Bruchgleichungen lösen

Die Bezeichnung "Bruchgleichung" gibt Dir schon einen Hinweis, womit Du es zu tun hast. Sie besteht aus den zwei Bestandteilen "Bruch" und "Gleichung". Also sind es Gleichungen mit Brüchen?

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Nicht ganz; der Antwort fehlen zwei Feinheiten, die Du im Verlauf der Erklärung entdecken wirst. Bruchgleichungen sind aber auf jeden Fall Gleichungen, das heißt, sie wollen von Dir gelöst werden.

    Und genau das macht den Kern dieser Erklärung aus: das Lösen von Bruchgleichungen. Von einer konkreten Anleitung bis zu vielen ausführlichen Beispielen, hier wirst Du schrittweise durch die Details geführt.

    Bruchgleichungen – Wiederholung

    Bevor es richtig losgeht: Für die gesamte Erklärung ist es von zentraler Bedeutung, dass Du mit der Bruchrechnung vertraut bist. Werfe also einen Blick auf unsere Erklärung dazu, wenn Du Dir noch unsicher bist.

    Im Wesentlichen sind Bruchgleichungen eine bestimmte Sorte von Gleichungen.

    Bruchterme und Bruchgleichungen

    Eine Gleichung wird erst dann zu einer Bruchgleichung, wenn sie zwei Charakteristiken besitzt.

    Bruchterme

    Zunächst muss die Gleichung einen oder mehrere Bruchterme enthalten. Bruchterme sind Brüche, bei denen sowohl im Zähler als auch im Nenner neben konkreten Zahlen ebenfalls Variablen stehen dürfen.

    Hauptbestandteil jeder Bruchgleichung sind also Bruchterme. Zu Bruchterme gibt es eine ausführliche Erklärung, mit vielen Beispielen.

    Eine Gleichung mit Bruchterme muss dann noch eine weitere Eigenschaft haben.

    Bruchgleichung

    Eine Gleichung mit Bruchtermen heißt Bruchgleichung, wenn sich die Variable in mindestens einem der Nenner befindet.

    Bruchgleichungen sind sogenannte Bestimmungsgleichungen. Mehr Details zu Gleichungen im Allgemeinen findest Du in der Erklärung "Grundlagen Gleichungen".

    Nur wenn beide Charakteristiken von einer Gleichung erfüllt werden, hast Du es mit einer Bruchgleichung zu tun. Wie bei allen Gleichungen gibt es auch bei Bruchgleichungen eine linke und eine rechte Seite.

    Eine korrekte Bruchgleichung

    Betrachte die folgende Gleichung:

    2x2 + 2x + 1 =5

    Das ist eine Bruchgleichung, denn sie enthält den Bruchterm 2x2+2x+1 und die unbekannte Variable x steckt im Nenner dieses Bruchterms.

    Der Bruchterm ist dabei die linke Seite der Bruchgleichung und die Zahl 5 die rechte Seite.

    Definitionsmenge einer Bruchgleichung

    Da Bruchgleichungen per Definition mindestens einen Bruchterm enthalten, erben sie dasselbe Problem wie die Bruchterme: Du musst sicherstellen, dass nur Werte für x eingesetzt werden, für die der Nenner nicht gleich Null wird.

    Definitionsmenge einer Bruchgleichung

    Die Definitionsmenge D einer Bruchgleichung enthält alle Zahlen, die Du in den beteiligten Bruchterme der Bruchgleichung einsetzen darfst, ohne dass einer der Nenner zu Null wird.

    Mit anderen Worten: Die Definitionsmenge einer Bruchgleichung besteht aus allen Zahlen, ohne die Nullstellen der Nenner der beteiligten Bruchterme.

    Die Definitionsmenge hat Einfluss auf die Lösungsmenge. Konkret musst Du bei der Angabe der Lösungsmenge L darauf achten, dass sich die Lösung innerhalb der Definitionsmenge befindet. Du wirst das in den Beispielen weiter unten sehen.

    Um die Definitionsmenge einer Bruchgleichung zu bestimmen, gehst Du folgendermaßen vor: Du nimmst Dir nacheinander die beteiligten Bruchterme heraus und untersuchst ihre Nenner auf Nullstellen.

    Definitionsmenge einer Bruchgleichung bestimmen

    Du hast die Bruchgleichung 53x + 1 = 2 gegeben.

