Wenn du deinem Freund 10 Murmeln schenken möchtest, aber nur 5 Murmeln hast, dann funktioniert das nicht. Du kannst ihm maximal 5 Murmeln schenken, weil du dann keine mehr übrig hast.
Wenn du aber auf deinem Konto 100€ hast und an deine Versicherung 120€ überweisen musst, dann funktioniert das schon. Hier ist keine Grenze bei 0 € gesetzt, sondern du hast dann 20€ Schulden.
Um solche Sachverhalte darzustellen, benötigen wir negative Zahlen. Du kannst jetzt lernen, was negative Zahlen genau sind, woran du sie erkennen kannst, und wofür du sie brauchst.
Negative Zahlen Definition
Negative Zahlen sind im Prinzip das Gegenteil von positiven Zahlen. Positive Zahlen kennst du beispielsweise von den natürlichen Zahlen.
Natürliche Zahlen kann man auch auf dem Zahlenstrahl darstellen. Um nun negative Zahlen ebenfalls dort abzubilden, wird der Zahlenstrahl nach links zu einer Zahlengeraden erweitert.
Abbildung 1: Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen
Abbildung 2: Zahlengerade mit negativen Zahlen
Erinnerung: Eine Gerade hat keinen Anfangs- und Endpunkt, geht also in beide Richtungen unendlich weiter.
Negative Zahlen liegen also auf der Zahlengeraden links von der 0, während die Zahlen rechts von der 0 positiv sind.
Genauso wie bei der Menge der natürlichen Zahlen oder der Menge der ganzen Zahlen gilt:
Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie.Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.
Daraus folgt eine wichtige Erkenntnis: negative Zahlen sind genau andersherum angeordnet wie positive Zahlen!
Während bei den positiven Zahlen gilt: 80 > 3 gilt für die negativen Zahlen: -80 < -3.
Negative Zahlen Vorzeichen
Du erkennst negative Zahlen an ihrem Vorzeichen. Sie haben stets ein Minus vor sich stehen. Positive Zahlen haben dagegen ein Plus als Vorzeichen. Es wird aber meistens nicht notiert.
Die Zahlen -3, -6 und -134 sind negative Zahlen, da sie ein negatives Vorzeichen haben.
Die Zahlen +4, +75 und +876 sind positive Zahlen, da sie ein positives Vorzeichen haben.
Die Zahlen 8, 24 und 25809 sind ebenfalls positive Zahlen. Ihr Vorzeichen wurde einfach nicht notiert.
Wichtig ist, dass du nur bei positiven Zahlen das Vorzeichen weglassen darfst. Negative Zahlen müssen IMMER mit ihrem Vorzeichen notiert werden.
Vielleicht fragst du dich gerade, was mit der 0 ist. Ist sie positiv oder negativ? Welches Vorzeichen hat sie?
Die 0 ist die einzige Zahl, die weder positiv, noch negativ ist. Sie gehört also weder zur Menge der positiven Zahlen, noch zur Menge der negativen Zahlen. Zudem hat sie kein Vorzeichen.
Negative Zahlen Zweck
Negative Zahlen sind vielleicht ein bisschen schwer zu verstehen, denn man kann sie nicht fassen. Negative Zahlen können in der Natur oder als Gegenstände nicht dargestellt werden.
Im Alltag treffen wir beispielsweise bei der Temperatur auf negative Zahlen. Dies liegt aber an unserer Messeinheit. Die Amerikaner, die mit der Einheit Fahrenheit arbeiten, haben länger positive Temperaturanzeigen als wir. Und in der Einheit Kelvin sind auch noch -200° Celsius positiv.
Auch im Umgang mit Geld schummeln wir ein wenig. Wenn jemand sein Konto überzogen hat, also mehr abgebucht wurde, als vorher drauf war, dann sprechen wir eher von 20€ Schulden als von -20€ Guthaben.
Negative Zahlen in den Zahlenmengen
In den meisten der bekannten Zahlenmengen sind negative Zahlen enthalten. Zwei Ausnahmen sind die Menge 
der natürlichen Zahlen, die nur positive Zahlen enthält, sowie die Menge 
der natürlichen Zahlen mit Null, die neben positiven Zahlen noch die Zahl 0 enthält.
In den anderen bekannten Zahlenmengen, sprich der Menge 
der ganzen Zahlen, der Menge 
der rationalen Zahlen und der Menge 
der reellen Zahlen sind negative Zahlen enthalten.
- Negative ganze Zahlen: -4 oder -57
- Negative rationale Zahlen:
oder -0,135 - Negative reelle Zahlen:
oder 
Definition der Menge der negativen Zahlen
Auch wenn verschiedene negative Zahlen verschiedenen Zahlenmengen zugeordnet werden können, kann man die Menge der negativen Zahlen mithilfe der Mengenschreibweise eindeutig definieren:
Die Menge der negativen Zahlen kann definiert werden durch die Menge
Die Menge der negativen Zahlen entspricht also der Menge der negativen reellen Zahlen!
Negative Zahlen Betrag und Gegenzahl
Im Zusammenhang mit den negativen Zahlen sind auch die Begriffe Betrag und Gegenzahl von Bedeutung.
Zu jeder Zahl 
gibt es eine Gegenzahl 
.
Die Gegenzahl zu einer Zahl ist also die Zahl mit dem entgegengesetzten Vorzeichen.
Wichtig: Ist a eine positive Zahl, so ist -a eine negative Zahl. War aber a schon eine negative Zahl, so ist -a eine positive Zahl!
Zum besseren Verständnis zeigen wir dir dazu ein paar Beispiele.
