Kennst Du Dich mit Wurzelziehen aus?
Die Rede ist natürlich nicht von der Gärtnerei oder der Zahnmedizin, sondern von Wurzeln in der Mathematik. Vielleicht kannst Du schon einzelne Wurzeln berechnen, aber wie gehst Du vor, wenn Du mehrere Wurzeln multiplizieren oder dividieren möchtest? – Das erfährst Du hier!
Wurzeln multiplizieren und dividieren – Grundlagenwissen
Das Wurzelziehen ist die Umkehrfunktion des Potenzierens.
Die Quadratwurzel ![]()
ist die Zahl x, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter dem Wurzelzeichen ergibt.
![]()
Die Zahl a einer Quadratwurzel ![]()
muss dabei stets größer bzw. gleich null sein. Andernfalls ist die Wurzel nicht definiert.
Beim Wurzelziehen einer Quadratwurzel machst Du im Prinzip das Quadrieren rückgängig.
Wenn Du also![]()
berechnen willst, kannst Du Dich fragen: Welche Zahl hoch 2 ergibt a? Wenn Du eine solche Zahl findest, ist dies die Quadratwurzel aus a.
In der Definition wird das Wort "Quadratwurzel" verwendet. Dieser Begriff steht für die zweite Wurzel. Anstelle dessen könntest Du auch ![]()
schreiben. Meistens wird die 2 aber weggelassen.
Es gibt auch höhere Wurzeln.
![]()
ist die n-te Wurzel aus a. Gesucht ist eine Zahl x, sodass ![]()
ist.
Hier kannst Du Dich fragen: "Welche Zahl hoch n ergibt a?". So erhältst Du den Wurzelwert der Wurzel.
Begriffe einer Wurzel
Nun kennst Du zwar die Definition einer Wurzel, aber woraus besteht eine Wurzel überhaupt?
In Abbildung 1 kannst Du einen Wurzelausdruck sehen. An dem Wurzelzeichen steht ein Wurzelexponent. Dieser wird bei der zweiten Wurzel meist weggelassen. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen wird Radikand genannt.
Abbildung 1: Begriffe in einer Wurzel
Der Wert der gesamten Wurzel wird auch Wurzelwert genannt.
Beispiele für Wurzeln
Um die Quadratwurzel einer Zahl zu berechnen, kannst Du Dich immer fragen, welche Zahl quadriert den Radikanden, also die Zahl unter der Wurzel, ergibt.
Aufgabe 1
Gesucht ist die Quadratwurzel der Zahl 100, also ![]()
. Welche Zahl ergibt quadriert 100?
Lösung
Es ist ![]()
, deswegen ist ![]()
.
Auch bei der Lösung von höheren Wurzeln kannst Du so vorgehen.
Aufgabe 2
Gesucht ist die vierte Wurzel von 16, also ![]()
. Welche Zahl hoch 4 ergibt 16?
Lösung
Es ist ![]()
, deswegen ist ![]()
.
Es gibt auch Beispiele von Wurzeln, die keine reellen Zahlen als Lösung haben.
Du kannst ja mal die Quadratwurzel von -16, also ![]()
, in den Taschenrechner eingeben. Du erhältst dabei eine Fehlermeldung, da es keine reelle Zahl gibt, die quadriert -16 ergibt, denn
![]()
Du kannst Dir also merken, dass der Radikand einer Quadratwurzel nicht negativ sein darf. Ansonsten ist die Wurzel nicht definiert!
Zwei Wurzeln multiplizieren
Mit dem Berechnen einer Wurzel kennst Du Dich jetzt aus, aber wie gehst Du vor, wenn Du mehrere Wurzeln miteinander multiplizieren musst?
Der Weg, der ausnahmslos funktioniert, ist der, jede Wurzel separat zu berechnen und anschließend die jeweiligen Lösungen miteinander zu multiplizieren.
Aufgabe 3
Berechne den folgenden Term:
![]()
Lösung
Du berechnest also zunächst jede Wurzel für sich und multiplizierst die beiden Lösungen miteinander.
![]()
Auf diese Art uns Weise kannst Du auch jeden anderen Ausdruck einer Wurzelmultiplikation berechnen. Es gibt aber auch bestimmte Rechenregeln für die Multiplikation von Wurzeln, die das Rechnen manchmal erleichtern können.
Rechenregeln für das Multiplizieren von Wurzeln
Wurzeln, die den gleichen Wurzelexponenten haben, werden auch gleichnamige Wurzeln genannt. In so einem Fall darfst Du die Wurzeln direkt miteinander multiplizieren.
