Beim Rechnen mit Brüchen bist du ab und an mit Brüchen konfrontiert, die auf den ersten Blick total kompliziert aussehen: die Doppelbrüche. Aber keine Sorge, so kompliziert, wie die Doppelbrüche aussehen, sind sie gar nicht!
Um das Thema der Doppelbrüche gut verstehen zu können, ist es aber wichtig, dass du das Rechnen mit Brüchen im Allgemeinen gut verstanden hast.
Wenn du noch unsicher mit der Bruchrechnung bist, ist es sinnvoll, wenn du dir vor diesem Artikel noch einmal unsere Artikel zum Thema Bruchrechnen anschaust. Dazu gehören zum Beispiel die Themen Brüche addieren, Brüche subtrahieren, Brüche multiplizieren und Brüche dividieren.
Doppelbrüche Definition
Schau dir erstmal die Definition eines Doppelbruchs an.
Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner ebenfalls jeweils ein eigener Bruch steht.
Ein Doppelbruch hat also die folgende Form:
Bei den Variablen a, b, c und d muss es sich dabei um ganze Zahlen handeln.
Schau dir direkt mal das folgende Beispiel für einen Doppelbruch an:
Ein Doppelbruch sieht zum Beispiel folgendermaßen aus:
Ein Doppelbruch ist also eine Division von zwei Brüchen, die einfach nur anders dargestellt wird.
Deshalb gilt für die Umformung eines Doppelbruchs die folgende Regel:
Neben den vollständigen Doppelbrüchen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner des Bruches einen weiteren Bruch stehen haben, gibt es auch unvollständige Doppelbrüche.
Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch.
Beispiele für unvollständige Doppelbrüche sind die folgenden Brüche:
und 
Doppelbrüche auflösen
In diesem Abschnitt lernst du, wie man Doppelbrüche schrittweise auflösen kann. Dafür erfährst du zunächst, wie das Auflösen von vollständigen Doppelbrüchen funktioniert. Anschließend wird diese Vorgehensweise auf das Auflösen von unvollständigen Doppelbrüchen übertragen.
Vollständige Doppelbrüche auflösen
Das Auflösen eines Doppelbruchs kannst du in drei Schritten ausführen.
| Vorgehen beim Auflösen von Doppelbrüchen |
|---|
| Schritt | Beschreibung |
| 1 | Zuerst schreibst du den Doppelbruch um. Dafür ist es wichtig zu verstehen, dass du den Doppelbruch auch als zwei einzelne Brüche, die dividiert werden, aufschreiben kannst.Du dividierst also den Bruch, der im Zähler des Doppelbruchs steht, durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht. |
| 2 | Wie du beim Dividieren von Brüchen gelernt hast, kannst du, wenn du etwas durch einen Bruch teilen möchtest, es stattdessen mit dem Kehrwert dieses Bruches multiplizieren.Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, vertauschst du einfach die Werte, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen so, dass der ehemalige Zähler nun zum Nenner des Bruchs wird und der ehemalige Nenner des Bruchs nun zum Zähler wird. |
| 3 | Anschließend musst du die Rechnung nur noch ausführen. Dafür multiplizierst du die beiden Brüche aus und kürzt – falls möglich – den daraus resultierenden Bruch.Und schon hast du den Doppelbruch aufgelöst! |
Keine Sorge, wenn du beim Dividieren von Brüchen noch Fragen und Probleme hast. In unserem Artikel Brüche dividieren kannst du alles zur Division von Brüchen noch einmal im Detail nachlesen.
Wie die drei Schritte beim Auflösen eines Doppelbruchs praktisch umgesetzt werden, kannst du dir an diesem Beispiel ansehen.
Der Doppelbruch 
soll aufgelöst werden. Dafür gehst du folgendermaßen vor:
Schritt 1
Der Doppelbruch kann so umgeschrieben werden:
Schritt 2
Im nächsten Schritt teilst du nicht mehr durch den Bruch
, sondern multiplizierst mit seinem
Kehrwert 
:
Anschließend multiplizierst du die Brüche
und
.
Schritt 3
Zum Schluss musst du den Bruch 
nur noch kürzen. Dazu teilst du sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch 6. Es folgt:
Den Doppelbruch 
kannst du also auflösen in 
.
Unvollständige Doppelbrüche auflösen
Das Auflösen von unvollständigen Doppelbrüchen funktioniert sehr ähnlich wie das Auflösen von vollständigen Doppelbrüchen.
Der Vollständigkeit halber wird die Vorgehensweise beim Auflösen von unvollständigen Doppelbrüchen für Doppelbrüche, die im Zähler oder im Nenner unvollständig sind, jeweils im Detail erläutert.
