Äquivalenzumformung Ungleichung

Algebra

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Du veranstaltest eine Party zusammen mit Deinem Freund/Deiner Freundin. Ihr trefft Euch entweder im Garten Deines Freundes oder doch an der Kartbahn. Ihr wisst bereits, dass nicht mehr als 30 Personen eingeladen werden sollen, damit ihr noch gut vorplanen könnt. Du selbst möchtest gerne sieben Schulfreunde einladen und noch insgesamt 9 Personen aus Deinen 3 kleineren Freundeskreisen. Wie viele Freunde kann Dein Freund jetzt noch einladen, damit ihr die insgesamt 30 Leute nicht überschreitet?

Äquivalenzumformung Ungleichung Ungleichung Party StudySmarter

Schon befindest Du Dich mitten in dem Thema der Ungleichungen. Du kannst diese Informationen über die Party nämlich als Ungleichung schreiben:

$7 + 9 + x \leq 30$

Dazu wirst Du später mehr erfahren. Für Ungleichungen in der Mathematik gelten einige Besonderheiten, welche bei Gleichungen nicht gelten. In diesem Artikel lernst Du, mit Äquivalenzumformungen in Ungleichungen umzugehen. Viel Spaß!

Äquivalenzumformung Ungleichung – Wiederholung

Um die Äquivalenzumformungen bei Ungleichungen zu bestimmen, kannst Du in diesem Abschnitt Dein Wissen über diese Themen nochmals auffrischen.

Ungleichungen

Wie in der Einleitung beschrieben, kannst Du dieses Beispiel als Ungleichung schreiben. Was eine Ungleichung jedoch ist, erfährst Du hier.

Ungleichungen sind zwei Terme, die mit einem Ungleichheitszeichen $<, >, \leq, \geq$ verbunden sind.

Bei den Zeichen $<, >$ handelt es sich um den Vergleich, dass ein Term echt kleiner oder größer als der andere ist. Wiederum die Zeichen $\leq, \geq$ stehen für Terme, die größer bzw. kleiner oder gleich dem anderen sind. Ungleichungen können in der folgenden Form gegeben sein:

$a x + b < 0$ mit $a \neq 0$

Zusätzlich handelt es sich hierbei um eine lineare Ungleichung, da der linke Term in diesem Fall eine Gerade ist und nicht quadratisch oder eine andere Funktion entspricht. In diesem Fall kann das Ungleichheitszeichen auch eines der anderen drei sein.

Weitere Informationen zu Ungleichungen findest Du in dieser Erklärung. Du kannst auch gerne bei der Erklärung Variablen vorbeisehen, um Dich darüber zu informieren, was Variablen überhaupt sind und in welchem Grad sie angegeben sein können.

Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen haben den Zweck, zwei Terme einer Gleichung oder Ungleichung auf beiden Seiten zu verändern - durch eine Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion - sodass die Lösungsmenge unverändert bleibt. Also die Lösung der Gleichung für eine Variable bleibt identisch.

Äquivalenzumformungen sind in der Mathematik Umformungen einer Gleichung bzw. Ungleichung, bei denen die Aussagen identisch bleiben.

Das allgemeine Vorgehen ist, hinter der Gleichung oder Ungleichung einen senkrechten Strich zu setzen und zu schreiben, welche Operation ausgeführt wird.

Aufgabe 1

Löse folgende Gleichung mit Äquivalenzumformungen.

$4 \cdot x + 16 = 8$

Lösung

Schritt 1:

Im ersten Schritt siehst Du Dir Äquivalenzumformungen mit einer Addition oder Subtraktion an. Dazu möchtest Du die 16 durch eine Subtraktion auf die andere Seite bringen.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 2 \cdot x + 16 = 8 & | - 16 \\ \Leftrightarrow & 2 \cdot x + 16 - 16 = 8 - 16 \\ \Leftrightarrow & 2 \cdot x = - 8 \end{matrix} \end{array}$

Schritt 2:

Nun sind die Äquivalenzumformungen der Multiplikation oder Division an der Reihe. Damit Du x auf einer Seite stehen hast, dividierst Du durch 2.

$\begin{array}{rcl} 2 \cdot x & = & - 8 | : 2 \\ 2 \cdot x : 2 & = & - 8 : 2 \\ x & = & - 4 \end{array}$

Also -4 ist die Lösung der Gleichung:

$L = {- 4}$

Äquivalenzumformung Ungleichung lösen – Erklärung & Beispiel

Am Ende einer Äquivalenzumformung erhältst Du eine Lösung für die Variable in dieser Ungleichung. Die Menge der möglichen Lösungen wird als Lösungsmenge bezeichnet.

