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Wozu man gleichnamige Brüche benötigt – Übersicht
Oft musst du zwei Brüche vergleichen und zum Beispiel bestimmen, welcher Bruch den größeren oder kleineren Wert hat. Oder du musst Brüche addieren beziehungsweise subtrahieren. Diese Aufgaben kannst du aber nur bewältigen, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben, also wenn diese Brüche gleichnamig sind.
Zwei Brüche werden als gleichnamig bezeichnet, wenn sie den gleichen Nenner haben. Brüche gleichnamig machen bedeutet, dass mehrere Brüche auf denselben Nenner gebracht werden.
Erinnerung: der Zähler ist die Zahl, die oberhalb des Bruchstriches steht und der Nenner die Zahl, die unterhalb des Bruchstriches steht.
Abbildung 1: Zähler und Nenner eines Bruchs
Brüche gleichnamig machen – Regeln
Brüche lassen sich auf unterschiedliche Arten gleichnamig machen.
- Erweitern der Brüche mit dem Nenner des anderen Bruchs
- Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und entsprechendes erweitern
- Gezieltes kürzen und erweitern, bei Brüchen deren gemeinsamen Nenner direkt erkenntlich sind
Gemeinsamen Nenner durch Multiplizieren finden
Zwei Brüche lassen sich gleichnamig machen, indem Du die Nenner von zwei Brüchen miteinander multiplizierst. Durch die Multiplikation der beiden Nenner erhältst Du eine Zahl, die für beide Brüche einen geeigneten Nenner darstellt.
Dabei darfst Du nicht vergessen, auch den Zähler zu erweitern. Dafür musst Du den Zähler des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen Bruchs multiplizieren.
Aufgabe 1
Du hast die beiden Brüche \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{5}{2}\) gegeben.
Um für diese beiden Brüche einen gemeinsamen Nenner zu finden, multiplizierst Du im nächsten Schritt einfach die beiden Nenner der Brüche miteinander
\(3\cdot 2 = 6\)
Jetzt hast du einen gemeinsamen Nenner von den beiden Brüchen gefunden.
Erweitere die Zähler jetzt noch um den Nenner des anderen Bruchs.
\begin{align}&\cdot 2 \\ \frac{1}{3}&=\frac{1\cdot 2}{3\cdot 2} = \frac{2}{6}\end{align}
\begin{align}&\cdot 3 \\ \frac{5}{2}&=\frac{5\cdot 3}{2\cdot 3} = \frac{15}{6}\end{align}
Jetzt hast du zwei Brüche gleichnamig gemacht, indem du die Nenner miteinander multipliziert hast.
Gemeinsamen Nenner über das kleinste gemeinsame Vielfache finden
Das kleinste gemeinsame Vielfache – kurz kgV – zweier oder mehrerer ganzer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl von allen diesen Zahlen geteilt wird. Das kgV ist immer ein gemeinsamer Nenner zweier Brüche.
Um das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen zu finden, gibt es drei Möglichkeiten. Einmal kannst du das kgV über eine Zahlenreihe finden, oder du kannst eine Primfaktorzerlegung vornehmen. Außerdem kannst du es mithilfe des ggT berechnen, wenn dir dieser bekannt ist.
Schau dir am besten das genaue Vorgehen bei diesen Methoden im Artikel "kleinstes gemeinsames Vielfaches" an!
Wir schauen uns an dieser Stelle ein Beispiel an, bei dem wir das kgV mithilfe der Primfaktorzerlegung berechnen, und damit zwei Brüche gleichnamig machen.
Aufgabe 2
Gegeben sind die beiden Brüche \(\frac{4}{6}\) und \(\frac{7}{10}\).
Nimm zunächst eine Primfaktorzerlegung für die beiden Nenner vor.
\begin{align}6&=3\cdot2\\10&=2\cdot 5\end{align}
Du siehst, dass die Zahlen 3 und 5 jeweils einmal in den beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Die 2 kommt in beiden Primfaktorzerlegungen vor, wird aber nur einmal multipliziert.
Jetzt multiplizierst Du alle Zahlen miteinander. In diesem Fall sind das die 2, die 3 und die 5.
\(2\cdot 3\cdot 5 = 30\)
30 ist also Dein gesuchtes kgV. Jetzt erweiterst Du die beiden Brüche noch so, dass beide den Nenner 30 erhalten.
\begin{align}\frac{4\cdot 5}{6\cdot 5}&=\frac{20}{30}\\\\\frac{7\cdot 3}{10\cdot 3}&=\frac{21}{30}\end{align}
Hättest du die Brüche gleichnamig gemacht, indem du beide Nenner miteinander multipliziert hättest, dann würde im Nenner nun 60 stehen. Mit dem kgV bekommt man also den kleinstmöglichen gemeinsamen Nenner.