Das Wurzelgesetz für die Multiplikation darfst Du anwenden, wenn zwei Wurzelausdrücke denselben Wurzelexponenten n haben. Es lautet:
![]()
Du multiplizierst also die Radikanden und schreibst das Ergebnis wieder unter eine Wurzel mit demselben Wurzelexponenten.
Da es sich bei dem vorigen Beispiel um gleichnamige Wurzeln handelt (da beide 2 als Wurzelexponenten haben), kannst Du direkt mal das Wurzelgesetz der Multiplikation an dem Beispiel überprüfen.
![]()
Wie Du sehen kannst, ergibt das Produkt von ![]()
und ![]()
die Wurzel von 144, welche wiederum 12 als Quadratzahl hat. Die beiden Wege führen somit zum selben Ergebnis.
Wenn bei beiden Rechenwegen dasselbe Ergebnis herauskommt, was bringt Dir das Wurzelgesetz jetzt überhaupt?
Vorteile des Wurzelgesetzes
Das Anwenden des Wurzelgesetzes für die Multiplikation vereinfacht den Ausdruck. ![]()
ist deutlich kürzer als ![]()
. Rechnungen werden dadurch übersichtlicher, selbst wenn Variablen vorkommen. So ist ![]()
einfacher notiert als ![]()
.
Das Wurzelgesetz für die Multiplikation vereinfacht aber nicht nur den Ausdruck, es kann Dir auch einen echten Rechenvorteil bringen.
![]()
Es ist schwierig, die Wurzel aus 3 sowie die Wurzel aus 12 im Kopf zu berechnen. Wenn Du hier das Wurzelgesetz anwendest, wird aus ![]()
genau ![]()
. 36 ist eine Quadratzahl und die Wurzel aus 36 ist 6.
Wie schon angedeutet, kann das Wurzelgesetz auch die Multiplikation von Wurzeln, die Variablen beinhalten, erleichtern.
Wurzeln multiplizieren mit Variablen
Variablen sind Platzhalter für beliebige Zahlen, die meist durch Buchstaben oder Symbole gekennzeichnet werden. Kommt also in einer Wurzel etwa ein x vor, kannst Du den Term im Prinzip wie eine normale Zahl behandeln. Die Rechenregeln für die Multiplikation von Wurzeln ändern sich somit nicht. Du kannst folgendermaßen an so eine Aufgabe herangehen:
- Schritt 1: Wende, wenn möglich, das Wurzelgesetz der Multiplikation an
- Schritt 2: Sortiere die Faktoren nach Zahlen und Buchstaben (unter Beachtung des Kommutativgesetzes)
- Schritt 3: Fasse die jeweiligen Zahlen und Variablen zusammen
- Schritt 4: Vereinfache so weit wie möglich durch teilweises Wurzelziehen
Betrachtet wird der folgende Wurzelausdruck:
![]()
Da der Radikand einer Wurzel nicht negativ sein darf, ist die Variable x hier ein Platzhalter für jede rationale Zahl größer bzw. gleich null. Mathematisch kann die Definitionsmenge wie folgt formuliert werden: ![]()
Immer, wenn Du Gleichungen mit Variablen löst, muss eine Definitionsmenge der Variable(n) angegeben werden. Sofern diese nicht bereits in der Aufgabe vorgegeben ist, musst Du sie selbst bestimmen.
Schritt 1: Wende, wenn möglich, das Wurzelgesetz der Multiplikation an
Kannst Du das Wurzelgesetz anwenden? – Ja, denn beide Wurzeln sind quadratisch.
Wie Du bereits gelernt hast, kannst Du die Radikanden jetzt unter einer Wurzel zusammenfassen.
![]()
Schritt 2: Sortiere die Faktoren nach Zahlen und Buchstaben (unter Beachtung des Kommutativgesetzes)
![]()
Da es sich bei diesem Beispiel bei den Radikanden ausschließlich um Faktoren handelt, kannst Du sie beliebig tauschen. Bei Subtraktion und Division gilt dies nicht.
Schritt 3: Fasse die jeweiligen Zahlen und Variablen zusammen
Bei diesem Schritt berechnest Du die Multiplikation der Zahlen und der Variablen einzeln.
![]()
Schritt 4: Vereinfache so weit wie möglich durch teilweises Wurzelziehen
Jetzt kannst Du den Wurzelausdruck weiter vereinfachen, mit dem Ziel, die Wurzel weitestgehend aufzulösen. Fällt Dir vielleicht etwas bei der Zahl 16 auf? – Genau. Es handelt sich hier um eine Quadratzahl, die Wurzel von 16 ist nämlich 4. Die 16 kannst Du somit aus der Wurzel herausziehen, indem Du die Lösung, also 4, als Faktor vor die Wurzel schreibst.
