Stell Dir vor, Du befüllst mit einer Freundin oder einem Freund ein Planschbecken. Ihr füllt Wasser in Eimer und schüttet es ins Becken. Jede*r von Euch schafft in 5 Minuten 15 Liter. Insgesamt benötigt ihr zu zweit 60 Minuten, um das Becken zu füllen.
Abbildung 1: Befüllen eines Pools mit zwei und vier Personen
Wie lange würdet ihr brauchen, wenn noch zwei weitere Freunde mithelfen und ihr zu viert seid? Bei der Beantwortung dieser Frage hilft Dir das Konzept der antiproportionalen Zuordnung. Was genau antiproportional bedeutet, wie Du Antiproportionalität am besten darstellst und welche Formel eine antiproportionale Zuordnung beschreibt, erfährst Du in dieser Erklärung.
Zuordnungen – Grundwissen
Bei einer Zuordnung wird in der Mathematik einem Wert ein anderer Wert zugeordnet. Beide Werte stehen in einem Zusammenhang zueinander. Die zugeordneten Werte müssen nicht unbedingt Zahlen sein.
Du kannst Deinen Freunden ihre Haarfarbe zuordnen. So haben beispielsweise Alex und Chung die Haarfarbe braun und Mira die Haarfarbe blond.
Abbildung 2: Zuordnung der Haarfarbe
Dann hast Du die Zuordnung:
Du kannst zum Beispiel aber auch eine Zahl einer anderen Zahl zuordnen. Je nachdem, welchen Zusammenhang die Zahlenpaare haben, können unterschiedliche Zuordnungen unterschieden werden.
Eine davon ist die indirekte Proportionalität bzw. antiproportionale Zuordnung. Woran erkennst Du diese Art Zuordnung?
Antiproportionale Zuordnung – Formel & Eigenschaften
Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn das Produkt aller der einander zugeordneten Werte x und y konstant bleibt. Die Zuordnung heißt dann antiproportionale Zuordnung oder auch indirekt proportionale Zuordnung.
Eine antiproportionale Zuordnung und eine indirekt proportionale Zuordnung sind dasselbe. Frage gerne Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin, welchen Ausdruck ihr in Eurer Schule verwendet.
Erinnerst Du Dich noch an das Einleitungsbeispiel mit dem Pool? Wenn zwei Personen 1 Stunde zum Befüllen des Pools benötigen, wie viel Zeit brauchen dann doppelt so viele Personen (also vier Personen)? Kurz gesagt, halb so viel Zeit. Aber warum?
Die Berechnung des Einleitungsbeispieles erfolgt später. Dann kannst Du die Beantwortung der Frage selbst überprüfen.
Dies liegt an den Eigenschaften einer antiproportionalen Zuordnung. Für die antiproportionale Zuordnung muss zunächst eine Aussage erfüllt sein: „je mehr, desto weniger“. Ist diese Bedingung erfüllt, so kannst Du die Werte genauer betrachten und überprüfen, ob sich beim Verdoppeln des einen Wertes der andere Wert halbiert.
Sind diese Bedingungen einer antiproportionalen Zuordnung für das Befüllen eines Pools erfüllt? Zeit, dies zu überprüfen.
Zunächst wird eine Tabelle angefertigt, mit den Werten aus dem Einstiegsbeispiel. Zum einen wird die Personenanzahl betrachtet und zum anderen die benötige Zeit zum Befüllen des Pools. Wird die Personenzahl halbiert (durch 2 geteilt), dann ändert sich ebenfalls die Zeit, und zwar wird sie verdoppelt (mal 2).
Abbildung 3: Halbierung der Personenanzahl
Die Personenanzahl wurde weniger und damit die benötigte Zeit mehr. Diese Eigenschaft kannst Du nutzen, um die Frage zu beantworten, wie lange vier Personen benötigen, um das Planschbecken aus dem Beispiel zu füllen.
