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LGS Grafisch lösen

Du feierst heute deinen 12ten Geburtstag und fragst Dich, wie lange es noch dauert, bis Du volljährig wirst. Schon bist Du mitten in einer Matheaufgabe, bei welcher ein grundlegendes Wissen zum Thema Gleichungen benötigt wird.

Arten von Gleichungen Gleichung StudySmarter

Alles rund ums Thema Gleichungen erfährst Du in folgender Staffel.

Gleichung - Erklärung

Eine Gleichung erkennst Du an folgendem Muster:

Gleichungen Aufbau einer Gleichung StudySmarterAbbildung 1: Aufbau einer Gleichung

Eine Gleichung besteht immer aus zwei Termen, welche durch ein Gleichzeichen '=' voneinander getrennt werden.

Aber, ein Schritt zurück: Was soll denn eine Gleichung überhaupt darstellen? Schaue Dir dazu Abbildung 1 an, welche die StudySmarter Waage darstellt.

Gleichungen Waage im Gleichgewicht StudySmarterAbbildung 2: Waage im Gleichgewicht

Genau diese Abbildung beschreibt den Kern hinter Gleichungen. Gleichungen verbinden zwei Objekte miteinander, indem sie Dir mitteilen: Links und rechts steht genau dasselbe.

Bedeutung des Gleichheitszeichen | Linke & Rechte Seite einer Gleichung

Das Gewicht auf der linken Seite soll mit dem Buchstaben L und das auf der rechten Seite mit R bezeichnet werden.

Die Beobachtung, dass sich die Waage im Gleichgewicht befindet, kannst Du mit dem Ausdruck Gleichungen Grundlagen Gleichung zwischen zwei Ausdrücken A und B StudySmarternotieren. Der Ausdruck "" steht also für eine Gleichung, bei welcher linke Seite und R die rechte Seite gleich groß sind.

Doch wie kann nun eine Gleichung aufgestellt werden?

Gleichungen aufstellen

Um das Gleichgewicht zu erhalten, musst Du auf beiden Seiten immer genau dasselbe machen. Das heißt, Du entfernst beispielsweise auf beiden Seite den türkisfarbenen Block. Würde dieser nur auf einer Seite entfernt werden, hätten wir ein Ungleichgewicht.

Gleichungen Waage ins Gleichgewicht bringen StudySmarterAbbildung 3: Waage ins Gleichgewicht bringen

Eine einfache mathematische Gleichung für dieses grafische Beispiel sieht wie folgt aus:

Aufgabe 1

Stelle eine Gleichung für Abbildung 1 auf, wobei die Bausteine folgendes Gewicht aufweisen:

Rot =

Türkis =

Orange =

Entferne anschließend in der Gleichung den türkisfarbenen Baustein, wie Abbildung 2 aufzeigt.

Lösung

Es ergibt sich folgende Gleichung:

Als nächsten Schritt wird das Gewicht anstelle der Begriffe eingesetzt.

Um den türkisfarbenen Baustein zu entfernen, werden auf beiden Seiten die abgezogen, um die Lösung zu erhalten. Es ergibt sich somit folgende Gleichung:

In der Mathematik beinhalten Gleichungen meistens sogenannte Variablen, welche mit x, y, z bezeichnet werden und stellvertretend für einen beliebigen Wert stehen. Beispielsweise bei unserem einführenden Beispiel, bei welchem Du berechnen möchtest, wie lange Du warten musst, bis Du 18 Jahre alt wirst. Es muss also eine Zahl gefunden werden, welche, wenn man 12 addiert, genau 18 ergibt.

Wie folgende Gleichung gelöst werden kann, erfährst Du in folgendem Abschnitt:

Gleichungen lösen

Um eine Gleichung lösen zu können, muss diese mithilfe der Äquivalenzumformung zuerst korrekt umgestellt werden, und im Anschluss daran aufgelöst werden.

Gleichungen umstellen

Unter der Äquivalenzumformung wird verstanden, dass die Gleichung so umgestellt wird, dass die Variable sich allein auf einer Seite befindet. Um verschiedene Terme von einer Seite der Gleichung auf die andere zu schieben, muss hierbei dieser mit dem Gegenoperator versehen werden. Dies bedeutet, dass sich die Vorzeichen bzw. Operatoren wie folgt ändern, wenn der Term die Seite der Gleichung wechselt:

Folgendes Beispiel soll versuchen, die Gleichung aus der Einführung korrekt umzustellen:

Aufgabe 1

Wende die Äquivalenzumformung für folgende Gleichung an:

Lösung

Um diese Gleichung so umzustellen, dass die Variable x allein auf der linken Seite steht, muss die 12 auf die andere Seite geschoben werden, wobei hierbei der Operator verändert wird. Dies sieht wie folgt aus:

Um das Ergebnis der Gleichung zu erhalten, muss diese nach x aufgelöst werden.

