Du bist sicherlich mit deiner Familie oder deinen Freunden schon einmal in den Urlaub gefahren. Nehmen wir an, die gesamte Fahrt dauert 2 Stunden und 55 Minuten. Doch wenn Dich nun jemand fragt, wie lange die Autofahrt dauerte, wirst Du sicherlich mit "Ungefähr 3 Stunden" antworten. Genau dieses, nämlich das vereinfachte Ausdrücken von etwas durch einen ungefähren Wert der ursprünglichen Zahl wird auch als Runden bezeichnet. In der Mathematik gibt es beim Runden jedoch verschiedenste Regeln, welche unbedingt eingehalten werden müssen.
Lass uns noch einmal kurz wiederholen, was überhaupt unter einer Dezimalzahl verstanden wird, um im Anschluss daran diese korrekt Runden zu können!
Dezimalzahlen Definition
Unter einer Dezimalzahl wird eine Kommazahl verstanden, welche aus Vorkommastellen, einem Komma und beliebig vielen Nachkommastellen besteht. Ist die Nachkommastelle nicht null, dann befindet sich diese Zahl zwischen zwei ganzen Zahlen.
Eine Dezimalzahl beschreibt somit eine Kommazahl, die aus Stellen vor dem Komma und den Nachkommastellen oder sogenannten Dezimalen besteht.
Schauen wir uns das Ganze einmal für eine Kommazahl zusammen an.
Es ist folgende Dezimalzahl gegeben:
Wie der Name bereits aussagt, handelt es sich bei der Vorkommastelle bzw. den Vorkommastellen um die Zahlen, die vor dem Komma sind. Bei diesem aufgeführten Beispiel wäre das die. Auch bei den Nachkommastellen läuft das recht ähnlich ab. Hier geht es um alles, was nach dem Komma kommt. Bei dieser Zahl ist das die 8 und die 4.
Hast Du verschiedene Brüche schon in Dezimalschreibweise umgewandelt? Denn durch das Verwenden der sogenannten Stellenwerttafel, welche im nächsten Abschnitt beschrieben wird, ist das ein Kinderspiel.
Dezimalzahlen – Stellenwerttafel
Mithilfe der Stellenwerttafel können Brüche direkt als Dezimalzahl geschrieben werden. Dies geht jedoch nur für Brüche, welche im Nenner die Zahlen etc. haben. Der Bruch kann als Dezimalzahl geschrieben werden, indem die entsprechende Stelle der Zahl in das entsprechende Feld eingetragen werden. Um einen besseren Überblick zu erhalten, wie die einzelnen Stellen bezeichnet werden und wie dies funktioniert, folgendes Beispiel:
Aufgabe 1
Stelle folgende Brüche, Dezimalzahlen und gemischte Zahlen in der Stellenwerttafel dar:
, ,
Lösung
Um die gemischte Zahl korrekt, anzuschreiben, werden die vier Ganzen (1 Ganzes = 1 Einer) in das Einer-Feld eingetragen und der Zähler des Bruches in jenem Feld, welches den Nenner bezeichnet (10 = Zehntel, 100 = Hundertstel). Genau die gleiche Vorgehensweise gilt für die beiden Brüche, wobei hierbei Null Ganze eingetragen werden müssen. Wird nun das Komma zwischen der Einer- und Zehntel Stelle gesetzt, sieht dies wie folgt aus:
Folglich lauten die Brüche und die gemischte Zahl als Dezimalzahlen:
Sollte der Nenner nicht mit einer der Bezeichnungen übereinstimmen, kann dieser beispielsweise auf 100 oder 1 000 gerundet werden. Dies sieht wie folgt aus:
Aufgabe 2
Wandle den Bruch in eine Dezimalzahl um!
Lösung
Als ersten Schritt wird der Bruch auf Hundertstel erweitert. Hierbei muss sowohl der Nenner als auch der Zähler mit 25 multipliziert werden:
Nun können die in die Stellenwerttafel eingetragen werden.
| Zahl | Tausender | Hunderter | Zehner | Einer | Zehntel | Hundertstel | Tausendstel |
| | | | 0 | 7 | 5 | |
Somit lautet der Bruch in Dezimalschreibweise .
