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Matrizenrechnung

Matrizenrechnung

Dieser Artikel dreht es sich um das Rechnen mit Matrizen. Was es damit auf sich hat, welche Begriffe und Regeln für dich wichtig sind und wie du diese in Beispielen anwendest erfährst du in diesem Kapitel. Das Kapitel können wir den Matrizen und damit dem Fach Mathematik zuordnen.

Matrizenrechnung – Was hat es damit auf sich?

Bevor wir uns mit der Berechnung von Matrizen beschäftigen, wiederholen wir kurz einige Grundlagen zu den Matrizen.

Allgemeine Matrizen

Die verschiedenen Formen der Matrizen kennen wir bereits aus dem Kapitel Matrizen. Wir werden das Wichtigste hier kurz wiederholen.

Eine Matrix A kann in einer typischen Schreibweise dargestellt werden. In der allgemeinen Form besitzt sie m Zeilen und n Spalten, weshalb für die Matrix A gilt:

Die einzelnen Komponenten (wie beispielsweise ) in der Klammer werden als Koeffizienten bezeichnet. Ein Beispiel für eine 3x3-Matrix könnte wie folgt aussehen:

Diese besitzt drei Zeilen und drei Spalten, weshalb sie auch als 3x3-Matrix oder auch als (3,3)-Matrix bezeichnet werden kann. Grundsätzlich kann sie aber auch weniger Spalten oder weniger Zeilen besitzen. Eine (2,3)-Matrix wäre zum Beispiel folgende:

Sie besitzt damit nur zwei Zeilen und drei Spalten.

Falls dir die Grundlagen zu den Matrizen unklar sind, lies bitte im entsprechenden Kapitel noch einmal nach.

Wenn mehrere Matrizen miteinander verknüpft werden, müssen wir uns mit dem Rechnen mit Matrizen beschäftigen. Hierfür gibt es einige Rechenoperationen, mit denen wir uns im weiteren Verlauf beschäftigen:

Zudem lässt sich eine Matrix transponieren, eine Matrix invertieren oder es kann eine orthogonale Matrix gebildet werden. Häufig wird auch das Thema Eigenwerte berechnen in diesem Zuge genannt, die mithilfe von linearen Gleichungssystemen berechnet werden. Diese Sonderfälle sind bereits in separaten Artikeln nachzulesen.

Rechenoperationen von Matrizen

Wir beginnen die Matrizenrechnung mit den klassischen Grundrechenarten: der Addition und der Subtraktion.

Addition von Matrizen

Eine Matrix A kann beispielsweise mit einer Matrix B addiert werden, jedoch ist dabei etwas zu beachten. Matrizen lassen sich nur miteinander addieren, wenn beide Matrizen die gleiche Form besitzen. Sie müssen also die gleiche Anzahl an Zeilen und an Spalten besitzen. Beispielsweise könnten folgende zwei Matrizen addiert werden:

Anders sehen es im nächsten Beispiel aus. Die nachfolgenden Matrizen besitzen eine unterschiedliche Anzahl an Spalten und können deshalb nicht addiert werden.

Damit ist die Vorrausetzung für eine Addition von Matrizen bereits geklärt. Aber wie gehen wir nun bei der Berechnung vor?

Wir ziehen unser Beispiel von oben heran, das die Voraussetzungen für eine Addition erfüllt.

Das Addieren der Matrizen erfolgt durch das Addieren der einzelnen Komponenten.

Wir erhalten damit für unser Beispiel folgendes Ergebnis:

Durch die Berechnung der beiden Matrizen erhalten wir eine neue Matrix, die auch als Ergebnismatrix oder Summenmatrix bezeichnet wird. Sie besitzt ebenfalls die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten, wie die einzelnen Matrizen.

Für die Addition von Matrizen gelten ebenso einige Rechenregeln, die wir bereits kennen:

Mehr Informationen zu dem Thema wie sich Matrizen addieren lassen, findest du im entsprechenden Artikel.

