Rechengesetze

Algebra

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Manchmal kann das Berechnen von langen Termen ziemlich mühselig und anstrengend sein. Zum Glück gibt es aber ein paar Rechenregeln und Rechengesetze, die dir Rechenvorteile bringen, oder dir zumindest einen Fahrplan erstellen, was du zuerst rechnen musst.

Die Rechengesetze und Rechenregeln der Mathematik schauen wir uns in diesem Artikel an!

Rechengesetze Mathe

Ein Gesetz ist bekanntermaßen eine feste Regel oder eine verbindliche Vorschrift. An ihm darf man nichts rütteln oder verschieben, sondern man muss sich daran halten.

Genauso, wie es in den Gesetzbüchern Gesetze gibt, gibt es auch in der Mathematik Regeln, die gelten und beim Rechnen eingehalten werden müssen. Diese sind die Rechengesetze oder Rechenregeln.

Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.

Wenn du ein Rechengesetz missachtest, bekommst du natürlich keine Strafe von der Polizei. Deine Mathelehrerin oder dein Mathelehrer werden dir aber mit Sicherheit Punkte in deiner Klausur abziehen. Denn: wenn du dich an die Rechengesetze nicht hältst, dann wird auch dein Ergebnis falsch. Die Rechengesetze gibt es also nicht, um verzweifelte SchülerInnen zu quälen, sondern sie ergeben mathematisch und logisch Sinn.

Rechengesetze Übersicht

Wenn man von den Rechengesetzen spricht, dann meint man meistens das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz. Sie sind die drei wichtigsten Rechengesetze.

Wenn man den Begriff aber etwas weiter fasst, gibt es noch einige weitere Rechenregeln. Diese sind etwa die Regel Punkt-vor-Strich, die Potenzgesetze und die Wurzelgesetze, oder Vorgehensweisen zum Auflösen von Klammern.

Auch für bestimmte Funktionsarten gibt es Rechenregeln, beispielsweise für die Exponentialfunktion oder die Logarithmusfunktion.

Möchtest du dir die Rechenregeln der Exponential- oder Logarithmusfunktion nochmal anschauen? Dann solltest du in die Kapitel "Exponentialfunktion" und "Logarithmusfunktion" schauen!

Schauen wir uns die Rechengesetze und Rechenregeln einmal im Detail an.

Möchtest du zu einem der Rechengesetze oder Rechenregeln noch mehr wissen? Kein Problem – zu jedem Gesetz und jeder Regel haben wir einen eigenen ausführlicheren Artikel für dich verfasst!

Rechengesetze Punkt vor Strich

Die Rechenregel "Punkt-vor-Strich" sagt aus, dass in einem Term zuerst multipliziert oder dividiert werden muss, bevor du addieren oder subtrahieren darfst.

Punkt-vor-Strich-Regel:

Punktrechnungen ( ⋅ und : ) müssen vor Strichrechnungen ( + und - ) berechnet werden.

Im Term $5 + 5 \cdot 3$ darf nicht einfach von links nach rechts gerechnet werden, sondern es muss zuerst das Produkt berechnet werden.

$\begin{matrix} 5 + 5 \cdot 3 \\ = & 5 + 15 \\ = & 20 \end{matrix}$

Rechengesetze Klammerregeln

Die Klammerregel besagt Folgendes:

Klammerregel:

Klammern in Termen müssen zuerst berechnet werden.

Die Klammerregel ist noch wichtiger als die Regel Punkt-vor-Strich. Wenn du einen Term berechnest, musst du also zuerst alle Klammern berechnen, und dann Punkt-vor-Strich beachten.

Zudem gibt es unterschiedliche Klammerarten: die runden Klammern ( ), die eckigen Klammern [ ] und die geschweiften Klammern { }. Sind die Klammern ineinander verschachtelt, dann sind die innersten Klammern rund und müssen zuerst aufgelöst werden. Um Rechnungen mit runden Klammern kommen eckige Klammern, und darum geschweifte Klammern. Es muss immer von innen nach außen gerechnet werden.