Möchtest Du hingegen eine Dezimalzahl aus der Stellenwerttafel in einen Bruch oder eine gemischte Zahl umwandeln, wird wie folgt vorgegangen:
- Markiere Dir den Bereich zwischen Einer und Zehntel, welcher das Komma darstellt
- Schreibe nun alle Zahlen auf, die sich links vom Komma befinden (Diese Zahl zeigt wie viele "Ganze" die Zahl besitzt)
- Schreibe alle Stellen rechts vom Komma in den Zähler des Bruchs
- Füge darunter einen Bruchstrich ein
- Schreibe die Bezeichnung (als Zahlenformat) der Zahl ganz rechts in den Nenner. (z. B. Hundertstel = 100, Tausendstel = 1 000)
Folgendes Beispiel wird Dir dabei helfen, dies besser zu verstehen.
| Tausender | Hunderter | Zehner | Einer | Zehntel | Hundertstel | Tausendstel | Bruch |
| | | | | | | | |
| | | | | | | |
| | | | | | | |
Arten von Dezimalzahlen
Es gibt abbrechende Dezimalzahlen, periodische Dezimalzahlen und irrationale Dezimalzahlen. Was genau diese sind, soll folgende Abbildung beschreiben und erklären:
Abbildung 1: Arten von Dezimalzahlen
Zur Schilderung der Abbildung, abbrechend bedeutet, dass die Dezimalzahlen an einem bestimmten Punkt enden, sprich nur mehr Nullen folgen. Bei nicht-abbrechenden Dezimalzahlen(also mit endlosen Nachkommastellen) können sich die Nachkommastellen entweder bis ins Unendliche wiederholen (periodisch) oder keine bestimmte Zahlenfolge aufweisen (nicht-periodisch).
Ein klassisches Beispiel für eine nicht periodische Dezimalzahl wäre die Zahl Pi,
Doch nun zum Kern dieses Beitrages, dem Runden einer Dezimalzahl!
Dezimalzahlen runden – Definition & Erklärung
Unter dem Begriff Runden wird verstanden, dass anstatt des konkreten Wertes einer Zahl mitsamt allen Kommastellen, ein ungefährer Wert angegeben wird, um den Sachverhalt zu vereinfachen.
Konkret bedeutet dies, dass beispielsweise anstelle einer Zahl mit fünf Kommastellen, eine Zahl auf lediglich zwei Kommastellen reduziert wird, um einen besseren Überblick über den Wert dieser Zahl zu erhalten und vereinfacht Berechnungen damit durchführen zu können.
Nun folgt ein Beispiel aus dem alltäglichen Leben, um dies besser verstehen zu können.
Geldbeträge runden – Schilderung der Vorgehensweise
Folgendes Beispiel zeigt, wie beim Runden von Geldbeträgen vorgegangen wird.
Aufgabe 3
Du kaufst Dir nach dem Schulunterricht folgende zwei Süßigkeiten:
1 Lion
1 Packung Pringles
Berechne, wie viel der Einkauf kostet. Runde hierbei auf Einer (Euro).
Lösung
Addiere als ersten Schritt die beiden Dezimalzahlen.
Möchtest Du erfahren, wie Dezimalzahlen addiert werden? Dann sieh Dir unbedingt den Beitrag hierzu auf StudySmarter an!
Wenn untersucht wird, ob der zu bezahlende Preis näher bei 2 oder 3 liegt, kann folgendes festgestellt werden:
Somit liegt die deutlich näher bei 3. Dies bedeutet, es wird aufgerundet und die Lösung lautet folglich .
Befindet sich eine Zahl genau zwischen Zahlen (unter anderem die 2,50 im Beispiel), dann muss aufgerundet werden!
Folgendes Beispiel aus dem Alltag soll die Definition des Runden einer Dezimalzahl verdeutlichen.