Subtraktion von Matrizen

Ähnlich wie bei der Addition verhält es sich bei der Subtraktion von Matrizen. Hierbei muss eine Matrix A ebenfalls die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten aufweisen wie eine Matrix B, damit beide subtrahiert werden können. Eine Subtraktion ist wieder möglich in folgendem Beispiel:

Die Vorrausetzung für die Berechnung der Matrizen durch Subtraktion ist damit erfüllt. Analog zur Addition werden beim Subtrahieren ebenfalls die einzelnen Komponenten miteinander verrechnet.

Wir erhalten damit ebenfalls wieder eine neue Matrix als Ergebnis.

Die neue Ergebnismatrix, oder auch Differenzmatrix, besitzt wieder die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten wie die einzelnen Matrizen A und B.

Bei der Subtraktion können die jeweiligen Matrizen natürlich nicht vertauscht werden, da wir damit ein völlig anderes Ergebnis erhalten würden. Weiterführende Beispiele und Informationen sind wieder im entsprechenden Kapitel nachzulesen.

Multiplikation von Matrizen

Auch bei der Berechnung von Matrizen durch Multiplikation sind zunächst bestimmte Voraussetzungen zu erfüllen. Hierbei muss beim Multiplizieren von einer Matrix A mit einer Matrix B die Spaltenanzahl der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmen. Ein Beispiel für eine erfüllte Voraussetzung einer Multiplikation wäre:

Sie Spaltenanzahl (3) der Matrix A stimmt mit der Zeilenanzahl (3) der Matrix B überein. Anders sieht es in der nachfolgenden Angabe aus.

Hier wäre eine Multiplikation der beiden Matrizen nicht möglich.

Für die Matrizenrechnung wird meist das sogenannte „Falk-Schema“ angewandt. Anhand unseres Beispiels von oben, gehen wir das Vorgehen Schritt für Schritt durch.

1. Kreuz einzeichnen

Wir ziehen dafür wieder unser Beispiel von oben heran, das die Voraussetzungen für das Multiplizieren erfüllt und zeichnen zunächst ein Kreuz.

Es sollte dabei links unten so viele Kästchen besitzen, damit wir die Zahlenwerte der Matrix A eintragen können. Rechts oben muss für die Matrix B ebenfalls die richtige Anzahl an Kästchen vorhanden sein.

2. Matrix A eintragen

Nun kann die Matrix A links unten in die Kästchen eingetragen werden.

3. Matrix B eintragen

Im nächsten Schritt werden die Kästchen rechts oben zusätzlich mit der zweiten Matrix B befüllt.

4. Ergebnismatrix berechnen

Bei der Berechnung müssen nun einzelnen Teilschritte betrachtet werden. Die erste Komponente der Ergebnismatrix berechnet sich durch die anliegende Zeile und Spalte.

Für das Verständnis zeichnen wir noch einige Hilfslinien ein, die die Zeile und Spalte miteinander verbindet. Um das erste Ergebnis zu erhalten, werden die durch Hilfslinien verbundene Zahlen miteinander multipliziert und alle Hilfslinien-Ergebnisse addiert. In unserem Beispiel wäre dies:

Damit ist bereits die erste Komponente der Ergebnismatrix berechnet worden. Mit den anderen Elementen verfahren wir ebenso.

Durch die Berechnung haben wir nun alle Komponenten der Ergebnismatrix, oder auch Produktmatrix, erhalten.

Wie bei der Addition von Matrizen ist beim Multiplizieren von Matrizen einiges zu beachten. Deshalb werden die wichtigsten Rechenregeln nachfolgend aufgeführt:

Die wichtigsten Grundlagen zur Mulitplikation zweier Matrizen oder mehr haben wir damit bereits kennengelernt. Im zugehörigen Artikel findest du noch weitere Übungsaufgaben und Informationen dazu.

Daneben gibt es noch einige Spezialfälle auf die wir nachfolgend noch kurz eingehen.

Sonderfälle Multiplikation von Matrizen

  • Zahl mal Matrix (Skalar)

Neben dem Multiplizieren einer Matrix A mit einer andern Matrix B gibt es auch die Möglichkeit eine Matrix A mit einer reellen Zahl (Skalar) zu multiplizieren. Beispielsweise könnte diese mit einem Faktor von 2 multipliziert werden.

