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In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit der Determinante auf sich hat und zeigen dir anhand von Beispielaufgaben, wie du garantiert zum richtigen Ergebnis kommst. Dieser Artikel gehört zum Fach Mathematik und erweitert das Thema Matrizen.
Du benutzt die Determinante als Hilfsmittel zum Lösen von Linearen Gleichungssystemen. Jeder quadratischen Matrix kann eine bestimmte Determinante zugeordnet werden, die sich aus den Werten der Matrix einfach errechnen lässt. Die Determinante ist schlussendlich eine einfache Zahl, bzw. ein Skalar, dass sich über eine bestimmte Matrix definiert und beim Invertieren von Matrizen oder bei der Flächenberechnung verwendet wird. Es lässt sich beispielsweise über den Wert einer Determinante genau feststellen ob ein Lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist. Die Determinante einer Matrix A wird als det(A) oder |A| beschrieben.
Nehmen wir beispielsweise die Matrix 
. Die Determinante dieser Matrix ist 
.
Die Determinante dieser Matrix A ist über eine reelle Zahl (hier: det(A) =7) eindeutig definiert. Dadurch lässt sich beispielsweise feststellen, dass ein Lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten das über die Matrix A definiert ist genau eine Lösung besitzt. Somit setzt sich die Determinante aus den Elementen einer quadratischen Matrix zusammen und umgekehrt. Die Determinante benötigt man für fast alle Rechenprobleme mit Matrizen. Man muss die Determinante einer (2 x 2)-Matrix und einer (3 x 3)-Matrix bestimmen können.
Wichtig ist, dass ihr sofort erkennt wie ihr die Determinante einer einfachen (2 x 2)-Matrix berechnen könnt. Aber im Prinzip verläuft diese Berechnung immer nach demselben Kochrezept, weshalb der anspruchsvolle Teil die Berechnung der Determinante einer (3 x 3)-Matrix ist. Wer die Matrizenschreibweise beherrscht und die Matrix-Vektor-Form von Linearen Gleichungssystemen bilden kann, wird auch mit der Berechnung von Determinanten keine Probleme haben.
Da man in der Schulmathematik mit der Bestimmung der Determinante von quadratischen (2 x 2)-Matrizen und (3 x 3)-Matrizen auskommt werden wir im Folgenden nur diese beiden Matrizenarten vorstellen. Deshalb starten wir jetzt Step by Step mit dem Rechenweg und einem Funktionsbeispiel zu (2 x 2)-Matrizen.
Um am Besten zu verstehen wie die Determinante einer quadratischen (2 x 2)-Matrix konkret bestimmt wird gibt es jetzt ein Kochrezept für den Rechenweg sowie ein kleines Beispiel :
Rechenweg und Beispiel:
Gegeben ist die quadratische Matrix 
.
Du willst jetzt die Determinante dieser quadratische (2 x 2)-Matrix berechnen um beispielsweise festzustellen ob eine inverse Matrix 
der Matrix A existiert [eine inverse Matrix von A existiert wenn det(A) ≠0].
Im ersten Schritt wird die Determinante der Matrix A nach einem leicht merkbaren Kochrezept für quadratische (2 x 2)-Matrizen berechnet:
IMPORTANT TO KNOW!
Dieser Rechenweg für die Berechnung der Determinante einer quadratischen (2 x 2)-Matrix ist immer gültig und sollte auswendig gelernt werden!
Im zweiten Schritt ordnen wir den Symbolen der Matrix A [
] konkrete Zahlenwerte zu [2,1,-3,2] und bestimmen das Skalar der Determinante.
Die Determinante der Matrix A kann durch diesen Rechenschritt demnach einfach berechnet werden und entspricht det(A) =7. Zum Abschluss könnt ihr beispielsweise sofort erkennen, dass die Matrix A eine inverse Matrix 
besitzt, da det(A) =7 ≠ 0.
Um die zwei erklärten Schritte des Beispiels auch nachvollziehen zu können müsst ihr wissen, wie Matrizen definiert sind. Wichtig ist auch das ihr wisst was es mit der Matrixschreibweise auf sich hat. So können beispielsweise Lineare Gleichungssysteme oder Lineare Abbildungen vereinfacht in Matrixform dargestellt werden. Deshalb seht ihr jetzt die wichtigsten Punkte zum Thema Matrizen und Matrixschreibweise auf einen Blick.
Unter einer Matrix versteht man in der Mathematik die rechteckige Anordnung von Elementen. Sie tauchen in fast allen Bereichen der Mathematik auf. Das Wichtigste im Überblick:
Eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten wird (m x n)-Matrix genannt. Dabei handelt es sich um ein rechteckiges Zahlenschema, in dem reelle Zahlen oder deren Platzhalter aufgelistet sind.
Beispiel: 
Die Matrix ist eine kurze, treffende und angenehme Schreibweise für zahlreiche mathematische Probleme.
Die Matrixschreibweise ist weder schwer noch unsinnig. Es ist eine neue Schreibweise, die viele Vorteile hat. So können beispielsweise Lineare Gleichungssysteme vereinfacht in Matrixform dargestellt werden.