Aufgabe 4
Du verdienst bei deinem Nebenjob für Minuten. Wie viel Geld erhältst Du somit pro Stunde? Runde hierbei auf eine ganze Zahl!
Lösung
Diese Aufgabe kann mithilfe des Dreisatzes gelöst werden, indem zuerst der Geldbetrag pro Minute berechnet und dessen Ergebnis dann mit multipliziert wird.
Abbildung 2: Dreisatz
Wird das Ergebnis nun gerundet, ergibt sich folgende Lösung:
Auf eine ganze Zahl gerundet, erhältst Du somit pro Stunde ungefähr.
Du fragst Dich vielleicht, wieso nicht auf
gerundet wurde, da der Abstand zwischen
oder
identisch ist. Genau dies wird jetzt erklärt!
Wurde eine Zahl gerundet, muss dies mit dem Wellensymbol " ≈ " gekennzeichnet werden, welches " ist ungefähr gleich" bedeutet.
Dezimalzahlen runden – Aufrunden & abrunden
Eine Zahl kann grundsätzlich entweder aufgerundet oder abgerundet werden. Abrunden heißt hierbei, dass die Zahl eine 0 wird und aufgerundet hingegen heißt, dass die vorherige Stelle um eins erweitert wird.
Ist die fürs Runden ausschlaggebende Stelle kleiner als 5, wird abgerundet, ansonsten aufgerundet.
Folgende Grafik soll die Definition visualisieren, wobei hierbei auf die Zehnerstelle gerundet wird:
Abbildung 2: Runden - Vorgehensweise
Hierbei wird untersucht, ob eine Zahl zwischen 130 und 140 ab- bzw. aufgerundet wird. Diese Grafik zeigt, dass alle Zahlen mit der Einerstelle kleiner als fünf, abgerundet werden. Alle Zahlen dieser Grafik mit der Einerstelle größer oder gleich fünf werden aufgerundet. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass ab fünf immer aufgerundet wird, wobei natürlich aufgepasst werden muss, auf welche Stelle gerundet werden soll.
Merke, dass auch bei negativen Zahlen identisch gerundet wird, lediglich dass ein Minuszeichen davor steht. Beispielsweise wäre -14 auf die Zehnerstelle gerundet -10.
Folgende Beispiele werden verdeutlichen, wie Dezimalzahlen korrekt gerundet werden.
Dezimalzahlen runden – Beispiele zur Vertiefung
Dieser Abschnitt wird mithilfe von Beispielen verdeutlichen, wie Dezimalzahlen auf eine bestimmte Nachkommastelle korrekt gerundet werden.Dezimalzahlen runden – Auf Zehntel
Aufgabe 5
Runde die Zahl auf eine Kommastelle bzw. auf die Zehntel Stelle!
Lösung
Um ein solches Beispiel lösen zu können, kann als ersten Schritt zuerst die Stellenwerttafel angefertigt werden.
| Zahl | Einer | Zehntel | Hundertstel | Tausendstel |
| | | | | |
Als Erstes muss das mathematische Gesetz zum Thema runden wiederholt werden, nämlich, wenn der Wert der Stelle rechts der Zielstelle kleiner als ist, muss abgerundet, ansonsten aufgerundet werden. In diesem Beispiel soll auf Zehntel gerundet werden (in rot), somit wird die Stelle rechts davon, also die Hundertstel Stelle untersucht (in grün).
| Zahl | Einer | Zehntel | Hundertstel | Tausendstel |
| | | | |
Da die größer als fünf ist, muss aufgerundet werden. Folglich wird die Zehntel Stelle um eins addiert, sprich es wird zu einer. Alle Stellen hinter der Zehntel Stelle können weggelassen werden.
| Zahl | Einer | Zehntel |
| | |
Die Zahl auf Zehntel gerundet lautet somit .
Dezimalzahlen runden – Auf Hundertstel
Aufgabe 6
Die Zahl soll auf zwei Kommastellen bzw. auf Hundertstel gerundet werden.