Gleichungen auflösen

Unter dem Auflösen einer Gleichung wird in der Mathematik verstanden, dass jene Seite, auf welcher sich die Variable nicht befindet, ausgerechnet wird. Solange, bis nur mehr ein Wert auf dieser Seite steht. Dieser stellt die Lösung der Gleichung dar. Somit wird das vorherige Beispiel wie folgt aufgelöst:

Du musst also noch genau 6 Jahre warten, bis Du volljährig wirst.

Sollte es sich um eine komplexere Gleichung handeln, wie eine Gleichung mit Klammern, dann muss diese zuerst vereinfacht werden.

Gleichungen mit Klammern vereinfachen

Es gibt zahlreiche Regeln zum Vereinfachen von Gleichungen, jedoch werden in diesem Beitrag nur die grundlegenden Regeln im Detail aufgezeigt. Folgende Beispiele sollen erklären, wie das Vereinfachen von Gleichungen durchgeführt wird.

Aufgabe 2

Vereinfache und löse im Anschluss folgende Gleichung:

Lösung

Als ersten Schritt muss die Gleichung vereinfacht werden, sodass die Klammer aufgelöst wird. Da die Zahl vor der Klammer vom Inhalt dieser mit einem Malzeichen getrennt werden, muss die 2 mit jedem Wert innerhalb der Klammer multipliziert werden.

Nachdem die Gleichung vereinfacht wurde, stellt die Äquivalenzumformung den nächsten Schritt dar. Das x muss somit allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

Immer, wenn Du einen Term oder eine Zahl auf die andere Seite verschieben, schreibst Du dies hinter einen senkrechten Strich neben der Gleichung

Die Lösung dieser Gleichung lautet .

Beim Rechnen mit Klammern muss oft der Inhalt dieser umgeformt oder vereinfacht werden. Hierfür ist es notwendig, die sogenannten binomischen Formeln zu beherrschen. Hier eine kurze Übersicht dieser:

1. Binomische Formel2. Binomische Formel 3. Binomische Formel
UmformungUmformungUmformung

Möchtest Du mehr zum Thema rechnen mit Klammern oder binomischen Formeln erfahren, sieh Dir unbedingt die Beiträge heirzu auf StudySmarter an!

Welche Arten von Gleichungen gibt es eigentlich?

Gleichungen Übersicht

Folgende Tabelle gibt Dir eine Übersicht über die grundlegenden Arten der Gleichungen, welche es so gibt, jeweils mit dem allgemeinen Ausdruck der Gleichung oder einem Beispielsausdruck.

Lineare GleichungenQuadratische GleichungenPotenzgleichungenExponentialgleichungenBruchgleichungenWurzelgleichungen

Weiterhin gibt es noch die sogenannten transzendenten Gleichungen. Möchtest Du mehr hierzu erfahren, dann sieh Dir unbedingt den Artikel auf StudySmarter an.

Im Matheunterricht wirst Du öfter auf Textaufgaben stoßen, aus welchen Du sogenannte äquivalente Gleichungen aufstellen und lösen musst. Wie dies geht erfährst Du jetzt!

Äquivalente Gleichungen

Mehrere Gleichungen sind dann äquivalent, wenn alle dieselbe Lösung haben, sprich gleich sind. Ein Beispiel wären folgende zwei Gleichungen:

Beide Gleichungen haben die Lösung , somit handelt es sich hierbei um äquivalente Gleichungen. Ein Merkmal äquivalenter Gleichungen ist, dass diese gleichgesetzt werden können, da beide das identische Ergebnis haben.

Gleichungen gleichsetzen

Werden grundsätzlich Gleichungen anhand des vorherigen Beispiels so freigestellt, dass jeweils alles auf eine Seite geschoben wird, sieht dies wie folgt aus:

Da beide Gleichungen auf einer Seite dasselbe Ergebnis haben, nämlich die 0, können diese zusammen als eine Gleichung dargestellt und gelöst werden:

Nun kann diese Gleichung mithilfe der zuvor beschriebenen Schritte gelöst werden.

