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Doppelbrüche

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Mathe

Beim Rechnen mit Brüchen bist du ab und an mit Brüchen konfrontiert, die auf den ersten Blick total kompliziert aussehen: die Doppelbrüche. Aber keine Sorge, so kompliziert, wie die Doppelbrüche aussehen, sind sie gar nicht! 


Doppelbrüche Übersicht StudySmarter


Um das Thema der Doppelbrüche gut verstehen zu können, ist es aber wichtig, dass du das Rechnen mit Brüchen im Allgemeinen gut verstanden hast.


Wenn du noch unsicher mit der Bruchrechnung bist, ist es sinnvoll, wenn du dir vor diesem Artikel noch einmal unsere Artikel zum Thema Bruchrechnen anschaust. Dazu gehören zum Beispiel die Themen Brüche addieren, Brüche subtrahieren, Brüche multiplizieren und Brüche dividieren



Doppelbrüche – Definition 


Schau dir erstmal die Definition eines Doppelbruchs an.


Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner ebenfalls jeweils ein eigener Bruch steht. 


Ein Doppelbruch hat also die folgende Form:


Doppelbrüche Definition StudySmarter 


Bei den Variablen a, b, c und d muss es sich dabei um ganze Zahlen handeln. 

Schau dir direkt mal das folgende Beispiel für einen Doppelbruch an:

Ein Doppelbruch sieht zum Beispiel folgendermaßen aus:


Doppelbrüche Doppelbruch StudySmarter


Ein Doppelbruch ist also eine Division von zwei Brüchen, die einfach nur anders dargestellt wird. 


Deshalb gilt für die Umformung eines Doppelbruchs die folgende Regel:


Doppelbrüche Regel Doppelbruch umformen StudySmarter


Neben den vollständigen Doppelbrüchen, die sowohl im Zähler als auch im Nenner des Bruches einen weiteren Bruch stehen haben, gibt es auch unvollständige Doppelbrüche


Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch.


 

Beispiele für unvollständige Doppelbrüche sind die folgenden Brüche:


Rechnen mit Doppelbrüchen Doppelbruch Formel StudySmarter und Rechnen mit Doppelbrüchen Doppelbruch Formel StudySmarter



Doppelbrüche auflösen

Doppelbrüche auflösen umformen StudySmarter

In diesem Abschnitt lernst du, wie man Doppelbrüche schrittweise auflösen kann. Dafür erfährst du zunächst, wie das Auflösen von vollständigen Doppelbrüchen funktioniert. Anschließend wird diese Vorgehensweise auf das Auflösen von unvollständigen Doppelbrüchen übertragen.


Vollständige Doppelbrüche auflösen


Das Auflösen eines Doppelbruchs kannst du in drei Schritten ausführen.


Vorgehen beim Auflösen von Doppelbrüchen
SchrittBeschreibung
1Zuerst schreibst du den Doppelbruch um. Dafür ist es wichtig zu verstehen, dass du den Doppelbruch auch als zwei einzelne Brüche, die dividiert werden, aufschreiben kannst.

Du dividierst also den Bruch, der im Zähler des Doppelbruchs steht, durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht.
2Wie du beim Dividieren von Brüchen gelernt hast, kannst du, wenn du etwas durch einen Bruch teilen möchtest, es stattdessen mit dem Kehrwert dieses Bruches multiplizieren.

Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, vertauschst du einfach die Werte, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen so, dass der ehemalige Zähler nun zum Nenner des Bruchs wird und der ehemalige Nenner des Bruchs nun zum Zähler wird.
3Anschließend musst du die Rechnung nur noch ausführen. Dafür multiplizierst du die beiden Brüche aus und kürzt – falls möglich – den daraus resultierenden Bruch.

Und schon hast du den Doppelbruch aufgelöst!


Keine Sorge, wenn du beim Dividieren von Brüchen noch Fragen und Probleme hast. In unserem Artikel Brüche dividieren kannst du alles zur Division von Brüchen noch einmal im Detail nachlesen. 


Wie die drei Schritte beim Auflösen eines Doppelbruchs praktisch umgesetzt werden, kannst du dir an diesem Beispiel ansehen.

Der Doppelbruch  soll aufgelöst werden. Dafür gehst du folgendermaßen vor:


Schritt 1


Der Doppelbruch kann so umgeschrieben werden:


 


Schritt 2


Im nächsten Schritt teilst du nicht mehr durch den Bruch , sondern multiplizierst mit seinem Kehrwert :



Anschließend multiplizierst du die Brüche  und.


Schritt 3


Zum Schluss musst du den Bruch  nur noch kürzen. Dazu teilst du sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs durch 6. Es folgt:



Den Doppelbruch  kannst du also auflösen in .