Wenn Du die Anzahl an Personen von zwei auf vier verdoppelst, halbiert sich die benötigte Zeit. Statt 60 Minuten werden nur noch 30 Minuten benötigt.
Abbildung 4: Verdoppeln und Vervierfachen
Du kannst aber auch bei einer Person beginnen und diese Anzahl vervierfachen. Dann wird die benötigte Zeit durch vier geteilt und Du erhältst den neuen Wert. Die Eigenschaften der Antiproportionalität sind damit erfüllt.
Kann für eine Zuordnung zwar „je mehr, desto weniger“ gelten, aber sie trotzdem nicht antiproportional sein? Ja. Sieh Dir dazu gerne die folgende Vertiefung an.
Stell Dir vor, im Einstiegsbeispiel schafft nicht jede Person in fünf Minuten genau 15 Liter. Du bist etwas schneller als Dein*e Freund*in und schaffst sogar 20 Liter in fünf Minuten.
Wenn Du das Becken dann allein befüllst, brauchst Du nicht doppelt so lange wie zu zweit. Hier gilt dann zwar auch, je mehr Personen, desto weniger Zeit wird benötigt. Aber doppelt so viele Personen bedeuten nicht automatisch, dass halb so viel Zeit benötigt wird.
Mathematisch kannst Du die antiproportionale Zuordnung auch anhand einer Formel erkennen und berechnen.
Antiproportionale Zuordnung – Formel & Antiproportionalitätsfaktor
Im Falle einer indirekt proportionalen Zuordnung ist das Produkt des einen Wertes (x-Wert) mit dem zugehörigen anderen Wert (y-Wert) in einer antiproportionalen Zuordnung immer gleich. Alle Zahlenpaare der Zuordnung müssen multipliziert demnach denselben Wert liefern.
Für eine antiproportionale Zuordnung sind die Wertepaare x und y produktgleich und es gilt:
Das Produkt ergibt den Antiproportionalitätsfaktor .
Somit lautet die Zuordnungsvorschrift einer antiproportionalen Zuordnung:
Für jede antiproportionale Zuordnung in der Mathematik gibt es einen Antiproportionalitätsfaktor , mit dem Du unter anderem die Zuordnungsvorschrift aufstellen kannst. Dies gilt auch für das Beispiel zum Befüllen des Pools.
In der Tabelle sind noch einmal die berechneten Werte aufgeführt.
Personenanzahl | 1 | 2 | 4 |
benötigte Zeit in Minuten | 120 | 60 | 30 |
Das
Multiplizieren der x-Werte (Personenanzahl) mit den zugehörigen y-Werten (benötige Zeit) ergibt:
Somit ist das Produkt aus den beiden Werten und damit der Antiproportionalitätsfaktor . Diesen Wert kannst Du nun in die Formel für die Zuordnungsvorschrift einsetzen. Entsprechend lautet die Zuordnungsvorschrift für das Beispiel zum Befüllen des Pools:
Wenn Du wissen möchtest, ob eine Zuordnung antiproportional ist, kannst Du also auch das Produkt aus x-Wert und zugehörigen y-Wert berechnen. Ist dies bei allen Werten identisch, ist die Zuordnung antiproportional.
Aber Achtung, überprüfe wirklich alle Wertepaare. Es reicht nicht aus, wenn einige Produkte übereinstimmen.
Wo liegt denn eigentlich der Unterschied zur ähnlich klingenden proportionalen Zuordnung? Lies dazu gerne die nachfolgende Vertiefung. Natürlich kannst Du diesen Abschnitt auch gerne überspringen und direkt zu den Darstellungen springen.
Proportionale Zuordnungen
Für proportionale Zuordnungen gilt „je mehr, desto mehr“. Wenn Du bei einer proportionalen Zuordnung zum Beispiel den einen Wert verdoppelst, verdoppelt sich auch der andere Wert. So auch in der folgenden Tabelle.