    Für die Definitionsmenge schaust Du Dir den Nenner 3x + 1 des einzigen Bruchterms an, der in der Bruchgleichung vorkommt.

    Um die Nullstelle dieses Nenners zu bestimmen, setzt Du ihn gleich Null.

    3x+1=03x=-1x=-13

    Diese Gleichung wird für den Wert x0 =-13erfüllt, das heißt, x0 ist die Nullstelle des Nenners.

    Damit lautet die Definitionsmenge

    D = \ -13.

    Den Schrägstrich liest Du als "ohne". Der gesamte Ausdruck lautet also in Worten: Die Definitionsmenge ist die Menge aller rationalen Zahlen ohne die Zahl minus ein Drittel. Du kannst natürlich statt den rationalen Zahlen jede andere Zahlenmenge wählen, die Dir vorgegeben wird.

    Die Bestimmung der Definitionsmenge einer Bruchgleichung ist immer der erste Schritt beim Lösen von Bruchgleichungen.

    Bruchgleichungen lösen – Erklärung

    Als Beispiele für Gleichungen wollen auch Bruchgleichungen gelöst werden. Im Wesentlichen versuchst Du beim Lösen von Bruchgleichungen die Gleichungen so umzuformen, dass die Variable nicht mehr im Nenner, sondern im Zähler steckt.

    Dabei gibt es einige Kernmethoden, die hier aufgelistet sind und weiter unten in konkreten Beispielen angewendet werden:

    • Kernmethode 1: Die gesamte Bruchgleichung mit Nenner multiplizieren. Diese Methode empfiehlt sich hauptsächlich dann, wenn Du auf der linken und rechten Seite jeweils nur noch einen Bruchterm stehen hast (keine zwei Bruchterme mehr auf einer Seite!). Wenn Du mit den jeweiligen Nennern die Gleichung multiplizierst, erzielst Du damit, dass nun keine Bruchterme mehr vorhanden sind.

    Hier kannst Du die Gleichung mit dem Nenner multiplizieren beziehungsweise erweitern.

    1x=3 ·x1x·x=3·x 1=3xx=13

    Dadurch fliegt der Nenner raus. Und Du kannst ohne Brüche rechnen.

    • Kernmethode 2: Beteiligte Bruchterme auf einen Hauptnenner bringen. Du kannst diese Methode als "Vorbereitung" auf die vorherige Methode sehen. Wenn Du nämlich alle beteiligten Bruchterme auf einen Hauptnenner bringst, kannst Du die Brüche zu maximal einem Bruchterm pro Seite zusammenfassen.

    Um die beiden Bruchterme auf der linken Seite zusammenzufassen, bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.

    1x+62x=41·2x·2+62x=422x+62x=482x=4

    Ab hier kannst Du die Kernmethode 1 anwenden, um die Gleichung zu lösen.

    82x=4 ·2x82x·2x=4·2x

    • Kernmethode 3: Binomische Formeln und andere Tricks. Beim Umgang mit Bruchgleichungen (und Bruchtermen im Allgemeinen) sind Tricks, wie die Anwendung von binomischen Formeln oder das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren, starke Hilfsmittel, um die Ausdrücke zu vereinfachen und schließlich Gleichungen zu lösen.

    Die dritte Kernmethode ist ebenso bei der Bestimmung der Definitionsmenge äußerst nützlich.

    Wenn Du Dich ans Lösen von Bruchgleichungen wagst, darfst Du nicht vergessen, was denn das Hauptziel der Umformungen ist: Du versuchst die Bruchgleichung auf eine Form zu bringen, in der die Variable nur noch im Zähler vorkommt. Dabei führen oft mehrere Wege ans Ziel.

    Bruchgleichungen lösen – Rechenweg & Beispiele

    In diesem Abschnitt geht es mit dem Lösen von Bruchgleichungen richtig los. Wir beginnen dabei mit einfachen Bruchgleichungen, gehen dann über zu quadratischen Bruchgleichungen, aus denen dann Bruchgleichungen mit Potenzen werden und schließlich schauen wir uns an, wie Du Bruchgleichungen graphisch lösen kannst.

    Beim Lösen von Bruchgleichungen gehst Du im Allgemeinen so vor:

    1. Definitionsmenge bestimmen: Zunächst untersuchst Du alle Nenner auf Nullstellen, um die Definitionsmenge zu bestimmen (hier ist die dritte Kernmethode oft sehr nützlich).