Unvollständige Doppelbrüche auflösen


Das Auflösen von unvollständigen Doppelbrüchen funktioniert sehr ähnlich wie das Auflösen von vollständigen Doppelbrüchen. 


Der Vollständigkeit halber wird die Vorgehensweise beim Auflösen von unvollständigen Doppelbrüchen für Doppelbrüche, die im Zähler oder im Nenner unvollständig sind, jeweils im Detail erläutert. 


Im Zähler unvollständige Doppelbrüche auflösen


Beim Auflösen eines im Zähler unvollständigen Doppelbruchs kann ebenfalls in drei Schritten vorgegangen werden.


Vorgehen beim Auflösen eines im Zähler unvollständigen Doppelbruchs 
SchrittBeschreibung
1Zuerst schreibst du den unvollständigen Doppelbruch um. Dafür ist es wichtig zu verstehen, dass du einen im Zähler unvollständigen Doppelbruch auch als ganze Zahl, die durch einen Bruch dividiert wird, aufschreiben kannst.

Du dividierst also die Zahl, die im Zähler des Doppelbruchs steht, durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht.
2Um eine Zahl durch einen Bruch zu teilen, kannst du sie auch mit dem Kehrwert dieses Bruches multiplizieren.

Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, vertauschst du einfach die Werte, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen, so, dass der ehemalige Zähler nun zum Nenner des Bruchs wird und der ehemalige Nenner des Bruchs nun zum Zähler wird.
3Anschließend musst du die Rechnung nur noch ausführen. Dafür multiplizierst du die ganze Zahl und den Bruch und kürzt den daraus resultierenden Bruch falls möglich.

Und schon hast du den unvollständigen Doppelbruch aufgelöst.


Der im Zähler unvollständige Doppelbruch  soll aufgelöst werden. Dafür gehst du folgendermaßen vor:


Schritt 1


Der Doppelbruch kann wie folgt umgeschrieben werden:


 

Schritt 2


Im nächsten Schritt teilst du nicht mehr durch den Bruch , sondern multiplizierst mit seinem Kehrwert :


 


Schritt 3


Abschließend wird die Zahl 2 mit dem Bruch  multipliziert.


 


Der Bruch  kann nicht weiter gekürzt werden. Damit ist der Doppelbruch vollständig aufgelöst.


Im Nenner unvollständige Doppelbrüche auflösen


Auch beim Auflösen eines im Nenner unvollständigen Doppelbruchs kann in den drei bekannten Schritten vorgegangen werden.


Vorgehen beim Auflösen eines im Nenner unvollständigen Doppelbruchs
SchrittBeschreibung
1
Zuerst schreibst du den unvollständigen Doppelbruch um. Dafür ist es wichtig zu verstehen, dass du einen im Nenner unvollständigen Doppelbruch auch als Bruch, der durch eine ganze Zahl dividiert wird, aufschreiben kannst.

Du dividierst also den Bruch, der im Zähler des Doppelbruchs steht, durch die Zahl, die im Nenner des Doppelbruchs steht.
2Um einen Bruch durch eine ganze Zahl zu teilen, kannst du ihn stattdessen auch mit dem Kehrwert dieser Zahl multiplizieren. Um den Kehrwert einer ganzen Zahl zu bilden, musst du sie zuerst in einen Bruch umformen.

Dabei steht der Wert der Zahl im Zähler des Bruchs, im Nenner steht eine 1. Dann vertauschst du einfach die Werte, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen so, dass der ehemalige Zähler nun zum Nenner des Bruchs wird und der ehemalige Nenner des Bruchs nun zum Zähler wird.
3Anschließend musst du die Rechnung nur noch ausführen. Dafür multiplizierst du die beiden Brüche und kürzt den daraus resultierenden Bruch falls möglich.

Und schon hast du den unvollständigen Doppelbruch aufgelöst.


Der im Nenner unvollständige Doppelbruch   soll aufgelöst werden. Dafür gehst du folgendermaßen vor:


Schritt 1


Der Doppelbruch kann wie folgt umgeschrieben werden:


 

Schritt 2


Im nächsten Schritt teilst du nicht mehr durch die Zahl 3, sondern multiplizierst mit ihrem Kehrwert .


 

Schritt 3


Abschließend werden die beiden Brüche multipliziert.


 


Der Bruch  kann nicht weiter gekürzt werden. Damit ist der Doppelbruch vollständig aufgelöst.



Doppelbrüche mit Variablen


In DopDoppelbrüche, Doppelbrüche mit Variablen, StudySmarterpelbrüchen können neben Zahlen auch Variablen auftauchen. Keine Sorge, wenn du dich gerade fragst, was Buchstaben in der Mathematik zu suchen haben, dann kannst du diesen Abschnitt getrost überspringen. Das lernst du dann zu einem späteren Zeitpunkt.