Gemeinsamen Nenner durch Erweitern finden
Einen Bruch erweiterst du, indem du Zähler und Nenner jeweils mit einer gleichen Zahl multiplizierst.
Möchtest du einen Bruch
um eine Zahl c erweitern, multiplizierst du a und b jeweils mit c.
Die Zahlen a, b und c sind dabei sogenannte ganze Zahlen \(\mathbb{Z}\). Das sind negative und positive ganze Zahlen!
Bei manchen Aufgaben müssen beide Brüche erweitert werden. Manchmal reicht es aber auch aus, nur einen Bruch zu erweitern. Schau deshalb immer zuerst, ob einer der beiden Nenner ein Vielfaches des anderen Bruchs ist. Wenn das nämlich der Fall ist, reicht es nur den Bruch mit dem kleineren Nenner zu erweitern. So sparst Du Dir unnötige Rechenarbeit.
Aufgabe 3
Du sollst die beiden Brüche \(\frac{3}{8}\) und \(\frac{5}{24}\) auf den gleichen Nenner bringen.
Da die 24 ein Vielfaches der 8 ist, musst Du nur die \(\frac{3}{8}\) so erweitern, dass dort eine 24 im Nenner steht.
\(\frac{3\cdot 3}{8\cdot 3}=\frac{9}{24}\)
Jetzt hast Du die beiden Brüche \(\frac{9}{24}\) und \(\frac{5}{24}\)
Aufgabe 4
Gegeben sind zwei ungleichnamige Brüche \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{1}{5}\). Einen gemeinsamen Nenner für diese beiden Brüche findest Du, indem Du die Nenner der beiden Brüche miteinander multiplizierst, also erweiterst.
\begin{align}\frac{3\cdot 5}{4\cdot 5}&=\frac{15}{20}\\\\\frac{1\cdot 4}{5\cdot 4} &=\frac{4}{20}\end{align}
Gemeinsamen Nenner durch Kürzen finden
Einen gemeinsamen Nenner kannst Du nicht nur durch Erweitern, sondern auch durch Kürzen finden. Einen Bruch kürzt man, indem Zähler und Nenner des Bruchs durch die gleiche Zahl dividiert werden.
Möchtest Du einen Bruch \(\frac{a}{b}\) um eine Zahl c kürzen, musst Du a und b jeweils durch c teilen.
Die Zahlen a, b und c sind dabei sogenannte ganze Zahlen \(\mathbb{Z}\). Das sind negative und positive ganze Zahlen!
Auch wenn Du zwei Brüche durch Kürzen gleichnamig machen möchtest, kann es sein, dass Du oft nur einen der beiden Brüche kürzen musst, denn auch beim Kürzen kann es sein, dass der eine Nenner ein Vielfaches des anderen Nenners ist. Wenn das der Fall ist, musst Du nur den Bruch, der die größere Zahl im Nenner hat, kürzen.
Aufgabe 5
Die beiden Brüche \(\frac{12}{30\) und \(\frac{4}{15}\) lassen sich durch Kürzen des ersten Bruchs auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
\(\frac{12}{30}=\frac{12:2}{30:2}=\frac{6}{15}\)
Jetzt hast Du durch Kürzen die beiden Brüche \(\frac{6}{15}\) und \(\frac{4}{15}\) erhalten.
Gleichnamige Brüche vergleichen
Gleichnamige Brüche vergleichst Du, indem Du die Zähler miteinander vergleichst.
- Positive Brüche: Ist Zähler des ersten Bruchs größer als der des zweiten Bruchs, so ist der erste Bruch größer als der zweite. \[\frac{5}{6} > \frac{4}{6}\]
- Negative Brüche: Sind beide Brüche negativ, dann ist der betragsmäßig größere Bruch, kleiner als der zweite Bruch\[-\frac{5}{6}<-\frac{4}{6}\]
- Ist nur einer der beiden Brüche negativ, so ist der negative Bruch immer kleiner als der positive Bruch \[-\frac{5}{6}<\frac{4}{6}\]
Gleichnamige Brüche vergleichen – Aufgaben
Aufgabe 6
Die beiden Brüche \(\frac{8}{9}\) und \(\frac{11}{12}\) aus dem Einstiegsbeispiel lassen sich auf verschiedene Arten gleichnamig machen.
\begin{align}\frac{8\cdot 4}{9\cdot 4} &= \frac{32}{36}\\\frac{11\cdot 3}{12\cdot 3} &= \frac{33}{36}\end{align}
Nachdem wir die beiden Brüche durch Erweitern gleichnamig gemacht haben, können wir jetzt schauen, welcher der beiden Brüche größer ist. Dafür müssen wir nur noch schauen, welcher der beiden Brüche den größeren Zähler hat.