    2. Bruchgleichung lösen:

      • Wenn Du Dich in der Situation der ersten Kernmethode befindest, kannst Du direkt "kreuzweise multiplizieren". Anschließend hast Du eine "normale" Gleichung, die Du mit gewohnten Methoden lösen kannst.

      • Hast Du hingegen mehrere Bruchterme, so bringst Du sie zuerst auf einen Hauptnenner.

    3. Lösungsmenge angeben: Schließlich gibst Du die Lösungsmenge an.

    Mit dieser Anleitung (und den Kernmethoden) bewaffnet, geht es zur Jagd auf Bruchgleichungen.

    Erste Bruchgleichungen lösen

    Die einfachste Art von Bruchgleichung ist diejenige, bei der Du bloß mit einem Nenner multiplizieren musst, um die Variable aus dem Nenner in den Zähler zu befördern.

    Aufgabe

    Betrachte die Bruchgleichung 52x=4 und gib die Lösung an.

    Lösung

    Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

    Du hast hier nur einen Bruchterm mit dem Nenner 2x. Die Nullstelle hiervon ist x0 =0, da Du die Zahl Null nicht in den Nenner einsetzen darfst, denn 2·0=0. Entsprechend erhältst Du als Definitionsmenge die Menge

    D = \ 0.

    Schritt 2: Bruchgleichung lösen

    Du befindest Dich hier in der Situation, in der links nur ein Bruchterm steht und rechts eine konkrete Zahl. Du kannst also die erste Kernmethode anwenden. Konkret, multiplizierst Du die gesamte Bruchgleichung mit dem Nenner 2x:

    2x·52x =2x·4 5 =8x

    Nun brauchst Du nur noch durch 8 zu dividieren. Die Lösung der Bruchgleichung lautet damit

    x=58.

    Schritt 3: Lösungsmenge angeben

    Solche Lösungen werden abschließend als Lösungsmenge angegeben. In diesem Fall sieht das folgendermaßen aus:

    L =58

    Das "L mit Doppelstrich" wird oft als Symbol für die Lösungsmenge verwendet. Die geschweiften Klammern um den Bruch deuten an, dass es sich hierbei um eine Menge handelt (genauer, um eine einelementige Menge). Du liest den Ausdruck als "Die Lösungsmenge besteht aus der Menge mit dem Bruch fünf Achtel".

    Die nächste Stufe an Bruchgleichungen beinhaltet auf beiden Seiten Bruchterme.

    Aufgabe

    Dieses Mal hast Du die Bruchgleichung 3x + 4 =5x gegeben. Gib die Lösungsmenge an.

    Lösung

    Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

    Der Nenner des linken Bruchterms ist x + 4. Zur Bestimmung der Nullstelle löst Du die Gleichung

    x + 4 =0.

    Dazu musst Du nur die Zahl 4 auf beiden Seiten abziehen und erhältst als Nullstelle

    x0 =-4.

    Im rechten Bruchterm hast Du hingegen den Nenner x. Dieser wird genau dann Null, wenn Du für x die Zahl Null einsetzt. Damit ist dessen Nullstelle gleich

    x1 = 0 .

    Die Definitionsmenge lautet also

    D = \ x0, x1 = \ -4, 0.

    Schritt 2: Bruchgleichung lösen

    Die Bruchgleichung befindet sich wieder in einer Form, in der Du die erste Kernmethode anwenden kannst.

    Zunächst multiplizierst Du die gesamte Gleichung mit dem Nenner des linken Bruchterms:

    (x + 4)·3x + 4 =x + 4·5x 3 =(x + 4)·5x

    Jetzt nimmst Du die daraus resultierende Gleichung und multiplizierst sie mit dem Nenner des rechten Bruchterms:

    x·3 =x·(x + 4)·5x 3x =(x + 4)·5 3x = 5x+20

    In dieser Form kannst Du die Gleichung lösen, indem Du nach x umformst. Du ziehst also zuerst den Term 5x ab und teilst schließlich durch -2.

    3x=5x+20 -5x-2x =20 :(-2)x=-10

    Schritt 3: Lösungsmenge angeben

    Als Lösung bekommst Du dann

    x =-10

    oder angegeben als Lösungsmenge

    L =-10.