Eine Äquivalenzumformung einer Ungleichung ändert deren Lösungsmenge nicht.

Bei einer Äquivalenzumformung geht es also um die Erhaltung der eigentlichen Aussage. Das wird Dir hier gezeigt:

Die Lösung einer Ungleichung gibst Du wie folgt an:

$\begin{array}{rcl} x + 5 & \leq & 3 \\ x & \leq & - 2 \\ L & = & {x | x \leq - 2} \end{array}$

Setzt Du ein Element der Menge in die ursprüngliche Ungleichung ein, so bekommst Du folgenden wahren Ausdruck:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} x + 5 \leq 3 & x = - 2 \\ - 2 + 5 \leq 3 \\ 3 \leq 3 & (w) \end{matrix} \end{array}$

Das bedeutet, für alle Werte kleiner oder gleich -2 ist die Ungleichung richtig.

Äquivalenzumformungen sind also ganz spezielle Umformungen, die die Lösungsmenge unverändert lassen:

Folgende Umformungen sind Äquivalenzumformungen für Ungleichungen:

Addiere oder subtrahiere eine Zahl auf beiden Seiten.
Addiere oder subtrahiere einen Term.
Multipliziere die Ungleichung mit einer positiven Zahl, die nicht Null ist.
Multipliziere die Ungleichung mit einer negativen Zahl, die nicht Null ist, und kehre das Ungleichheitszeichen um.
Dividiere durch eine positive Zahl.
Dividiere durch eine negative Zahl, die nicht Null ist, und kehre das Ungleichheitszeichen um.

Bei solchen Umformungen nutzt Du das Äquivalenzsymbol: $\Leftrightarrow$

Die meisten dieser Äquivalenzumformungen sind identisch zu jenen, die Du auch bei Gleichungen anwenden kannst. Bei Ungleichungen gibt es aber einen entscheidenden Unterschied: Bei Multiplikation und Division mit einer negativen Zahl ungleich Null dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Aufgabe 2

Bestimme die Lösungsmenge folgender Ungleichung über den reellen Zahlen:

$9 x + 1 x - 1 \leq 9$

Lösung

Hier wendest Du die oben genannten Äquivalenzumformungen an:

Schritt 1:

Fasse alle Variablen und Zahlen auf beiden Seiten der Ungleichung zusammen.

$\begin{matrix} 9 x + 1 x - 1 \leq 9 \\ \Leftrightarrow & 10 x - 1 \leq 9 \end{matrix}$

Schritt 2:

Nun bringe alle Variablen auf eine Seite und die Zahlen auf die andere. Dazu addierst Du die Zahl 1.

$\begin{matrix} 10 x - 1 \leq 9 & | + 1 \\ \Leftrightarrow & 10 x - 1 + 1 \leq 9 + 1 \\ \Leftrightarrow & 10 x \leq 10 \end{matrix}$

Schritt 3:

Um nun auf die Variable x aufzulösen, dividierst Du durch 10, damit nur noch x auf einer Seite stehen bleibt.

$\begin{matrix} 10 x \leq 10 & | : 10 \\ \Leftrightarrow & 10 x : 10 \leq 10 : 10 \\ \Leftrightarrow & x \leq 1 \end{matrix}$

Dies zeigt also, dass die Ungleichung für alle $x \leq 1$ erfüllt ist. Die Lösungsmenge ist hiermit:

$L = {x | x \leq 1}$

Das kannst Du auch so schreiben:

$L = (- \infty; 1]$

Denn x soll kleiner oder gleich 1 sein. Damit ist jede Zahl von minus unendlich bis 1 erlaubt.

Du siehst, dass Du bei den Klammern von Intervallen zwischen runden und eckigen Klammern unterscheiden kannst.

Äquivalenzumformung – Ungleichung mit Klammern

Falls eine Ungleichung Terme besitzt, bei denen eine Klammer verwendet wird, so kannst Du diese ausmultiplizieren. Das bedeutet, Du multiplizierst den Faktor der Klammer dann mit den Summanden oder Subtrahenden innerhalb der Klammer.