Im Zähler unvollständige Doppelbrüche auflösen
Beim Auflösen eines im Zähler unvollständigen Doppelbruchs kann ebenfalls in drei Schritten vorgegangen werden.
| Vorgehen beim Auflösen eines im Zähler unvollständigen Doppelbruchs |
|---|
| Schritt | Beschreibung |
| 1 | Zuerst schreibst du den unvollständigen Doppelbruch um. Dafür ist es wichtig zu verstehen, dass du einen im Zähler unvollständigen Doppelbruch auch als ganze Zahl, die durch einen Bruch dividiert wird, aufschreiben kannst.Du dividierst also die Zahl, die im Zähler des Doppelbruchs steht, durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht. |
| 2 | Um eine Zahl durch einen Bruch zu teilen, kannst du sie auch mit dem Kehrwert dieses Bruches multiplizieren.Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, vertauschst du einfach die Werte, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen, so, dass der ehemalige Zähler nun zum Nenner des Bruchs wird und der ehemalige Nenner des Bruchs nun zum Zähler wird. |
| 3 | Anschließend musst du die Rechnung nur noch ausführen. Dafür multiplizierst du die ganze Zahl und den Bruch und kürzt den daraus resultierenden Bruch falls möglich.Und schon hast du den unvollständigen Doppelbruch aufgelöst. |
Der im Zähler unvollständige Doppelbruch 
soll aufgelöst werden. Dafür gehst du folgendermaßen vor:
Schritt 1
Der Doppelbruch kann wie folgt umgeschrieben werden:
Schritt 2
Im nächsten Schritt teilst du nicht mehr durch den Bruch
, sondern multiplizierst mit seinem
Kehrwert 
:
Schritt 3
Abschließend wird die Zahl 2 mit dem Bruch
multipliziert.
Der Bruch 
kann nicht weiter gekürzt werden. Damit ist der Doppelbruch vollständig aufgelöst.
Im Nenner unvollständige Doppelbrüche auflösen
Auch beim Auflösen eines im Nenner unvollständigen Doppelbruchs kann in den drei bekannten Schritten vorgegangen werden.
| Vorgehen beim Auflösen eines im Nenner unvollständigen Doppelbruchs |
|---|
| Schritt | Beschreibung |
| 1 | Zuerst schreibst du den unvollständigen Doppelbruch um. Dafür ist es wichtig zu verstehen, dass du einen im Nenner unvollständigen Doppelbruch auch als Bruch, der durch eine ganze Zahl dividiert wird, aufschreiben kannst.Du dividierst also den Bruch, der im Zähler des Doppelbruchs steht, durch die Zahl, die im Nenner des Doppelbruchs steht. |
| 2 | Um einen Bruch durch eine ganze Zahl zu teilen, kannst du ihn stattdessen auch mit dem Kehrwert dieser Zahl multiplizieren. Um den Kehrwert einer ganzen Zahl zu bilden, musst du sie zuerst in einen Bruch umformen.Dabei steht der Wert der Zahl im Zähler des Bruchs, im Nenner steht eine 1. Dann vertauschst du einfach die Werte, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen so, dass der ehemalige Zähler nun zum Nenner des Bruchs wird und der ehemalige Nenner des Bruchs nun zum Zähler wird. |
| 3 | Anschließend musst du die Rechnung nur noch ausführen. Dafür multiplizierst du die beiden Brüche und kürzt den daraus resultierenden Bruch falls möglich.Und schon hast du den unvollständigen Doppelbruch aufgelöst. |
Der im Nenner unvollständige Doppelbruch 
soll aufgelöst werden. Dafür gehst du folgendermaßen vor:
Schritt 1
Der Doppelbruch kann wie folgt umgeschrieben werden:
Schritt 2
Im nächsten Schritt teilst du nicht mehr durch die Zahl 3, sondern multiplizierst mit ihrem
Kehrwert 
.
Schritt 3
Abschließend werden die beiden Brüche multipliziert.
Der Bruch 
kann nicht weiter gekürzt werden. Damit ist der Doppelbruch vollständig aufgelöst.
Doppelbrüche mit Variablen
In Dop
pelbrüchen können neben Zahlen auch Variablen auftauchen. Keine Sorge, wenn du dich gerade fragst, was Buchstaben in der Mathematik zu suchen haben, dann kannst du diesen Abschnitt getrost überspringen. Das lernst du dann zu einem späteren Zeitpunkt.
Wenn du allerdings im Unterricht bereits den Umgang mit Variablen gelernt hast, dann solltest du dir diesen Abschnitt unbedingt anschauen.
Doppelbrüche mit Variablen – Erklärung
Doppelbrüche, die Variablen enthalten, unterscheiden sich nur kaum von den Doppelbrüchen, die du im bisherigen Verlauf dieses Artikels kennengelernt hast.
