Stelle Dir vor, Du musst eine Fläche berechnen. Normalerweise würdest Du die Länge mit der Breite multiplizieren. Jedoch wird diese Fläche noch einmal in vier gleich große Quadrate und Rechtecke unterteilt.
Abbildung 1: Darstellung des Rechteckes
Um in diesem Fall den gesamten Flächeninhalt zu berechnen, kannst Du die einzelnen Summen multiplizieren. Wie das funktioniert und was Du bei dem Vorgang beachten musst, erfährst Du in diesem Artikel.
Summen multiplizieren – Grundlagenwissen
Bevor Du jedoch erfährst, wie Du bei der Multiplikation von Summen vorgehst, findest Du hier eine Wiederholung zu den zwei Grundrechenarten Addition und Multiplikation.
Addition
Für die Multiplikation von Summen benötigst Du, wie der Name schon sagt, die Multiplikation und die Addition. Beide gehören zu den vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division). Hier soll es zunächst um die Addition gehen.
Bei der Addition werden zwei oder mehr Zahlen zusammengezählt. Das Ergebnis der Addition von zwei oder mehr Summanden wird als Summe bezeichnet.
\[\underbrace{1}_{\text{1. Summand}}+\underbrace{5}_{\text{2. Summand}}=\underbrace{6}_{\text{Summe}}\]
Aufgrund des Kommutativgesetzes kannst Du die Summanden bei einer Addition nach Belieben vertauschen.
Aufgabe 1
Berechne die Summe aus 5 und 9.
Lösung
1. Möglichkeit | 2. Möglichkeit |
| \(5+9=14\) | \(9+5=14\) |
Bei beiden Möglichkeiten erhältst Du 14 als Ergebnis.
Multiplikation
Bei der Multiplikation wird die gleiche Zahl mehrfach addiert. Das Ergebnis der Multiplikation von zwei oder mehr Faktoren wird als Produkt bezeichnet.
\[\underbrace{3}_{\text{1. Faktor}}\cdot \underbrace{4}_{\text{2. Faktor}}=\underbrace{12}_{\text{Produkt}}\]
Bei der Multiplikation kannst Du unter der Verwendung des Assoziativgesetzes jegliche Reihenfolge der Faktoren ändern und musst Dich nicht – wie bei der Division – strikt an die gegebene Abfolge halten.
Falls Du Dich noch einmal näher in beide Themen reinlesen möchtest, schaue einfach bei der entsprechenden Erklärung nach.
Berechnung eines Flächeninhalts – Rechenregeln
Wenn Du nun eine Fläche berechnen sollst und diese womöglich noch in mehrere Teile unterteilt wurde, gibt es verschiedene Möglichkeiten, diese zu berechnen. Wie und welche Möglichkeiten es gibt, findest Du im Folgenden.
Mit Hilfe einzelner Flächeninhaltsberechnungen
Die erste Möglichkeit ist, die einzelnen Summanden – also die einzelnen Flächeninhalte – auszurechnen. Das bedeutet, Du rechnest erst jede Fläche einzeln aus, indem Du jeweils die Variablen der Längen und Breiten jeder Fläche multiplizierst. Am Ende addierst Du alle Produkte und erhältst den Flächeninhalt als Summe.
Mit der Multiplikation der Längen- und Breiten-Variablen werden in der Mathematik jegliche Flächeninhalte von Rechtecken und Vierecken berechnet. Die Formel dafür lautet:
\[A=l\cdot b\]
Das würde dann wie folgt aussehen:
Aufgabe 2
Nimm das Beispiel vom Anfang. Eine Fläche, die in vier Teile aufgeteilt wurde. Du hast A1, A2, A3 und A4.
Abbildung 2: Darstellung des Flächeninhalts
Lösung
Um den gesamten Flächeninhalt A zu bestimmen, berechnest Du jeden Flächeninhalt einzeln, indem Du die Längen- und Breiten-Variablen miteinander multiplizierst.