![]()
Meinst Du, Du schaffst es, den Term noch weiter zu vereinfachen? – Tatsächlich. Da die Variable x als Quadrat vorkommt, kannst Du die Wurzel genau wie bei der 16 berechnen.
![]()
Damit hast Du den Wurzelausdruck ![]()
erfolgreich zu ![]()
vereinfacht.
Ungleichnamige Wurzeln multiplizieren
Wie Du bereits gelernt hast, gilt das Wurzelgesetz der Multiplikation nur für gleichnamige Wurzeln, aber wie gehst Du vor, wenn Du Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelexponenten miteinander multiplizieren möchtest?
Wurzeln sind ungleichnamig, wenn sie unterschiedliche Wurzelexponenten n und m haben, also
![]()
Für diese gilt das Wurzelgesetz der Multiplikation nicht.
Um eine Multiplikation von ungleichnamigen Wurzeln zu lösen, kannst Du den Lösungsweg benutzen, der für alle Arten von Wurzeln gleichermaßen gilt – die Wurzeln zunächst separat lösen und die einzelnen Lösungen der Wurzeln dann multiplizieren.
Aufgabe 4
Berechne den folgenden Wurzelausdruck:
![]()
Lösung
Wie Du an den unterschiedlichen Wurzelexponenten 3 und 4 sehen kannst, handelt es sich hier um ungleichnamige Wurzeln.
![]()
Das Produkt aus ![]()
ergibt somit 6.
Möchtest Du aber das Wurzelgesetz anwenden, um die Multiplikation direkt unter einer Wurzel darzustellen, musst Du die Wurzeln vorher gleichnamig machen. Wie das funktioniert, erfährst Du in dieser Vertiefung.
Anwendung des Wurzelgesetzes der Multiplikation bei ungleichnamigen Wurzeln
Zwei Wurzeln ![]()
mit unterschiedlichen Wurzelexponenten n und m können gleichnamig gemacht werden, indem die Wurzelexponenten auf ihr gemeinsames Vielfaches erweitert werden. Optimalerweise handelt es sich dabei um das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV).
Zur Erinnerung: Ein gemeinsames Vielfaches (gV) zwischen zwei verschiedenen Wurzelexponenten n und m kannst Du ermitteln, indem Du diese miteinander multiplizierst: ![]()
.
Um den Wurzelexponenten n einer Wurzel ![]()
auf das gemeinsame Vielfache zu erweitern, multiplizierst Du den Wurzelexponenten n mit dem Wurzelexponenten m der anderen Wurzel. Außerdem wird der Exponent des Radikanden k, der meistens 1 ist, ebenfalls mit dem Wurzelexponenten m multipliziert.
![]()
Bei der anderen Wurzel gehst Du entsprechend analog vor:
![]()
Aufgabe 5
Berechne den folgenden Wurzelausdruck mit dem Wurzelgesetz der Multiplikation
![]()
Lösung
Du beginnst damit, die erste Wurzel mit der oben genannten Formel gleichnamig zu machen.
![]()
Ist der Exponent k des Radikanden gleich 1, wird er wie bei dieser Aufgabe nicht mit dazu geschrieben.
![]()
Analog gehst Du auch bei der anderen Wurzel vor:
![]()
Damit sind beide Wurzeln gleichnamig und können mit dem Wurzelgesetz der Multiplikation zusammengefasst werden.
![]()
Wurzeln dividieren
Das Multiplizieren und das Dividieren von Wurzeln funktioniert fast identisch. Welcher Rechenweg klappt noch mal ausnahmslos bei jeder Art von Rechnung mit mehreren Wurzeln? – Genau, Du berechnest zunächst jede Wurzel separat und verrechnest anschließend die jeweiligen Lösungen miteinander.
Bei der Division teilst Du also die Lösung der Wurzel im Zähler durch die Lösung der Wurzel im Nenner.
Aufgabe 6
Berechne den folgenden Wurzelausdruck:
![]()
Lösung
Die Lösung von ![]()
ist 6. Die Lösung der Wurzel im Nenner ![]()
beträgt 5. Somit kannst Du den Wurzelausdruck wie folgt lösen:
![]()
Wie Du Dir wahrscheinlich schon denken kannst, gibt es auch für das Dividieren von Wurzeln ein Wurzelgesetz, welches Dir das separate Berechnen der Wurzeln ersparen kann.
