In der Mathematik wirst Du um negative Zahlen nicht herum kommen. Nur wie kannst Du Dir das eigentlich vorstellen – negative Zahlen? Eine Form, negative Zahlen visuell in Verbindung mit den positiven Zahlen zu setzen, ist eine Zahlengerade. Was eine Zahlengerade ist, wie Du mit ihr umgehst und was sie mit dem Zahlenstrahl zu tun hat, findest Du in diesem Artikel.
Zahlengerade Definition
Was ist denn überhaupt eine Zahlengerade?
Eine Zahlengerade ist eine Gerade, die in der Mathematik als Veranschaulichung der reellen Zahlen verwendet wird.
Es gilt:
Eine Zahlengerade besitzt (im Gegensatz zum Zahlenstrahl) sowohl positive als auch negative Zahlen.
Der Abstand zweier benachbarten Zahlen ist immer gleich groß.
Je weiter Du nach rechts gehst, umso größer werden die Zahlen.
Die Zahlengerade wird also durch die 0 in zwei Teile geteilt. Der linke Teil mit den negativen Zahlen und der rechte Teil mit den positiven Zahlen.
Abbildung 1: Zahlengerade von -5 bis 5
Zahlengerade zeichnen
Jetzt verstehst Du vielleicht ungefähr, wie eine Zahlengerade aussieht, aber wie zeichnest Du eine? In diesem Absatz findest Du eine Schritt-für-Schritt-Anleitung.
1. Schritt:
Als Basis zeichnest Du einen Ausschnitt einer Gerade ein. Eine Gerade ist eine unendliche Linie, deshalb kannst Du nie die ganze Gerade zeichnen. Mit Pfeilen an beiden Enden verdeutlichst Du, dass die Linie dort eigentlich weiter gehen müsste.
Abbildung 2: Leere Zahlengerade
2. Schritt:
Zeichne jetzt die 0 ein. Wähle danach den Abstand, der zwischen zwei benachbarten Zahlen sein soll, und trage am ersten Strich rechts von der 0 die nächste Zahl ein. Welche Zahl Du wählst, hängt davon ab, wie groß Du die Schritte von einem zum nächsten Strich brauchst. In diesem Beispiel ist der Abstand immer ein Kästchen und die Schrittlänge 1.
Abbildung 3: Zahlengerade mit 0
3. Schritt:
Zeichne jetzt rechts und links von der 0 links weiter die Zahlen in Deinem gewähltem Abstand ein. Dieser immer gleicher Abstand wird Einheitsstrecke und die Zentimeterangabe wird Einheit genannt. Rechts von der 0 sind die positiven Zahlen, links die negativen Zahlen.
Abbildung 4: Zahlengerade von -5 bis 5
Und fertig ist Deine Zahlengerade!
Um die Zahlen genauer abzutragen, kannst Du auch wie in diesem Zahlenstrahl kleinere, aber immer noch gleich große Abstände eintragen. Meistens teilst Du dann einen großen Schritt in 10 kleine Schritte auf.
Abbildung 5: Zahlengerade mit kleinen Abständen
Rationale Zahlen
Auf einer Zahlengeraden können nicht nur ganze Zahlen abgebildet werden, sondern auch rationale Zahlen.
Rationale Zahlen sind Zahlen, die in Form eines Bruchs dargestellt werden können. Sie sind also das Verhältnis zwischen zwei Zahlen.
Wenn Du zum Beispiel eine Zahlengerade von bis anlegst, und in 10 Schritte teilst, erhältst Du eine Zahlengerade mit Brüchen.
Abbildung 6: Zahlengerade mit Brüchen
Wie Du siehst, ist die Zahlengerade entsprechend auf beiden Seiten in fünf Teile geteilt. Das kannst Du auch an dem Nenner fünf erkennen.
Auch Dezimalzahlen kannst Du an den Zahlenstrahl schreiben. Wie Du vielleicht weißt, kannst Du Brüche auch durch Kommazahlen (Dezimalzahlen) darstellen. Das obige Beispiel würde entsprechend so aussehen:
Abbildung 7: Zahlengerade mit Dezimalzahlen
Wie klein die Dezimalzahlen ausfallen, entscheidet letzten Endes die Person, die die Zahlengerade erstellt. Wenn Du möchtest, könntest Du auch Dezimalzahlen mit hunderten Nachkommastellen benutzten.
Zahlengerade Zahlenstrahl – Unterschied
Neben der Zahlengeraden gibt es noch den Zahlenstrahl, in einigen Texten werden sie wie ein Synonym dargestellt, jedoch unterscheiden sie sich.
Im Wesentlichen liegt der Unterschied zwischen dem Zahlenstrahl und der Zahlengeraden darin, dass der Zahlenstrahl immer mit der Zahl Null anfängt und von da aus nur ins Positive geht. Die Zahlengerade dagegen geht auch ins Negative und hat keinen festen Startpunkt.
Zahlengerade
Abbildung 8: Zahlengerade
Zahlenstrahl
Abbildung 9: Zahlenstrahl
Rechnen mit Zahlengeraden
In der Mathematik wird nicht nur mit positiven, sondern auch mit negativen Zahlen gerechnet. Häufig werden zum Einstieg der Grundrechenarten mit negativen Zahlen die Rechenaufgaben an einer Zahlengeraden dargestellt.