Wenn du allerdings im Unterricht bereits den Umgang mit Variablen gelernt hast, dann solltest du dir diesen Abschnitt unbedingt anschauen. 



Doppelbrüche mit Variablen – Erklärung 


Doppelbrüche, die Variablen enthalten, unterscheiden sich nur kaum von den Doppelbrüchen, die du im bisherigen Verlauf dieses Artikels kennengelernt hast. 


Der einzige Unterschied bei Doppelbrüchen mit Variablen liegt darin, dass der Zähler und/oder der Nenner des Doppelbruchs eine oder mehrere Variablen enthält. Das lässt die Doppelbrüche dann häufig auf den ersten Blick sehr kompliziert aussehen, sobald du aber einmal verstanden hast, wie du sie auflösen kannst, werden dir Doppelbrüche mit Variablen keine großen Schwierigkeiten mehr bereiten. 


Doppelbrüche mit Variablen auflösen


Für das Auflösen von Doppelbrüchen, die Variablen enthalten, gilt die selbe Vorgehensweise wie bei allen anderen Doppelbrüchen auch. 


Durch das Auflösen der Doppelbrüche kann es passieren, dass sich eine oder mehrere Variablen aus dem Bruch vollständig herauskürzen lassen. Es kann aber genauso gut sein, dass sich der Doppelbruch durch das Auflösen lediglich vereinfachen lässt und alle Variablen enthalten bleiben. 


Um ein besseres Verständnis zu erlangen, schau dir doch einmal das folgende Beispiel an:


Der folgende Doppelbruch soll aufgelöst werden:
 

 

Schritt 1


Der Doppelbruch kann wie folgt umgeschrieben werden:


 

Schritt 2


Im nächsten Schritt teilst du nicht mehr durch den Bruch , sondern multiplizierst mit seinem Kehrwert :


 

Schritt 3


Abschließend werden die beiden Brüche multipliziert und gekürzt.



Und schon hast du einen Doppelbruch, der zunächst total kompliziert aussah, aufgelöst. 




Doppelbrüche – Mehrfachbrüche


Neben den ganz normalen Doppelbrüchen, die du bisher kennengelernt hast, gibt es auch noch MehrfachbrüDoppelbrüche Mehrfachbrüche StudySmarterche. Mehrfachbrüche sehen auf den ersten Blick wirklich abschreckend aus und allein ihr Anblick führt dazu, dass man am liebsten auf der Stelle das Mathebuch schließen möchte.


Aber wenn du alles, was du bisher in diesem Artikel und über die Bruchrechnung im Allgemeinen gelernt hast, auf die Mehrfachbrüche anwendest, wirst sogar mit diesen zurechtkommen!


Mehrfachbrüche – Erklärung


Ein Mehrfachbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und/oder Nenner mindestens zwei weitere Brüche stehen. 

Ein Mehrfachbruch kann zum Beispiel folgende Form haben:


Rechnen mit Doppelbrüchen Mehrfachbruch Formel StudySmarter 


Dabei müssen die Variablen a, b, c, d, e und f ganze Zahlen sein. 


Die Regeln zur Umformung eines Mehrfachbruchs entsprechen den allgemeinen Regeln der Bruchrechnung und den Regeln im Umgang mit Doppelbrüchen. 


Mehrfachbrüche – Beispiel


Am folgenden Beispiel siehst du, dass Mehrfachbrüche zwar anfangs ziemlich kompliziert aussehen, du sie aber wie andere Brüche auch ganz einfach auflösen und umformen kannst. 

Der folgende Doppelbruch wird schrittweise vereinfacht:




Der zunächst einmal total kompliziert aussehende Mehrfachbruch kann aufgelöst werden in .



Doppelbrüche – Beispiele


Nachdem du nun weißt, wie bei der Auflösung und Umformung von Doppelbrüchen vorgegangen wird, kannst du abschließend für diesen Artikel, dein Wissen anhand von fünf Beispielaufgaben testen. 


Aufgabe 1


Löse den folgenden Doppelbruch auf: 


Lösung


 


Der Doppelbruch kann aufgelöst werden in .


Aufgabe 2


Löse den folgenden im Zähler unvollständigen Doppelbruch auf:


 


Lösung



Der unvollständige Doppelbruch kann aufgelöst werden in 7.


Aufgabe 3


Löse den folgenden im Nenner unvollständigen Doppelbruch auf:


 


Lösung



Der unvollständige Doppelbruch kann aufgelöst werden in .


Aufgabe 4


Löse den folgenden Doppelbruch, der Variablen enthält, auf:



Lösung



Der Doppelbruch kann aufgelöst werden in .


