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Negative Zahlen

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Mathe

Wenn du deinem Freund 10 Murmeln schenken möchtest, aber nur 5 Murmeln hast, dann funktioniert das nicht. Du kannst ihm maximal 5 Murmeln schenken, weil du dann keine mehr übrig hast.


Wenn du aber auf deinem Konto 100€ hast und an deine Versicherung 120€ überweisen musst, dann funktioniert das schon. Hier ist keine Grenze bei 0 € gesetzt, sondern du hast dann 20€ Schulden.


Um solche Sachverhalte darzustellen, benötigen wir negative Zahlen. Du kannst jetzt lernen, was negative Zahlen genau sind, woran du sie erkennen kannst, und wofür du sie brauchst.



Was sind negative Zahlen?


Negative Zahlen sind im Prinzip das Gegenteil von positiven Zahlen. Positive Zahlen kennst du beispielsweise von den natürlichen Zahlen. 


Natürliche Zahlen kann man auch auf dem Zahlenstrahl darstellen. Um nun negative Zahlen ebenfalls dort abzubilden, wird der Zahlenstrahl nach links zu einer Zahlengeraden erweitert.


Negative Zahlen Zahlenstrahl StudySmarterAbbildung 1: Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen



Negative Zahlen Zahlengerade StudySmarterAbbildung 2: Zahlengerade mit negativen Zahlen 


Erinnerung: Eine Gerade hat keinen Anfangs- und Endpunkt, geht also in beide Richtungen unendlich weiter.


Negative Zahlen liegen also auf der Zahlengeraden links von der 0, während die Zahlen rechts von der 0 positiv sind.


Genauso wie bei der Menge der natürlichen Zahlen oder der Menge der ganzen Zahlen gilt:


Je weiter links eine Zahl liegt, desto kleiner ist sie.
Je weiter rechts eine Zahl liegt, desto größer ist sie.

Daraus folgt eine wichtige Erkenntnis: negative Zahlen sind genau andersherum angeordnet wie positive Zahlen!

Während bei den positiven Zahlen gilt: 80 > 3 gilt für die negativen Zahlen: -80 < -3.



Das Vorzeichen


Du erkennst negative Zahlen an ihrem Vorzeichen. Sie haben stets ein Minus vor sich stehen. Positive Zahlen haben dagegen ein Plus als Vorzeichen. Es wird aber meistens nicht notiert.


Die Zahlen -3, -6 und -134 sind negative Zahlen, da sie ein negatives Vorzeichen haben.

Die Zahlen +4, +75 und +876 sind positive Zahlen, da sie ein positives Vorzeichen haben.

Die Zahlen 8, 24 und 25809 sind ebenfalls positive Zahlen. Ihr Vorzeichen wurde einfach nicht notiert.


Wichtig ist, dass du nur bei positiven Zahlen das Vorzeichen weglassen darfst. Negative Zahlen müssen IMMER mit ihrem Vorzeichen notiert werden.


Vielleicht fragst du dich gerade, was mit der 0 ist. Ist sie positiv oder negativ? Welches Vorzeichen hat sie?


Die 0 ist die einzige Zahl, die weder positiv, noch negativ ist. Sie gehört also weder zur Menge der positiven Zahlen, noch zur Menge der negativen Zahlen. Zudem hat sie kein Vorzeichen. 



Wozu braucht man die negativen Zahlen?


Negative Zahlen sind vielleicht ein bisschen schwer zu verstehen, denn man kann sie nicht fassen. Negative Zahlen können in der Natur oder als Gegenstände nicht dargestellt werden. 


Im Alltag treffen wir beispielsweise bei der Temperatur auf negative Zahlen. Dies liegt aber an unserer Messeinheit. Die Amerikaner, die mit der Einheit Fahrenheit arbeiten, haben länger positive Temperaturanzeigen als wir. Und in der Einheit Kelvin sind auch noch -200° Celsius positiv.


Auch im Umgang mit Geld schummeln wir ein wenig. Wenn jemand sein Konto überzogen hat, also mehr abgebucht wurde, als vorher drauf war, dann sprechen wir eher von 20€ Schulden als von -20€ Guthaben. 



Negative Zahlen in den Zahlenmengen


In den meisten der bekannten Zahlenmengen sind negative Zahlen enthalten. Zwei Ausnahmen sind die Menge der natürlichen Zahlen, die nur positive Zahlen enthält, sowie die Menge  der natürlichen Zahlen mit Null, die neben positiven Zahlen noch die Zahl 0 enthält.


In den anderen bekannten Zahlenmengen, sprich der Menge  der ganzen Zahlen, der Menge  der rationalen Zahlen und der Menge  der reellen Zahlen sind negative Zahlen enthalten.