Aufgabe 1

Berechne den folgenden Term: $4 \cdot \{27 - [3 \cdot (5 + 3) + 2]\}$

Lösung

Nach den Klammerregeln müssen wir im ersten Schritt die innere runde Klammer berechnen.

$\begin{matrix} 4 \cdot \{27 - [3 \cdot (5 + 3) + 2]\} \\ = & 4 \cdot \{27 - [3 \cdot 8 + 2]\} \end{matrix}$

Um nun die eckige Klammer zu berechnen, müssen wir die Regel Punkt-vor-Strich beachten.

$\begin{matrix} 4 \cdot \{27 - [3 \cdot 8 + 2]\} \\ = & 4 \cdot \{27 - [24 + 2]\} \\ = & 4 \cdot \{27 - 26\} \end{matrix}$

Im letzten Schritt berechnen wir die Differenz in der geschweiften Klammer und kommen auf das Endergebnis.

$\begin{matrix} 4 \cdot \{27 - 26\} \\ = & 4 \cdot 1 \\ = & 4 \end{matrix}$

Rechengesetze Vorrangregeln

Punkt-vor-Strich und Klammer zuerst ist klar. Aber was machst du, wenn du sowohl eine Punktrechnung, als auch eine Klammer hast?

Dann kommen die Vorrangregeln zum Einsatz. Sie legen also die Reihenfolge der anderen Rechenregeln fest. In den Vorrangregeln werden neben der Punkt-vor-Strich-Regel und den Klammerregeln auch noch Potenzen berücksichtigt.

Potenzen sind besonders stark und müssen daher als allererstes ausgeführt werden. Sind alle Potenzen verrechnet, kannst du mit dem Klammern auflösen beginnen. Als Drittes werden die Punktrechnungen gemacht und ganz zum Schluss die Strichrechnungen.

Zusammengefasst gilt also:

Potenz vor Klammer vor Punkt-vor-Strich.

Wenn du dir die Vorrangregeln im Detail anschauen möchtest, dann haben wir auch zu diesem Thema einen eigenen Artikel für dich!

Rechengesetze Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz wird auch Verbindungsgesetz genannt. Denn es erlaubt dir genau das: es erlaubt dir, in einem Term bestimmte Rechnungen zuerst zu rechnen – also Termglieder zu verbinden – anstatt stupide von links nach rechts zu rechnen. Es erlaubt dir also, in bestimmten Situationen Klammern zu setzen.

Das Assoziativgesetz gibt es für die Addition und die Multiplikation. Bei der Subtraktion und Division gilt es nicht.

Das Assoziativgesetz der Addition

Das Assoziativgesetz der Addition erlaubt dir, in einer Summe mit mindestens drei Summanden beliebige Klammern zu setzen.

Ganz genau definiert lautet das Assoziativgesetz so:

Für alle reelle Zahlen a, b und c gilt:

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Es sagt also aus, dass es egal ist, welche Summanden du zuerst addierst. Das Ergebnis ist am Ende dasselbe.

Aufgabe 2

Rechne vorteilhaft: $85 + 33 + 67$

Lösung

Wenn du hier nach der Regel "von links nach rechts" rechnen würdest, müsstest du im ersten Schritt die Summe aus 85 und 33 bilden.

$\begin{matrix} = \\ = \end{matrix} \begin{matrix} 85 + 33 + 67 \\ 118 + 67 \\ 185 \end{matrix}$

Diese Rechnung ist nicht unbedingt schön, und um sie im Kopf zu rechnen, muss man ziemlich fit sein. Wir können uns das Ganze aber vereinfachen, wenn wir sehen, dass $33 + 67$ einfach zu addieren sind. Nach dem Assoziativgesetz ist es erlaubt, zuerst die beiden letzten Summanden zu addieren. Wir setzen also eine Klammer und berechnen.