Dabei wir jede Komponente der Matrix A mit dem jeweiligen Faktor berechnet.

Eine ausführlichere Beschreibung dazu ist im Artikel zur Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl nachzulesen.

Das sogenannte Skalarprodukt erhalten wir, wenn wir Matrizen mit nur einer Spalte bzw. zwei Vektoren miteinander multiplizieren. Die Vorgehensweise ist dieselbe wie die Multiplikation von Matrizen. Alles Wichtige zum Skalarprodukt findest du im entsprechenden Kapitel.

  • Vektor mal Matrix

Wie bereits erwähnt, muss bei der Multiplikation von Matrizen die Anzahl der Spalten der Matrix A mit der Zeilenanzahl der Matrix B übereinstimmen. So kann es auch vorkommen, dass wir eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren können. Beispielweise:

Die Berechnung erfolgt ebenso wie die Multiplikation von Matrizen.

Weitere Informationen und Übungsbeispiele findest du im entsprechenden Kapitel Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor.

Damit haben wir alle wichtigen Grundlagen zur Matrizenrechnung kennengelernt. Nachfolgend findest du noch eine kurze Übersicht mit den wichtigsten Informationen.

Matrizenrechnung– Alles Wichtige auf einen Blick

  • Die Matrizenrechnung beinhaltet verschiedene Rechenoperationen:
    1. Addition und Subtraktion
    2. Multiplikation (Matrizen und Skalare)
  • Bei der Addition müssen die Matrizen die gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl aufweisen und dann werden die einzelnen Elemente addiert.
  • Die Ergebnismatrix wird auch Summenmatrix genannt.
  • Zu beachten sind bei der Addition folgende Gesetze:
    1. Kommutativgesetz:
    2. Assoziativgesetz:
  • Bei der Subtraktion müssen die Matrizen ebenso die gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl aufweisen und analog zur Addition berechnet.
  • Die Ergebnismatrix wird auch Differenzmatrix genannt.
  • Für die Multiplikation von Matrizen muss gewährleistet sein, dass die Spaltenanzahl der Matrix A der Zeilenanzahl der Matrix B entspricht.
  • Die Berechnung der Multiplikation erfolgt nach dem Falk-Schema:
  1. Kreuz einzeichnen
  2. Matrix A eintragen (links unten)
  3. Matrix B eintragen (rechts oben)
  4. Elemente berechnen (Skalarprodukt) und Produktmatrix erhalten

Finales Matrizenrechnung Quiz

Frage

Entscheide, ob eine Summe zweier Matrizen \(A\) und \(B\) zuerst

berechnet werden muss, bevor die Ergebnismatrix transponiert wird oder ob

es auch möglich ist, die Matrizen vor der Addition zu transponieren.

Antwort anzeigen

Antwort

Beide Varianten sind möglich. Es kann sowohl \((A+B)^T\) berechnet werden, als auch \(A^T+B^T\).

Frage anzeigen

Frage

Zeige die Formel der Addition von Matrixelementen für eine Addition zweier \((2,\,2)\)-Matrizen.

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align}\left(\begin{array}{cc} {\color{#1478C8} a_{11}}&{\color{#00DCB4}a_{12}}\\[0.1cm]{\color{#8363E2}a_{21}}&{\color{#FFCD00}a_{22}}\end{array}\right) &+\left(\begin{array}{cc} {\color{#1478C8}b_{11}}&{\color{#00DCB4}b_{12}} \\[0.1cm] {\color{#8363E2}b_{21}}&{\color{#FFCD00}b_{22}}\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} {\color{#1478C8} a_{11}+b_{11}}&{\color{#00DCB4}a_{12}+b_{12}}\\[0.1cm] {\color{#8363E2}a_{21}+b_{21}}&{\color{#FFCD00}a_{22}+b_{22}}\end{array}\right)\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Form \((m,\,n)\) der Summenmatrix bei der Addition zweier Matrizen vom Typ \((5,\,3)\).