Ist eine Ungleichung mit Klammern gegeben, so kannst Du diese ausmultiplizieren. Dazu verwendest Du das sogenannte Distributivgesetz:

$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

Das gilt auch für die Subtraktion:

$(a - b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c$

Das kannst Du gleich testen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, wie Du Ungleichungen dieser Art lösen kannst.

Aufgabe 3

Löse die folgende Ungleichung mit Äquivalenzumformungen

$(3 - x) \cdot 5 \leq (10 + x) \cdot 2$

Lösung

Dazu kannst Du im ersten Schritt alle Klammern auf beiden Seiten ausmultiplizieren. Dazu nutzt Du jeweils den Faktor außerhalb der Klammer und multiplizierst ihn mit den Summanden/ Subtrahenden innerhalb der Klammer.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 3 \cdot 5 - x \cdot 5 \leq 10 \cdot 2 + x \cdot 2 \\ \Leftrightarrow & 15 - 5 x \leq 20 + 2 x \end{matrix} \end{array}$

Im nächsten Schritt kannst Du alle Variablen auf eine Seite bringen.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 15 - 5 x \leq 20 + 2 x & | - 2 x \\ \Leftrightarrow & 15 - 5 x - 2 x \leq 20 + 2 x - 2 x \\ \Leftrightarrow & 15 - 7 x \leq 20 \end{matrix} \end{array}$

Zum Schluss kannst Du wieder erst eine Subtraktion nutzen und dann die Division. Achte dabei darauf, dass beim Dividieren mit einer negativen Zahl das Ungleichheitszeichen umgekehrt wird.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 15 - 7 x \leq 20 & | - 15 \\ \Leftrightarrow & 15 - 15 - 7 x \leq 20 - 15 \\ \Leftrightarrow & - 7 x \leq 5 & | : (- 7) \\ \Leftrightarrow & - 7 x : (- 7) \leq 5 : (- 7) \\ \Leftrightarrow & x \geq - \frac{5}{7} \end{matrix} \end{array}$

Äquivalenzumformung Ungleichung – Probe

Nachdem Du Ungleichungen mit Äquivalenzumformungen umgeformt hast, kannst du mit einer Probe überprüfen, ob Dein Ergebnis richtig ist.

Hierfür setzt Du Randelemente der Lösungsmenge in die ursprüngliche Ungleichung ein.

Aufgabe 4

Überprüfe, ob

$L = {x | x \leq 9}$

eine Lösungsmenge von

$2 x + 1 \leq 7$

ist.

Lösung

Setze 9 in die Ungleichung ein, da dies laut der Lösungsmenge $L$ die größtmögliche Zahl ist, für die die Ungleichung gilt.

$\begin{matrix} 2 \cdot 9 + 1 \leq 7 \\ \Leftrightarrow & 18 + 1 \leq 7 \\ \Leftrightarrow & 19 \leq 7 \end{matrix}$

Diese Ungleichung ist eine falsche Aussage, also ist die gegebene Lösungsmenge $L$ keine Lösungsmenge der Ungleichung.

Für die richtige Lösungsmenge formst Du die gegebene Ungleichung um:

$\begin{matrix} 2 x - 1 \leq 7 \\ \Leftrightarrow & 2 x - 1 + 1 \leq 7 + 1 \\ \Leftrightarrow & 2 x \leq 8 \\ \Leftrightarrow & 2 x : 2 \leq 8 : 2 \\ \Leftrightarrow & x \leq 4 \end{matrix} \begin{array}{l} + 1 \\ : 2 \end{array}$

Dies zeigt, dass die Lösungsmenge

$L = {x | x \leq 4}$

korrekt ist.

Äquivalenzumformung Ungleichung – Bruch

Wie bei Gleichungen können auch bei Ungleichungen Brüche vorkommen. Hier ist es wichtig, dass Du zwischen zwei Fällen unterscheidest:

Es kommt keine Variable im Bruch vor oder die Variable steht im Zähler des Bruches.
Die Variable kommt im Nenner des Bruches vor.

Ist ersteres der Fall, musst Du keine Besonderheiten beachten. Du kannst den Bruch auflösen, indem Du die Ungleichung mit seinem Nenner multiplizierst.

Für die Ungleichung

$\frac{2 \cdot x}{5} < 30$

kannst Du mit Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge ermitteln:

Multipliziere dazu zunächst mit dem Nenner des Bruches, sodass die Variable nicht mehr in einem Bruch steht. Anschließend kannst Du wie gewohnt umformen.

