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Welcher der beiden folgenden Brüche ist der größere? oder?
Das lässt sich nicht so einfach sagen, da sich Brüche mit unterschiedlichem Nenner nicht einfach so vergleichen lassen. Wie du diese Aufgabe dennoch lösen kannst, erfährst du in diesem Artikel!
Oft musst du zwei Brüche vergleichen und zum Beispiel bestimmen, welcher Bruch den größeren oder kleineren Wert hat. Oder du musst Brüche addieren beziehungsweise subtrahieren. Diese Aufgaben kannst du aber nur bewältigen, wenn die Brüche den gleichen Nenner haben, also wenn diese Brüche gleichnamig sind.
Zwei Brüche werden als gleichnamig bezeichnet, wenn sie den gleichen Nenner haben.
Brüche gleichnamig machen bedeutet, dass mehrere Brüche auf denselben Nenner gebracht werden.
Erinnerung: der Zähler ist die Zahl, die oberhalb des Bruchstriches steht und der Nenner die Zahl, die unterhalb des Bruchstriches steht.
Abbildung 1: Zähler und Nenner eines Bruchs
Gleichnamige Brüche werden aber nicht nur dafür benötigt, um zwei Brüche vergleichen zu können, wie für das Einstiegsbeispiel. Gleichnamige Brüche werden auch bei der Subtraktion und Addition von zwei Brüchen benötigt. Bei der Multiplikation und Division von Brüchen ist man aber nicht auf gleichnamige Brüche angewiesen.
Schauen wir uns also direkt an, wie man Brüche gleichnamig macht!
Brüche lassen sich auf unterschiedliche Arten gleichnamig machen.
Du kannst zum Beispiel die beiden Nenner der Brüche miteinander multiplizieren. Dabei passiert es aber schnell, dass du eine sehr große Zahl erhältst. Etwas sinnvoller ist es meistens, die Brüche zu kürzen oder zu erweitern. Eine weitere Möglichkeit ist, dass du das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner bestimmst.
Zwei Brüche lassen sich gleichnamig machen, indem du die Nenner von zwei Brüchen miteinander multiplizierst. Durch die Multiplikation der beiden Nenner erhältst du eine Zahl, die für beide Brüche einen geeigneten Nenner darstellt.
Dabei darfst du nicht vergessen, auch den Zähler zu erweitern. Dafür musst du den Zähler des einen Bruchs mit dem Nenner des anderen Bruchs multiplizieren.
Du hast die beiden Brüche und gegeben.
Um für diese beiden Brüche einen gemeinsamen Nenner zu finden, multiplizierst du im nächsten Schritt einfach die beiden Nenner der Brüche miteinander
Jetzt hast du einen gemeinsamen Nenner von den beiden Brüchen gefunden.
Erweitere die Zähler jetzt noch um den Nenner des anderen Bruchs.
Jetzt hast du zwei Brüche gleichnamig gemacht, indem du die Nenner miteinander multipliziert hast.
Das kleinste gemeinsame Vielfache – kurz kgV – zweier oder mehrerer ganzer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die sowohl von allen diesen Zahlen geteilt wird.
Um das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei Zahlen zu finden, gibt es drei Möglichkeiten. Einmal kannst du das kgV über eine Zahlenreihe finden, oder du kannst eine Primfaktorzerlegung vornehmen. Außerdem kannst du es mithilfe des ggT berechnen, wenn dir dieser bekannt ist.
Schau dir am besten das genaue Vorgehen bei diesen Methoden im Artikel "kleinstes gemeinsames Vielfaches" an!
Wir schauen uns an dieser Stelle ein Beispiel an, bei dem wir das kgV mithilfe der Primfaktorzerlegung berechnen, und damit zwei Brüche gleichnamig machen.
Gegeben sind die beiden Brücheund.
Nimm zunächst eine Primfaktorzerlegung für die beiden Nenner vor.
Du siehst, dass die Zahlen 3 und 5 jeweils einmal in den beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen. Die 2 kommt in beiden Primfaktorzerlegungen vor, wird aber nur einmal multipliziert.
Jetzt multiplizierst du alle Zahlen miteinander. In diesem Fall sind das die 2, die 3 und die 5.
30 ist also dein gesuchtes kgV. Jetzt erweiterst du die beiden Brüche noch so, dass beide den Nenner 30 erhalten.
Hättest du die Brüche gleichnamig gemacht, indem du beide Nenner miteinander multipliziert hättest, dann würde im Nenner nun 60 stehen. Mit dem kgV bekommt man also den kleinstmöglichen gemeinsamen Nenner.
Einen Bruch erweiterst du, indem du Zähler und Nenner jeweils mit einer gleichen Zahl multiplizierst.
Möchtest du einen Bruch
um eine Zahl c erweitern, multiplizierst du a und b jeweils mit c.
Die Zahlen a, b und c sind dabei sogenannte ganze Zahlen . Das sind negative und positive ganze Zahlen!
Bei manchen Aufgaben müssen beide Brüche erweitert werden. Manchmal reicht es aber auch aus, nur einen Bruch zu erweitern. Schau deshalb immer zuerst, ob einer der beiden Nenner ein Vielfaches des anderen Bruchs ist. Wenn das nämlich der Fall ist, reicht es nur den Bruch mit dem kleineren Nenner zu erweitern. So sparst du dir unnötige Rechenarbeit.
Du sollst die beiden Brücheundauf den gleichen Nenner bringen.
Da die 24 ein Vielfaches der 8 ist, musst du nur dieso erweitern, dass dort eine 24 im Nenner steht.