Beispiel, Lineares Gleichungssystem (LGS):
Die Form dieses Linearen Gleichungssystems kann man auch vereinfacht in einer Matrix darstellen um vereinfacht Rechenoperationen durchführen zu können.
Matrix: 
Neben Linearen Gleichungssystemen wird die Matrixform in der Oberstufenmathematik auch zur vereinfachten Darstellung von linearen Abbildungen verwendet.
Beispiel, Lineare Abbildung:
Die Form dieser Linearen Abbildung kann man auch vereinfacht in einer Matrix darstellen um vereinfacht Rechenoperationen durchführen zu können.
Matrix: 
Es ist sehr hilfreich ein Gefühl für diese platzsparende und elegante Schreibweise in Matrixform zu bekommen, denn Sie bietet viele Vorteile bei komplizierten Rechenoperationen da Informationen eigentlich nicht verloren gehen können.
Um wieder das eigentliche Thema dieses Artikels aufzugreifen, die Determinante, befassen wir uns jetzt mit dem schwierigsten Teil. Dieser beinhaltet die Berechnung der Determinante einer quadratischen (3 x3)-Matrix. Auch hier gibt es einen umfassenden Rechenweg, bzw. ein Kochrezept, das ihr beherrschen müsst. Wie die Determinante einer quadratischen (3 x 3)-Matrix konkret bestimmt wird erfahrt ihr deshalb jetzt.
Um am Besten zu verstehen wie die Determinante einer quadratischen (3 x 3)-Matrix konkret bestimmt wird gibt es jetzt ein Kochrezept für den Rechenweg sowie ein kleines Beispiel:
Rechenweg und Beispiel:
Gegeben ist die quadratische Matrix 
.
Du willst jetzt die Determinante dieser quadratische (3 x 3)-Matrix berechnen um beispielsweise festzustellen ob eine inverse Matrix 
der Matrix B existiert [eine inverse Matrix von B existiert wenn det(B) ≠0].
Im ersten Schritt wird die Determinante der Matrix B nach einem Kochrezept für quadratische (3 x 3)-Matrizen berechnet:
Im zweiten Schritt ordnen wir den Symbolen der Matrix B konkrete Zahlenwerte zu [2,1,-3,2,0,-5,6,2,-1] und bestimmen das Skalar der Determinante.
Die Determinante der Matrix B kann durch diesen Rechenschritt demnach einfach berechnet werden und entspricht det(B) = -20. Zum Abschluss könnt ihr beispielsweise sofort erkennen, dass die Matrix B eine inverse Matrix 
besitzt, da det(B) =-20 ≠ 0.
Gratuliere! Wenn du alle erklärten Schritte logisch nachvollziehen kannst und du die einzelnen Rechenschritte beherrscht, so bist du jetzt Experte was das Bestimmen von Determinanten bei quadratischen (2 x 2)-Matrizen und (3 x 3)-Matrizen anbelangt.
IMPORTANT TO KNOW!
Der Rechenweg, bzw. das Kochrezept zur Bestimmung von Determinanten dritter Ordnung [(3 x 3)-Matrix] wird auch die Regel von Sarrus genannt. Für mehr als drei Dimensionen wird der Rechenweg aber schnell sehr unübersichtlich. Deshalb kann man mit Hilfe des Laplaceschen Entwicklungssatz die Determinante einer quadratischen (n x n)-Matrix nach einer Zelle oder einer Spalte entwickeln. Wie das dann genau funktioniert erfahrt ihr dann im Laufe eures Studiums.
Die Regel von Sarrus ist nach dem Mathematiker Pierre Frédéric Sarrus benannt und beschreibt, wie bereits erwähnt, ein Verfahren zur Bestimmung von Determinanten dritter Ordnung [(3 x 3)-Matix]. Das Verfahren veranschaulicht graphisch den Rechenweg und erzeugt Transparenz bei der eigentlichen Berechnung wie folgendes Schema verdeutlicht:
Bei diesem Schema wird die Matrix um die ersten beiden Spalten ergänzt und anschließend das Produkt von je drei Zahlen nach dem bekannten Rechenweg gebildet:
Wie du siehst folgt die Regel von Sarrus einem einfachen Rechenschema für Determinaten, dass für dreidimensionale Matrizen angewendet werden kann. Bei vierdimensionalen oder größeren Matrizen wird der Rechenaufwand schnell sehr groß und es werden andere Lösungen für die Bestimmung der Determinante in Betracht gezogen.
Zum Abschluss findest du noch die wichtigsten Punkte zum Thema Determinante in einer Checkliste zusammengefasst.
Unsere Empfehlung
Es ist unheimlich wichtig, dass du dir den Rechenweg zur Berechnung der Determinante einer (2 x 2)-Matrix gut einprägst und am Besten auswendig lernst. Auch der Rechenweg zur Bestimmung der Determinante einer (3 x 3)-Matrix sollte dir spätestens nach deiner Schulausbildung geläufig sein.
Cool, dass du dich für das Thema Determinante interessierst! Wusstest du, dass für die Berechnung der Determinante einer dreidimensionalen Matrix ein einfaches Schema existiert, mit dem du jederzeit und schnell zum Ziel kommst? Gemeint ist die Regel von Sarrus. Mehr Infos dazu findest du auf dieser Learning Page!
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