was wird gemacht?	Prozentwert	Prozentsatz
Du weißt, dass der Grundwert 100 % entspricht.Du teilst durch 80, damit du weißt, wie viel Prozent einem Euro entsprechen.Jetzt multiplizierst du mit 35. Damit berechnest du den gesuchten Prozentsatz, der35 € entspricht.	80 € 1 € 35 €	100 % 1,25 % 43,75 %

Grundwert G mit dem Dreisatz berechnen

Damit du den Grundwert berechnen kannst, müssen Prozentwert und Prozentsatz gegeben sein.

Aufgabe 7

Susanne gibt monatlich 756 € für ihre Miete aus. Das sind 21 % ihres Gehalts. Wie hoch ist Susannes Gehalt?

Beispiel

Was wird gemacht?	Prozentsatz	Prozentwert
Aus der Angabe weißt du, dass 21 % des Gehalts den 756 € Miete entsprechen.Du teilst durch 21, um herauszufinden, wie viel Geld einem Prozent des Gehalts entspricht.Um den Grundwert zu berechnen, musst du jetzt nur noch mit 100 multiplizieren.	21 % 1 % 100 %	765 € 36 € 3600 €

Grundgleichung der Prozentrechnung

Prozentwert (P), Grundwert (G) und Prozentsatz (p%) lassen sich auch mit der Grundgleichung der Prozentrechnung bestimmen. Je nachdem, ob die Gleichung nach Prozentwert, Grundwert oder Prozentsatz aufgelöst ist, gibt es drei Versionen dieser Gleichung.

Die Grundgleichung der Prozentrechnung dient zur Berechnung von Prozentwert (P), Grundwert (G) oder Prozentsatz (p %). Wenn zwei Werte gegeben sind, kann der dritte berechnet werden.

Prozentwert P berechnen:

$P = G \cdot p %$

Grundwert G berechnen:

$G = \frac{P}{p %}$

Prozentsatz p% berechnen:

$p % = \frac{P}{G}$

Wenn du genauer wissen möchtest, wie du die Grundgleichung der Prozentrechnung anwendest und Beispiele sehen möchtest, dann wirf einen Blick in den Artikel Grundgleichung der Prozentrechnung. Wenn du außerdem Aufgaben mit vermehrtem oder vermindertem Grundwert lösen musst, dann lese im Artikel Grundwert berechnen nach.

Zinsrechnung – Formeln

Die Zinsrechnung ist eine Anwendung der Prozentrechnung. Zinsen Z sind das Geld, das du bekommst, wenn du beispielsweise Geld bei einer Bank angelegt hast. Das angelegte Geld wird Kapital K genannt und der Prozentsatz, mit dem das Kapital verzinst wird, heißt Zinssatz p.

Die Zinsen können berechnet werden durch die Formel:

$Z = \frac{K \cdot p}{100} für p in Prozent oder Z = K \cdot p für p als Dezimalzahl$

Die Formel der Zinsrechnung ist ein Spezialfall der Grundgleichung der Prozentrechnung. Bei der Zinsrechnung entspricht der Grundwert dem Kapital, der Prozentwert den Zinsen und der Prozentsatz dem Zinssatz.

Hier siehst du an einem Beispiel, wie die Formel eingesetzt wird:

Aufgabe 8

Laila legt für ein Jahr 100 € zu einem Zinssatz von 2,5 % an. Wie viele Zinsen erhält sie?

Lösung

Informationen aus der Angabe:

Kapital: 100 €
Zinssatz: 2,5 %

Diese Werte werden in die folgende Formel eingesetzt:

$Z = \frac{K \cdot p}{100} = \frac{100 € \cdot 2, 5}{100} = 2, 50 €$ .

Wenn du lieber mit dem Zinssatz als Dezimalzahl rechnest, musst du zuerst die Prozentangabe in eine Dezimalzahl umwandeln. In diesem Beispiel also $2, 5 % = 0, 025$ .

Diesen Wert kannst du wieder in die Formel einsetzen:

$Z = K \cdot p = 100 € \cdot 0, 025 = 2, 50 €$ .

Laila bekommt also 2,50 € Zinsen für ihre angelegten 100 €.

Zur Zinsrechnung gibt es einen ganzen Artikel, in dem du noch weitere Informationen zum Thema erhältst. Der nächste Abschnitt zeigt dir noch einmal Schritt für Schritt, wie Prozentsätze, Brüche und Dezimalzahlen umgerechnet werden können.

