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Antiproportionale Zuordnung

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Antiproportionale Zuordnung

Stell Dir vor, Du befüllst mit einer Freundin oder einem Freund ein Planschbecken. Ihr füllt Wasser in Eimer und schüttet es ins Becken. Jede*r von Euch schafft in 5 Minuten 15 Liter. Insgesamt benötigt ihr zu zweit 60 Minuten, um das Becken zu füllen.

Wie lange würdet ihr brauchen, wenn noch zwei weitere Freunde mithelfen und ihr zu viert seid? Bei der Antwort der Frage hilft Dir die Antiproportionalität. Was ist denn eigentlich eine antiproportionale Zuordnung?

Zuordnungen – Grundwissen

Bei einer Zuordnung wird in der Mathematik einem Wert ein anderer Wert zugeordnet. Beide Werte stehen in einem Zusammenhang zueinander. Die zugeordneten Werte müssen nicht unbedingt Zahlen sein.

Du kannst Deinen Freunden ihre Haarfarbe zuordnen. So haben beispielsweise Alex und Chung die Haarfarbe braun und Mira die Haarfarbe blond.

Dann hast Du die Zuordnung:

Du kannst zum Beispiel aber auch eine Zahl einer anderen Zahl zuordnen. Je nachdem, welchen Zusammenhang die Zahlenpaare haben, können unterschiedliche Zuordnungen unterschieden werden.

Eine davon ist die indirekte Proportionalität bzw. antiproportionale Zuordnung. Woran erkennst Du diese Art Zuordnung?

Antiproportionale Zuordnung – Eigenschaften und Formel

Erinnerst Du Dich noch an das Einleitungsbeispiel mit dem Pool? Wenn zwei Personen 1 Stunde zum Befüllen des Pools benötigen, wie viel Zeit brauchen dann doppelt so viele Personen (also vier Personen)? Kurz gesagt, halb so viel Zeit. Aber warum?

Die Berechnung des Einleitungsbeispieles erfolgt später. Dann kannst Du die Beantwortung der Frage selbst überprüfen.

Dies liegt an den Eigenschaften einer antiproportionalen Zuordnung. Für die antiproportionale Zuordnung muss zunächst eine Aussage erfüllt sein: „je mehr, desto weniger“. Ist diese Bedingung erfüllt, so kannst Du die Werte genauer betrachten und überprüfen, ob sich beim Verdoppeln des einen Wertes der andere Wert halbiert.

Eine Zuordnung ist antiproportional, wenn sich beim Verdoppeln, Verdreifachen, Vervierfachen... des x-Wertes, der y-Wert halbiert, drittelt, viertelt... .

Die Zuordnung heißt dann antiproportionale Zuordnung oder indirekt proportionale Zuordnung.

Eine antiproportionale Zuordnung und eine indirekt proportionale Zuordnung sind dasselbe. Frage gerne Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin, welchen Ausdruck ihr in Eurer Schule verwendet.

Sind diese Bedingungen einer antiproportionalen Zuordnung für das Befüllen eines Pools erfüllt? Zeit, dies zu überprüfen.

Zunächst wird eine Tabelle angefertigt, mit den Werten aus dem Einstiegsbeispiel. Zum einen wird die Personenanzahl betrachtet und zum anderen die benötige Zeit zum Befüllen des Pools. Wird die Personenzahl halbiert (durch 2 geteilt), dann ändert sich ebenfalls die Zeit, und zwar wird sie verdoppelt (mal 2).

Die Personenanzahl wurde weniger und damit die benötigte Zeit mehr. Diese Eigenschaft kannst Du nutzen, um die Frage zu beantworten, wie lange vier Personen brauchen, um das Planschbecken aus dem Beispiel zu füllen.

Wenn Du die Anzahl an Personen von zwei auf vier verdoppelst, halbiert sich die benötigte Zeit. Statt 60 Minuten werden nur noch 30 Minuten benötigt.

Du kannst aber auch bei einer Person beginnen und diese Anzahl vervierfachen. Dann wird die benötigte Zeit durch vier geteilt und Du erhältst den neuen Wert. Die Eigenschaften der Antiproportionalität sind damit erfüllt.

Kann für eine Zuordnung zwar „je mehr, desto weniger“ gelten, aber sie trotzdem nicht antiproportional sein? Ja. Sieh Dir dazu gerne die folgende Vertiefung an.

Stell Dir vor, im Einstiegsbeispiel schafft nicht jede Person in fünf Minuten genau 15 Liter. Du bist etwas schneller als Dein*e Freund*in und schaffst sogar 20 Liter in fünf Minuten.