  • Negative ganze Zahlen: -4 oder -57
  • Negative rationale Zahlen:  oder -0,135
  • Negative reelle Zahlen:  oder  



Definition der Menge der negativen Zahlen 


Auch wenn verschiedene negative Zahlen verschiedenen Zahlenmengen zugeordnet werden können, kann man die Menge der negativen Zahlen mithilfe der Mengenschreibweise eindeutig definieren:


Die Menge der negativen Zahlen kann definiert werden durch die Menge


Negative Zahlen Definition negative Zahlen StudySmarter 


Die Menge der negativen Zahlen entspricht also der Menge der negativen reellen Zahlen!



Betrag und Gegenzahl


Im Zusammenhang mit den negativen Zahlen sind auch die Begriffe Betrag und Gegenzahl von Bedeutung.


Zu jeder Zahl Negative Zahlen Gegenzahl StudySmarter gibt es eine Gegenzahl Negative Zahlen Gegenzahl StudySmarter.


Die Gegenzahl zu einer Zahl ist also die Zahl mit dem entgegengesetzten Vorzeichen. 


Wichtig: Ist a eine positive Zahl, so ist -a eine negative Zahl. War aber a schon eine negative Zahl, so ist -a eine positive Zahl!


Zum besseren Verständnis zeigen wir dir dazu ein paar Beispiele.


  • Die Gegenzahl zur Zahl 66 ist -66.
  • Die Gegenzahl zur Zahl   ist  .
  • Die Gegenzahl zur Zahl -5,5 ist 5,5.


Zahl und Gegenzahl haben nun eine Eigenschaft, die gleich ist: sie haben beide denselben Betrag, aber unterschiedliche Vorzeichen.


Erinnerung: Der Betrag einer Zahl ist ihr Abstand zur 0.



Rechnen mit negativen Zahlen


Natürlich kann man auch mit negativen Zahlen rechnen. Manchmal hilft es dabei, die Zahlen auf einer Zahlengeraden zu betrachten.


Addition mit negativen Zahlen


Wenn du auf deinem Konto ein negatives Guthaben – also Schulden – hinzufügst, dann wird dein Guthaben kleiner.


Auf deinem Konto sind 100€. Nun fügst du 25€ negatives Guthaben hinzu, gibst also Geld aus. 


Du rechnest also 100€ + (–25€).


Durch logisches Überlegen wirst du sicherlich darauf kommen, dass du nun nur noch 75€ Guthaben hast, dein Guthaben also kleiner wird. 


Damit ergibt sich für die Rechnung die Lösung: 100€ + (–25€) = 75€.


Wird also eine negative Zahl zu einer anderen Zahl addiert, so ist das dasselbe, wie wenn du die positive Gegenzahl subtrahierst. 


Allgemein gilt also:


Negative Zahlen Addition negativer Zahlen StudySmarter 


Subtraktion mit negativen Zahlen


Die Subtraktion mit negativen Zahlen ist ein bisschen schlechter vorstellbar als die Addition. Ein gutes Beispiel ist wieder das Konto:


Auf deinem Konto sind 100€. Nun nimmst du 15€ Schulden weg. 


Die Rechnung lautet also 100€ – (–15€).


Schulden wegnehmen bedeutet aber, dass das Guthaben auf deinem Konto mehr wird. 


Die Rechnung ergibt also: 100€ – (–15€) = 115€.


Wird eine negative Zahl von einer anderen Zahl subtrahiert, so ist das dasselbe, wie wenn du die positive Gegenzahl addierst.


Allgemein gilt:


Negative Zahlen Subtraktion negativer Zahlen StudySmarter 


Multiplikation mit negativen Zahlen


Multiplizieren mit negativen Zahlen ist eigentlich ganz einfach. Die Rechnung an sich funktioniert genauso, wie wenn du nur mit positiven Zahlen multiplizieren würdest. Der einzige Unterschied ist das Vorzeichen des Ergebnisses. Dieses kann entweder positiv oder negativ sein. 


Damit du weißt, welches Vorzeichen das Ergebnis hat, gibt es eine einfache Regel:


Werden eine positive und eine negative Zahl multipliziert, so ist das Ergebnis negativ

Haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv.


Die Regel wird nun in Schritten überprüft.


Multiplikation zweier positiver Zahlen


Dass das Produkt aus zwei positiven Zahlen wieder positiv ist, kennst du schon aus der Grundschule. Deshalb wird dieser Teil nicht tiefer behandelt.


Multiplikation einer positiven und einer negativen Zahl


Dass das Produkt aus zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen negativ ist, kann man mithilfe einer sogenannten Permanenzreihe bewiesen werden.




Während der zweite Faktor in der Multiplikation immer um eins kleiner wird, wird das Ergebnis immer um 3 kleiner. Bei der Rechnung  macht es also nur Sinn, dass das Ergebnis –3 ist, also negativ.


Multiplikation zweier negativer Zahlen


Die Behauptung ist nun, dass das Produkt aus zwei negativen Zahlen wieder positiv ist. Auch das kann mithilfe einer Permanenzreihe gezeigt werden:


Aus der ersten Permanenzreihe ist bekannt, dass  gilt. Dies verwenden wir nun im ersten Schritt dieser Permanenzreihe.