Jetzt hast du die beiden Brüche und
Gegeben sind zwei ungleichnamige Brücheund. Einen gemeinsamen Nenner für diese beiden Brüche findest du, indem du die Nenner der beiden Brüche miteinander multiplizierst, also erweiterst.
Einen gemeinsamen Nenner kannst du nicht nur durch Erweitern, sondern auch durch Kürzen finden. Einen Bruch kürzt man, indem Zähler und Nenner des Bruchs durch die gleiche Zahl dividiert werden.
Möchtest du einen Bruch um eine Zahl c kürzen, musst du a und b jeweils durch c teilen.
Die Zahlen a, b und c sind dabei sogenannte ganze Zahlen . Das sind negative und positive ganze Zahlen!
Auch wenn du zwei Brüche durch Kürzen gleichnamig machen möchtest, kann es sein, dass du oft nur einen der beiden Brüche kürzen musst, denn auch beim Kürzen kann es sein, dass der eine Nenner ein Vielfaches des anderen Nenners ist. Wenn das der Fall ist, musst du nur den Bruch, der die größere Zahl im Nenner hat, kürzen.
Die beiden Brücheundlassen sich durch Kürzen des ersten Bruchs auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
Jetzt hast du durch Kürzen die beiden Brücheunderhalten.
Du sollst durch Kürzen die beiden Brücheundauf einen gemeinsamen Nenner bringen.
Zunächst solltest du dir überlegen, welche Zahl sowohl ein Teiler von 42, als auch ein Teiler von 30 ist. Dafür kannst du dir zum Beispiel eine Zahlenreihe aufschreiben, bei der du alle Zahlen aufschreibst, durch die sich die beiden Nenner teilen lassen.
Suche in den Zahlenreihen alle Zahlen heraus, die in beiden Zahlenreihen vorkommen. Wähle jetzt eine dieser Zahlen aus, die in beiden Zahlenreihen vorkommt. Diese Zahl ist der Nenner, auf den du beide Brüche bringen kannst. In diesem Beispiel ist das die 6. Überlege dir jetzt, mit welcher Zahl du die beiden Nenner jeweils kürzen musst, damit sie den Nenner 6 erhalten.
Wie du im Einstiegsbeispiel gesehen hast, lassen sich zwei Brüche erst dann gut vergleichen, wenn beide Brüche den gleichen Nenner haben. Daher solltest du immer, bevor du zwei Brüche vergleichen möchtest, die Brüche gleichnamig machen.
Wenn du dann beide Brüche gleichnamig gemacht hast, musst du nur noch schauen, welcher Bruch den größeren oder kleineren Zähler hat. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer als der mit dem kleineren Zähler.
Die beiden Brücheundaus dem Einstiegsbeispiel lassen sich auf verschiedene Arten gleichnamig machen.
Nachdem wir die beiden Brüche durch Erweitern gleichnamig gemacht haben, können wir jetzt schauen, welcher der beiden Brüche größer ist. Dafür müssen wir nur noch schauen, welcher der beiden Brüche den größeren Zähler hat.
Wir sehen, dass der größere Bruch ist.
Schauen wir uns gleich noch ein weiteres Beispiel an.
Gegeben sind zwei ungleichnamige Brücheund. Einen gemeinsamen Nenner für diese beiden Brüche findest du, indem du die Nenner der beiden Brüche miteinander multiplizierst, also erweiterst.
Dadurch erhältst du die beiden Brüche und
Jetzt kannst du diese beiden Brüche ganz einfach vergleichen, indem du schaust welcher der beiden Brüche den größeren Zähler hat.
Daraus folgt:
Möchtest du noch mehr über das Vergleichen von Brüchen wissen? Dann solltest du unbedingt in den Artikel Vergleichen und Anordnen von Brüchen schauen!
Wie bereits erwähnt, ist es auch für die Addition und Subtraktion von Brüchen notwendig, dass die Brüche gleichnamig sind.
Wenn beide Brüche den gleichen Nenner haben, sind Addition und Subtraktion ganz einfach: du kannst einfach die Zähler der Brüche addieren beziehungsweise subtrahieren. Der Nenner bleibt unverändert.
Schauen wir uns das direkt an einem Beispiel an.
Addiere die beiden Brüche und .
1. Im ersten Schritt erweitern wir die beiden Brüche, um sie gleichnamig zu machen. Dabei eignet sich hierfür insbesondere das Erweitern, um die beiden Brüche auf denselben Nenner zu bringen.
2. Nachdem wir die beiden Brüche auf denselben Nenner gebracht haben, können wir sie jetzt ganz einfach addieren. Dafür müssen wir nur noch die beiden Zähler zusammenzählen, da sich der Nenner nicht mehr ändert.
Nachdem du jetzt alle Regeln kennst, um Brüche gleichnamig zu machen, kannst du dein neues Wissen direkt mit einigen Aufgaben testen.
Mache die folgenden Brüche gleichnamig.
Welcher der Brüche ist jeweils größer?
Berechne.
Berechne.
Gleichnamige Brüche sind Brüche, die denselben Nenner haben. Ungleichnamige Brüche sind demnach Brüche mit unterschiedlichen Nennern.
Brüche lassen sich gleichnamig machen, indem man sie auf das kleinste gemeinsame Vielfache erweitert.
Ungleichnamige Brüche lassen sich nicht addieren. Sie müssen daher zunächst gleichnamig gemacht werden und können erst dann addiert werden.
Um den gleichen Nenner zu finden, kannst du damit beginnen alle Vielfache der beiden unterschiedlichen Nenner aufzuschreiben. Die kleinste Zahl, die bei beiden Aufzählungen vorkommt, ist der kleinste gemeinsame Nenner. Anschließend lassen sich die Brüche auf diesen kleinsten Nenner erweitern.
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