Die Prozentrechnung begegnet dir im Alltag überall. Beim Shoppen kannst du 25% sparen auf einen Einkaufswert von 150 €. Doch wie viele Euro sind das? Im Stadion werden die Zuschauerzahlen, 41.000 von 50.000 möglichen Zuschauern, durchgesagt. Wie viel Prozent der Sitze im Stadion sind belegt? Deine Smartwatch sagt dir, du hast mit deinen bisherigen 6.000 Schritten 75% des Schrittziels erreicht. Du fragst dich, welches Schrittziel du überhaupt eingestellt hast.
Um diese Dinge ganz einfach und schnell auszurechnen, benötigst du die Grundgleichung der Prozentrechnung.
Grundgleichung der Prozentrechnung – Prozent Definition
Lies dir zu diesem Thema am besten auch noch den Artikel Prozent genauer durch, falls du dich noch nicht sicher fühlst.
Ein Prozent ist also festgelegt als:
Eine Prozentangabe kann man also als Bruch schreiben (zum Beispiel als Anteil von Hundert), aber auch als Dezimalzahl oder mithilfe des Prozentzeichens als Prozentsatz.
Anhand des Beispiels erklären wir dir, wie man die Prozentangabe ausdrücken kann und wie sie in einen Prozentsatz umgewandelt werden kann.
Aufgabe 1
Es liegen 100 Buntstifte herum, davon sind 20 rot.
Es sind also 20 von 100 Stiften rot. Das kannst du als Bruch schreiben:
Zwanzig Hundertstel lassen sich aber auch als Dezimalzahl schreiben:
Oft drückst du bei Rechnungen deine Anteile erst durch einen Bruch oder eine Dezimalzahl aus. Wichtig ist es jetzt, diese in eine Prozentangabe umwandeln zu können.
1. Ein
Anteil von Hundert kann immer direkt als Prozentsatz geschrieben werden. Wichtig ist, dass wirklich
100 im Nenner steht. Das kannst du aber natürlich auch durch das Erweitern und Kürzen erreichen.
2. Bei den Dezimalzahlen wird das Komma um zwei Positionen nach rechts verschoben und das Prozentzeichen hinter die neue Zahl gesetzt.
Prozentangaben sind sehr wichtig:
Um mit ihnen rechnen zu können, benötigt man jedoch die Grundgleichung der Prozentrechnung.
Grundgleichung der Prozentrechnung – Formeln und Begriffe
Im Folgenden definieren wir die Begriffe, welche bei der Grundgleichung der Prozentrechnung eine Rolle spielen. Danach lernst du direkt, wie man die verschiedenen Werte berechnet und wie sie im Zusammenhang miteinander stehen.
Achtung: Die Benennung von Grundwert als G, Prozentwert als P und Prozentsatz als p%, ist nicht in allen Lehrbüchern gleich!
Grundwert G
Schau dir zuerst den einfachsten aller Begriffe in der Prozentrechnung an!
Der Grundwert G ist immer das Gesamte, er entspricht 100 %.
Am Beispiel dieser Pizza wären es die gesamten 8 Stücke Pizza.
Prozentwert P
Die nächste wichtige Größe ist der Prozentwert!
Der Prozentwert P ist der absolute Anteil am Gesamten.
Bei dieser Pizza wäre es zum Beispiel, das eine herausgenommene Pizzastück.
Prozentsatz p%
Der Prozentsatz entspricht dem Verhältnis vom gesuchten Anteil zum Gesamten und wird mithilfe des Prozentzeichens (%) beschrieben.
Aufgabe 2
Bei der Pizza ergibt sich das Verhältnis von , der Prozentsatz beträgt also 12,5 %.
Rechnung:
Oft musst du Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz, berechnen.
Dazu kannst du entweder den Dreisatz oder die Grundgleichung der Prozentrechnung verwenden. Letzteres wird im Folgenden genauer erklärt.
