Proportionale Zuordnung

Stell dir vor Du gehst einkaufen und stehst vor den Schokoladen. Eine Schokolade kostet 1 €. Du möchtest fünf von diesen Schokoladen kaufen. Jetzt kannst Du berechnen, wie viel diese fünf Schokoladen kosten, richtig?

Der Grund, warum Du hier rechnen kannst, ist eine proportionale Zuordnung.

Bevor Du aber in die Erklärungen zu proportionalen Zuordnungen und dem Proportionalitätsfaktor einsteigst, hier eine kleine Wiederholung zu Zuordnungen.

Proportionale Zuordnung – Grundlagenwissen

Allgemeine Zuordnungen kennst Du vermutlich aus deinem Alltag. Auch wenn dir jetzt vielleicht keine einfällt, versteckt sie sich in vielen Dingen. Wenn Du dir zum Beispiel notierst, wie viel Geld Du an jedem Wochentag ausgegeben hast, handelt es sich um eine Zuordnung. Dies kannst Du mithilfe der Definition einer Zuordnung verstehen.

In dem Beispiel wird einem Wochentag (x-Wert) das ausgegebene Geld (y-Wert) zugeordnet.

Du kannst auch deinen Freunden ihre Körpergröße zuordnen. Der eine Wert ist der Name des Freundes, der andere Wert die zugehörige Körpergröße.

Dies sind Beispiele für allgemeine Zuordnungen. Hier kannst Du nicht durch einen Wert auf andere Werte schließen. Wenn Du zum Beispiel weißt, dass Dein einer Freund 1,62 m groß ist, kannst Du damit nicht berechnen, wie groß Deine andere Freundin ist.

Es gibt aber auch spezielle Zuordnungen, bei denen die Wertepaare im Verhältnis zueinander stehen. Dies sind proportionale (und antiproportionale) Zuordnungen.

Proportionale Zuordnung – Definition und Eigenschaften

Ein kleines Beispiel für proportionale Zuordnungen hast Du mit dem Preis der Schokoladen bereits kennengelernt.

Hier findest Du ein ausführlicheres Beispiel.

In dem Beispiel kannst Du erkennen: Je mehr Zeit vergeht, desto mehr Kilometer wurden gefahren. Dies ist ein wichtiger Merksatz für proportionale Zuordnungen: Je mehr ..., desto mehr ...

Wichtig dabei ist aber nicht nur, dass beide Werte größer werden, sondern auch, dass das Verhältnis der Werte stimmt. Wenn Du zum Beispiel den einen Wert verdoppelst, muss sich auch der zugehörige andere Wert verdoppeln.

Das gleichmäßige Wachstum beider Werte ist das Hauptmerkmal einer proportionalen Zuordnung.

Beachte, dass du Werte nicht nur verdoppeln oder verdreifachen kannst, sondern auch halbieren oder vierteln. Du kannst zum Beispiel bei den x-Werten auch von der 20 zur 5 gelangen, indem du durch vier teilst. Dann viertelst du die 20 und auch den zugehörigen y-Wert.

Durch diese Eigenschaft kannst Du auch fehlende Werte in proportionalen Zuordnungen berechnen.

Wenn Du zum Beispiel wissen möchtest, wie weit das Auto nach 8 Minuten gefahren ist, kannst Du dies berechnen.

Zeit in Minuten	1	2	3	4	5	8	10	20
Strecke in km	0,5	1	1,5	2	2,5		5	10

In 4 Minuten fährt das Auto 2 km. Jetzt rechnest Du und . Nun hast Du beideWerte verdoppelt und weißt, das Auto fährt in 8 Minuten genau 4 km.

Wenn Du eine Zuordnung hast, bei der zwar zum Beispiel der x-Wert verdoppelt wurde, der zugehörige y-Wert sich aber verdreifacht, dann ist die Zuordnung nicht proportional.

Proportionalitätsfaktor

Eine proportionale Zuordnung kannst Du auch am Proportionalitätsfaktor erkennen. Wenn Du in der Autoaufgabe mit jeden y-Wert durch den zugehörigen x-Wert teilst, erhältst Du immer das Ergebnis 0,5. Dies ist der Proportionalitätsfaktor des Beispiels.