Lösung
Die Stellenwerttafel für dieses Beispiel sieht wie folgt aus:
| Zahl | Hunderter | Zehner | Einer | Zehntel | Hundertstel | Tausendstel |
| | | | | | | |
Nun muss jene Stelle festgestellt werden, auf welche gerundet werden muss, also in diesem Fall der Wert der Hundertstel Stelle, also die .
Die Regel des Rundens besagt, wenn nun der Wert der Stelle rechts, der kleiner als ist, muss abgerundet, ansonsten aufgerundet werden. Die Tausendstel Stelle weist den Wert auf, folglich wird aufgerundet. Aufrunden bedeutet, dass nun aus der eine wird. Alle Stellen hinter der gerundeten Zahl können weggelassen werden.
Diese Zahl auf Hundertstel gerundet lautet demnach .
Versuchen wir jetzt dieselbe Vorgehensweise für ein Beispiel anzuwenden, bei welchem auf Tausendstel gerundet wird.
Dezimalzahlen runden – Auf Tausendstel
Aufgabe 7
Runde die Zahl 42,3923 auf die dritte Kommastelle bzw. auf Tausendstel!
Lösung
Die Stellenwerttafel für dieses Beispiel sieht wie folgt aus:
| Zahl | Zehner | Einer | Zehntel | Hundertstel | Tausendstel | Zehntausendstel |
| | | | | | | |
Um dieses Beispiel lösen zu können, muss die nächstgelegene Stelle rechts der Zielkommastelle, also in unserem Beispiel die Zehntausendstel Stelle untersucht werden. Da diese kleiner als fünf ist, muss abgerundet werden. Folglich wird aus der eine Null.
Die Zahl auf Tausendstel gerundet lautet somit .
Eine Dezimalzahl kann auch auf eine ganze natürliche Zahl gerundet werden bzw. auf Einer, Zehner oder auch Hunderter.
Dezimalzahlen runden auf ganze Zahlen – Beispiele
Die Vorgehensweise hierbei ist genau dieselbe wie beim Runden auf eine bestimmte Nachkommastelle, doch bedienen wir uns folgendem Beispiel, um dies besser verstehen zu können.
Dezimalzahlen runden – Auf Einer
Aufgabe 8
Stell Dir vor, Du hast genau und in deiner Hosentasche. Runde diesen Geldbetrag sinnvoll auf die Einerstelle!
Lösung
Verwenden wir hierfür die Stellenwerttafel, um einen besseren Überblick zu erhalten.
| Zahl | Einer | Zehntel | Hundertstel |
| | | |
Diese Zahl soll auf die Einerstelle gerundet werden. Wird nun die Stelle danach untersucht, wird festgestellt, dass die größer als ist, folglich muss aufgerundet werden. Das Ergebnis lautet demnach wie folgt:
Dezimalzahlen runden – Auf Zehner
Aufgabe 9
Du hast in dieser Woche Taschengeld erhalten. Du möchtest nun wissen, wie viele Scheine Du nun maximal in deiner Spardose haben kannst!
Lösung
Erneut wird als Erstes eine Stellenwerttafel angefertigt.
| Zahl | Zehner | Einer | Zehntel | Hundertstel |
| | | | |
Diese Zahl soll auf die Zehnerstelle gerundet werden. Wird nun die Zahl davon untersucht, wird festgestellt, dass die kleiner als ist, folglich muss abgerundet werden. Das Ergebnis lautet demnach wie folgt:
Als letzten Schritt wird die gerundete Zahl durch dividiert, um feststellen zu können, wie viele Zehneuroscheine Du hierfür erhält.
Somit erhältst Du mit deinem Taschengeld Zehneuroscheine.
Dezimalzahlen runden – Auf Hunderter
Aufgabe 10
Du hast auf deinem Bankkonto insgesamt . Runde diesen Betrag auf Hunderter!