Berechnung der Werte – Prozentrechnung
Die Grundgleichung der Prozentrechnung liefert dir eine Möglichkeit, durch Einsetzen der zwei gegebenen Werte den gesuchten Wert zu erhalten.
Die Grundgleichung der Prozentrechnung dient zur Berechnung von Grundwert (G), Prozentwert (P) oder Prozentsatz (p%).
Die Gleichung ist immer die gleiche, sie wird nur nach dem gesuchten Wert umgestellt.
Berechnung des Prozentsatzes p%:
Berechnung des Prozentwertes P:
Berechnung des Grundwertes G:
Wenn zwei Werte gegeben sind, kann der dritte Wert berechnet werden.
Prozentrechnung Formel Dreieck
Um dir besser merken zu können, wie die Formel bei welchem Wert aussieht, gibt es das Dreieck der Prozentrechnung als Merkhilfe. P ist der Prozentwert, den Strich kannst Du Dir als Bruchstrich vorstellen, p% ist der Prozentsatz und G der Grundwert.
Abbildung 1:
Dreieck der Prozentrechnung
Jetzt musst du nur noch den gesuchten Wert umkreisen. Alles, was übrig bleibt, ergibt genau deine gesuchte Formel.
Die Gleichungen für die jeweiligen Werte solltest du jetzt also aufstellen können.
Merke dir am besten: Der größte in der Familie ist Papa (großes P), er steht an der Spitze.
Prozentsatz berechnen
Abbildung 2: Formal Prozentsatz
Du willst die Gleichung zum Prozentsatz wissen und umkreist deshalb das p%. Übrig bleibt nur noch ein P, ein Bruchstrich dazwischen und im Nenner ein G, genauso wie es im Dreieck noch zu sehen ist.
In diese Formel musst du nur noch den gegebenen Prozentwert P und Grundwert G einsetzen.
Aufgabe 3
Im Stadion werden die Zuschauerzahlen, 41.000 von 50.000 möglichen Zuschauern, durchgesagt. Wie viel Prozent der Sitze im Stadion sind belegt?
Lösung
Der Grundwert G sind 50.000, da das die Gesamtanzahl an Sitzplätzen im Stadion ist.
41.000 ist der Prozentwert, das ist die absolute Anzahl an belegten Sitzplätzen.
Es sind also 82 % der Sitzplätze des Stadions belegt.
Prozentwert berechnen
Abbildung 3: Formel Prozentwert
Diesmal umkreist du den Prozentwert P. Unten bleibt das Produkt aus p% und G stehen, deshalb lautet die Gleichung für den Prozentwert:
Um den Prozentwert zu erhalten, multiplizierst du den gegebenen Prozentsatz und Grundwert.
Aufgabe 4
Beim Shoppen kannst du 25 % auf einen Einkaufswert von 150 € sparen. Doch wie viele Euro sind das?
Lösung
Der Prozentsatz ist einfach zu erkennen, er beträgt 25 %.
150 € ist der gesamte Einkaufswert und damit der Grundwert.
Man spart also 37,50 € auf seinen Einkauf.
Grundwert berechnen
Abbildung 4: Formel Grundwert
Du nutzt das gleiche Vorgehen wie beim Prozentsatz, um auf die Gleichung für den Grundwert G zu kommen.
Wenn du den Prozentwert durch den Prozentsatz dividierst, erhältst du den gesuchten Grundwert.
Aufgabe 5
Deine Smartwatch sagt dir, du hast mit deinen bisherigen 6.000 Schritten 75 % des Schrittziels erreicht. Du fragst dich, welches Schrittziel du überhaupt eingestellt hast.
Lösung
Du möchtest die Gesamtschrittzahl wissen. 6000 Schritte bist du schon gelaufen, dieser absolute Anteil ist der Prozentwert. Immerhin dreiviertel (75 %) deiner Schritte hast du damit heute schon gemacht, das sagt dir der Prozentsatz.