$\begin{matrix} \frac{2 \cdot x}{5} < 30 & \cdot 5 \\ \frac{2 \cdot x \cdot 5}{5} < 30 \cdot 5 \\ 2 \cdot x < 150 & : 2 \\ 2 \cdot x : 2 < 150 : 2 \\ x < 75 \end{matrix}$

Die Lösungsmenge der Ungleichung ist also

$L = {x | x < 75}$

Kommt jedoch eine Variable im Nenner vor, musst Du mit Fallunterscheidungen arbeiten.

Da der Nenner eines Bruches nicht 0 werden darf, musst Du unterscheiden zwischen dem Nenner größer 0 und dem Nenner kleiner 0.

Bei der Ungleichung:

$\frac{2}{a} \leq 3 m i t a \in ℝ$

ist a eine reelle Zahl und somit kann a negativ oder positiv sein.

In solchen Fällen brauchst Du eine oder mehrere Fallunterscheidungen:

Aufgabe 5

Ermittle die Lösungsmenge folgender Ungleichung:

$\frac{4}{x + 2} < 4$

Lösung

Um die Lösungsmenge der Ungleichung zu ermitteln, unterscheidest Du die beiden Fälle

$x + 2 > 0$
$x + 2 < 0$

Fall 1 für den Nenner größer 0:

Nun solltest Du zuerst die Bedingung umstellen:

$\begin{matrix} x + 2 > 0 \begin{matrix} | - 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & x + 2 - 2 > 0 - 2 \\ \Leftrightarrow & x > - 2 \end{matrix}$

Jetzt kannst Du auch die Ungleichung umstellen:

$\begin{matrix} \frac{4}{x + 2} < 4 & \cdot (x + 2) \\ \Leftrightarrow & \frac{4 \cdot (x + 2)}{x + 2} < 4 \cdot (x + 2) \\ \Leftrightarrow & 4 < 4 \cdot (x + 2) \\ \Leftrightarrow & 4 < 4 x + 8 \end{matrix}$

Nun kannst Du die Gleichung nach x auflösen:

$\begin{matrix} 4 < 4 x + 8 & | - 8 \\ \Leftrightarrow & 4 - 8 < 4 x + 8 - 8 \\ \Leftrightarrow & - 4 < 4 x & | : 4 \\ \Leftrightarrow & - 4 : 4 < 4 x : 4 \\ \Leftrightarrow & - 1 < x \end{matrix}$

Als Lösungsmenge soll für den ersten Fall sowohl gelten, dass die Variable x größer als -1 und -2 sein soll. Das bedeutet, -1 ist die stärkere Bedingung.

$L_{1} = {x | x > - 1}$

Fall 2 für den Nenner kleiner 0:

Dies kann umgestellt werden zu:

$\begin{matrix} x + 2 < 0 \begin{matrix} | - 2 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & x + 2 - 2 < 0 - 2 \\ \Leftrightarrow & x < - 2 \end{matrix}$

Und damit kannst Du nun die Ungleichung umformen. Dabei handelt es sich um dieselbe Rechnung, nur das Ungleichheitszeichen ist gedreht, da hier die Werte für x kleiner 0 betrachtet werden.

$\begin{matrix} 4 > 4 x + 8 & | - 8 \\ \Leftrightarrow & 4 - 8 > 4 x + 8 - 8 \\ \Leftrightarrow & - 4 > 4 x & | : 4 \\ \Leftrightarrow & - 4 : 4 > 4 x : 4 \\ \Leftrightarrow & - 1 > x \end{matrix}$

Hier soll die Variable x also kleiner -2 und -1 sein, was in -2 resultiert.

$L_{1} = {x | x < - 2}$

Die gesamte Lösungsmenge besteht aus den einzelnen beiden Teillösungsmengen.

$L_{g e s} = {x | x < - 2 o d e r x > - 1}$

Gerne kannst Du die ermittelten Werte mit einer Probe auf ihre Korrektheit überprüfen.

Äquivalenzumformung Ungleichung – Übung

Jetzt kennst Du die wichtigsten Techniken, um die Lösungsmenge einer Ungleichung zu ermitteln. Versuch Dich doch gleich an folgenden Aufgaben:

Aufgabe 6

Sieh Dir gerne noch einmal die Einleitung an. Konkret kannst Du aus der Einleitung lesen:

Es sollen maximal 30 Personen eingeladen werden.
Du lädst sieben Schulfreunde und neun Freunde aus anderen Freundeskreisen ein.
Dein Freund kann den Rest mitbringen.