Antwort anzeigen

Antwort

\((5,\,3)\)-Matrix

Frage anzeigen

Frage

Interpretiere, ob das Kommutativgesetz sowohl für die Addition

als auch für die Subtraktion von Matrizen gilt.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Kommutativgesetz gilt nur für die Addition von Matrizen, da das Vertauschen bei der Subtraktion unterschiedliche Ergebnisse liefern würde.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wie viele Zeilen und Spalten eine Matrix \(B\) besitzen muss,

um sie zu einer \((4,\,2)\)-Matrix addieren zu können.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Matrix \(B\) muss \(4\) Zeilen und \(2\) Spalten besitzen, um sie zur Matrix addieren zu können.

Frage anzeigen

Frage

Addiere die folgenden Matrizen \(A\) und \(B\).

\[A=\left(\begin{array}{cc} 1&4 \\ 7&3\end{array}\right) \hspace{2cm}B=\left(\begin{array}{cc} 3&-4 \\ 5&1\end{array}\right)\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[A+B=\left(\begin{array}{cc} 4&0 \\ 12&4\end{array}\right)\]

Frage anzeigen

Frage

Ordne dem Ergebnis einer Addition von Matrizen den passenden Begriff zu.

Antwort anzeigen

Antwort

Summenmatrix

Frage anzeigen

Frage

Bei einer Addition zweier Matrizen \(A\) und \(B\) muss zum

Matrixelement \(a_{31}\) das Matrixelement ____ addiert werden.

Antwort anzeigen

Antwort

\(b_{31}\)

Frage anzeigen

Frage

Nenne die geltenden Rechengesetze für die Addition von Matrizen.

Antwort anzeigen

Antwort

Kommutativgesetz: \[A+B=B+A\]

Assoziativgesetz: \[(A+B)+C=A+(B+C)\]

Transponieren: \[(A+B)^T=A^T+B^T\]

Frage anzeigen

Frage

Prüfe, ob die Addition der Matrizen \(A\) und \(B\) möglich ist.

\[A=\left( \begin{array}{cc} 1&4&8 \\ 4&6&2 \end{array} \right) \hspace{2cm} B= \left( \begin{array}{ccc} 3&1&2\\ 1&3&2\\-2&1&0 \end{array}\right)\]

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, sie können nicht addiert werden.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide begründet, ob der folgende Ausdruck zweier typgleicher Matrizen korrekt ist.

\[A+B=B+A\]

Antwort anzeigen

Antwort

Der Ausdruck ist korrekt. Es gilt das Kommutativgesetz, das besagt, dass die Matrizen \(A\) und \(B\) bei der Addition vertauscht werden dürfen.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme die Summenmatrix \(C\) aus den Matrizen \(A\) und \(B\) mit:

\[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1 \\ 0&0&0 \\ 2&2&2\end{array}\right) \hspace{2cm}B=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&3 \\ 1&3&2\\3&1&2\end{array}\right)\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[C=A+B=\left(\begin{array}{ccc} 2&3&4 \\ 1&3&2 \\ 5&3&4\end{array}\right)\]

Frage anzeigen

Frage

Prüfe, ob sich eine beliebige quadratische Matrix mit einer Einheitsmatrix addieren lässt.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Einheitsmatrix ist ebenfalls eine quadratische Matrix. Die beiden Matrizen lassen addieren, wenn sie beide die gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl aufweisen.

Frage anzeigen

Frage

Begründe, worin sich die Addition zweier quadratischer Matrizen von der

Addition zweier nicht quadratische Matrizen unterscheidet.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Rechnung unterscheidet sich nicht. Für die Addition quadratischer Matrizen gelten die gleichen Regeln, wie für alle anderen Matrizen.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, mit welcher Matrix \(B\) sich die Matrix \(A\) addieren lässt.

\[A=\left(\begin{array}{ccc} 1&-1&0&2 \\ 1&1&-4&2\end{array}\right)\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[B=\left(\begin{array}{ccc} -2&4&0&1 \\ 0&4&5&-3\end{array}\right)\]

Frage anzeigen

Frage

Definiere eine inverse Matrix.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine inverse Matrix wird als \(A^{-1}\) bezeichnet und ist die Kehrmatrix von \(A\).