    Kreuzweise multiplizieren

    Wenn Du Dich daran gewöhnt hast, kannst Du mit beiden Nennern gleichzeitig multiplizieren (auch kreuzweise Multiplikation genannt). Du hast wieder folgende Bruchgleichung gegeben:

    3x + 4 =5x

    Nun multiplizierst du beide Nenner gleichzeitig.

    3x+4=5x ·(x+4) ·x3x+4·(x+4)·x=5x·x·(x+4)

    Das kannst Du dann durch Kürzen noch vereinfachen.

    3x = 5·(x + 4) 3x= 5x+20

    Jetzt gehst Du vor, wie im Beispiel oben gezeigt wird.

    Quadratische Bruchgleichungen lösen

    Sobald Quadrate auftauchen, wird es etwas interessanter. Ein Beispiel dafür ist

    + 4 =.

    Nein, natürlich ist nicht die Rede von solchen Quadraten. Es ist die Rede von Fällen, bei denen die Variable x zum Quadrat steht, wie im Ausdruck

    x2 + 4.

    In dem Moment, wo Du einen solchen Ausdruck erblickst, solltest Du Dich insbesondere mit den folgenden Waffen bewaffnen:

    Aufgabe: Lösen einer quadratischen Bruchgleichung

    Du hast die Bruchgleichung 6x2 + 8x + 16 =7x + 4 gegeben. Ermittle die Lösungsmenge.

    Lösung

    Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

    Den Nenner x2 + 8x + 16 des linken Bruchterms kannst Du mit der ersten binomischen Formel zu x2 + 8x + 16 = (x + 4)2 vereinfachen.

    Zu den binomischen Formeln gibt es auch eine eigene Erklärung.

    Damit erkennst Du, dass sowohl der Nenner des linken Bruchterms ((x+4)2) als auch der des rechten Bruchterms (x+4) diese Nullstelle besitzen:

    x0 =-4

    Als Definitionsmenge hast Du also: D = \ x0 = \ -4

    Schritt 2: Bruchgleichung lösen

    Für das eigentliche Lösen der Bruchgleichung hast Du zwei Möglichkeiten.

    Möglichkeit 1: Kreuzweise Multiplikation mit anschließender Anwendung der Mitternachtsformel

    Hier multiplizierst Du beide Seiten der Gleichung gleichzeitig (oder separat) mit den jeweiligen Nennern.

    6x2+8x+16=7x+4 ·(x2+8x+16) ·(x+4)6x2 + 8x + 16·(x2 + 8x + 16)·(x + 4) =7x + 4·(x2 + 8x + 16)·(x + 4)

    Nun kannst Du noch Kürzen.

    6·(x + 4)=7·(x2 + 8x + 16)

    Das Ausmultiplizieren der Klammer ist der nächste Schritt.

    6x + 24 =7x2 + 56x + 112.

    Diese Gleichung kannst Du so umformen, dass Du die Mitternachtsformel verwenden kannst. Konkret erhältst Du

    7x2 + 50x + 88 =0.

    Das kannst Du in die Mitternachtsformel einsetzen.

    x0,1 =-b ± b2 - 4ac2a =-50 ± 502 - 4·7·882·7 =-50 ± 3614 = -50 ± 614 .

    Die beiden Lösungen sind also diese:

    x0 =-50 + 614 = -4414 = -227

    und

    x1 = -50 - 614 = -5614 =-4 .

    Die Lösung x1 =-4 ist jedoch problematisch, denn dieser Wert ist aus der Definitionsmenge ausgeschlossen.

    Hier siehst Du in Aktion den Grund, weswegen eine Definitionsmenge angegeben werden muss.

    Schritt 3: Lösungsmenge angeben

    Diese Lösung "wirfst" Du also weg. Es bleibt nur noch die Lösung x0 =-227 und damit lautet die Lösungsmenge

    L =-227.