Wenn Du das Becken dann alleine befüllst, brauchst Du nicht doppelt so lange wie zu zweit. Hier gilt dann zwar auch, je mehr Personen, desto weniger Zeit wird benötigt. Aber doppelt so viele Personen bedeuten nicht automatisch, dass halb so viel Zeit benötigt wird.

Mathematisch kannst Du die antiproportionale Zuordnung auch anhand einer Formel erkennen und berechnen.

Antiproportionale Zuordnung – Formel und Antiproportionalitätsfaktor

Im Falle einer indirekt proportionalen Zuordnung ist das Produkt des einen Wertes (x-Wert) mit dem zugehörigen anderen Wert (y-Wert) in einer antiproportionalen Zuordnung immer gleich. Alle Zahlenpaare der Zuordnung müssen multipliziert demnach denselben Wert liefern.

Für eine antiproportionale Zuordnung sind die Wertepaare x und y produktgleich und es gilt:

Das Produkt ergibt den Antiproportionalitätsfaktor .

Somit lautet die Zuordnungsvorschrift einer antiproportionalen Zuordnung:

Für jede antiproportionale Zuordnung in der Mathematik gibt es einen Antiproportionalitätsfaktor , mit dem Du unter anderem die Zuordnungsvorschrift aufstellen kannst. Dies gilt auch für das Beispiel zum Befüllen des Pools.

In der Tabelle sind noch einmal die berechneten Werte aufgeführt.

Personenanzahl
1
2
4
benötigte Zeit in Minuten
120
60
30
Das Multiplizieren der x-Werte (Personenanzahl) mit den zugehörigen y-Werten (benötige Zeit) ergibt:

Somit ist das Produkt aus den beiden Werten und damit der Antiproportionalitätsfaktor . Diesen Wert kannst Du nun in die Formel für die Zuordnungsvorschrift einsetzen. Entsprechend lautet die Zuordnungsvorschrift für das Beispiel zum Befüllen des Pools:

Wenn Du wissen möchtest, ob eine Zuordnung antiproportional ist, kannst Du also auch das Produkt aus x-Wert und zugehörigen y-Wert berechnen. Ist dies bei allen Werten identisch, ist die Zuordnung antiproportional.

Aber Achtung, überprüfe wirklich alle Wertepaare. Es reicht nicht aus, wenn einige Produkte übereinstimmen.

Wo liegt denn eigentlich der Unterschied zur ähnlich klingenden proportionalen Zuordnung? Lies dazu gerne die nachfolgende Vertiefung. Natürlich kannst Du diesen Abschnitt auch gerne überspringen und direkt zu den Darstellungen springen.

Proportionale Zuordnungen

Für proportionale Zuordnungen gilt „je mehr, desto mehr“. Wenn Du bei einer proportionalen Zuordnung zum Beispiel den einen Wert verdoppelst, verdoppelt sich auch der andere Wert. So auch in der folgenden Tabelle.

x-Wert12345
y-Wert3691215

Proportionale Zuordnungen sind quotientengleich. Teilst Du also bei einer proportionalen Zuordnung jeden y-Wert durch den zugehörigen x-Wert, erhältst Du den Proportionalitätsfaktor k.

In der obigen Tabelle ergibt jedes Teilen des x-Wertes durch den zugehörigen y-Wert den Quotienten .

Auch hier kannst Du durch Umstellen der Formel die Zuordnungsvorschrift aufstellen:

Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Gerade durch den Ursprung im Koordinatensystem.

Du möchtest noch mehr über proportionale Zuordnungen lernen? Dann sieh Dir die Erklärung „Proportionale Zuordnung“ an.

Welche Möglichkeiten zur Darstellung von antiproportionalen Zuordnungen gibt es denn?

Antiproportionale Zuordnung – Darstellungen

Die Antiproportionalität von Zahlenpaaren kannst Du auf unterschiedliche Weise darstellen. Eine kennst Du bereits; die Darstellung in Form einer Tabelle.

Antiproportionale Zuordnung – Tabelle

In Tabellen kannst Du die Werte miteinander in Verbindung bringen und die Zahlen direkt zuordnen. Als Beispiel wird wieder das Befüllen eines Pools verwendet.

Du hast die Möglichkeit, die jeweiligen Werte in Zeilen darzustellen, wie Du es bereits in den vorherigen Berechnungen gesehen hast. So kannst Du die Personenanzahl beispielsweise nach rechts erweitern. Die entsprechend zugehörige Zeit wird direkt darunter gesetzt und so gleich zugeordnet.