Merke dir: Jede proportionale Zuordnung hat einen Proportionalitätsfaktor.

Wenn Du in einer Zuordnung auch nur ein Wertepaar findest, das nicht quotientengleich zu den anderen Wertepaaren ist, bedeutet dies: Es gibt keinen Proportionalitätsfaktor. Die Zuordnung kann nicht proportional sein.

Proportionale Zuordnung – Berechnungen mit Proportionalitätsfaktor und Dreisatz

Häufig sollst Du in Mathe fehlende Werte berechnen. Dazu hast Du bei proportionalen Zuordnungen verschiedene Möglichkeiten. Weiter oben hast Du bereits gesehen, dass Du einen fehlenden Wert berechnen kannst, indem Du einen anderen Wert zum Beispiel verdoppelst oder verdreifachst. Du kannst fehlende Werte aber auch mithilfe des Proportionalitätsfaktors oder mit einem Dreisatz berechnen.

Berechnung mit dem Proportionalitätsfaktor

Wenn Du den Proportionalitätsfaktor bereits kennst und einen y-Wert berechnen möchtest, kannst Du den x-Wert mit dem Proportionalitätsfaktor multiplizieren. Wenn Du den Proportionalitätsfaktor noch nicht kennst, musst Du ihn zuerst berechnen und kannst erst dann die fehlenden Werte bestimmen.

Du kannst nicht nur fehlende y-Werte mit dem Proportionalitätsfaktor berechnen, sondern auch fehlende x-Werte. Dazu teilst Du den y-Wert durch den Proportionalitätsfaktor.

Gegeben ist diese proportionale Zuordnung, bei der die fehlenden Werte berechnet werden sollen.

x	2	4	6	7	9	13	16
y	3	6	9	10,5

Zuerst berechnest Du den Proportionalitätsfaktor. Dazu teilst Du einen gegebenen y-Wert durch den zugehörigen x-Wert. Da in der Aufgabenstellung bereits steht, dass die Zuordnung proportional ist, langt ein Wertepaar. Hier stehen trotzdem alle Quotienten.

Der Quotient ist in allen Rechnungen 1,5. Jetzt weißt Du, dass 1,5 der Proportionalitätsfaktor ist.Diesen kannst Du nun verwenden, um die fehlenden Werte zu berechnen. Du rechnest:

Berechnung mit dem Dreisatz

Ein sicherer Weg um Werte zu berechnen, ist aber auch der Dreisatz. Dies ist eine "Erweiterung" des Vervielfachens. Du nutzt den Dreisatz, wenn zum Beispiel dein x-Wert mit fehlenden y-Wert kein Vielfaches eines anderen x-Wertes ist. Mithilfe des Dreisatzes machst Du zuerst einen Zwischenschritt.

Nehmen wir als Beispiel dieselbe Zuordnung wie eben. Du möchtest wieder die fehlenden Werte berechnen, diesmal aber das Multiplizieren nutzen.

x	2	4	6	7	9	13	16
y	3	6	9	10,5

Leider ist die 9 kein Vielfaches eines anderen x-Wertes. Jetzt kannst Du den Dreisatz nutzen und zuerst einen Zwischenschritt machen. In Abbildung 2 kannst Du erkennen, dass Du zuerst von der 2 zur 1 rechnest, indem Du durch 2 teilst. Dies musst Du dann auch auf der rechten Seite bei den y-Werten machen. Danach multiplizierst du auf beiden Seiten mit 9.Abbildung 2: Dreisatz mit der 1 als ZwischenschrittDu musst beim Dreisatz nicht unbedingt die 1 als Zwischenschritt nutzen. Für die 9 könntest Du auch die 3 als Zwischenschritt verwenden. Die Rechnungen findest Du in Abbildung 3.Abbildung 3: Dreisatz mit der 3 als Zwischenschritt

Mithilfe des Dreisatzes kannst Du alle fehlenden Werte berechnen.