    Möglichkeit 2: Anwendung der binomischen Formel und anschließendes Kürzen

    Alternativ kannst Du den Bruchterm auf der linken Seite zunächst vereinfachen, indem Du die erste binomische Formel verwendest. Die Bruchgleichung wird damit auf diese Weise vereinfacht:

    6x2 + 8x + 16 =7x + 4 Anwendung der1. binomischen Formel 6(x + 4)2 =7x + 4

    Jetzt kannst Du die Bruchgleichung mit dem Nenner (x + 4)2 der linken Seite multiplizieren:

    (x + 4)2·6(x + 4)2 =(x + 4)2·7x + 4

    Auf der linken Seite bleibt nach dem Kürzen nur noch die Zahl 6 übrig, rechts hingegen kannst Du nur einen Faktor von x + 4 streichen. Du bekommst also

    6 =7·(x + 4) 6 =7x + 28

    Stellst Du die Gleichung dann auf x um, so erhältst Du

    x=-227

    Anders als bei der ersten Möglichkeit bekommst Du hier nur eine Lösung. Die "problematische" Stelle taucht nicht auf.

    Wenn Du den Umgang mit den bisherigen Typen an Bruchgleichungen beherrscht, kannst Du Dich an die nächste Art wagen.

    Aufgabe: Bruchgleichung lösen durch Hauptnenner

    Für dieses Beispiel lautet die Bruchgleichung 4x2-16 + 12x + 8 =3. Gib die Lösungsmenge an.

    Lösung

    Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

    Auf der linken Seite hast Du die zwei Bruchterme 4x2-16 und 12x + 8;

    Den Nenner des ersten Bruchterms kannst Du mit der dritten binomischen Formel vereinfachen

    x2 - 16 =(x - 4)·(x + 4).

    Die Nullstellen hiervon sind x0 =4 und x1 = -4.

    Für den Nenner des zweiten Bruchterms bestimmst Du ebenfalls die Nullstelle:

    2x + 8 =0 2x =-8 x =-4.

    Ausgeschlossen ist also hierfür x2=-4.

    Als Definitionsmenge hast Du damit D = \ x0, x1, x2 = \ -4, 4.

    Beachte, wie hier nur einmal die -4 angegeben wird. Mengen werden über ihre unterschiedlichen Elemente charakterisiert. Das heißt, die Menge mit zwei Exemplaren der Zahl -4 ist dieselbe Menge wie diejenige, die nur ein Exemplar der -4 enthält.

    Schritt 2: Bruchgleichung lösen

    Hier hast Du die Möglichkeit die Nenner multiplizieren und anschließend die Terme zu vereinfach und nach x aufzulösen. Das kann allerdings sehr kompliziert und lang werden.

    Bei der Bestimmung der Definitionsmenge hast Du den Term ja bereits vereinfacht. Versuche also jetzt auf geschickte Weise auszuklammern oder die binomischen Formeln zu verwenden, um die Gleichung zu lösen.

    Beim ersten Bruchterm hast Du bereits die binomische Formel angewandt:

    4x2-16=4(x+4)(x-4)

    Beim zweiten Bruchterm 12x + 8 kannst Du hingegen einen Faktor von 2 ausklammern, wodurch dieser Bruchterm zu 12·(x + 4) wird.

    Nach den Umformungen sieht also die Bruchgleichung so aus

    4(x - 4)·(x + 4) + 12·(x + 4) =3.

    Wenn Du Dir jetzt die Nenner genauer ansiehst, wirst Du feststellen, dass 2·(x + 4)·(x - 4) ein Hauptnenner der Bruchterme auf der linken Seite ist. Wenn Du entsprechend erweiterst, kannst Du die linke Seite vereinfachen.

    2·42·(x - 4)·(x + 4)erstenBruchtermmit 2 erweitert + (x - 4)·1(x - 4)·2·(x + 4)zweitenBruchtermmit (x-4) erweitert =3 8 + x - 42·(x + 4)·(x - 4) =3 x + 42·(x + 4)·(x - 4) = 3

    Du kannst weiterhin den Faktor x + 4 kürzen:

    x + 42·(x + 4)·(x - 4) =3 12·(x - 4) =3

    Nun befindet sich die Bruchgleichung in einer Form, sodass Du die erste Kernmethode verwenden kannst. Du multiplizierst also mit dem Nenner des Bruchterms auf der linken Seite

    1=3·2·(x-4)1=6·(x-4)1=6x-246x=25x=256

    Schritt 3: Lösungsmenge angeben

    Umgeformt auf x bekommst Du schließlich die Lösung

    x =256

    oder als Lösungsmenge

    L =256.

    Alle bisherigen Bruchgleichungen waren Spezialfälle des nächsten Typs an Bruchgleichung.

    Bruchgleichungen mit Potenzen lösen

    Im Ausdruck x + 1 steht die Variable x zur ersten Potenz, denn x + 1 =x1 + 1.