Umrechnen von Prozentsätzen, Brüchen und Dezimalzahlen

Da Prozentangaben eine andere Schreibweise von Hundertstelbrüchen sind, können Brüche in Prozent umgewandelt werden und umgekehrt. Außerdem können Hundertstelbrüche durch Kommaverschiebung auch einfach als Dezimalzahlen geschrieben werden.

Prozentsätze in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt

Wenn du einen Prozentsatz in eine Dezimalzahl umschreiben möchtest, musst du lediglich den Hundertstelbruch als Division auffassen und beim Zähler das Komma um zwei Stellen nach links verschieben.

$23 % = \frac{23}{100} = 23 \div 100 = 23, 0 \div 100 = 0, 23$

$7 % = \frac{7}{100} = 7 \div 100 = 7, 0 \div 100 = 0, 07$

Umgekehrt musst du, wenn du eine Dezimalzahl gegeben hast, das Komma um zwei Stellen nach rechts verschieben und das Prozentzeichen dahinter setzen. Das funktioniert, da du die Dezimalzahl auch als Hundertstelbruch schreiben kannst. Den Hundertstelbruch kannst du dann wiederum in Prozent umwandeln.

$0, 47 = \frac{47}{100} = 47 \cdot \frac{1}{100} = 47 %$

$0, 03 = \frac{3}{100} = 3 \cdot \frac{1}{100} = 3 %$

Brüche in Prozent umwandeln und umgekehrt

Ein Prozentsatz kann leicht in einen Bruch umgewandelt werden, indem die Prozentangabe in einen Hundertstelbruch umgeschrieben wird. Diesen Bruch kann man dann gegebenenfalls kürzen.

$8 % = \frac{8}{100} = \frac{8 \div 4}{100 \div 4} = \frac{2}{25}$

$20 % = \frac{20}{100} = \frac{20 \div 20}{100 \div 20} = \frac{1}{5}$

Einen Bruch kannst du in eine Prozentangabe umwandeln, indem du den Bruch so erweiterst oder kürzt, dass du einen Hundertstelbruch oder einen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner erhältst.

$\frac{13}{20} = \frac{13 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{65}{100} = 65 %$

$\frac{11}{25} = \frac{11 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{44}{100} = 44 %$

Manchmal ist es nicht möglich, im Nenner eine Zehnerpotenz zu erhalten. Dann musst du ggf. den Zähler durch den Nenner dividieren. Dadurch erhältst du eine Dezimalzahl, die du wieder in Prozent-Schreibweise umwandeln kannst. Unter Umständen musst du das Ergebnis runden:

$\frac{1}{3}$ kann nicht so erweitert werden, dass im Nenner 100 oder andere Zehnerpotenzen stehen.

Durch schriftliche Division und Runden erhält man:

$1 \div 3 = 0, 333 \dots = 0, \bar{3} \approx 33, 3 %$

Prozentsätze, die du auf jeden Fall kennen solltest

Es gibt einige Fälle, die besonders häufig im Alltag vorkommen und einen großen mathematischen Nutzen besitzen.

Ein Viertel

Ein Viertel entspricht 25 % des Ganzen.

Prozent Ein Viertel StudySmarter

25 % = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = 0, 25

Die Aussage „25 % aller Menschen haben Sommersprossen“ bedeutet, dass 25 von 100 Menschen oder 50 von 200 Menschen Sommersprossen haben. Anders ausgedrückt: Jeder vierte Mensch hat Sommersprossen.

Die Hälfte

Die Hälfte entspricht 50 % des Ganzen.

50 % = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} = 0, 5

Wenn der Anteil 50 % entspricht, besitzt die Hälfte, bzw. jeder Zweite, eine bestimmte Eigenschaft.

Drei Viertel

Drei Viertel entsprechen 75 % des Ganzen. Wie der Name schon sagt, handelt es sich hier um dreimal ein Viertel.

75 % = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} = 0, 75

Das Ganze

Das Ganze entspricht 100 %.

Prozent Das Ganze StudySmarter

100 % = \frac{100}{100} = 1

Das Ganze wird auch als Grundwert bezeichnet.