$\begin{matrix} = \\ = \\ = \end{matrix} \begin{matrix} 85 + 33 + 67 \\ 85 + (33 + 67) \\ 85 + 100 \\ 185 \end{matrix}$

Das Assoziativgesetz der Multiplikation

Das Assoziativgesetz der Multiplikation erlaubt dir, in einem Produkt mit mindestens drei Faktoren beliebige Klammern zu setzen.

Ganz genau definiert lautet das Assoziativgesetz der Multiplikation so:

Für alle reelle Zahlen a, b und c gilt:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

Es sagt also aus, dass es egal ist, welche Faktoren du zuerst multiplizierst.

Aufgabe 3

Rechne vorteilhaft: $7 \cdot 4 \cdot 25$

Lösung

Wenn du hier nach der Regel "von links nach rechts" rechnen würdest, müsstest du im ersten Schritt das Produkt aus 7 und 4 bilden, und das Ergebnis dann mit 25 multiplizieren:

$\begin{matrix} 7 \cdot 4 \cdot 25 \\ = & 28 \cdot 25 \\ = & 700 \end{matrix}$

Die Rechnung kann aber vereinfacht werden, wenn wir zunächst das Produkt aus 4 und 25 berechnen. Wir nutzen also das Assoziativgesetz der Multiplikation und setzen eine Klammer:

$\begin{matrix} 7 \cdot 4 \cdot 25 \\ = & 7 \cdot (4 \cdot 25) \\ = & 7 \cdot 100 \\ = & 700 \end{matrix}$

Rechengesetze Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz wird auch Vertauschungsgesetz genannt. Es erlaubt dir, in einem Term bestimmte Zahlen zu vertauschen, um so einen Rechenvorteil zu bekommen.

Das Kommutativgesetz gilt genauso wie das Assoziativgesetz nur bei der Addition und der Multiplikation. Beim Subtrahieren und Dividieren darfst du die Zahlen nicht einfach so vertauschen, denn dadurch veränderst du das Ergebnis.

Das Kommutativgesetz der Addition

Das Kommutativgesetz der Addition erlaubt dir, in Summen beliebig viele Summanden zu vertauschen. Ganz genau ist es wie folgt definiert:

Für alle reelle Zahlen a und b gilt:

$a + b = b + a$

Das Kommutativgesetz ist vor allem dann hilfreich, wenn man nicht nur zwei, sondern mehrere Summanden hat. Manchmal ist es dann nämlich leichter, bestimmte Zahlen zu addieren, weil sie sich zum Beispiel auf einen ganzen Zehner oder Hunderter ergänzen.

Aufgabe 4

Rechne geschickt: $24 + 33 + 76$

Lösung

Wir nutzen das Kommutativgesetz der Addition und vertauschen die letzten beiden Summanden. Dadurch ergibt sich ein Rechenvorteil:

$\begin{matrix} 24 + 33 + 76 \\ = & 24 + 76 + 33 \\ = & 100 + 33 \\ = & 133 \end{matrix}$

Das Kommutativgesetz der Multiplikation

Genauso wie bei der Addition erlaubt dir das Kommutativgesetz der Multiplikation, in einem Produkt Faktoren zu vertauschen.

Für alle reellen Zahlen a und b gilt:

$a \cdot b = b \cdot a$

Im Gegensatz zur Addition ist es bei der Multiplikation manchmal schon hilfreich, das Kommutativgesetz in Produkten mit zwei Faktoren anzuwenden. Das hängt aber von deinen persönlichen Rechenvorlieben ab.

Manche Menschen rechnen lieber $12 \cdot 4$ , andere $4 \cdot 12$ . Dank dem Kommutativgesetz der Multiplikation sind beide Möglichkeiten richtig.

Rechengesetze Distributivgesetz

Das Distributivgesetz wird auch Verteilungsgesetz genannt. Es verbindet eine Strich-Rechenart mit einer Punkt-Rechenart, also die Addition oder die Subtraktion mit der Multiplikation oder der Division. Deshalb wird auch unterschieden in das Distributivgesetz der Multiplikation und das Distributivgesetz der Division.

Das Distributivgesetz der Multiplikation

Mithilfe des Distributivgesetz der Multiplikation verschwinden Klammern. Es erlaubt dir, Terme ausmultiplizieren zu können.