Aufgabe 5

Löse den folgenden Mehrfachbruch auf:


 


Lösung



Der Mehrfachbruch kann aufgelöst werden in .




Doppelbrüche – Das Wichtigste auf den ersten Blick


  • Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner ebenfalls jeweils ein Bruch steht. Ein Doppelbruch ist also eine Division von zwei Brüchen. 
  • Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch. 
  • Ein Doppelbruch kann in drei Schritten aufgelöst werden: 
    • 1. Umschreiben in zwei Brüche, die dividiert werden sollen
    • 2. Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs
    • 3. Bruchrechnung ausführen und eventuell anschließend kürzen


Häufig gestellte Fragen zum Thema Doppelbrüche

Einen Doppelbruch kann man in drei Schritten lösen:

  • Zuerst schreibt man den Doppelbruch in zwei Brüche, die dividiert werden sollen, um. Man dividiert den Bruch, der im Zähler des Doppelbruchs steht, durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht. 
  • Statt durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, zu teilen, multipliziert man den ersten Bruch mit seinem Kehrwert. 
  • Abschließend wird die Multiplikation ausgeführt und der Bruch – falls möglich – gekürzt. 

Man teilt durch einen Bruch, indem man seinen Kehrwert bildet und den Teil, wodurch er geteilt werden soll, stattdessen mit dem gebildeten Kehrwert multipliziert.

Der Kehrbruch ist die Umkehrung eines Ausgangsbruchs. Um den Kehrbruch zu bilden, vertauscht man einfach die Werte des Zählers und Nenners des Ausgangsbruchs. 

  • Zuerst schreibt man den Doppelbruch in zwei Brüche, die dividiert werden sollen, um. Man dividiert den Bruch, der im Zähler des Doppelbruchs steht, durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht. 
  • Statt durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, zu teilen, multipliziert man den ersten Bruch mit seinem Kehrwert. 
  • Abschließend wird die Multiplikation ausgeführt und der Bruch – falls möglich – gekürzt. 

Finales Doppelbrüche Quiz

Frage

Gib an, was ein unvollständiger Doppelbruch ist. 

Antwort anzeigen

Antwort

Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder nur im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Arten an unvollständigen Doppelbrüchen.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt

  • im Zähler unvollständige Doppelbrüche

und 

  • im Nenner unvollständige Doppelbrüche
Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was ein im Nenner unvollständiger Doppelbruch ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem im Nenner unvollständigen Doppelbruch steht nur im Zähler des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Nenner des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl

Frage anzeigen

Frage

Erkläre die drei Schritte beim Auflösen eines Doppelbruchs.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Zuerst schreibt man den Doppelbruch in zwei Brüche, die dividiert werden sollen, um. Man dividiert den Bruch, der im Zähler des Doppelbruchs steht, durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht. 
  • Statt durch den Bruch, der im Nenner des Doppelbruchs steht, zu teilen, multipliziert man den ersten Bruch mit seinem Kehrwert
  • Abschließend wird die Multiplikation ausgeführt und der Bruch - falls möglich - gekürzt
Frage anzeigen

Frage

Erläutere, wie man den Kehrwert eines Bruchs bildet

Antwort anzeigen

Antwort

Um den Kehrwert eines Bruches zu bilden, vertauschst du einfach die Werte, die im Zähler und Nenner des Bruchs stehen so, dass der ehemalige Zähler nun zum Nenner des Bruchs wird und der ehemalige Nenner des Bruchs nun zum Zähler wird.

Frage anzeigen

Frage

Vergleiche im Zähler unvollständige Doppelbrüche mit im Nenner unvollständigen Doppelbrüchen.


Antwort anzeigen

Antwort

Bei einem im Nenner unvollständigen Doppelbruch steht nur im Zähler des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Nenner des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl


Bei einem im Zähler unvollständigen Doppelbruch steht nur im Nenner des Doppelbruchs ein weiterer Bruch. Im Zähler des Doppelbruchs steht eine ganze Zahl.

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum Thema "Doppelbrüche" kurz zusammen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Ein Doppelbruch ist ein Bruch, in dessen Zähler und Nenner ebenfalls jeweils ein Bruch steht. Ein Doppelbruch ist also eine Division von zwei Brüchen
  • Bei unvollständigen Doppelbrüchen steht nur im Zähler oder im Nenner eines Bruchs ein weiterer Bruch. 
  • Ein Doppelbruch kann in drei Schritten aufgelöst werden: 1. Umschreiben in zwei Brüche, die dividiert werden sollen; 2. Multiplikation mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs; 3. Bruchrechnung ausführen und eventuell anschließend kürzen
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