Prozent – Das Wichtigste

$1 % = \frac{1}{100}$ und $p % = \frac{p}{100}$
Prozentangaben sind eine einheitliche und einfache Schreibweise für Anteile.
Mithilfe von Prozenten können relative Vergleiche angestellt werden.
Der Grundwert ist das Ganze und entspricht 100 %.
Der Prozentwert ist der absolute Anteil am Ganzen.
Der Prozentsatz ist der relative oder prozentuale Anteil am Ganzen.
Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz können mit dem Dreisatz oder der Grundgleichung der Prozentrechnung bestimmt werden.
Prozentsätze können in Dezimalzahlen oder Brüche umgewandelt werden und umgekehrt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Prozent

Mithilfe des Dreisatzes kann in drei Schritten das Ergebnis berechnet werden. Er basiert auf der Proportionalität zweier unterschiedlicher Größen.

Prozent werden berechnet, indem der Prozentwert durch den Grundwert geteilt wird. Das Ergebnis dieser Rechnung kann als Bruch, Dezimalzahl oder in Prozentschreibweise angegeben werden.

Der prozentuale Anteil wird berechnet, indem der Prozentwert durch den Grundwert geteilt wird.

Es gibt verschiedene Formeln für die Zinsrechnung. Sie unterscheiden sich nach der Art der Verzinsungund der Zinsperiode. Es wird aber immer der Zinssatz, das Startkapital und die Laufzeit in die Zinsformel eingesetzt und so das neue Kapital berechnet.

Karteikarten in Prozent2 Lerne jetzt

Wandle die Dezimalzahlen in Prozentsätze um:

a) 0,02

b) 0,135

c) 0,003

d)1,02

Beim Umwandeln von Dezimalzahlen in Prozentsätze, musst du das Komma um zwei Stellen nach links verschieben und das Prozentzeichen ergänzen.

a) 2 %

b) 13,5 %

c) 0,3 %

d) 102 %

Ordne die Begriffe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz den Angaben zu:

Lea verdient insgesamt 1500 € im Monat. Davon gibt sie 300 € für Essen aus, das entspricht 20 % ihres Gehalts.

Grundwert: 1500 €

Prozentwert: 300 €

Prozentsatz: 20 %

Lerne mit 2 Prozent Karteikarten in der kostenlosen StudySmarter App

Mit E-Mail registrieren ANMELDEN ANMELDEN

Du hast bereits ein Konto? Anmelden

Prozent

Prozent – Definition und Erklärung

Prozentrechnung – Aufgaben

Aufgabe 1

Lösung

Aufgabe 2

Lösung

Prozent – Bedeutung

Prozentrechnung – Begriffe und Beispiele

Prozent – Grundwert G

Prozentwert P

Prozentsatz p%

Prozentrechnung mit dem Dreisatz

Prozentwert P mit dem Dreisatz berechnen

Aufgabe 5

Lösung

Prozentsatz p% mit dem Dreisatz berechnen

Aufgabe 6

Lösung

Grundwert G mit dem Dreisatz berechnen

Aufgabe 7

Beispiel

Grundgleichung der Prozentrechnung

Zinsrechnung – Formeln

Aufgabe 8

Lösung

Umrechnen von Prozentsätzen, Brüchen und Dezimalzahlen

Prozentsätze in Dezimalzahlen umwandeln und umgekehrt

Brüche in Prozent umwandeln und umgekehrt

Prozentsätze, die du auf jeden Fall kennen solltest

Ein Viertel

Die Hälfte

Drei Viertel

Das Ganze

Prozent – Das Wichtigste

Häufig gestellte Fragen zum Thema Prozent

Wie rechnet man einen Dreisatz?

Wie berechnet man Prozent aus?

Wie berechne ich den prozentualen Anteil aus?

Wie ist die Formel für die Zinsrechnung?

Lerne mit 2 Prozent Karteikarten in der kostenlosen StudySmarter App

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Unsere Inhalte sind nach wie vor kostenlos, es gibt keine Paywall

Du musst dich registrieren, um weiterzulesen

Unsere Inhalte sind nach wie vor kostenlos, es gibt keine Paywall

Du musst dich registrieren, um weiterzulesen

Erstelle ein kostenloses Konto, um diese Erklärung zu speichern.

Entdecke Lernmaterial in der StudySmarter-App

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!

Schließ dich über 22 Millionen Schülern und Studierenden an und lerne mit unserer StudySmarter App!