Proportionale Zuordnungen sind quotientengleich. Teilst Du also bei einer proportionalen Zuordnung jeden y-Wert durch den zugehörigen x-Wert, erhältst Du den Proportionalitätsfaktor k.
In der obigen Tabelle ergibt jedes Teilen des x-Wertes durch den zugehörigen y-Wert den Quotienten .
Auch hier kannst Du durch Umstellen der Formel die Zuordnungsvorschrift aufstellen:
Du möchtest noch mehr über proportionale Zuordnungen lernen? Dann sieh Dir die Erklärung „Proportionale Zuordnung“ an.
Welche Möglichkeiten zur Darstellung von antiproportionalen Zuordnungen gibt es denn?
Antiproportionale Zuordnung – Darstellungen
Die Antiproportionalität von Zahlenpaaren kannst Du auf unterschiedliche Weise darstellen. Eine kennst Du bereits; die Darstellung in Form einer Tabelle.
Antiproportionale Zuordnung – Tabelle
In Tabellen kannst Du die Werte miteinander in Verbindung bringen und die Zahlen direkt zuordnen. Als Beispiel wird wieder das Befüllen eines Pools verwendet.
Du hast die Möglichkeit, die jeweiligen Werte in Zeilen darzustellen, wie Du es bereits in den vorherigen Berechnungen gesehen hast. So kannst Du die Personenanzahl beispielsweise nach rechts erweitern. Die entsprechend zugehörige Zeit wird direkt darunter gesetzt und so gleich zugeordnet.
Personenanzahl | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 |
benötigte Zeit in Minuten | 120 | 60 | 40 | 30 | 20 | 15 | 10 |
Eine Alternative wäre die Darstellung über Spalten. Dabei trägst Du die Werte in die jeweilige Spalte mit ein und kannst die Tabelle entsprechend nach unten erweitern.
| Personenanzahl | benötigte Zeit in Minuten |
| 1 | 120 |
| 2 | 60 |
| 3 | 40 |
| 4 | 30 |
| 6 | 20 |
| 8 | 15 |
| 12 | 10 |
Frage gerne Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin, welche Tabellenform in Deiner Schule bevorzugt wird.
Diese Tabelle kannst Du weiter benutzen, um antiproportionale Zuordnungen grafisch darzustellen.
Schaubild antiproportionale Zuordnung – Graph
In einem Koordinatensystem kannst Du Wertepaare eintragen und so einen Graphen erzeugen. Dazu benötigst Du zuerst die Zahlenpaare, die Du einträgst. Diese Wertepaare kannst Du zum Beispiel aus der obigen Tabelle entnehmen. Im Koordinatensystem markiert sieht dies beispielsweise wie in Abbildung 5 aus.
Abbildung 5: Punkte in ein Koordinatensystem eintragen
Danach verbindest Du die Punkte. Dabei kannst Du etwas über die Punkte hinaus zeichnen, sodass auch erkennbar ist, wie der Graph vor dem ersten und nach dem letzten Punkt verläuft. Es entsteht eine sogenannte Hyperbel.
Abbildung 6: Hyperbel durch die Punkte zeichnen
Im Schaubild einer antiproportionalen Zuordnung liegen alle Punkte auf einer Kurve. Sie wird Hyperbel genannt.
Die Hyperbel verläuft immer von oben links nach unten rechts fallend, da „je mehr, desto weniger“ gilt.
Aber Achtung: Nicht jeder Punkt auf der x-Achse ergibt immer Sinn. In Abbildung 6 ist auf der x-Achse die Personenanzahl dargestellt. Du könntest theoretisch anhand des Graphen die benötige Zeit für 7,5 Personen ablesen. Dort ergeben aber nur ganze Zahlen einen Sinn, da es keine halbe Person gibt.
Auch die Zuordnungsvorschrift einer antiproportionalen Zuordnung ist so gesehen eine Darstellungsform.
Mit den Eigenschaften und den zugehörigen Formeln kannst Du antiproportionale Zuordnungen erkennen. Wie kannst Du dies nutzen, um auch Berechnungen durchzuführen?