Zuletzt addierst Du alle einzelnen Flächeninhalte, um den gesamten Flächeninhalt zu berechnen.\[A_{gesamt}=A_1+A_2+A_3+A_4\]Wenn Du für die Variablen nun jeweils Zahlen einsetzt, sieht das folgendermaßen aus:
\begin{align}A_1&=3\cdot6\\A_1&=4\cdot9\\A_1&=1\cdot10\\A_1&=7\cdot8\end{align}
Im Anschluss rechnest Du alle Multiplikationen aus und addierst Du alle Flächeninhalte.
\begin{align}A_{gesamt}&=A_1+A_2+A_3+A_4\\&=18+36+10+59\\&=120\end{align}
Multiplikation von Summen mithilfe der Addition
Da die erste Methode manchmal etwas länger dauern kann, gibt es auch noch eine andere Möglichkeit der Berechnung. Hierbei multiplizierst Du jeden Summanden mit dem jeweils anderen Summanden aus der anderen Klammer.
Bei der Multiplikation von Summen nutzt Du eine umgewandelte Form des Distributivgesetzes.
Das Distributivgesetz besagt, dass das Produkt aus einer Zahl und einer Summe auch als Summe der Produkte der Zahl mit den einzelnen Summanden beschrieben werden kann.\[c\cdot(a+b)=c\cdot a+c\cdot b\]
Du hast bei der Multiplikation von Summen lediglich nicht eine Zahl als Faktor in der Rechnung, sondern eine weitere Klammer.
Die Multiplikation von Summen ist ein Verfahren, um ein Produkt aus zwei oder mehr Summen zu berechnen. \[(a+b)\cdot(c+d)= \text{Produkt}\]
Somit würdest Du bei jeder Multiplikation die Summanden der ersten Klammer mit jeweils beiden Summanden der nachfolgenden Klammer multiplizieren. Diese vier Produkte werden zum Schluss addiert und die Summe ist der gesamte Flächeninhalt aller vier Flächen. Das ist in diesem Fall lediglich ein komprimierter Weg zum gleichen Ergebnis.
Aufgabe 3
Du hast nun auch wieder eine Fläche, die in vier Teile unterteilt worden ist. Jede einzelne Fläche hat eine eigene Länge und Breite. Die Variable a und b stehen in diesem Fall für die einzelnen Längen der Flächen. Für die Breiten der Flächen stehen die Variablen c und d. Berechne den gesamten Flächeninhalt.
Lösung
Um den Flächeninhalt zu berechnen, musst Du die Länge mit der Breite multiplizieren. Da Du aber in diesem Fall mehrere Längen und Breiten hast, addierst Du diese jeweils und multiplizierst somit die Summe der Längen mit der Summe der Breiten.\[(a+b)\cdot(c+d)=A_{gesamt}\]
Damit Du die Gleichung nun lösen kannst, multiplizierst Du die Klammern aus, indem Du die Summanden der ersten Klammer mit jeweils beiden Summanden der zweiten Klammer multiplizierst.\[(a+b)\cdot(c+d)=a\cdot c+a\cdot d+ b\cdot c+ b\cdot d\]
Wenn jetzt für die einzelnen Variablen \[a=4\quad b=1\quad c=7\quad d=3\]
gilt, sieht die Rechnung wie folgt aus:\begin{align} (a+b)\cdot (c+d) &= (4+1)\cdot (7+3)\\&=4\cdot 7 + 4\cdot 3 + 1\cdot 7 + 1\cdot 3\\&=28+12+7+3\\&=50\end{align}
Die Formel ähnelt der 3. binomischen Formel. Diese unterscheidet sich nur in einem Punkt.
Binomische Formeln im Kontext der Multiplikation von Summen
Binomische Formeln hast Du womöglich auch schon das ein oder andere Mal genutzt, doch was waren diese noch einmal?
In der Mathematik steht das Binom für einen zweigliedrigen Term. Binomische Formeln sind Formeln, mit denen Du Produkte aus Binomen umformen kannst. Zudem helfen sie beim Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken und auch bei dem Vereinfachen von verschiedenen Termen.
Insgesamt gibt es in der Mathematik drei verschiedene binomische Formeln. Jede der Formeln passt zu einem anderen Binom.
1. binomische Formel | 2. binomische Formel | 3. binomische Formel |
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) | \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) | \((a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2\) |
Der Unterschied zwischen der 3. binomischen Formel und der Formel zur Multiplikation von Summen ist das negative Vorzeichen in der zweiten Klammer. Wie der Name bereits verrät, werden bei der Multiplikation von Summen nur Klammern multipliziert, in denen es ein positives Vorzeichen gibt.
Damit Du einmal die richtige Anwendung der binomischen Formeln siehst, folgt je ein Beispiel mit jeweils einer der drei binomischen Formeln.