Somit lautet das Ergebnis .

Gleichungen können nicht nur rechnerisch, sondern auch grafisch gelöst werden.

Grafisches Lösen von Gleichungen

Um eine Gleichung grafisch lösen zu können, werden beide Seiten einer Gleichung voneinander getrennt hingeschrieben und in eine Funktion umgewandelt. Anhand unseres vorherigen Beispiels sieht dies wie folgt aus:

Aufgabe 3

Löse die Gleichung grafisch!

Lösung

Schreibe als erstes die Gleichung hin:

Jetzt werden beide Seiten getrennt voneinander jeweils nach "y =" hingeschrieben. Wird mit "y =" begonnen, so wird diese nicht als Gleichung, sondern als Funktion bezeichnet.

Werden jetzt beide Funktionen in ein Koordinatensystem eingezeichnet, kann die Aufgabe gelöst werden.

Gleichungen Grafisches Lösen von Gleichungen StudySmarterAbbildung 4: Grafisches Lösen

Bist Du daran interessiert, wie Funktionen in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden, dann sieh Dir unbedingt den dazugehörigen Artikel auf StudySmarter an.

Wie folgende Abbildung zeigt, schneiden sich beide Geraden genau an jenem Punkt, an welchem der Wert für x, also auf der horizontalen Achse, 6 ist. Die Lösung lautet somit .

Abschließend noch einige vertiefende Übungsbeispiele.

Gleichungen Aufgaben & Beispiele

Folgende praktische Beispiele sollen das Erlernte vertiefen.

Aufgabe 3

Löse folgende Gleichung:

Lösung

Erstmals wird die Äquivalenzumformung durchgeführt und anschließend die Gleichung gelöst.

Die Lösung lautet somit .

Auf geht's zum nächsten Beispiel!

Aufgabe 4

"Du hast von Deinen Eltern ein monatliches Taschengeld in Höhe von erhalten. Davon kaufst Du Dir eine Packung Chips für , eine Packung Pringles für und eine Packung Gummibärchen, jedoch kannst Du Dich nicht an den Preis dieser erinnern. Die Kassiererin gibt Dir genau zurück. Berechne den Preis der Gummibärchen!"

Lösung

Hierfür musst Du dies als Gleichung hinschreiben. Dies sieht wie folgt aus:

Jetzt kommt die Äquivalenzumformung zur Anwendung und anschließend wird die Gleichung aufgelöst.

Die Gummibärchen haben gekostet.

Bereit für die letzte Aufgabe?

Aufgabe 5

"Dein Vater sagt an deinem 14. Geburtstag: Vor 6 Jahren war ich noch 5 Mal so alt wie Du! Berechne das Alter Deines Vaters!

Lösung

Die Gleichung sieht wie folgt aus:

Dein Vater ist jetzt 46 Jahre alt.

Gleichungen - Das Wichtigste

  • Gleichungen werden durch das Zeichen '=' gekennzeichnet.
  • Bei Gleichungen muss immer auf beiden Seiten dieselbe Rechnung durchgeführt werden.
  • Um eine Gleichung lösen zu können, muss die Unbekannte auf einer Seite allein stehen (Äquivalenzumformung)
  • Eine lineare Gleichung hat die Form
  • Gleichungen können sowohl rechnerisch als auch grafisch gelöst werden.

Nachweise

  1. Kemnitz (2010). Mathematik zum Studienbeginn. Vieweg + Teubner Verlag
  2. Böge (1995). Das Techniker Handbuch. Springer Fachmedien Wiesbaden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema LGS Grafisch lösen

Ein lineares Gleichungssystem löst man zeichnerisch, indem man seine Gleichungen zuerst nach y vereinfacht. Daraus ergeben sich Geradengleichungen. Diese zeichnet man in ein geeignetes Koordinatensystem ein, die gemeinsamen Punkte ergeben die Lösungsmenge des LGS.

Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn sich die Geraden, die sich aus den beiden Gleichungen ergeben, genau ein Mal schneiden. Wenn die Geraden parallel sind, hat das LGS keine Lösung, wenn sie identisch sind unendlich viele.

Ein quadratisches Gleichungssystem löst man grafisch, indem man die einzelnen quadratischen Gleichungen nach y auflöst und in ein Koordinatensystem zeichnet. Nun kann man die Lösungen des Gleichungssystem markieren: sie sind die Punkte, die alle Graphen des Gleichungssystems teilen.

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