\(\frac{32}{36} < \frac{33}{36}\)
Wir sehen also, dass \(\frac{11}{12}\) der größere Bruch ist.
Schauen wir uns gleich noch ein weiteres Beispiel an.
Aufgabe 7
Gegeben sind zwei ungleichnamige Brüche \(\frac{1}{3}\) und \(\frac{1}{4}\) . Einen gemeinsamen Nenner für diese beiden Brüche findest Du, indem Du die Nenner der beiden Brüche miteinander multiplizierst, also erweiterst.
Dadurch erhältst Du die beiden Brüche \(\frac{1 \cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{4}{12}\) und \(\frac{1\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{3}{12}\)
Jetzt kannst Du diese beiden Brüche ganz einfach vergleichen, indem Du schaust, welcher der beiden Brüche den größeren Zähler hat.
Daraus folgt: \(\frac{4}{12}>\frac{3}{12}\)
Möchtest Du noch mehr über das Vergleichen von Brüchen wissen? Dann solltest Du unbedingt in den Artikel Vergleichen und Anordnen von Brüchen schauen!
Addieren und Subtrahieren von Brüchen
Wie bereits erwähnt, ist es auch für die Addition und Subtraktion von Brüchen notwendig, dass die Brüche gleichnamig sind.
Wenn beide Brüche den gleichen Nenner haben, sind Addition und Subtraktion ganz einfach: Du kannst einfach die Zähler der Brüche addieren oder subtrahieren. Der Nenner bleibt unverändert.
Schauen wir uns das direkt an einem Beispiel an.
Addieren und Subtrahieren von Brüchen – Aufgaben
Aufgabe 8
Addiere die beiden Brüche \(\frac{8}{11}\) und \(\frac{2}{3}\).
Lösung
1. Im ersten Schritt erweitern wir die beiden Brüche, um sie gleichnamig zu machen. Dabei eignet sich hierfür insbesondere das Erweitern, um die beiden Brüche auf denselben Nenner zu bringen.
\(\frac{8\cdot 3}{11 \cdot 3}=\frac{24}{33}\)
\(\frac{2\cdot 11}{3\cdot 11}=\frac{22}{33}\)
2. Nachdem wir die beiden Brüche auf denselben Nenner gebracht haben, können wir sie jetzt ganz einfach addieren. Dafür müssen wir nur noch die beiden Zähler zusammenzählen, da sich der Nenner nicht mehr ändert.
\(\frac{24}{33}+\frac{22}{33}=\frac{46}{33}\)
Gleichnamige Brüche – Beispiele und Aufgaben
Nachdem Du jetzt alle Regeln kennst, um Brüche gleichnamig zu machen, kannst Du Dein neues Wissen direkt mit einigen Aufgaben testen.
Aufgabe 9
Mache die folgenden Brüche gleichnamig.
- \(\frac{7}{8},\frac{1}{4}\)
Lösung
- \(\frac{7}{8},\frac{2}{8}\)
Aufgabe 10
Welcher der Brüche ist jeweils größer?
Lösung
Aufgabe 11
Berechne.
Lösung
Aufgabe 12
Berechne.
Lösung
Gleichnamige Brüche – Das Wichtigste
- Gleichnamige Brüche werden zum Vergleichen, Addieren und Subtrahieren von Brüchen benötigt.
- Brüche lassen sich durch Erweitern und Kürzen gleichnamig machen.
- Brüche lassen sich nur dann miteinander vergleichen, wenn sie gleichnamig sind.
- Ein gemeinsamer Nenner lässt sich durch Erweitern oder Kürzen finden.
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Häufig gestellte Fragen zum Thema Gleichnamige Brüche
Was sind gleichnamige und ungleichnamige Brüche?
Gleichnamige Brüche sind Brüche, die denselben Nenner haben. Ungleichnamige Brüche sind demnach Brüche mit unterschiedlichen Nennern.
Wie macht man gleichnamige Brüche?
Brüche lassen sich gleichnamig machen, indem man sie auf das kleinste gemeinsame Vielfache erweitert.
Wie kann man ungleichnamige Brüche addieren?
Ungleichnamige Brüche lassen sich nicht addieren. Sie müssen daher zunächst gleichnamig gemacht werden und können erst dann addiert werden.
Wie komme ich auf den gleichen Nenner?
Um den gleichen Nenner zu finden, kannst du damit beginnen alle Vielfache der beiden unterschiedlichen Nenner aufzuschreiben. Die kleinste Zahl, die bei beiden Aufzählungen vorkommt, ist der kleinste gemeinsame Nenner. Anschließend lassen sich die Brüche auf diesen kleinsten Nenner erweitern.
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