Antiproportionale Zuordnung – Werte berechnen & Beispiel
Fehlende Werte einer antiproportionalen Zuordnung kannst Du auf verschiedene Weisen berechnen. In den Eigenschaften hast Du bereits gelernt, dass Du das Verdoppeln/Halbieren bzw. Verdreifachen/Dritteln verwenden kannst.
Ebenfalls hilft Dir auch der Antiproportionalitätsfaktor, um fehlende Werte zu berechnen.
Werte berechnen – Antiproportionalitätsfaktor
Die Formel kannst Du nach x oder y umstellen, je nachdem, ob Du einen x-Wert oder einen y-Wert bestimmen möchtest.
Der Bruchstrich steht hier für eine Division. Du teilst den Antiproportionalitätsfaktor durch den y-Wert, um den zugehörigen x-Wert zu berechnen.
Die Tabelle für das Befüllen des Planschbeckens wird um weitere Personenzahlen erweitert.
Personenanzahl (x) | 1 | 2 | 3 | 4 | 8 | |
benötigte Zeit in Minuten (y) | 120 | 60 | | 30 | | 10 |
Wenn Du jetzt berechnen möchtest, wie lange 3 oder 8 Personen brauchen, um das Planschbecken zu befüllen, kannst Du den Antiproportionalitätsfaktor verwenden und ihn durch den x-Wert teilen. Der Antiproportionalitätsfaktor ist .
Jetzt weißt Du, dass 3 Personen 40 Minuten benötigen und 8 Personen genau 15 Minuten.
Personenanzahl (x) | 1 | 2 | 3 | 4 | 8 | |
benötigte Zeit in Minuten (y) | 120 | 60 | 40 | 30 | 15 | 10 |
Den Antiproportionalitätsfaktor kannst Du auch verwenden, um einen fehlenden x-Wert zu berechnen.
Es soll nur 10 Minuten dauern, das Planschbecken zu befüllen und Du fragst Dich, wie viele Personen Du dazu brauchst. Dann ist der y-Wert gegeben und der x-Wert gesucht.
Du benötigst 12 Personen, um das Planschbecken in 10 Minuten zu füllen.
Neben der Formel kannst Du ebenfalls auch den Dreisatz benutzen, um fehlende Werte zu berechnen.
Antiproportionale Zuordnung – Dreisatz
Den Dreisatz wendest Du immer dann an, wenn Du durch Verdoppeln/Halbieren oder Verdreifachen/Drittel des einen Wertes nicht zum gesuchten Wert gelangst.
Ein Auto fährt eine Strecke mit einer konstanten Geschwindigkeit von . Wie lange braucht es für dieselbe Strecke, wenn es bei einer Geschwindigkeit von etwa 90 Minuten benötigt?
Abbildung 7: Faktor gesucht
Es gibt keine ganze Zahl, die Du mit 80 multiplizieren kannst, sodass 110 das Ergebnis ist. Deswegen verwendest Du einen Zwischenschritt. Zuerst berechnest Du, wie lang die Fahrzeit wäre, wenn das Auto nur fahren würde. Dazu teilst Du die Geschwindigkeit durch 8 und multiplizierst die Fahrzeit mit 8.
Von diesem Wert aus, kannst Du dann berechnen, wie lange das Auto mit benötigt, indem Du die Geschwindigkeit mit 11 multiplizierst und die Fahrzeit durch 11 teilst.
Abbildung 8: Dreisatz
Durch den Zwischenschritt kannst Du berechnen, dass bei die Fahrzeit Minuten beträgt.
Die Verwendung eines Zwischenschrittes wird als Dreisatz bezeichnet. Du benötigst „3 Sätze“, um das Ergebnis zu bestimmen.
Wenn Du mehr über den Dreisatz wissen möchtest, sieh Dir die gleichnamige Erklärung dazu an. Klicke einfach auf den Begriff „Dreisatz“.