Rechenregeln für das Dividieren von Wurzeln
Das Wurzelgesetz für die Division ist analog zum Wurzelgesetz der Multiplikation aufgebaut. Auch hier müssen die Wurzeln gleichnamig sein.
Das Wurzelgesetz für die Division darfst Du anwenden, wenn zwei Wurzelausdrücke denselben Wurzelexponenten n haben. Es lautet:
![]()
Du dividierst also die Radikanden und schreibst das Ergebnis wieder unter eine Wurzel mit demselben Wurzelexponenten.
Da es sich bei dem vorigen Beispiel um ungleichnamige Wurzeln handelt, kannst Du das Wurzelgesetz der Division dort nicht anwenden. Deshalb muss eine neue Aufgabe her, bei der das Gesetz Anwendung finden kann.
Aufgabe 7
Berechne den folgenden Wurzelausdruck:
![]()
Lösung
![]()
Um ![]()
durch ![]()
zu teilen, kannst Du die Radikanden dividieren und unter die dritte Wurzel schreiben.
Möchtest Du bei ungleichnamigen Wurzeln das Wurzelgesetz der Division anwenden, kannst Du sie nach derselben Vorgehensweise wie bei der Multiplikation von Wurzeln gleichnamig machen. Schau Dir dazu einfach noch einmal die Vertiefung weiter oben an.
Vorteile des Wurzelgesetzes
Die Vorteile des Wurzelgesetzes bei der Division sind ähnlich wie bei der Multiplikation. Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Ausdruck übersichtlicher machen. ![]()
ist bereits übersichtlicher als ![]()
. Wenn Du noch ![]()
zu 3 kürzt, ist die Darstellung noch einfacher: ![]()
Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Rechenvorteil bringen.
![]()
Während die Berechnung von ![]()
und ![]()
im Kopf ziemlich schwierig ist, erhältst Du nach der Anwendung des Wurzelgesetzes mit der 25 als Radikand eine Quadratzahl. Die Lösung ist somit 5.
Wurzeln dividieren und multiplizieren – Aufgaben
Hast Du das Multiplizieren und Dividieren von Wurzeln verstanden? Dann kannst Du mit den folgenden Aufgaben Dein Wissen auf die Probe stellen und weiter vertiefen.
Aufgabe 8
Berechne den folgenden Ausdruck:
![]()
Lösung
Da es sich hier ausschließlich um gleichnamige Wurzeln handelt, kannst Du die Wurzelgesetze der Multiplikation sowie der Division ohne Weiteres anwenden.
![]()
Aufgabe 9
Vereinfache den folgenden Wurzelausdruck so weit wie möglich:
![]()
Die Variable x kann hier jede rationale Zahl größer bzw. gleich null annehmen ![]()
Lösung
Schritt 1: Wende, wenn möglich, das Wurzelgesetz der Multiplikation an
![]()
Schritt 2: Sortiere die Faktoren nach Zahlen und Buchstaben (unter Beachtung des Kommutativgesetzes)
![]()
Schritt 3: Fasse die jeweiligen Zahlen und Variablen zusammen
![]()
Schritt 4: Vereinfache so weit wie möglich durch teilweises Wurzelziehen
![]()
Wurzeln multiplizieren – Das Wichtigste
![]()
ist die n-te Wurzel aus a. Gesucht ist eine Zahl x, sodass ![]()
ist.- Möchtest Du mehrere Wurzeln multiplizieren oder dividieren, kannst Du ausnahmslos immer zunächst jede Wurzel separat lösen und anschließend die jeweiligen Lösungen miteinander verrechnen.
- Wurzeln, die den gleichen Wurzelexponenten haben, werden auch gleichnamige Wurzeln genannt.
- Bei der Multiplikation und Division von gleichnamigen Wurzeln gibt es Wurzelgesetze, die bei der Berechnung helfen können.
- Das Wurzelgesetz für die Multiplikation lautet:
![]()
- Das Wurzelgesetz für die Division lautet:
![]()
- Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelexponenten heißen ungleichnamig.
- Zwei Wurzeln
![]()
mit unterschiedlichen Wurzelexponenten n und m können gleichnamig gemacht werden, indem die Wurzelexponenten auf ihr gemeinsames Vielfaches erweitert werden.![]()
Nachweise
- Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufen I und II. Cornelsen Verlag, Berlin
- Proß, Imkamp (2018). Algebra-Grundwissen. Brückenkurs Mathematik für den Studieneinstieg. Springer. Berlin Heidelberg.
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