- Die Gegenzahl zur Zahl 66 ist -66.
- Die Gegenzahl zur Zahl
ist 
. - Die Gegenzahl zur Zahl -5,5 ist 5,5.
Zahl und Gegenzahl haben nun eine Eigenschaft, die gleich ist: sie haben beide denselben Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen.
Erinnerung: Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur 0.
Negative Zahlen berechnen
Natürlich kann man auch mit negativen Zahlen rechnen. Manchmal hilft es dabei, die Zahlen auf einer Zahlengeraden zu betrachten.
Negative Zahlen addieren
Wenn du auf deinem Konto ein negatives Guthaben – also Schulden – hinzufügst, dann wird dein Guthaben kleiner.
Auf deinem Konto sind 100€. Nun fügst du 25€ negatives Guthaben hinzu, gibst also Geld aus.
Du rechnest also 100€ + (–25€).
Durch logisches Überlegen wirst du sicherlich darauf kommen, dass du nun nur noch 75€ Guthaben hast, dein Guthaben also kleiner wird.
Damit ergibt sich für die Rechnung die Lösung: 100€ + (–25€) = 75€.
Wird also eine negative Zahl zu einer anderen Zahl addiert, so ist das dasselbe, wie wenn du die positive Gegenzahl subtrahierst.
Allgemein gilt also:
Negative Zahlen subtrahieren
Die Subtraktion mit negativen Zahlen ist ein bisschen schlechter vorstellbar als die Addition. Ein gutes Beispiel ist wieder das Konto:
Auf deinem Konto sind 100€. Nun nimmst du 15€ Schulden weg.
Die Rechnung lautet also 100€ – (–15€).
Schulden wegnehmen bedeutet aber, dass das Guthaben auf deinem Konto mehr wird.
Die Rechnung ergibt also: 100€ – (–15€) = 115€.
Wird eine negative Zahl von einer anderen Zahl subtrahiert, so ist das dasselbe, wie wenn du die positive Gegenzahl addierst.
Allgemein gilt:
Negative Zahlen multiplizieren
Multiplizieren mit negativen Zahlen ist eigentlich ganz einfach. Die Rechnung an sich funktioniert genauso, wie wenn du nur mit positiven Zahlen multiplizieren würdest. Der einzige Unterschied ist das Vorzeichen des Ergebnisses. Dieses kann entweder positiv oder negativ sein.
Damit du weißt, welches Vorzeichen das Ergebnis hat, gibt es eine einfache Regel:
Werden eine positive und eine negative Zahl multipliziert, so ist das Ergebnis negativ.
Haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv.
Die Regel wird nun in Schritten überprüft.
Zwei positive Zahlen mulitplizieren
Dass das Produkt aus zwei positiven Zahlen wieder positiv ist, kennst du schon aus der Grundschule. Deshalb wird dieser Teil nicht tiefer behandelt.
Eine positive und einer negative Zahl multiplizieren
Dass das Produkt aus zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen negativ ist, kann man mithilfe einer sogenannten Permanenzreihe bewiesen werden.
Während der zweite Faktor in der Multiplikation immer um eins kleiner wird, wird das Ergebnis immer um 3 kleiner. Bei der Rechnung 
macht es also nur Sinn, dass das Ergebnis –3 ist, also negativ.
Zwei negative Zahlen mulitplizieren
Die Behauptung ist nun, dass das Produkt aus zwei negativen Zahlen wieder positiv ist. Auch das kann mithilfe einer Permanenzreihe gezeigt werden:
Aus der ersten Permanenzreihe ist bekannt, dass 
gilt. Dies verwenden wir nun im ersten Schritt dieser Permanenzreihe.
Der zweite Faktor wird wieder um eins kleiner, während das Ergebnis der Multiplikation immer um zwei größer wird.
Es gilt zusammenfassend:
Werden eine positive und eine negative Zahl multipliziert, so ist das Ergebnis negativ.
Haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv.
Oder in Zeichenform:
Negative Zahlen dividieren
Für die Division gelten dieselben Regeln wie für die Multiplikation, also:
Werden eine positive und eine negative Zahl dividiert, so ist das Ergebnis negativ.
Haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv.
Oder in Zeichenform:
Die Regeln für die Division folgen direkt aus den Regeln der Multiplikation, denn die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation:
Negative Zahlen Übungen
Um dein Verständnis zu den negativen Zahlen zu vertiefen, kannst du die folgenden Übungsaufgaben machen.
Aufgabe 1
Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach.
-3; -8; -3,5; -7,5; -10; -8,5; -8,4; -7,2; -2
Lösung
Es gilt:
-10 < -8,5 < -8,4 < -8 < -7,5 < -7,2 < -3,5 < -3 < -2
Negative Zahlen - Das Wichtigste
- Die Menge der negativen Zahlen kann definiert werden durch
- Negative Zahlen haben ein Minus als Vorzeichen.
- Zu jeder positiven Zahl gibt es eine negative Gegenzahl.
- Zahl und Gegenzahl haben denselben Betrag.
- Die Addition mit einer negativen Zahl ist gleich der Subtraktion mit der Gegenzahl.
- Die Subtraktion mit einer negativen Zahl ist gleich der Addition mit der Gegenzahl.
- Für die Multiplikation und Division gilt:
plus mal/geteilt durch plus ist plus
- minus mal/geteilt durch plus ist minus
- plus mal/geteilt durch minus ist minus
- minus mal/geteilt durch minus ist plus
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also muss umgekehrt gelten: 
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also muss umgekehrt auch gelten:
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