Nicht immer liegen in der Aufgabenstellung direkt Zahlenwerte zum Rechnen vor. Dies ist beispielsweise bei Textaufgaben der Fall.
Textaufgaben Antiproportionale Zuordnung – Beispiel
In dieser Erklärung hast Du bereits das Befüllen eines Beckens als antiproportionale Zuordnung kennengelernt. Dies ist ein Beispiel für eine Textaufgabe. Ebenso wie die folgende Aufgabe.
Aufgabe 1
Die Firma Fels beschäftigt drei Arbeiter*innen, um eine Steinmauer zu errichten. Die drei Arbeiter*innen benötigen dafür insgesamt 8 Stunden. Berechne, wie lange 4 Arbeiter*innen für dieselbe Arbeit brauchen würden.
Lösung
Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung:
Über die Formel zur Antiproportionalität kannst Du zunächst das Produkt berechnen aus beiden Werten.
Zur Erinnerung: In einer antiproportionalen Zuordnung gilt: .
Jetzt musst Du nur noch das Produkt durch die vier Arbeiter*innen teilen:
Vier Arbeiter*innen benötigen für dieselbe Arbeit 6 Stunden.
Hast Du Lust, Dein Wissen noch an ein paar Übungsaufgaben zu testen? Dann los!
Antiproportionale Zuordnung – Aufgaben
Die folgenden Aufgaben kannst Du verwenden, um das Rechnen mit antiproportionalen Zuordnungen zu üben.
Aufgabe 2
Prüfe rechnerisch, ob es sich bei den Wertepaaren aus der Tabelle um eine antiproportionalen Zuordnung handelt. Falls dies so ist, gib den Antiproportionalitätsfaktor an.
| x-Wert | 2 | 5 | 6 | 8 |
| y-Wert | 90 | 36 | 30 | 22,5 |
LösungUm zu überprüfen, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt, kannst Du für jedes Wertepaar das Produkt aus x-Wert und y-Wert berechnen. Sind diese Produkte für alle Wertepaare identisch, handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung.
Die Wertepaare sind produktgleich. Die Zuordnung ist antiproportional. Der Antiproportionalitätsfaktor ist .
Aufgabe 3
Berechne für die antiproportionale Zuordnung aus der Tabelle den Antiproportionalitätsfaktor und gib die Zuordnungsvorschrift an. Bestimme dann die fehlenden Werte.
Lösung
Um den Antiproportionalitätsfaktor zu bestimmen, berechnest Du das Produkt aus x-Wert und y-Wert.
Der Antiproportionalitätsfaktor ist . Die Zuordnungsvorschrift lautet somit: .
Du kannst diese Zuordnungsvorschrift verwenden, um die fehlenden Werte zu berechnen. Dazu setzt Du die x-Werte in die Zuordnungsvorschrift ein.
Jetzt kannst Du die Tabelle ausfüllen.
| x-Wert | 2 | 4 | 5 | 9 | 10 |
| y-Wert | 45 | 22,5 | 18 | 10 | 9 |
Antiproportionale Zuordnung – Das Wichtigste
- Für eine antiproportionale Zuordnung gilt: „je mehr, desto weniger“
- Verdoppelst, verdreifachst, vervierfachst... Du den einen Wert, halbiert, drittelt, viertelt... sich der andere Wert der antiproportionalen Zuordnung.
- Für Wertepaare von antiproportionalen Zuordnungen gilt Produktgleichheit:
- k ist der Antiproportionalitätsfaktor der antiproportionalen Zuordnung
- Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist eine Hyperbel.
- Die Zuordnungsvorschrift einer antiproportionalen Zuordnung lautet:
- Fehlende Werte einer antiproportionalen Zuordnung kannst Du mit der Formel oder dem Dreisatz berechnen.
Nachweise
- Böer et al. (2007). mathe live 7, Mathematik für Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
- Bergmann (2009). Mathe komplett: Regeln und Gesetze ; 5. - 8. Klasse. Schlaumeier.
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