Aufgabe 4
Berechne mit den gegebenen Variablen \(a=3; b=7\) jeweils die Terme\begin{align}T_1&=(a+b)^2\\T_2&=(a-b)^2\\T_3&=(a+b)\cdot(a-b)\end{align}
Lösung
1. binomische Formel
\begin{align} T_1&=(a+b)^2\\&=a^2+2ab+b^2\\&=3^2+2\cdot 3\cdot 7+7^2\\&=100\end{align}
2. binomische Formel
\begin{align} T_2&=(a-b)^2\\&=a^2-2ab+b^2\\&=3^2-2\cdot 3\cdot 7+7^2\\&=16\end{align}
3. binomische Formel
\begin{align} T_1&=(a+b)\cdot(a-b)\\&=a^2-b^2\\&=3^2-7^2\\&=-40\end{align}
Multiplikation von mehr als zwei Summentermen
Du kannst jedoch nicht nur zwei Summen miteinander multiplizieren, sondern unendlich viele.
Wenn Du mehrere Summen multiplizieren musst, kannst Du auch hier wieder dem Prinzip folgen, jeden Summanden der ersten Summe mit jedem Summanden der zweiten Summe zu mulitplizieren und die Ergebnisse zu addieren. Das Ergebnis ist dann der Faktor für die nächste Multiplikation.
\begin{align}\underbrace{(a+b)\cdot(c+d)}_{\text{1. Produkt}}\cdot (e+f)&=(ac+ad+bc+bd)\cdot(e+f)\\&=ac\cdot e +ac\cdot f + ad\cdot e + ad\cdot f + bc\cdot e+ bc\cdot f + bd\cdot e +bd\cdot f\end{align}
Summen multiplizieren – Aufgaben zum Üben
Um Dein eben gelerntes Wissen zu festigen, folgen nun einige Übungsaufgaben.
Aufgabe 6
Die Gemüseplantage des nahegelegenen Bauernhofes ist in vier verschiedene Gemüsesorten unterteilt: Tomaten, Zucchini, Gurken und Kartoffeln. Wie groß ist der gesamte Flächeninhalt der Gemüseplantage, wenn die Längen der einzelnen Beete \(a=5\,m\,;b= 10\, m\) und die Breiten \(c=91\,m\,;d= 3\, m\) sind.
Nutze das Multiplizieren von Summen zur Berechnung. Achte hierbei darauf, dass a und b, sowie c und d eine Summe ergeben.
Lösung
\begin{align}(a+b)\cdot(c+d)&=ac+ad+bc+bd\\(5+10)\cdot(91+3)&=5\cdot 91 +5\cdot 3+10\cdot 91+10\cdot 3\\&=455+15+910+30\\&=1 410 \end{align}
Die Gemüseplantage ist also \(1410\,qm^2\) groß.
Aufgabe 7
Du hast einen Teppich für Dein Haus in Deinem Lieblingsdekorationsladen gefunden. Dieser besteht aus insgesamt vier Teilen. Nun bist Du Dir aber nicht sicher, ob der Teppich auch wirklich von der Größe her in die untere Etage passt. Diese hat einen gesamten Flächeninhalt von \(100\, qm^2\).
Die Längen der einzelnen Seiten sind wie folgt: \(a=3\,m;b=5\,m\) Die Breiten sind \(c=8\,m;d=1\,m\).
Nutze das Verfahren der Multiplikationen von Summen. Hierbei gilt: a und b bilden eine Summe und c und d die andere.
Lösung
\begin{align}(a+b)\cdot(c+d)&=ac+ad+bc+bd\\(3+5)\cdot(8+1)&=3\cdot 8+3\cdot 1+5\cdot 8+5\cdot 1\\&=24+3+40+5\\&=72\end{align}
Somit ist der Teppich passend.
Multiplikation von Summen – Das Wichtigste
- Bei der Multiplikation von Summen handelt es sich um eine Multiplikation von zwei Klammern, die jeweils eine Addition beinhalten.
- Durch das Distributionsgesetz wird das Multiplizieren der einzelnen Summanden möglich.
- Bei der Multiplikation musst Du jeden Summanden miteinander multiplizieren und diese Produkte addieren.
- Wenn Du mehrere Summen multiplizieren musst, multiplizierst Du die Summen nacheinander miteinander.
- Statt den Flächeninhalt mit der Multiplikation der Summen zu berechnen, kannst Du auch jeden Flächeninhalt einzeln berechnen und die Produkte addieren.
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