Der einzige Unterschied bei Doppelbrüchen mit Variablen liegt darin, dass der Zähler und/oder der Nenner des Doppelbruchs eine oder mehrere Variablen enthält. Das lässt die Doppelbrüche dann häufig auf den ersten Blick sehr kompliziert aussehen, sobald du aber einmal verstanden hast, wie du sie auflösen kannst, werden dir Doppelbrüche mit Variablen keine großen Schwierigkeiten mehr bereiten.
Doppelbrüche mit Variablen auflösen
Für das Auflösen von Doppelbrüchen, die Variablen enthalten, gilt die selbe Vorgehensweise wie bei allen anderen Doppelbrüchen auch.
Durch das Auflösen der Doppelbrüche kann es passieren, dass sich eine oder mehrere Variablen aus dem Bruch vollständig herauskürzen lassen. Es kann aber genauso gut sein, dass sich der Doppelbruch durch das Auflösen lediglich vereinfachen lässt und alle Variablen enthalten bleiben.
Um ein besseres Verständnis zu erlangen, schau dir doch einmal das folgende Beispiel an:
Der folgende Doppelbruch soll aufgelöst werden:
Schritt 1
Der Doppelbruch kann wie folgt umgeschrieben werden:
Schritt 2
Im nächsten Schritt teilst du nicht mehr durch den Bruch
, sondern multiplizierst mit seinem
Kehrwert 
:
Schritt 3
Abschließend werden die beiden Brüche multipliziert und gekürzt.
Und schon hast du einen Doppelbruch, der zunächst total kompliziert aussah, aufgelöst.
Doppelbrüche – Mehrfachbrüche
Neben den ganz normalen Doppelbrüchen, die du bisher kennengelernt hast, gibt es auch noch Mehrfachbrü
che. Mehrfachbrüche sehen auf den ersten Blick wirklich abschreckend aus und allein ihr Anblick führt dazu, dass man am liebsten auf der Stelle das Mathebuch schließen möchte.
Aber wenn du alles, was du bisher in diesem Artikel und über die Bruchrechnung im Allgemeinen gelernt hast, auf die Mehrfachbrüche anwendest, wirst sogar mit diesen zurechtkommen!
Mehrfachbrüche – Erklärung
Ein Mehrfachbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und/oder Nenner mindestens zwei weitere Brüche stehen.
Ein Mehrfachbruch kann zum Beispiel folgende Form haben:
Dabei müssen die Variablen a, b, c, d, e und f ganze Zahlen sein.
Die Regeln zur Umformung eines Mehrfachbruchs entsprechen den allgemeinen Regeln der Bruchrechnung und den Regeln im Umgang mit Doppelbrüchen.
Mehrfachbrüche – Beispiel
Am folgenden Beispiel siehst du, dass Mehrfachbrüche zwar anfangs ziemlich kompliziert aussehen, du sie aber wie andere Brüche auch ganz einfach auflösen und umformen kannst.
Der folgende Doppelbruch wird schrittweise vereinfacht:
Der zunächst einmal total kompliziert aussehende Mehrfachbruch kann aufgelöst werden in 
.
Doppelbrüche – Beispiele
Nachdem du nun weißt, wie bei der Auflösung und Umformung von Doppelbrüchen vorgegangen wird, kannst du abschließend für diesen Artikel, dein Wissen anhand von fünf Beispielaufgaben testen.
Doppelbrüche – Aufgaben
Aufgabe 1
Löse den folgenden Doppelbruch auf:
Lösung
Der Doppelbruch kann aufgelöst werden in 
.
Aufgabe 2
Löse den folgenden im Zähler unvollständigen Doppelbruch auf:
Lösung
Der unvollständige Doppelbruch kann aufgelöst werden in 7.
Aufgabe 3
Löse den folgenden im Nenner unvollständigen Doppelbruch auf:
Lösung
Der unvollständige Doppelbruch kann aufgelöst werden in 
.
Aufgabe 4
Löse den folgenden Doppelbruch, der Variablen enthält, auf:
Lösung
Der Doppelbruch kann aufgelöst werden in 
.
Aufgabe 5
Löse den folgenden Mehrfachbruch auf:
Lösung
Der Mehrfachbruch kann aufgelöst werden in 
.
Doppelbrüche – Das Wichtigste
- Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner ebenfalls jeweils ein Bruch steht. Ein Doppelbruch ist also eine Division von zwei Brüchen.
- Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch.
- Ein Doppelbruch kann in drei Schritten aufgelöst werden:
- 1. Umschreiben in zwei Brüche, die dividiert werden sollen
- 2. Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs
- 3. Bruchrechnung ausführen und eventuell anschließend kürzen
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