\( \definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200} \definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180} \definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115} \definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226} \definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0} \)Was ist die Determinante einer Matrix und was hat sie mit dem Invertieren einer Matrix zu tun? Einen Beweis dazu und wie Du die Determinante einer 2x2 Matrix berechnen kannst, findest Du hier. Außerdem lernst Du, wie Du den Rang einer Matrix mit Determinante bestimmen kannst.
Determinante Matrix
Um die Determinante einer Matrix zu bilden, solltest Du wissen, was eine Matrix ist und wie Du eine Matrix invertieren kannst.
2x2 Matrix invertieren Determinante
Anhand der Determinante kannst Du feststellen, ob eine Koeffizientenmatrix lösbar ist und ob sie invertierbar ist.
Die Determinante \((\det (A)=|A|)\) ist ein Skalar, das sich aus einer Matrix \((A)\) ergibt. Die Determinante kann nur von quadratischen Matrizen bestimmt werden.
Ist die Determinante nicht null, so ist die Matrix invertierbar \((A^{-1})\), bzw. die Koeffizientenmatrix eindeutig lösbar.
\begin{align} \det(A) \begin{cases} \neq 0 & \rightarrow & A^{-1}~\text{existiert} \\ = 0 & \rightarrow & A^{-1}~\text{existiert nicht} \end{cases} \end{align}
Ob eine Matrix quadratisch ist, kannst Du auf einen Blick erkennen. Sie muss eine symmetrische Matrix sein, das heißt, sie braucht genauso viele Zeilen, wie Spalten.
Du kannst manchmal auf einen Blick erkennen, ob die Determinante null ergeben wird, oder nicht. Eine Determinante wird dann null, wenn
- eine Zeile oder Spalte nur Nullen enthält.
- zwei Zeilen oder Spalten gleich sind.
- Zeilen bzw. Spalten zusammen das Vielfache (also eine Linearkombination) von anderen Zeilen bzw. Spalten sind.
Determinante Matrix berechnen
Die Determinante einer 2x2 Matrix kannst Du mit einer Formel berechnen. Grundsätzlich gilt diese Formel für alle quadratischen Matrizen, jedoch wird sie mit zunehmender Größe komplizierter, weshalb dann andere Verfahren zum Einsatz kommen.
Die Determinante einer 2x2-Matrix \(A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}\) wird mit folgender Formel berechnet:
\[\det(A)=\begin{vmatrix} {\color{bl}a_1} & {\color{gr}a_2} \\ {\color{gr}b_1} & {\color{bl}b_2} \end{vmatrix} = {\color{bl}a_1 \cdot b_2} - {\color{gr}a_2 \cdot b_1}\]
Im Prinzip multiplizierst Du die Zahlen der Matrix also über Kreuz und subtrahierst sie dann voneinander.
An der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}\) würde das beispielsweise so aussehen:
\[\det(A)=\begin{vmatrix} {\color{bl}2} & {\color{gr}4} \\ {\color{gr}6} & {\color{bl}8} \end{vmatrix} = {\color{bl}2 \cdot 8} - {\color{gr}6 \cdot 4} = -8\]
Die Determinante ist \(-8\) und damit nicht null. Die Matrix ist also invertierbar, sprich \(A^{-1}\) existiert.
Determinante 2x2 Matrix Beweis
Die Gültigkeit bzw. Existenz der Determinante zu beweisen, ist Teil eines Mathematik-Studiums und daher an dieser Stelle nicht relevant. Du kannst allerdings beweisen, dass eine Matrix nicht invertierbar ist, wenn die Determinante null ist.
Hierfür kannst Du eine Matrix verwenden, von der Du bereits weißt, dass die Determinante null ergeben wird. Beispielsweise die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}\), denn hier ist die 1. Spalte ein Vielfaches der 2. Spalte.
Wenn Du nun versuchst, die Matrix zu invertieren (meist wird das mit dem Gauß Algorithmus gemacht), wirst Du feststellen, dass Du die Zeilen miteinander verrechnen kannst, wie Du willst. Es wird dabei niemals eine Einheitsmatrix entstehen und somit erhältst Du auch keine inverse Matrix.
\[A= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} {\color{red}\not\rightarrow}\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Damit hast Du bewiesen, dass eine Matrix nicht invertierbar ist, wenn die Determinante null ergibt. Andersherum geht das natürlich auch.
Rang einer Matrix mit Determinante bestimmen
Zum Abschluss kannst Du hier noch ein paar mal selbst die Determinante berechnen.
Aufgabe 1
Berechne die Determinante der Matrix \(A=\begin{pmatrix} 15 & 33 \\ 24 & 56 \end{pmatrix}\) und interpretiere das Ergebnis
Lösung
\[\det(A)=\begin{vmatrix} {\color{bl}15} & {\color{gr}33} \\ {\color{gr}24} & {\color{bl}56} \end{vmatrix} = {\color{bl}15 \cdot 56} - {\color{gr}24 \cdot 33} = 48\not=0\]
Die Determinante ist nicht \(0\). Somit ist die Matrix \(A\) invertierbar, das heißt \(A^{-1}\) existiert.
Aufgabe 2
Welchen Rang hat die Matrix \(B=\begin{pmatrix} 26 & 87 \\ 43 & 65 \end{pmatrix}\)?
Lösung
\[\det(B)=\begin{vmatrix} {\color{bl}26} & {\color{gr}87} \\ {\color{gr}43} & {\color{bl}65} \end{vmatrix} = {\color{bl}26 \cdot 65} - {\color{gr}43 \cdot 87} = -2\,051\]
Die Determinante ist nicht \(0\). Somit hat die Matrix \(B\) den Rang \(2\), da sie quadratisch ist und aus \(2\) Zeilen bzw. Spalten besteht.
Aufgabe 3
Die Matrix \(C=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 16 & 22 \end{pmatrix}\) ist nicht invertierbar. Stimmt das? Begründe ohne Rechnung.
Lösung
Das ist richtig, denn die erste Zeile besteht nur aus Nullen. Somit ergibt die Determinante null und das heißt wiederum, dass die Matrix \(C\) nicht invertierbar ist.
Determinante 2x2 Matrix - Das Wichtigste
- Mit der Determinante kannst Du feststellen, ob eine Matrix eine eindeutige Lösung hat und ob sie invertierbar ist, oder nicht\begin{align} \det(A) \begin{cases} \neq 0 & \rightarrow & A^{-1}~\text{existiert} \\ = 0 & \rightarrow & A^{-1}~\text{existiert nicht} \end{cases} \end{align}
- Für die Berechnung der Determinante einer 2x2 Matrix verwendest Du folgende Formel:\[\det(A)=\begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \]
- Den Rang einer quadratischen Matrix kannst Du ebenfalls mit der Determinante bestimmen. Ist die Determinante ungleich null, so entspricht der Rang der Matrix der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten.
Nachweise
- Gotthard (2015). Fit für Die Oberstufe - Mathematik. Schroedel Verlag.
- Weller (2010). Mathematik Neue Wege SII. Arbeitsbuch. Lineare Algebra - Analytische Geometrie. Schroedel Verlag.
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