Wie viele Freunde kann Dein Freund also maximal mitbringen? Gib die Lösungsmenge der Ungleichung an.

Lösung

Dazu kannst Du eine Ungleichung aufstellen. Auf der einen Seite befinden sich Deine Freunde und eine Variable x für die Freunde, die noch eingeladen werden können. Auf der anderen Seite steht die Maximalanzahl 30 Personen. Sie sind mit einem Ungleichheitszeichen verbunden, da Dein Freund auch weniger als die Maximalanzahl einladen könnte.

$7 + 9 + x \leq 30$

Nun kannst Du zuerst Deine Freunde zusammenrechnen.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 7 + 9 + x \leq 30 \\ \Leftrightarrow & 16 + x \leq 30 \end{matrix} \end{array}$

Du bringst also genau 16 Freunde mit.

Im nächsten Schritt ziehst Du die 16 von beiden Seiten der Ungleichung ab und erhältst die Lösungsmenge.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} 16 + x \leq 30 & | - 16 \\ \Leftrightarrow & 16 - 16 + x \leq 30 - 16 \\ \Leftrightarrow & x \leq 14 \end{matrix} \end{array}$

Jetzt kannst Du die Lösungsmenge angeben. Denke aber daran, dass Dein Freund weder 4,5 Freunde, noch -4 Freunde mitnehmen kann. Das Ergebnis soll sich also in den natürlichen Zahlen mit der Null befinden. Alternativ kannst Du auch die positiven ganzen Zahlen mit der Null verwenden.

$L = {x \in ℕ_{o} | x \leq 14}$

oder

$L = {x \in {ℤ_{o}}^{+} | x \leq 14}$

Äquivalenzumformung Ungleichung – Das Wichtigste

Äquivalenzumformungen ändern die Lösungsmenge einer Ungleichung nicht.
Nur ganz bestimmte Umformungen sind auch Äquivalenzumformungen.
Bei Multiplikation einer negativen Zahl mit einer Ungleichung dreht sich das Ungleichheitszeichen.
Für die Lösung von Ungleichungen mit Brüchen benötigst Du oft Fallunterscheidungen.
Es können auch Parameter in Ungleichungen enthalten sein.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Äquivalenzumformung Ungleichung

Du kannst die Terme oder einzelne Zahlen auf beiden Seiten der Ungleichung jeweils addieren und subtrahieren, allerdings auch multiplizieren und dividieren ohne der 0. Dabei sollen die jeweilige Äquivalenzumformung auf beiden Seiten durchgeführt werden.

Um eine Ungleichung mit Äquivalenzumformungen zu lösen, solltest Du zu Beginn alle Variablen und Zahlen auf beiden Seiten der Ungleichung jeweils zusammenfassen. Danach kannst Du oftmals eine Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten durchführen. Zum Schluss kommt eine Multiplikation oder Division. Danach gibst Du oftmals die Lösungsmenge an.

Das Ungleichheitszeichen dreht sich immer um, falls die Seiten einer Ungleichung durch eine negative Zahl oder negative Variable geteilt oder multipliziert werden.

Falls sich Brüche auf beiden Seiten der Ungleichung befinden, so fasst Du sie auf einer Seite zusammen und bringst sie auf einen Hauptnenner. Danach siehst Du Dir die einzelnen Faktoren an und überlegst, für welche Werte dieser Faktor 0 wird. Du kannst in einer Tabelle zusammenschreiben, welche Vorzeichen Du ermittelst für diese Intervalle und Du kannst zusammentragen, für die Bedingung, für welche Werte dies eintritt.

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Was ist das Besondere an Äquivalenzungleichungen?

Sie ändern die Lösungsmenge nicht.

Was geschieht mit dem Ungleichheitszeichen bei Multiplikation mit einer negativen Zahl?

Es dreht sich um.

Kannst Du eine Ungleichung mit Null multiplizieren?

Nein, denn dann ist die Lösungsmenge nicht mehr bestimmbar.

Wie viele Arten von Äquivalenzumformungen gibt es?

Es gibt vier Arten, wobei zwischen Multiplikation mit einer positiven und einer negativen Zahl unterschieden wird.

Wann kannst Du das Äquivalenzsymbol nutzen?

Wenn ausschließlich Äquivalenzumformungen genutzt wurden.

Ist das Addieren in einer Ungleichung eine Äquivalenzumformung?

Ja, Du kannst in Ungleichungen addieren und subtrahieren.

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