    Beim Ausdruck x3 - 5 hingegen kommt die Variable x zur dritten Potenz vor.

    Der einzige Unterschied zu den obigen Bruchgleichungen ist der, dass die Variable nicht nur zur zweiten Potenz auftauchen kann, sondern auch höher.

    Aufgabe

    Betrachte die folgende Bruchgleichung: 2x4 - 12x2 = 32x2. Berechne die Lösungsmenge.

    Lösung

    Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

    Alle Nenner werden nur für x0 =0 zu Null. Die Definitionsmenge ist also

    D = \ 0.

    Schritt 2: Bruchgleichung lösen

    Du kannst die linke Seite auf einen Hauptnenner bringen und anschließend kreuzweise multiplizieren.

    Oder Dir fällt auf, dass links der Bruchterm 12x2 denselben Nenner hat wie der Bruchterm 32x2, der auf der rechten Seite steht. Du kannst diese beiden Bruchterme daher direkt kombinieren. Dadurch erhältst Du die Bruchgleichung:

    2x4 =32x2 + 12x2 2x4=42x2

    Jetzt kannst Du kreuzweise multiplizieren und bekommst diese Gleichung:

    2x4=42x2 ·x4 ·2x22·2x2 =4·x4

    Diese kannst Du noch vereinfachen:

    2·2x2=4·x44x2=4x4 :4x21 =x2

    Schritt 3: Lösungsmenge angeben

    Damit lauten die Lösungen

    x0 =+1 und x1 =-1

    oder als Lösungsmenge angegeben

    L = +1 , -1.

    Du kannst auch die Terme links und rechts des Gleichheitszeichens als zwei einzelne Funktionen sehen.

    In diesem Fall ist es möglich die Gleichung graphisch zu lösen.

    Bruchgleichungen graphisch lösen

    Wir nehmen als Beispiel die Bruchgleichung 10x + 4 =5x.

    Du betrachtest die linke Seite als eine Funktion f.

    f(x)= 10x + 4

    Ebenso siehst Du die rechte Seite als eine Funktion g an.

    g(x)=5x

    Die Lösungen der Bruchgleichung sind dann alle Zahlen x mit der Eigenschaft f(x)=g(x).

    Graphisch verlangt diese Gleichung von Dir, dass Du die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen bestimmst. Dazu zeichnest Du die beiden Graphen ein und untersuchst, ob und welche Schnittpunkte vorliegen.

    Abbildung 1 beinhaltet die Funktionsgraphen von f und g sowie deren Schnittpunkt. Die x-Koordinate des Schnittpunkts ist x = 4. Und wenn Du diesen Wert in die Bruchgleichung einsetzt, wirst Du erkennen, dass damit die Gleichung erfüllt wird.

    Bruchgleichungen lösen Bruchgleichungen graphisch lösen StudySmarterAbbildung 1: Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen.

    Das graphische Lösen von Bruchgleichungen hat zwei große Probleme:

    1. Die Funktionsgraphen scheinen sich nicht zu schneiden, also hat die Bruchgleichung demnach keine Lösung. Aber, das kann ein falscher Eindruck sein. In Wirklichkeit schneiden sich die beiden Graphen, jedoch ist die x-Koordinate oder die y-Koordinate so weit vom Ursprung entfernt, dass Du diesen Schnittpunkt nicht erkennen kannst.
    2. Auch wenn Du den Schnittpunkt sehen kannst, kann die Angabe der x-Koordinate sehr ungenau sein. Das ist insbesondere der Fall, wenn Du keine ganzzahlige Lösung hast.

    Mit der Hand die Bruchgleichung zu lösen, ist daher in solchen Fällen zuverlässiger und präziser.

    Bruchgleichungen lösen – Aufgaben

    Die Aufgaben werden nicht nur das konkrete Lösen von Bruchgleichungen beinhalten, sondern auch die Angabe der Definitionsmenge, bevor Du überhaupt das Lösen beginnst.

    Bruchgleichungen lösen - Aufgabe 1

    Es ist die Bruchgleichung

    76x + 4 =12x

    gegeben. Bestimme sowohl die Definitionsmenge als auch die Lösungsmenge.

    Lösung

    Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

    Zur Bestimmung der Definitionsmenge schaust Du Dir alle Nenner separat an und untersuchst ihre Nullstellen.

