Wie berechnet man die Determinante?

Je nach Größe der Matrix gibt es verschiedene Lösungsansätze:FormelRegel von SarrusLaplacescher Entwicklungssatz

2x2 Matrix Determinante

Algebra

Analysis

Geometrie

Stochastik

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\( \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \)Was ist die Determinante einer Matrix und was hat sie mit dem Invertieren einer Matrix zu tun? Einen Beweis dazu und wie Du die Determinante einer 2x2 Matrix berechnen kannst, findest Du hier. Außerdem lernst Du, wie Du den Rang einer Matrix mit Determinante bestimmen kannst.

Determinante einer 2x2 Matrix bilden

Um die Determinante einer Matrix zu bilden, solltest Du wissen, was eine Matrix ist und wie Du eine Matrix invertieren kannst.

2x2 Matrix invertieren Determinante

Anhand der Determinante kannst Du feststellen, ob eine Koeffizientenmatrix lösbar ist und ob sie invertierbar ist.

Die Determinante \((\det (A)=|A|)\) ist ein Skalar, das sich aus einer Matrix \((A)\) ergibt. Die Determinante kann nur von quadratischen Matrizen bestimmt werden.

Ist die Determinante nicht null, so ist die Matrix invertierbar \((A^{-1})\), bzw. die Koeffizientenmatrix eindeutig lösbar.

\begin{align} \det(A) \begin{cases} \neq 0 & \rightarrow & A^{-1}~\text{existiert} \\ = 0 & \rightarrow & A^{-1}~\text{existiert nicht} \end{cases} \end{align}

Ob eine Matrix quadratisch ist, kannst Du auf einen Blick erkennen. Sie muss eine symmetrische Matrix sein, das heißt, sie braucht genauso viele Zeilen, wie Spalten.

Du kannst manchmal auf einen Blick erkennen, ob die Determinante null ergeben wird, oder nicht. Eine Determinante wird dann null, wenn

eine Zeile oder Spalte nur Nullen enthält.
zwei Zeilen oder Spalten gleich sind.
Zeilen bzw. Spalten zusammen das Vielfache (also eine Linearkombination) von anderen Zeilen bzw. Spalten sind.

Determinante 2×2 einfach erklärt

Die Determinante einer 2x2 Matrix kannst Du mit einer Formel berechnen. Grundsätzlich gilt diese Formel für alle quadratischen Matrizen, jedoch wird sie mit zunehmender Größe komplizierter, weshalb dann andere Verfahren zum Einsatz kommen.

Die Determinante einer 2x2-Matrix \(A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}\) wird mit folgender Formel berechnet:

\[\det(A)=\begin{vmatrix} {\color{bl}a_1} & {\color{gr}a_2} \\ {\color{gr}b_1} & {\color{bl}b_2} \end{vmatrix} = {\color{bl}a_1 \cdot b_2} - {\color{gr}a_2 \cdot b_1}\]

Im Prinzip multiplizierst Du die Zahlen der Matrix also über Kreuz und subtrahierst sie dann voneinander.

An der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}\) würde das beispielsweise so aussehen:

\[\det(A)=\begin{vmatrix} {\color{bl}2} & {\color{gr}4} \\ {\color{gr}6} & {\color{bl}8} \end{vmatrix} = {\color{bl}2 \cdot 8} - {\color{gr}6 \cdot 4} = -8\]

Die Determinante ist \(-8\) und damit nicht null. Die Matrix ist also invertierbar, sprich \(A^{-1}\) existiert.

Determinante 2x2 Matrix – Beweis

Die Gültigkeit bzw. Existenz der Determinante zu beweisen, ist Teil eines Mathematik-Studiums und daher an dieser Stelle nicht relevant. Du kannst allerdings beweisen, dass eine Matrix nicht invertierbar ist, wenn die Determinante null ist.

Hierfür kannst Du eine Matrix verwenden, von der Du bereits weißt, dass die Determinante null ergeben wird. Beispielsweise die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}\), denn hier ist die 1. Spalte ein Vielfaches der 2. Spalte.

Wenn Du nun versuchst, die Matrix zu invertieren (meist wird das mit dem Gauß Algorithmus gemacht), wirst Du feststellen, dass Du die Zeilen miteinander verrechnen kannst, wie Du willst. Es wird dabei niemals eine Einheitsmatrix entstehen und somit erhältst Du auch keine inverse Matrix.

\[A= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} {\color{red}\not\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Damit hast Du bewiesen, dass eine Matrix nicht invertierbar ist, wenn die Determinante null ergibt. Andersherum geht das natürlich auch.

Rang einer Matrix mit Determinante bestimmen

Vielleicht hast Du bereits den Rang einer Matrix bestimmt und weißt, dass das normalerweise mit dem Gauß Algorithmus gemacht wird. Im Fall einer quadratischen Matrix kannst Du hierfür allerdings die Determinante verwenden.

Ist die Determinante einer quadratischen Matrix nicht null, so ist der Rang der Matrix gleich ihrer Zeilen- bzw. Spaltenanzahl.

Ob Du dafür die Zeilen oder Spalten zählst, ist egal, denn eine quadratische Matrix hat von beidem gleich viel.

Mehr dazu findest Du in der Erklärung "Rang einer Matrix".

Determinante 2×2 – Aufgaben mit Lösung

Zum Abschluss kannst Du hier noch ein paar mal selbst die Determinante berechnen.