Personenanzahl
1
2
3
4
6
8
12
benötigte Zeit in Minuten
120
60
40
30
20
15
10

Eine Alternative wäre die Darstellung über Spalten. Dabei trägst Du die Werte in die jeweilige Spalte mit ein und kannst die Tabelle entsprechend nach unten erweitern.

Personenanzahlbenötigte Zeit in Minuten
1120
260
340
430
620
815
1210

Frage gerne Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin, welche Tabellenform in Deiner Schule bevorzugt wird.

Diese Tabelle kannst Du weiter benutzen, um antiproportionale Zuordnungen grafisch darzustellen.

Schaubild einer antiproportionalen Zuordnung – Graph

In einem Koordinatensystem kannst Du Wertepaare eintragen und so einen Graphen erzeugen. Dazu benötigst Du zuerst die Zahlenpaare, die Du einträgst. Diese Wertepaare kannst Du zum Beispiel aus der obigen Tabelle entnehmen. Im Koordinatensystem markiert sieht dies beispielsweise wie in Abbildung 5 aus.

Antiproportionale Zuordnung Schaubild Punkte einzeichnen StudySmarterAbbildung 5: Punkte in ein Koordinatensystem eintragen

Danach verbindest Du die Punkte. Dabei kannst Du etwas über die Punkte hinaus zeichnen, sodass auch erkennbar ist, wie der Graph vor dem ersten und nach dem letzten Punkt verläuft. Es entsteht eine sogenannte Hyperbel.

Antiproportionale Zuordnung Graph Hyperbel StudySmarterAbbildung 6: Hyperbel durch die Punkte zeichnen

Im Schaubild einer antiproportionalen Zuordnung liegen alle Punkte auf einer Kurve. Sie wird Hyperbel genannt.

Die Hyperbel verläuft immer von oben links nach unten rechts fallend, da „je mehr, desto weniger“ gilt.

Aber Achtung: Nicht jeder Punkt auf der x-Achse ergibt immer Sinn. In Abbildung 6 ist auf der x-Achse die Personenanzahl dargestellt. Du könntest theoretisch anhand des Graphen die benötige Zeit für 7,5 Personen ablesen. Dort ergeben aber nur ganze Zahlen einen Sinn, da es keine halbe Person gibt.

Auch die Zuordnungsvorschrift einer antiproportionalen Zuordnung ist so gesehen eine Darstellungsform.

Mit den Eigenschaften und den zugehörigen Formeln kannst Du antiproportionale Zuordnungen erkennen. Wie kannst Du dies nutzen, um auch Berechnungen durchzuführen?

Antiproportionale Zuordnung – Werte berechnen

Fehlende Werte einer antiproportionalen Zuordnung kannst Du auf verschiedene Weisen berechnen. In den Eigenschaften hast Du bereits gelernt, dass Du das Verdoppeln/Halbieren bzw. Verdreifachen/Dritteln verwenden kannst.

Ebenfalls hilft Dir auch der Antiproportionalitätsfaktor, um fehlende Werte zu berechnen.

Werte berechnen – Antiproportionalitätsfaktor

Die Formel kannst Du nach x oder y umstellen, je nachdem, ob Du einen x-Wert oder einen y-Wert bestimmen möchtest.

Der Bruchstrich steht hier für eine Division. Du teilst den Antiproportionalitätsfaktor durch den y-Wert, um den zugehörigen x-Wert zu berechnen.

Die Tabelle für das Befüllen des Planschbeckens wird um weitere Personenzahlen erweitert.

Personenanzahl (x)
1
2
3
4
8
benötigte Zeit in Minuten (y)
120
60
30
10

Wenn Du jetzt berechnen möchtest, wie lange 3 oder 8 Personen brauchen, um das Planschbecken zu befüllen, kannst Du den Antiproportionalitätsfaktor verwenden und ihn durch den x-Wert teilen. Der Antiproportionalitätsfaktor ist .

Jetzt weißt Du, dass 3 Personen 40 Minuten benötigen und 8 Personen genau 15 Minuten.

Personenanzahl (x)
1
2
3
4
8
benötigte Zeit in Minuten (y)
120
60
40
30
15
10

Den Antiproportionalitätsfaktor kannst Du auch verwenden, um einen fehlenden x-Wert zu berechnen.

Es soll nur 10 Minuten dauern, das Planschbecken zu befüllen und Du fragst Dich, wie viele Personen Du dazu brauchst. Dann ist der y-Wert gegeben und der x-Wert gesucht.

Du benötigst 12 Personen, um das Planschbecken in 10 Minuten zu füllen.

Neben der Formel kannst Du ebenfalls auch den Dreisatz benutzen, um fehlende Werte zu berechnen.