Addition (Plusrechnung)
Als Erstes wirst Du im Mathematik-Unterricht auf die Plusrechnung, auch Addition genannt, treffen.
Bei der Plusrechnung gehst Du von Deiner ersten Zahl nach rechts, und zwar so weit, wie Deine zweite Zahl groß ist.
Wenn Du das in einem Zahlenstrahl darstellst, sollte das wie folgt aussehen:
Aufgabe 1
Wenn Du berechnest, gehst Du von Deiner ersten Zahl um Schritte nach rechts. Beim Abzählen auf dem Zahlenstrahl kommst Du dann auf die Zahl , das Ergebnis Deiner Rechnung.
Eine Eigenschaft der Zahlengeraden wird hier deutlich – der Abstand von bis ist genauso groß wie der Abstand von bis . Der Betrag der beiden Zahlen ist also gleich!
Abbildung 10: Zahlengerade Addition
Bei gehst Du entsprechen von Deiner ersten Zahl um Schritte nach rechts. Wenn Du das wiederum auf dem Zahlenstrahl abzählst, kommst Du auf Dein Ergebnis .
Subtraktion (Minusrechnung)
Die Minusrechnung, oder Subtraktion, ist das Gegenteil der Plusrechnung, sie wird in der Mathematik häufig direkt im Anschluss zur Plusrechnung behandelt.
Bei der Minusrechnung gehst Du von Deiner ersten Zahl nach links, und zwar so weit, wie Deine zweite Zahl groß ist.
Gucke Dir das nochmal am Zahlenstrahl an:
Aufgabe 2
Hier kannst Du fast genauso vorgehen wie bei der Plusrechnung, der einzige Unterschied ist, dass Du Dich in die linke Richtung bewegst, statt der rechten.
Bei gehst Du also von der ersten Zahl um Schritte nach links. Du landest dann auf Deinem Ergebnis .
Abbildung 11: Zahlengerade Subtraktion
Mit geht es genauso. Du gehst von Deiner ersten Zahl um Schritte nach links und bekommst als Ergebnis für Deine Rechnung die Zahl .
Die Mitte zwischen zwei Zahlen
Stell Dir vor, Du hast zwei Zahlen gegeben und möchtest die Mitte zwischen den beiden Zahlen erhalten – wie würdest Du dort vorgehen?
Mit dem Zahlenstrahl hast Du die Möglichkeit, es visuell darzustellen:
Aufgabe 3
Du brauchst die Mitte zwischen den Zahlen und . Um das zu verdeutlichen, kannst Du die Zahlen in einen Zahlenstrahl eintragen.
Abbildung 12: Mitte zweier Zahlen
Wie Du siehst, ist der Abstand von bis gleich und der Abstand von bis gleich .
Da der Gesamtabstand zwischen diesen beiden Zahlen die Plusrechnung der jeweiligen Abstände zur 0 ist, musst Du jetzt diese beiden Zahlen plus rechnen:
id="2681801" role="math"
Der Gesamtabstand beträgt also 48. Um jetzt die Mitte zwischen den beiden Zahlen herauszufinden, musst Du noch den Gesamtabstand durch 2 teilen:
id="2681805" role="math"
Die Mitte zwischen und ist also die 24.
Zahlengerade Aufgaben
Aufgabe 4
Gebe die auf der Zahlengerade markierten Werte an.
Abbildung 13: Zahlengerade Rechenaufgabe
Lösung
Aufgabe 5
Gebe die auf der Zahlengerade markierten Werte an.
Abbildung 14: Zahlengerade Rechenaufgabe
Lösung
Aufgabe 6
Zeichne die folgenden Rechnungen in einen Zahlenstrahl bis 100 ein und berechne das Ergebnis.
Lösung
Abbildung 15: Zahlengerade Rechenaufgabe
Zahlengerade – Das Wichtigste
- Allgemeines zur Zahlengeraden:
- Eine Zahlengerade ist eine gerade Linie, auf der Zahlen nach angeordnet werden.
- Die Zahlengerade besitzt (im Gegensatz zum Zahlenstrahl) sowohl positive als auch negativen Zahlen
- Der Abstand zwischen zwei benachbarten Zahlen ist immer gleich groß
- je weiter Du auf der Zahlengeraden nach rechts guckst, umso größer werden die Zahlen
- bei Zahlengeraden mit höheren Werten, werden die Schritte größer, um Platz zu sparen
- Ein Schritt lässt sich in 10 weitere kleine Schritte unterteilen
- Unterschiede zwischen Zahlenstrahl und Zahlengerade:
- Der Zahlenstrahl fängt immer mit 0 an, die Zahlengerade hat keinen festen Startpunkt
- Die Zahlengerade geht im Gegensatz zum Zahlenstrahl auch ins negative
- Mit der Zahlengeraden rechnen
- Bei der Plusrechnung gehst Du von Deiner ersten Zahl nach rechts, und zwar so weit, wie Deine zweite Zahl groß ist
- Bei der Minusrechnung gehst Du von der ersten Zahl nach links, und zwar so weit, wie Deine zweite Zahl groß ist
- Die Mitte zwischen zwei Zahlen findest Du heraus, indem Du die jeweiligen Abstände zur 0 addierst und dann durch 2 teilst
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