Wurzeln multiplizieren

Kennst Du Dich mit Wurzelziehen aus?

Die Rede ist natürlich nicht von der Gärtnerei oder der Zahnmedizin, sondern von Wurzeln in der Mathematik. Vielleicht kannst Du schon einzelne Wurzeln berechnen, aber wie gehst Du vor, wenn Du mehrere Wurzeln multiplizieren oder dividieren möchtest? – Das erfährst Du hier!

Wurzeln multiplizieren und dividieren – Grundlagenwissen

Das Wurzelziehen ist die Umkehrfunktion des Potenzierens.

Beim Wurzelziehen einer Quadratwurzel machst Du im Prinzip das Quadrieren rückgängig.

Wenn Du also berechnen willst, kannst Du Dich fragen: Welche Zahl hoch 2 ergibt a? Wenn Du eine solche Zahl findest, ist dies die Quadratwurzel aus a.

Der Wert der gesamten Wurzel wird auch Wurzelwert genannt.

Beispiele für Wurzeln

Um die Quadratwurzel einer Zahl zu berechnen, kannst Du Dich immer fragen, welche Zahl quadriert den Radikanden, also die Zahl unter der Wurzel, ergibt.

Auch bei der Lösung von höheren Wurzeln kannst Du so vorgehen.

Es gibt auch Beispiele von Wurzeln, die keine reellen Zahlen als Lösung haben.

Du kannst Dir also merken, dass der Radikand einer Quadratwurzel nicht negativ sein darf. Ansonsten ist die Wurzel nicht definiert!

Zwei Wurzeln multiplizieren

Mit dem Berechnen einer Wurzel kennst Du Dich jetzt aus, aber wie gehst Du vor, wenn Du mehrere Wurzeln miteinander multiplizieren musst?

Der Weg, der ausnahmslos funktioniert, ist der, jede Wurzel separat zu berechnen und anschließend die jeweiligen Lösungen miteinander zu multiplizieren.

Auf diese Art uns Weise kannst Du auch jeden anderen Ausdruck einer Wurzelmultiplikation berechnen. Es gibt aber auch bestimmte Rechenregeln für die Multiplikation von Wurzeln, die das Rechnen manchmal erleichtern können.

Rechenregeln für das Multiplizieren von Wurzeln

Wurzeln, die den gleichen Wurzelexponenten haben, werden auch gleichnamige Wurzeln genannt. In so einem Fall darfst Du die Wurzeln direkt miteinander multiplizieren.

Du multiplizierst also die Radikanden und schreibst das Ergebnis wieder unter eine Wurzel mit demselben Wurzelexponenten.

Da es sich bei dem vorigen Beispiel um gleichnamige Wurzeln handelt (da beide 2 als Wurzelexponenten haben), kannst Du direkt mal das Wurzelgesetz der Multiplikation an dem Beispiel überprüfen.

Wenn bei beiden Rechenwegen dasselbe Ergebnis herauskommt, was bringt Dir das Wurzelgesetz jetzt überhaupt?

Vorteile des Wurzelgesetzes

Das Anwenden des Wurzelgesetzes für die Multiplikation vereinfacht den Ausdruck. ist deutlich kürzer als . Rechnungen werden dadurch übersichtlicher, selbst wenn Variablen vorkommen. So ist einfacher notiert als .

Das Wurzelgesetz für die Multiplikation vereinfacht aber nicht nur den Ausdruck, es kann Dir auch einen echten Rechenvorteil bringen.

Wie schon angedeutet, kann das Wurzelgesetz auch die Multiplikation von Wurzeln, die Variablen beinhalten, erleichtern.

Wurzeln multiplizieren mit Variablen

Variablen sind Platzhalter für beliebige Zahlen, die meist durch Buchstaben oder Symbole gekennzeichnet werden. Kommt also in einer Wurzel etwa ein x vor, kannst Du den Term im Prinzip wie eine normale Zahl behandeln. Die Rechenregeln für die Multiplikation von Wurzeln ändern sich somit nicht. Du kannst folgendermaßen an so eine Aufgabe herangehen:

• Schritt 1: Wende, wenn möglich, das Wurzelgesetz der Multiplikation an
• Schritt 2: Sortiere die Faktoren nach Zahlen und Buchstaben (unter Beachtung des Kommutativgesetzes)
• Schritt 3: Fasse die jeweiligen Zahlen und Variablen zusammen
• Schritt 4: Vereinfache so weit wie möglich durch teilweises Wurzelziehen

Ungleichnamige Wurzeln multiplizieren

Wie Du bereits gelernt hast, gilt das Wurzelgesetz der Multiplikation nur für gleichnamige Wurzeln, aber wie gehst Du vor, wenn Du Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelexponenten miteinander multiplizieren möchtest?

Um eine Multiplikation von ungleichnamigen Wurzeln zu lösen, kannst Du den Lösungsweg benutzen, der für alle Arten von Wurzeln gleichermaßen gilt – die Wurzeln zunächst separat lösen und die einzelnen Lösungen der Wurzeln dann multiplizieren.

Möchtest Du aber das Wurzelgesetz anwenden, um die Multiplikation direkt unter einer Wurzel darzustellen, musst Du die Wurzeln vorher gleichnamig machen. Wie das funktioniert, erfährst Du in dieser Vertiefung.

Wurzeln dividieren

Das Multiplizieren und das Dividieren von Wurzeln funktioniert fast identisch. Welcher Rechenweg klappt noch mal ausnahmslos bei jeder Art von Rechnung mit mehreren Wurzeln? – Genau, Du berechnest zunächst jede Wurzel separat und verrechnest anschließend die jeweiligen Lösungen miteinander.

Bei der Division teilst Du also die Lösung der Wurzel im Zähler durch die Lösung der Wurzel im Nenner.

Wie Du Dir wahrscheinlich schon denken kannst, gibt es auch für das Dividieren von Wurzeln ein Wurzelgesetz, welches Dir das separate Berechnen der Wurzeln ersparen kann.

Rechenregeln für das Dividieren von Wurzeln

Das Wurzelgesetz für die Division ist analog zum Wurzelgesetz der Multiplikation aufgebaut. Auch hier müssen die Wurzeln gleichnamig sein.

Du dividierst also die Radikanden und schreibst das Ergebnis wieder unter eine Wurzel mit demselben Wurzelexponenten.

Da es sich bei dem vorigen Beispiel um ungleichnamige Wurzeln handelt, kannst Du das Wurzelgesetz der Division dort nicht anwenden. Deshalb muss eine neue Aufgabe her, bei der das Gesetz Anwendung finden kann.

Vorteile des Wurzelgesetzes

Die Vorteile des Wurzelgesetzes bei der Division sind ähnlich wie bei der Multiplikation. Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Ausdruck übersichtlicher machen. ist bereits übersichtlicher als . Wenn Du noch zu 3 kürzt, ist die Darstellung noch einfacher:

Auch hier kann das Wurzelgesetz einen Rechenvorteil bringen.

Wurzeln dividieren und multiplizieren – Aufgaben

Hast Du das Multiplizieren und Dividieren von Wurzeln verstanden? Dann kannst Du mit den folgenden Aufgaben Dein Wissen auf die Probe stellen und weiter vertiefen.