Werte berechnen – Dreisatz

Den Dreisatz wendest Du immer dann an, wenn Du durch Verdoppeln/Halbieren oder Verdreifachen/Drittel des einen Wertes nicht zum gesuchten Wert gelangst.

Ein Auto fährt eine Strecke mit einer konstanten Geschwindigkeit von . Wie lange braucht es für dieselbe Strecke, wenn es bei einer Geschwindigkeit von etwa 90 Minuten benötigt?

Es gibt keine ganze Zahl, die Du mit 80 multiplizieren kannst, sodass 110 das Ergebnis ist. Deswegen verwendest Du einen Zwischenschritt. Zuerst berechnest Du, wie lang die Fahrzeit wäre, wenn das Auto nur fahren würde. Dazu teilst Du die Geschwindigkeit durch 8 und multiplizierst die Fahrzeit mit 8.

Von diesem Wert aus, kannst Du dann berechnen, wie lange das Auto mit benötigt, indem Du die Geschwindigkeit mit 11 multiplizierst und die Fahrzeit durch 11 teilst.

Durch den Zwischenschritt kannst Du berechnen, dass bei die Fahrzeit Minuten beträgt.

Die Verwendung eines Zwischenschrittes wird als Dreisatz bezeichnet. Du benötigst „3 Sätze“, um das Ergebnis zu bestimmen.

Wenn Du mehr über den Dreisatz wissen möchtest, sieh Dir die gleichnamige Erklärung dazu an. Klicke einfach auf den Begriff „Dreisatz“.

Nicht immer liegen in der Aufgabenstellung direkt Zahlenwerte zum Rechnen vor. Dies ist beispielsweise bei Textaufgaben der Fall.

Antiproportionale Zuordnung – Textaufgaben

In dieser Erklärung hast Du bereits das Befüllen eines Beckens als antiproportionale Zuordnung kennengelernt. Dies ist ein Beispiel für eine Textaufgabe. Ebenso wie die folgende Aufgabe.

Aufgabe 1

Die Firma Fels beschäftigt drei Arbeiter*innen, um eine Steinmauer zu errichten. Die drei Arbeiter*innen benötigen dafür insgesamt 8 Stunden. Berechne, wie lange 4 Arbeiter*innen für dieselbe Arbeit brauchen würden.

Lösung

Es handelt sich um eine antiproportionale Zuordnung:

Über die Formel zur Antiproportionalität kannst Du zunächst das Produkt berechnen aus beiden Werten.

Zur Erinnerung: In einer antiproportionalen Zuordnung gilt: .

Jetzt musst Du nur noch das Produkt durch die vier Arbeiter*innen teilen:

Vier Arbeiter*innen benötigen für dieselbe Arbeit 6 Stunden.

Hast Du Lust, Dein Wissen noch an ein paar Übungsaufgaben zu testen? Dann los!

Antiproportionale Zuordnung – Aufgaben

Die folgenden Aufgaben kannst Du verwenden, um das Rechnen mit antiproportionalen Zuordnungen zu üben.

Aufgabe 2

Prüfe rechnerisch, ob es sich bei den Wertepaaren aus der Tabelle um eine antiproportionalen Zuordnung handelt. Falls dies so ist, gib den Antiproportionalitätsfaktor an.

x-Wert2568
y-Wert90363022,5
LösungUm zu überprüfen, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt, kannst Du für jedes Wertepaar das Produkt aus x-Wert und y-Wert berechnen. Sind diese Produkte für alle Wertepaare identisch, handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung.

Die Wertepaare sind produktgleich. Die Zuordnung ist antiproportional. Der Antiproportionalitätsfaktor ist .

Aufgabe 3

Berechne für die antiproportionale Zuordnung aus der Tabelle den Antiproportionalitätsfaktor und gib die Zuordnungsvorschrift an. Bestimme dann die fehlenden Werte.

x-Wert245910
y-Wert22,518

Lösung

Um den Antiproportionalitätsfaktor zu bestimmen, berechnest Du das Produkt aus x-Wert und y-Wert.

Der Antiproportionalitätsfaktor ist . Die Zuordnungsvorschrift lautet somit: .

Du kannst diese Zuordnungsvorschrift verwenden, um die fehlenden Werte zu berechnen. Dazu setzt Du die x-Werte in die Zuordnungsvorschrift ein.