Merke dir:

Beim Dreisatz nutzt Du einen Zwischenschritt, um Werte zu berechnen. Du darfst multiplizieren und dividieren. Wichtig ist, dass du immer links und rechts mit derselben Zahl multiplizierst oder dividierst!

Eine ausführlichere Erklärung hierzu findest Du im Kapitel zum Dreisatz.

Proportionale Zuordnung – Darstellungen

Vielleicht wunderst Du dich jetzt, weil Du in Mathe in der Schule proportionale Zuordnungen nicht nur als Tabellen kennst? Das ist vollkommen richtig. Du kannst proportionale Zuordnungen nicht nur in Tabellen darstellen, sondern auch als Graph oder als Zuordnungsvorschrift.

Wertetabelle

Zuerst noch einmal zur Wertetabelle.

Die Wertetabelle hast Du bereits in dieser Erklärung kennengelernt. Hier trägst Du die x- und y-Werte ein. Die Tabelle kann wie in den Beispielen hier aus zwei Zeilen bestehen. Sie kann aber auch andersherum ausgerichtet sein und zwei Spalten haben.

In Abbildung 4 siehst Du eine vertikal ausgerichtete Wertetabelle einer proportionalen Zuordnung mit dem Proportionalitätsfaktor 2. Vertikale Wertetabellen kannst Du besonders gut nutzen, um in weiteren Zeilen fehlende Werte mit dem Dreisatz zu berechnen.

Graphische Darstellung im Koordinatensystem

Proportionale Zuordnungen kannst Du auch in einem Koordinatensystem darstellen. Dazu trägst Du die Werte aus der Wertetabelle in einem Koordinatensystem als Punkte ein und verbindest sie zu einem Graphen. Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist immer eine Gerade. Wichtig ist, dass diese Geraden im Ursprung, also dem Punkt (0/0) beginnt, sonst ist es keine proportionale Zuordnung.

In Abbildung 5 siehst Du den Graphen der proportionalen Zuordnung aus Abbildung 4.

Abbildung 4: Graph der proportionalen Zuordnung aus Abbildung 4

Du kannst deutlich erkennen, dass der Graph in Abbildung 5 im Ursprung beginnt und eine Gerade ist. Die Steigung der Geraden entspricht genau dem Proportionalitätsfaktor. Dieser ist in Abbildung 4 und 5 genau 2.

Wenn eine Gerade nicht im Ursprung beginnt, kann es keine proportionale Zuordnung sein, da die 0 dann nicht der 0 zugeordnet wird.

Du kannst am Graphen auch einzelne Werte ablesen und in eine Wertetabelle eintragen.

Zuordnungsvorschrift als Gleichung

Eine proportionale Zuordnung kannst Du nicht nur in einer Tabelle oder in einem Koordinatensystem darstellen, sondern auch mithilfe einer Gleichung. Diese wird auch Zuordnungsvorschrift genannt.

Um die Gleichung aufzustellen, benötigst Du also nur den Proportionalitätsfaktor.

Merke dir also: Den Proportionalitätsfaktor findest Du in allen Darstellungsformen. In einer Wertetabelle musst Du ihn ausrechnen, in einem Koordinatensystem entspricht er der Steigung des Graphens, in der Zuordnungsvorschrift wird er als Faktor geschrieben.

Von der Zuordnungsvorschrift zur Wertetabelle und zum Graphen

Wenn Du für eine proportionale Zuordnung nur eine Zuordnungsvorschrift gegeben hast, kannst Du hieraus sowohl eine Wertetabelle erstellen, als auch einen Graphen zeichnen.

Wenn du zuerst eine Zuordnungsvorschrift hast, kannst du den Graphen einer proportionalen Zuordnung zeichnen, indem Du eine Wertetabelle als Zwischenschritt anlegst. Alternativ kannst Du auch eine Gerade mit Beginn im Ursprung zeichnen und den Proportionalitätsfaktor als Steigung verwenden. Oder Du zeichnest einen Punkt ein und verbindest den Ursprung mit diesem Punkt.

Proportionale Zuordnung und Proportionalitätsfaktor – Aufgaben