Frage anzeigen

Frage

Welcher Zusammenhang gilt für eine Matrix und ihre Inverse?

Antwort anzeigen

Antwort

\[A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E\]

Frage anzeigen

Frage

Wann gilt eine Matrix als invertierbar? 

Schreibe die Bedingungen auf.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Die Matrix ist quadratisch.
  • Die Determinante der Matrix ist ungleich null.

Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet es, dass eine Matrix quadratisch ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Matrix ist dann quadratisch, wenn die Spaltenanzahl der Zeilenanzahl entspricht.

Frage anzeigen

Frage

Wie nennst Du invertierbare Matrizen?

Antwort anzeigen

Antwort

Reguläre Matrizen

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Rechenregel zum invertieren von einer bereits invertierten Matrix?

Schreibe sie auf.

Antwort anzeigen

Antwort

\[(A^{-1})^{-1}=A\]

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet das Schema zum invertieren von \(2\times 2\) Matrizen?

Antwort anzeigen

Antwort

\begin{align} A&=\begin{pmatrix} {\color{bl}a} & {\color{gr}b} \\ {\color{r}c} & {\color{li}d}  \end{pmatrix} \\\\ A^{-1}&=\begin{pmatrix} {\color{li}d} & -{\color{gr}b} \\ -{\color{r}c} & {\color{bl}a} \end{pmatrix}\end{align}

Frage anzeigen

Frage

Welche Verfahren zum invertieren von Matrizen existieren?

Antwort anzeigen

Antwort

Adjunkte-Verfahren

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel des Adjunkten-Verfahrens.

Antwort anzeigen

Antwort

\[A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\cdot \text{adj}(A)\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Schritte zur Berechnung der Inversen über den Gauß-Algorithmus.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Bilde eine Blockmatrix mit der Einheitsmatrix \((A|E)\).
  2. Stelle Umformungen an, sodass die Einheitsmatrix \(E\) auf der linken Seite der Blockmatrix steht.
  3. Lese die inverse Matrix ab.


Frage anzeigen

Frage

Wofür benötigst Du die invertierten Matrizen?

Antwort anzeigen

Antwort

Du benötigst die inverse Matrix immer dann, wenn Du eine Gleichung der Art \(Ax=b\) lösen musst. In der Matrizenrechnung existiert keine Division.

Frage anzeigen

Frage

Kann eine Matrix mehrere Inverse haben?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine invertierbare Matrix hat nur eine Inverse, da \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E\) für die Inverse gelten muss.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, welchen Typ die Produktmatrix \(E\) besitzt, wenn das Produkt

\[E_{(m,\,n)}=(A_{(4,\,2)}\cdot B_{(2,\,3)})\cdot D_{(3,\,1)}\] berechnet wird.

Antwort anzeigen

Antwort

\[E_{(4,\,1)}\]

Frage anzeigen

Frage

Weise nach, dass die Matrizen \(A\) und \(B\) nicht kommutativ sind.

\[A=\left(\begin{array}{cc}1&-1\\-2&1\end{array}\right)\hspace{1cm}B=\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&-1\end{array}\right)\]

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Antwort

\[B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1&-2\\2&-1\end{array}\right)\]

\[A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}3&2\\-6&-3\end{array}\right)\]

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Produkt \(A\cdot B\).

\[A=\left(\begin{array}{cccc}1&2&-1&0\end{array}\right)\hspace{1cm}B=\left(\begin{array}{c}1\\-1\\1\\2\end{array}\right)\]

Antwort anzeigen

Antwort

\(C=(-2)\)

Frage anzeigen

Frage

Berechne das Produkt \(A\cdot B\).

\[A=\left(\begin{array}{ccc} 0&1&2\\-1&0&3\end{array}\right) \hspace{1cm} B=\left(\begin{array}{cc} 2&1\\1&-2\\-1&3\end{array}\right)\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[C=A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc} -1&4\\-5&8\end{array}\right)\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne eine praktische Berechnungsmöglichkeit einer Matrizenmultiplikation.