Jetzt kannst Du die Tabelle ausfüllen.

x-Wert245910
y-Wert4522,518109

Antiproportionale Zuordnung – Das Wichtigste

  • Für eine antiproportionale Zuordnung gilt: „je mehr, desto weniger“
  • Verdoppelst, verdreifachst, vervierfachst... Du den einen Wert, halbiert, drittelt, viertelt... sich der andere Wert der antiproportionalen Zuordnung.
  • Für Wertepaare von antiproportionalen Zuordnungen gilt Produktgleichheit:
    • k ist der Antiproportionalitätsfaktor der antiproportionalen Zuordnung
  • Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist eine Hyperbel.
  • Die Zuordnungsvorschrift einer antiproportionalen Zuordnung lautet:
  • Fehlende Werte einer antiproportionalen Zuordnung kannst Du mit der Formel oder dem Dreisatz berechnen.

Nachweise

  1. Böer et al. (2007). mathe live 7, Mathematik für Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
  2. Bergmann (2009). Mathe komplett: Regeln und Gesetze ; 5. - 8. Klasse. Schlaumeier.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Antiproportionale Zuordnung

Für eine antiproportionale Zuordnung gilt "je mehr, desto weniger". Vervielfachst Du den x-Wert einer antiproportionalen Zuordnung, wird der y-Wert durch diesen Faktor geteilt.

Ein typisches Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung ist die benötigte Arbeitszeit in Abhängigkeit von der Anzahl an Arbeiter*innen. Je mehr Arbeiter*innen, desto weniger Zeit wird benötigt.

Einen antiproportionalen Dreisatz kannst Du verwenden, um Werte in antiproportionalen Zuordnungen zu ermitteln. Von der Ausgangsgröße ausgehend berechnest Du zuerst einen Zwischenschritt und dann die Endgröße.

Für eine proportionale Zuordnung gilt: „je mehr, desto mehr“. Die Zahlenpaare sind quotientengleich


Zahlenpaare bei antiproportionalen Zuordnungen sind produktgleich. Hier gilt: „je mehr, desto weniger“.

In einer antiproportionalen Tabelle multiplizierst Du einen vorgegebenen x-Wert mit dem zugehörigen y-Wert, um das Produkt zu bestimmen. Dieses Produkt ist der Antiproportionalitätsfaktor k. Über die Formel x • y = k stellst Du nach der gesuchten Größe um und berechnest diese.

Finales Antiproportionale Zuordnung Quiz

Frage

Welche Eigenschaft gilt für eine antiproportionale Zuordnung? Wähle aus.

Antwort anzeigen

Antwort

je mehr, desto weniger

Frage anzeigen

Frage

Welche Aussage ist für eine antiproportionale Zuordnung richtig? Wähle aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Verdoppelt sich der eine Wert, so halbiert sich der andere Wert.

Frage anzeigen

Frage

Gegeben ist eine antiproportionale Zuordnung. Wähle die richtige Aussage aus.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Wertepaare eine antiproportionalen Zuordnung sind produktgleich.

Frage anzeigen

Frage

Wähle aus.


Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist eine...


Antwort anzeigen

Antwort

Hyperbel

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Eigenschaften einer antiproportionalen Zuordnung.

Antwort anzeigen

Antwort

Für eine antiproportionale Zuordnung gilt "je mehr, desto weniger".

Vervielfacht sich der eine Wert einer antiproportionalen Zuordnung, so wird der andere Wert durch diesen Faktor geteilt.

Die Wertepaare einer antiproportionalen Zuordnung sind produktgleich.

Frage anzeigen

Frage

Vervollständige den Satz über eine antiproportionale Zuordnung.


Wird der eine Wert einer antiproportionalen Zuordnung verdoppelt, so ...

Antwort anzeigen

Antwort

... halbiert sich der zugehörige andere Wert.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du den Dreisatz verwenden kannst, um Werte einer antiproportionalen Zuordnung zu berechnen.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt ein Wertepaar als Ausgangswert, mit dem Du einen Zielwert berechnest. Dazu verwendest Du einen Zwischenschritt, der sich leicht aus dem Ausgangswert berechnen lässt. Mit diesem Zwischenschritt berechnest Du dann den Zielwert.

Beim antiproportionalen Dreisatz wird auf der einen Seite multipliziert und auf der anderen Seite dividiert.

Frage anzeigen

Frage

Gib ein Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung an.

Antwort anzeigen

Antwort

Mögliche antiproportionale Zuordnungen sind:


  • Geschwindigkeit → Fahrzeit
  • Anzahl Arbeiter/Maschinen → benötigte Zeit
  • Anzahl Kinder → Anzahl Pizzastücke pro Kind (bei gleichbleibender Gesamtanzahl an Pizzen)


Vielleicht ist Dir ja sogar noch ein anderes Beispiel eingefallen?

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