Für alle reellen Zahlen a, b und c gilt:

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$
$(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

Das Distributivgesetz gilt auch, wenn der Faktor außerhalb der Klammer VOR der Klammer steht:

$c \cdot (a + b) = c \cdot a + c \cdot b$ und $c \cdot (a - b) = c \cdot a - c \cdot b$

Die Multiplikation ist also sowohl linksdistributiv als auch rechtsdistributiv.

Jede Zahl in der Klammer wird also mit der Zahl c multipliziert. Deshalb sagt man, dass c auf die Zahlen a und b verteilt wird. Um beim Ausmultiplizieren nicht durcheinanderzukommen, hilft es, Bögen zu zeichnen:

Rechengesetze Distributivgesetz Multiplikation StudySmarter Abbildung 1: Distributivgesetz der Multiplikation

Aufgabe 5

Berechne mithilfe des Distributivgesetzes: $4 \cdot (20 - 5)$

Lösung

$\begin{matrix} 4 \cdot (20 - 5) \\ = & 4 \cdot 20 - 4 \cdot 5 \\ = & 80 - 20 \\ = & 60 \end{matrix}$

Manchmal ist es auch sinnvoll, das Distributivgesetz rückwärts zu verwenden. Dieses Vorgehen nennt man dann Ausklammern.

Rechengesetze Distributivgesetz rückwärts StudySmarter Abbildung 2: Distributivgesetz rückwärts

Manchmal bringt dir auch das Ausklammern einen Rechenvorteil:

Aufgabe 6

Rechne geschickt: $14 \cdot 13 - 4 \cdot 13$

Lösung

Wenn wir den Faktor 13 ausklammern, vereinfachen wir die Rechnung deutlich:

$\begin{matrix} 14 \cdot 13 - 4 \cdot 13 \\ = & (14 - 4) \cdot 13 \\ = & 10 \cdot 13 \\ = & 130 \end{matrix}$

So sparen wir uns, das Produkt aus 14 und 13 bilden zu müssen.

Wenn du das Ausklammern und Ausmultiplizieren weiter üben möchtest, empfehlen wir dir den Artikel "Ausklammern und Ausmultiplizieren" zu lesen.

Das Distributivgesetz der Division

Das Distributivgesetz der Division ist dem Distributivgesetz der Addition sehr ähnlich.

Für alle reellen Zahlen a, b und c gilt:

$(a + b) : c = a : c + b : c$
$(a - b) : c = a : c - b : c$

Das Distributivgesetz der Division gilt nicht, wenn c VOR der Klammer steht. Das zeigt dir das folgende Gegenbeispiel:

$2 : (4 - 2) = 2 : 2 = 1$ ist das richtige Ergebnis, wenn du ganz normal erst die Klammer berechnest.

Würdest du das Distributivgesetz anwenden, kämst du auf das folgende Ergebnis: $2 : (4 - 2) = 2 : 4 - 2 : 2 = \frac{1}{2} - 2 = - \frac{1}{2} \neq 1$

Die Division ist daher nur rechtsdistributiv, nicht aber linksdistributiv.

Rechengesetze Potenzgesetze

Die Potenzgesetze sind Regeln, die dir vorgeben, wie du mit Potenzen umgehen musst. Insgesamt gibt es drei Rechenregeln für Potenzen:

Für reelle Zahlen a, b, s und t gilt:

$a^{s} \cdot a^{t} = a^{s + t}$
$a^{s} \cdot b^{s} = {(a \cdot b)}^{s}$
${(a^{s})}^{t} = a^{s \cdot t}$

In Worten ausgedrückt bedeuten diese Regeln folgendes:

Sind zwei Potenzen mit gleicher Basis a gegeben, so werden sie miteinander multipliziert, indem die Exponenten addiert werden. Die Basis bleibt gleich.
Sind zwei Potenzen mit gleichem Exponenten s, aber unterschiedlichen Basen gegeben, so werden sie miteinander multipliziert, indem die Basen multipliziert werden. Der Exponent bleibt gleich.
Will man eine Potenz potenzieren, so werden die Exponenten miteinander multipliziert. Die Basis bleibt gleich.