Antwort anzeigen

Antwort

Falk-Schema

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Voraussetzung, die zwei Matrizen \(A\) und \(B\) bei

der Multiplikation erfüllen müssen.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Spaltenanzahl der Matrix \(A\) muss mit der Zeilenanzahl der Matrix \(B\) übereinstimmen, wenn das Produkt \(A\cdot B\) gebildet werden soll.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welchen Typ die Matrix \(A\) besitzen muss bei folgender Multiplikation.

\[A_{(m,\,n)}\,\cdot\,B_{(1,\,4)}\,=\,C_{(3,\,4)}\]

Antwort anzeigen

Antwort

\[A_{(3,\,1)}\]

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Frage

Entscheide, welchen Typ die Produktmatrix \(C\) bei einer Multiplikation

einer \((4,\,3)\)-Matrix \(A\) mit einer \((3,\,2)\)-Matrix \(B\) hat.

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Antwort

\((4,\,2)\)-Matrix \(C\)

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie drei Matrizen \(A\), \(B\) und \(D\) miteinander multipliziert werden.

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Produkt aus \(A\cdot B \cdot D\) muss zunächst ein Produkt aus zwei Matrizen gebildet werden; zum Beispiel \(A\cdot B\). Anschließend wird das Ergebnis mit der dritten Matrix \(D\) multipliziert.

(Vorausgesetzt der Matrixtyp stimmt bei der Multiplikation)

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation gelten.

(Vorausgesetzt, die Multiplikation ist möglich)

Antwort anzeigen

Antwort

  • Kein Kommutativgesetz: \({\color{#1478c8}A}\cdot{\color{#00dcb4}B} \neq {\color{#00dcb4}B} \cdot {\color{#1478c8}A}\)
  • Assoziativgesetz: \( ({\color{#1478c8}A} \cdot {\color{#00dcb4}B}) \cdot {\color{#fa3273}C} = {\color{#1478c8}A}  \cdot ( {\color{#00dcb4}B} \cdot {\color{#fa3273}C} )\)
  • Distributivgestz: \( {\color{#1478c8}A} \cdot ( {\color{#00dcb4}B} + {\color{#fa3273}C} )= {\color{#1478c8}A}  \cdot {\color{#00dcb4}B} + {\color{#1478c8}A} \cdot {\color{#fa3273}C} \) 

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob das Produkt \((A\cdot D)\cdot B\) gebildet werden kann.

\begin{align} A=\left(\begin{array}{ccc} 2&-4&3\\2&3&-1\\ \end{array}\right) ; B=\left(\begin{array}{cc} 4&3\\-2&5\\1&2\end{array}\right)  ; D=\left(\begin{array}{cc} 2&7\\3&-1\end{array}\right) \end{align}

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob das Produkt \((A\cdot B)\cdot D\) gebildet werden kann.

\begin{align} A=\left(\begin{array}{ccc} 2&-4&3\\2&3&-1\\ \end{array}\right) ; B=\left(\begin{array}{cc} 4&3\\-2&5\\1&2\end{array}\right)  ; D=\left(\begin{array}{cc} 2&7\\3&-1\end{array}\right) \end{align}


Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Nenne das Schema, das zur Berechnung eines Matrix Vektor Produkts verwendet werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Falk-Schema

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was die Voraussetzung ist, um eine Matrix Vektor Multiplikation durchführen zu können.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Matrix \(A\) kann nur mit einem Vektor \(\vec{b}\) multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der Matrix \(A\) mit der Zahl der Vektorkomponenten des Vektors \(\vec{b}\) übereinstimmt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne das Ergebnis einer Matrix Vektor Multiplikation.