    Der Nenner des linken Bruchterms ist 6x + 4.

    Um die Nullstellen zu finden, löst Du die Gleichung 6x + 4 =0.

    Umformen auf x liefert Dir die Nullstelle x0 = -23.

    Der Nenner des zweiten Bruchterms ist 2x und dieser Ausdruck wird nur für den Wert x1 =0 zu Null.

    Damit lautet die Definitionsmenge D = \ -23 , 0.

    Schritt 2: Bruchgleichung lösen

    Da die Bruchgleichung

    76x + 4 =12x

    bereits die "richtige" Form besitzt, kannst Du kreuzweise multiplizieren

    76x + 4·(6x + 4)·2x =12x·(6x + 4)·2x

    und erhältst dadurch die Gleichung

    14x = 6x + 4.

    Diese Gleichung kannst Du nach x umformen und bekommst als Lösung

    x =12.

    Schritt 3: Lösungsmenge angeben

    Die Lösungsmenge ist also L =12.

    Bruchgleichungen lösen - Das Wichtigste

    • Bruchgleichungen sind Gleichungen, bei denen Bruchterme auftauchen und sich die gesuchte Variable in mindestens einem der Nenner befindet.
    • Da Bruchgleichungen per Definition Bruchterme enthalten, musst Du im ersten Schritt die Definitionsmenge angeben.
    • Beim Lösen von Bruchgleichungen versuchst Du im Wesentlichen die Variable aus dem Nenner zu bringen und sie stattdessen im Zähler zu haben.
    • Um das zu erreichen, versuchst Du die beteiligten Bruchterme so umzuformen, dass Du am Ende eine Bruchgleichung der Form "Ein Bruchterm = Ein Bruchterm (oder eine konkrete Zahl)" vor Dir liegen hast.
    • Hast Du diese Form erreicht, kannst Du mit den Nennern multiplizieren. Dadurch wandelst Du eine Bruchgleichung in eine "normale" Gleichung um und kannst mit bekannten Methoden die Lösungen finden.
    • Wichtige Hilfsmittel dabei sind:
      • Beteiligte Bruchterme auf einen Hauptnenner bringen
      • Anwendung der binomischen Formeln
      • Ausklammern von gemeinsamen Faktoren
      • Mitternachtsformel (zur Bestimmung der Lösung nach der Umwandlung von Bruchgleichung zu "normale" Gleichung)
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Bruchgleichungen lösen

    Wie werden Bruchgleichungen gelöst?

    Beim Lösen von Bruchgleichungen versuchst Du im Wesentlichen eine Sache zu erzielen: Die gesuchte Variable aus dem Nenner hervorlocken. Dadurch wandelst Du eine Bruchgleichung in eine "normale" Gleichung um und kannst vertraute Methoden (wie die Mitternachtsformel) anwenden.

    Wie wird ein Hauptnenner der Bruchgleichung gefunden?

    Wenn Du die beteiligten Bruchterme auf einen Hauptnenner bringen möchtest, so ist es am geschicktesten, wenn Du zunächst alle Nenner in Faktoren zerlegst. Anschließend schaust Du Dir die einzelnen Faktoren an und kannst so auf ein Hauptnenner schließen, der "nicht allzu lang und komplex" ist. Wichtige Hilfsmittel dabei sind die binomischen Formeln und das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren.

    Wie wird die Definitionsmenge einer Bruchgleichung berechnet?

    Die Bestimmung der Definitionsmenge von Bruchgleichungen läuft genauso ab, wie die Bestimmung bei Bruchterme: Du schaust Dir Nenner an und untersuchst ihre Nullstellen. Der einzige Unterschied ist der, dass eine Bruchgleichung aus mehreren Bruchtermen bestehen kann. Das heißt, Du musst die einzelnen Nenner separat betrachten. All ihre Nullstellen werden dann in der Definitionsmenge berücksichtigt.

    Wie wird ein Bruch mit Variablen gelöst?

    Wenn sich die Variable im Nenner befindet, so hast Du es mit einer Bruchgleichung zu tun. Entsprechend versuchst Du zunächst, die Variable aus dem Nenner hervorzulocken. Befindet sich die Variable nicht im Nenner, so hast Du es mit einer "normalen" Gleichung zu tun. Du kannst dann direkt auf die unbekannte Variable umformen oder Methoden wie die Mitternachtsformel verwenden.

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