Lösung
Erneut wird als Erstes eine Stellenwerttafel angefertigt.
| Zahl | Tausender | Hunderter | Zehner | Einer | Zehntel | Hundertstel |
| | | | | | | |
Diese Zahl soll auf die Hunderterstelle gerundet werden. Wird nun die Zahl davon untersucht, wird festgestellt, dass die kleiner als ist, folglich muss abgerundet werden. Das Ergebnis lautet demnach wie folgt:
Wenn das Geld auf deinem Bankkonto auf Hunderter gerundet wird, hast Du somit .
Runden - Auf Hunderttausender
Aufgabe 11
Die reichste Familie deiner Stadt hat kürzlich eine neue Villa gekauft. Diese hat insgesamt gekostet. Runde diesen Betrag auf Hunderttausender!
Lösung
Erneut wird als Erstes eine Stellenwerttafel angefertigt.
| Zahl | Millionen | Hunderttausender | Zehntausender | Tausender | Hunderter | Zehner | Einer | Zehntel | Hundertstel |
| | 4 | 0 | 9 | 8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Diese Zahl soll auf die Hunderttausender Stelle gerundet werden. Wird nun die Zahl rechts davon untersucht, wird festgestellt, dass die größer als ist, folglich muss aufgerundet werden. Somit wird aus der Hunderttausender Stelle eine 1 und alle Stellen rechts davon werden zu einer Null. Das Ergebnis lautet demnach wie folgt:
Wenn das Geld auf deinem Bankkonto auf Hunderter gerundet wird, hast Du somit .
Nicht immer wird bei einer 5 aufgerundet, denn es gibt noch eine andere Rundungsmethode. Folgender Abschnitt wird dies im Detail erklären.
Dezimalzahlen runden – Symmetrisches Rundungsverfahren
In folgendem DeepDive wird noch ein weiteres Rundungsverfahren beschrieben, nämlich das symmetrische Runden.
Das symmetrische Runden unterscheidet sich vom kaufmännischen Runden in der Handhabung der Zahl 5, also der Zahl genau in der Mitte, bezüglich des Auf- oder Abrundens
Es gibt also folgende Regel, welche beim symmetrischen Runden beachtet werden muss:
- Wenn die für das Runden ausschlaggebende Ziffer eine 5 ist, welche von ausschließlich Nullen gefolgt wird, muss so gerundet werden, dass die Ziffer links der 5 Gerade wird.
Verdeutlichen wir diesen Unterschied zwischen kaufmännischem und symmetrischem Runden an folgenden Beispielen, wobei bei den letzten zwei Beispielen die Regeln des hier beschriebenen symmetrischem Runden befolgt werden müssen.
Aufgabe 12
Runde folgende Zahlen auf die erste Nachkommastelle:
1,2899 5,2501 3,3500 3,2500
Lösung
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Dezimalzahlen runden – Das Wichtigste auf einen Blick
- Runden bedeutet, dass ein ungefährer Wert einer Zahl dargestellt wird, welcher von der ursprünglichen nur gering abweicht.
- Es wird zwischen dem kaufmännischen und dem symmetrischem Runden unterschieden.
- Der Unterschied liegt darin, dass beim symmetrischen, falls die für das Runden ausschlaggebende Zahl von ausschließlich Nullen gefolgt wird, auf eine Gerade Zahl gerundet werden muss.
- Das Symbol für das Runden ist eine Welle: ≈
- Es wird jene Stelle untersucht, welche ausschlaggebend ist, ob auf oder abgerundet wird.
- Du würdest somit die Einer untersuchen, wenn Du auf Zehner runden musst.
- Ist die zu untersuchende Stelle kleiner als 5, muss abgerundet werden. Aus der Stelle wird somit eine 0.
- Ist die zu untersuchende Stelle größer gleich 5 muss aufgerundet werden. Auch hier wird aus der Stelle eine 0, wobei die nächst größere Stelle um eins erweitert werden muss.
- Hast du z. B. die Zahl 57 gegeben und möchtest auf Zehner runden, untersuchst Du die 7. Diese ist größer als 5 und somit wird aus der 7 eine 0 und die 5 muss um eins erweitert werden. Das Ergebnis lautet also 60.
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