Antwort anzeigen

Antwort

Vektor

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, wie viele Komponenten der Vektor folgender Matrix Vektor Multiplikation hat:

$$ {\color{bl}\begin{pmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3} \\ a_{2 1} & a_{2 2} &  a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix}} \cdot {\color{gr}\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2}  \\ b_{3} \end{pmatrix}} $$

Antwort anzeigen

Antwort

\(3\)

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Frage

Berechne folgendes Matrix Vektor Produkt:

$$ {\color{bl}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 2 \\ \end{pmatrix}} \cdot {\color{gr}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}} $$

Antwort anzeigen

Antwort

Das Ergebnis ist:

$$ {\color{bl}\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 4 & 2 \\ \end{pmatrix}} \cdot {\color{gr}\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1
\end{pmatrix}}=\color{r}\begin{pmatrix} 7 \\ 18 \\\end{pmatrix}  $$

Frage anzeigen

Frage

Zeige auf, wie Du eine Matrix-Vektor Multiplikation durchführst.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Matrix Vektor Produkt aus der Matrix \(\color{bl}A\) und dem Vektor \(\color{gr}\vec{b}\) kannst Du wie folgt berechnen:

\begin{align}
{\color{bl}\begin{pmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & \dots & a_{1 n} \\ 
a_{2 1} & a_{2 2} & \dots & a_{2n} \\ 
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 
a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} 
\end{pmatrix}} \cdot {\color{gr}\begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{pmatrix}}=\begin{pmatrix} {\color{bl}a_{1 1}} \cdot {\color{gr}b_{1}} + {\color{bl}a_{1 2}} \cdot {\color{gr}b_{2}} +
\dots + {\color{bl}a_{1 n}} \cdot  {\color{gr}b_{n}} \\ 
{\color{bl}a_{2 1}} \cdot {\color{gr}b_{1}} + {\color{bl}a_{2 2}}\cdot {\color{gr}b_{2}} + \dots +  {\color{bl}a_{2n}}
\cdot {\color{gr}b_{n}} \\
\vdots \\
{\color{bl}a_{m1}} \cdot {\color{gr}b_{1}} + {\color{bl}a_{m2}} \cdot {\color{gr}b_{2}} + \dots + {\color{bl}a_{mn}}
\cdot  {\color{gr}b_{n}}
\end{pmatrix}&= {\color{r} \begin{pmatrix} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{m} \end{pmatrix}}
\end{align}

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Frage

Beschreibe das Vorgehen, wenn ein Matrix Vektor Produkt transponiert werden soll.

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Antwort

Entweder erst das Matrix Vektor Produkt bilden und dann transponieren, oder zuerst die Matrix und den Vektor transponieren und dann vertauscht multiplizieren mit \((\vec{u})^T\cdot A^T\).

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob das Matrix Vektor Produkt kommutativ oder nicht kommutativ ist. 

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Antwort

nicht kommutativ.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Rechengesetze für die Matrix Vektor Multiplikation gelten.

Antwort anzeigen

Antwort

Assoziativgesetz

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Frage

Berechne das Matrix-Vektor Produkt aus der Matrix \({\color{bl}A}=\color{bl}\begin{pmatrix}
0 & 1 & 5  \\ 
8 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}\) und dem Vektor \({\color{gr}\vec{b}}= {\color{gr}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}}\)

Antwort anzeigen

Antwort

Du berechnest es wie folgt:

\begin{align}{\color{bl}\begin{pmatrix}0 & 1 & 5  \\ 8 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}} \cdot {\color{gr}\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}} &=\\[0.2cm]
\begin{pmatrix} {\color{bl}0} \cdot {\color{gr}1} + {\color{bl}1} \cdot {\color{gr}2} + {\color{bl}5} \cdot  {\color{gr}1} \\
{\color{bl}8} \cdot {\color{gr}1} + {\color{bl}1}\cdot {\color{gr}2} + {\color{bl}3} \cdot {\color{gr}1}
\end{pmatrix}&=\\[0.2cm] \begin{pmatrix} {\color{r}0} + {\color{r}2} + {\color{r}5} \\
{\color{r}8} + {\color{r}2} + {\color{r}3}
\end{pmatrix}&= {\color{r} \begin{pmatrix} 7 \\ 13 \end{pmatrix}} 
\end{align}


Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen bei der Multiplikation einer Matrix \(A\) mit einem Skalar \(c\).

Antwort anzeigen

Antwort

Um eine Matrix \(A\) mit einem Skalar \(c\) zu multiplizieren, wird jedes Matrixelement \(a_{11},\,\cdots\,a_{mn}\) einzeln mit dem Skalar \(c\) multipliziert.

Frage anzeigen

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