Aufgabe 1 – Determinante berechnen 2×2

Berechne die Determinante der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 15 & 33 \\ 24 & 56 \end{pmatrix}\) und interpretiere das Ergebnis

Lösung

\[\det(A)=\begin{vmatrix} {\color{bl}15} & {\color{gr}33} \\ {\color{gr}24} & {\color{bl}56} \end{vmatrix} = {\color{bl}15 \cdot 56} - {\color{gr}24 \cdot 33} = 48\not=0\]

Die Determinante ist nicht \(0\). Somit ist die Matrix \(A\) invertierbar, das heißt \(A^{-1}\) existiert.

Aufgabe 2 – Rang einer Matrix bestimmen

Welchen Rang hat die Matrix \(B=\begin{pmatrix} 26 & 87 \\ 43 & 65 \end{pmatrix}\)?

Lösung

\[\det(B)=\begin{vmatrix} {\color{bl}26} & {\color{gr}87} \\ {\color{gr}43} & {\color{bl}65} \end{vmatrix} = {\color{bl}26 \cdot 65} - {\color{gr}43 \cdot 87} = -2\,051\]

Die Determinante ist nicht \(0\). Somit hat die Matrix \(B\) den Rang \(2\), da sie quadratisch ist und aus \(2\) Zeilen bzw. Spalten besteht.

Aufgabe 3 – 2x2 Matrix invertieren

Die Matrix \(C=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 16 & 22 \end{pmatrix}\) ist nicht invertierbar. Stimmt das? Begründe ohne Rechnung.

Lösung

Das ist richtig, denn die erste Zeile besteht nur aus Nullen. Somit ergibt die Determinante null und das heißt wiederum, dass die Matrix \(C\) nicht invertierbar ist.

Determinante 2x2 Matrix – Das Wichtigste

Mit der Determinante kannst Du feststellen, ob eine Matrix eine eindeutige Lösung hat und ob sie invertierbar ist, oder nicht\begin{align} \det(A) \begin{cases} \neq 0 & \rightarrow & A^{-1}~\text{existiert} \\ = 0 & \rightarrow & A^{-1}~\text{existiert nicht} \end{cases} \end{align}
Für die Berechnung der Determinante einer 2x2 Matrix verwendest Du folgende Formel:\[\det(A)=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \]
Den Rang einer quadratischen Matrix kannst Du ebenfalls mit der Determinante bestimmen. Ist die Determinante ungleich null, so entspricht der Rang der Matrix der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten.

Nachweise

Gotthard (2015). Fit für Die Oberstufe - Mathematik. Schroedel Verlag.
Weller (2010). Mathematik Neue Wege SII. Arbeitsbuch. Lineare Algebra - Analytische Geometrie. Schroedel Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema 2x2 Matrix Determinante

Du berechnest sie, indem Du die Zahlen über Kreuz multiplizierst und dann voneinander abziehst, also: det = a₁₁• a₂₂ - a₁₂ • a₂₁

Eine Determinante gibt Dir Auskunft darüber, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht.

Ist die Determinante null, dann kann sie nicht invertiert werden.

Je nach Größe der Matrix gibt es verschiedene Lösungsansätze:

Formel
Regel von Sarrus
Laplacescher Entwicklungssatz

Finales 2x2 Matrix Determinante Quiz

2x2 Matrix Determinante Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Erkläre, was das Ergebnis der Determinantenberechnung über die Matrix aussagt.

Antwort anzeigen

Antwort

Ist die Determinante \(0\), so ist die Matrix nicht invertierbar bzw. die Koeffizientenmatrix nicht lösbar. Ist die Determinante nicht \(0\), kannst Du sie invertieren und die Koeffizientenmatrix ist eindeutig lösbar.

Frage anzeigen

Frage

Wähle aus, wozu Du die Determinante berechnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Um herauszufinden, ob eine Matrix invertierbar ist.

Frage anzeigen

Frage

Wähle aus, woran Du sofort sehen kannst, dass die Determinante null sein wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Zeile/Spalte besteht nur aus nullen.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel, mit der Du die Determinante einer 2x2 Matrix berechnen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Determinante einer 2x2-Matrix \(A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}\) wird mit folgender Formel berechnet:

\[\det(A)=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \]

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie Du den Rang einer Matrix mit der Determinante bestimmen kannst.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einer quadratischen Matrix ist der Rang der Matrix gleich der Anzahl ihrer Zeilen/Spalten, wenn die Determinante nicht null ist.

Frage anzeigen

Frage

Die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 15 & 33 \\ 24 & 56 \end{pmatrix}\) hat eine eindeutige Lösung. Stimmt das? Begründe.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, sie hat eine eindeutige Lösung, denn die Determinante ist nicht null.

Frage anzeigen

Frage

Bestimme den Rang der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 16 & 63 \\ 27 & 56 \end{pmatrix}\).

Antwort anzeigen

Antwort

Die Matrix hat den Rang \(2\), weil sie quadratisch ist und ihre Determinante nicht null ist.

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Determinante der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 0 & 25 \\ 0 & 34 \end{pmatrix}\).

Antwort anzeigen

Antwort

Die Determinante wird \(0\) ergeben, weil die erste Spalte nur Nullen enthält.

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Determinante der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 93 & 58 \\ 39 & 10 \end{pmatrix}\).

Antwort anzeigen

Antwort

\[\det(A)=-1\,332\]

Frage anzeigen

Frage

Wähle aus, ob die Determinante auch für nicht-quadratische Matrizen berechnet werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

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