Der zweite Faktor wird wieder um eins kleiner, während das Ergebnis der Multiplikation immer um zwei größer wird. 


Es gilt zusammenfassend:


Werden eine positive und eine negative Zahl multipliziert, so ist das Ergebnis negativ. 

Haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv.


 Oder in Zeichenform:

Negative Zahlen Multiplikation negativer Zahlen StudySmarter 


Division mit negativen Zahlen


Für die Division gelten dieselben Regeln wie für die Multiplikation, also:


Werden eine positive und eine negative Zahl dividiert, so ist das Ergebnis negativ. 

Haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv.


Oder in Zeichenform:

Negative Zahlen Division negativer Zahlen StudySmarter  


Die Regeln für die Division folgen direkt aus den Regeln der Multiplikation, denn die Division ist die Umkehroperation der Multiplikation:


Es gilt: also muss umgekehrt gelten: .


Es gilt ebenso:  also muss umgekehrt auch gelten: .




Übungsaufgaben zu den negativen Zahlen


Um dein Verständnis zu den negativen Zahlen zu vertiefen, kannst du die folgenden Übungsaufgaben machen. 


Aufgabe 1


Ordne die folgenden Zahlen der Größe nach.


-3; -8; -3,5; -7,5; -10; -8,5; -8,4; -7,2; -2


Lösung


Es gilt:


-10 < -8,5 < -8,4 < -8 < -7,5 < -7,2 < -3,5 < -3 < -2



Aufgabe 2


Berechne.

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  


Lösung


  1. 4
  2. 59
  3. 72
  4. –6
  5. 9
  6. 11
  7. –180


Negative Zahlen - Das Wichtigste auf einen Blick


  • Die Menge der negativen Zahlen kann definiert werden durch 
  •  Negative Zahlen haben ein Minus als Vorzeichen.
  • Zu jeder positiven Zahl gibt es eine negative Gegenzahl.
  • Zahl und Gegenzahl haben denselben Betrag.
  • Die Addition mit einer negativen Zahl ist gleich der Subtraktion mit der Gegenzahl.
  • Die Subtraktion mit einer negativen Zahl ist gleich der Addition mit der Gegenzahl.
  • Für die Multiplikation und Division gilt:
      • plus mal/geteilt durch plus ist plus

      • minus mal/geteilt durch plus ist minus
      • plus mal/geteilt durch minus ist minus
      • minus mal/geteilt durch minus ist plus


Häufig gestellte Fragen zum Thema Negative Zahlen

Addition: a+(–b)=a–b

Subtraktion: a–(–b)=a+b

Multiplikation: "minus mal minus ergibt plus"

Division: "minus geteilt durch minus ergibt plus"

Wenn negative Zahlen subtrahiert werden, gilt: (–a)–(–b)=-a+b oder a–(–b)=a+b

Wenn du negative Zahlen addieren möchtest, gilt die folgende Regel: (–a)+(–b)=–a–b oder a+(–b)=a–b

Nein, negative Zahlen sind keine natürliche Zahlen. Natürliche Zahlen sind immer positiv.

Finales Negative Zahlen Quiz

Frage

Je weiter links eine Zahl auf der Zahlengerade liegt, desto...

Antwort anzeigen

Antwort

kleiner ist sie.

Frage anzeigen

Frage

Welches Vorzeichen hat die Zahl Null?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Null hat kein Vorzeichen. Sie ist weder positiv noch negativ.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Gegenzahl zur Zahl 43?

Antwort anzeigen

Antwort

-43

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Regel, die für die Addition mit einer negativen Zahl gilt.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gilt: a + (-b) = a - b

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Regel, die für die Subtraktion mit einer negativen Zahl gilt.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gilt: a - (-b) = a + b

Frage anzeigen

Frage

Das Produkt aus zwei negativen Zahlen ist stets...

Antwort anzeigen

Antwort

positiv

Frage anzeigen

Frage

Der Quotient aus einer positiven und einer negativen Zahl ist stets...

Antwort anzeigen

Antwort

negativ

Frage anzeigen

Frage

Ordnet man negative Zahlen auf einem Zahlenstrahl oder auf einer Zahlengerade an? Begründe deine Antwort.

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn man nur die negativen Zahlen anordnet, dann reicht ein Zahlenstrahl. Dieser geht nach links unendlich lang weiter, nach rechts endet er jedoch mit der Null.

Eine Zahlengerade braucht es nicht, denn es gibt keine negative Zahl, die größer als Null ist. Daher kann der Zahlenstahl bei Null aufhören.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere, woran du eine negative Zahl erkennst.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine negative Zahl erkennt man an ihrem Vorzeichen. Alle negative Zahlen haben ein Minus als Vorzeichen.

Frage anzeigen
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