Deine Smartwatch hat also ein eingestelltes Schrittziel von 8.000 Schritten.
Berechnung mithilfe des Dreisatzes
Statt der Grundgleichung der Prozentrechnung kannst du auch einfach den Dreisatz verwenden.
Er nutzt die direkte Proportionalität der Prozentrechnung, um den gesuchten Wert zu ermitteln.
Beim Dreisatz gehst du folgendermaßen vor:
- Du setzt deine gegebene Größe mit ihrem Prozentsatz gleich.
- Du rechnest den Prozentwert für den Prozentsatz 1% aus, indem du auf beiden Seiten die gleiche Rechnung (Multiplikation oder Division) vornimmst.
- Als Letztes multiplizierst du die 1%, damit letztlich der gesuchte Prozentsatz, Prozentwert oder Grundwert herauskommt.
Aufgabe 6: Prozentwert gesucht.
Wie viel sind 20 % von 120 €?
Lösung
Antwort: 30 % von 120 € sind 24 €.
Aufgabe 7: Grundwert gesucht.
Im Supermarkt ist eine Ware um 40 % reduziert und kostet jetzt 12 €. Wie viel hat sie vorher gekostet?
Lösung
Antwort: Die Ware hat vorher 20 € gekostet.
Aufgabe 8: Prozentsatz gesucht.
120 von 300 Personen im Lesesaal sind Mädchen. Wie viel Prozent der Anwesenden sind weiblich?
Lösung
Antwort: Es sind 40 % der Anwesenden weiblich.
Grundgleichung der Zinsrechnung (Prozentrechnung)
Mithilfe der Zinsrechnung kannst du berechnen, wie viel Geld dein Erspartes auf der Bank einbringt oder welche Summe du bei einer Ratenzahlung draufzahlen musst.
Auch die Zinsrechnung basiert auf der Grundgleichung der Prozentrechnung. Hier werden Prozentsatz, Prozentwert und Grundwert nur anders benannt:
| Prozentrechnung | Zinsrechnung |
Prozentsatz p% | Zinssatz z% |
| Prozentwert P | Zinsen Z |
| Grundwert G | Kapital K |
Die Grundgleichung der Zinsrechnung sieht also so aus:
Die Formeln zur Berechnung der verschiedenen Werte in der Zinsrechnung sind:
Zinssatz p%:
Zinsen Z:
Kapital K:
Wenn du die Prozentrechnung beherrschst, sollte dir also auch die Zinsrechnung leicht fallen.
Sieh dir zu diesem Thema am besten noch mal den Artikel zur Zinsrechnung an.
Grundgleichung der Prozentrechnung – Übungen
Aufgabe 9
Von 25 Schüler*innen einer Klasse haben 16 braune Augen. Welcher Prozentsatz ist das?
Lösung
Grundwert
Prozentwert
Die Formel zum Prozentsatz solltest du auswendig können oder dir mithilfe des Dreiecks herleiten können. In diese setzt du Prozentwert und Grundwert ein. Erweiterst du diesen Bruch, damit im Nenner eine 100 steht, bekommst du deinen gesuchten Prozentsatz.
Aufgabe 10
Ein Download von insgesamt 200 GB am Computer bleibt bei 60 % stehen. Wie viel wurde schon heruntergeladen?
Lösung:
Prozentsatz
Grundwert
Schreibe dir die richtige Formel auf. Um jetzt den Prozentwert zu berechnen, multiplizierst du 60 % mit den 200 GB.
Aufgabe 11:
Du kaufst im Möbelladen einen Schrank mithilfe eines 20 %-Gutscheins, mit dem du 100 € sparen konntest. Wie teuer war der Schrank?
Lösung:
Prozentsatz
Prozentwert
Der Prozentwert von 100 € geteilt durch den Prozentsatz von 20 %, ergeben einen Grundwert von 500 €.
Grundgleichung der Prozentrechnung – Das Wichtigste
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