Schau dir doch den Artikel Potenzen vereinfachen an, wenn du dich vertieft mit den Potenzgesetzen beschäftigen möchtest!

Rechengesetze Wurzelgesetze

Für reelle Zahlen a und b, sowie natürliche Zahlen n, m und s gilt:

$\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$
$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
${(\sqrt[n]{a})}^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$
$\sqrt[m \cdot s]{a^{n \cdot s}} = \sqrt[m]{a^{n}}$

Die Wurzelgesetze sehen im ersten Moment vielleicht sehr gruselig und kompliziert aus, sie sind es aber gar nicht. Wenn du sie vertiefen möchtest, solltest du dir den Artikel zu den Wurzelgesetzen anschauen.

Die Wurzelgesetze hängen stark mit den Potenzgesetzen zusammen, denn Wurzeln sind nichts anderes als rationale Potenzen! Deshalb können die Wurzelgesetze auch mithilfe von Potenzen bewiesen werden.

Rechengesetze - Das Wichtigste

Ein Rechengesetz ist eine verbindliche Rechenvorschrift.
Die drei Rechengesetze sind das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz.
Weitere Rechenregeln sind die Punkt-vor-Strich-Regel, die Klammerregel und die Vorrangregeln sowie Potenzgesetze und Wurzelgesetze.
Durch die Anwendung von Rechengesetzen und Rechenregeln kannst du Rechenvorteile erhalten.
Die Assoziativgesetze lauten: $a + (b + c) = (a + b) + c$ und $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$
Die Kommutativgesetze lauten: $a + b = b + a$ und $a \cdot b = b \cdot a$
Die Distributivgesetze lauten: $(a \pm b) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c$ und $(a \pm b) : c = a : c \pm b : c$
Punkt-vor-Strich-Regel: Punktrechnungen ( ⋅ und : ) müssen vor Strichrechnungen ( + und - ) gerechnet werden.
Klammerregel: Klammern müssen zuerst gerechnet werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Rechengesetze

Die vier Grundrechenarten sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division.

Die drei bekanntesten Rechengesetze sind das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz. Außerdem gibt es noch ein paar Rechenregeln, wie Punkt vor Strich, Potenzgesetze und Wurzelgesetze, die beim Rechnen beachtet werden müssen.

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Was kommt zuerst - Klammer oder Potenz?

Klammern

Was rechnest du zuerst aus - Potenzen oder Punktoperatoren?

Potenzen

Wie lautet die Lösung folgender Gleichung?

(2 + 6 - 4)² = ?

1. Klammer auflösen:

(4)² = ?

2. Potenz ausrechnen:

4 * 4 = 16

Lösung: 16

Wie lautet die Lösung folgender Gleichung?

(3+5) * 2 - 6 = ?

1. Klammer auflösen:

(8) * 2 - 6 = ?

2. Punktoperatoren:

16 - 6 = ?

3. Strichoperatoren:

Lösung = 10

Wie lautet die Lösung folgender Gleichung?

(3 * 3 - 5)² - 6 + 2 * 4 = ?

1. Klammer:

Da in der Klammer sowohl Punkt-, also auch Strichoperatoren vorkommen, müssen zuerst die Punktoperatoren ausgerechnet werden.

1.1 Punktoperator in Klammer:

(9 - 5)² - 6 + 2 * 4 = ?

1.2 Strichoperator in Klammer:

(4)² - 6 + 2 * 4 = ?

2 Potenz:

16 - 6 + 2 * 4 = ?

3. Punktoperatoren:

16 - 6 + 8 = ?

4. Strichoperatoren:

Lösung = 18

(4)² -

Was kommt zuerst - Punkt oder Strich?

Die Regeln lautet Punkt vor Strich. Es werden also Punktoperatoren bzw. Multiplikationen vor Strichoperatoren ausgeführt.

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