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Summen multiplizieren

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Mathe

Stelle Dir vor, Du musst eine Fläche berechnen. Normalerweise würdest Du die Länge mit der Breite multiplizieren. Jedoch wird diese Fläche noch einmal in vier gleich große Quadrate und Rechtecke unterteilt.

Summen multiplizieren, Flächendarstellung, StudySmarterAbbildung 1: Darstellung des Rechteckes

Um in diesem Fall den gesamten Flächeninhalt zu berechnen, kannst Du die einzelnen Summen multiplizieren. Wie das funktioniert und was Du bei dem Vorgang beachten musst, erfährst Du in diesem Artikel.

Summen multiplizieren – Grundlagenwissen

Bevor Du jedoch erfährst, wie Du bei der Multiplikation von Summen vorgehst, findest Du hier eine Wiederholung zu den zwei Grundrechenarten Addition und Multiplikation.

Addition

Für die Multiplikation von Summen benötigst Du, wie der Name schon sagt, die Multiplikation und die Addition. Beide gehören zu den vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division). Hier soll es zunächst um die Addition gehen.

Bei der Addition werden zwei oder mehr Zahlen zusammengezählt. Das Ergebnis der Addition von zwei oder mehr Summanden wird als Summe bezeichnet.

1. Summand + 2. Summand = Summe

Aufgrund des Kommutativgesetzes kannst Du die Summanden bei einer Addition nach Belieben vertauschen.

Aufgabe 1

Berechne die Summe aus 5 und 9.

Lösung

1. Möglichkeit

2. Möglichkeit
5+9=149+5=14

Bei beiden Möglichkeiten erhältst Du 14 als Ergebnis.

Multiplikation

Bei der Multiplikation wird die gleiche Zahl mehrfach addiert. Das Ergebnis der Multiplikation von zwei oder mehr Faktoren wird als Produkt bezeichnet.

1. Faktor · 2. Faktor = Produkt

Bei der Multiplikation kannst Du unter der Verwendung des Assoziativgesetzes jegliche Reihenfolge der Faktoren ändern und musst Dich nicht – wie bei der Division – strikt an die gegebene Abfolge halten.

Falls Du Dich noch einmal näher in beide Themen reinlesen möchtest, schaue einfach bei der entsprechenden Erklärung nach.

Berechnung eines Flächeninhalts – Rechenregeln

Wenn Du nun eine Fläche berechnen sollst und diese womöglich noch in mehrere Teile unterteilt wurde, gibt es verschiedene Möglichkeiten, diese zu berechnen. Wie und welche Möglichkeiten es gibt, findest Du im Folgenden.

Mit Hilfe einzelner Flächeninhaltsberechnungen

Die erste Möglichkeit ist, die einzelnen Summanden – also die einzelnen Flächeninhalte – auszurechnen. Das bedeutet, Du rechnest erst jede Fläche einzeln aus, indem Du jeweils die Variablen der Längen und Breiten jeder Fläche multiplizierst. Am Ende addierst Du alle Produkte und erhältst den Flächeninhalt als Summe.

Mit der Multiplikation der Längen- und Breiten-Variablen werden in der Mathematik jegliche Flächeninhalte von Rechtecken und Vierecken berechnet. Die Formel dafür lautet:

A = l · b

Das würde dann wie folgt aussehen:

Aufgabe 2

Nimm das Beispiel vom Anfang. Eine Fläche, die in vier Teile aufgeteilt wurde. Du hast A1, A2, A3 und A4.

Summen multiplizieren, Flächendarstellung, StudySmarterAbbildung 2: Darstellung des Flächeninhalts

Lösung

Um den gesamten Flächeninhalt A zu bestimmen, berechnest Du jeden Flächeninhalt einzeln, indem Du die Längen- und Breiten-Variablen miteinander multiplizierst.

A1= l · bA2= l · bA3= l · bA4= l · b

Zuletzt addierst Du alle einzelnen Flächeninhalte, um den gesamten Flächeninhalt zu berechnen.

A1+ A2 + A3 + A4 = Agesamt

Wenn Du für die Variablen nun jeweils Zahlen einsetzt, sieht das folgendermaßen aus:

A1 = 3 · 6A2 = 4 · 9A3 = 1 · 10A4 = 7 · 8

Im Anschluss rechnest Du alle Multiplikationen aus:

A1 = 18A2 = 36A3 = 10A4 = 56

Zuletzt addierst Du alle Flächeninhalte.

Agesamt =18 + 36 + 10 + 56= 120

Multiplikation von Summen mit Hilfe der Addition

Da die erste Methode manchmal etwas länger dauern kann, gibt es auch noch eine andere Möglichkeit der Berechnung. Hierbei multiplizierst Du jeden Summanden mit dem jeweils anderen Summanden aus der anderen Klammer.

Bei der Multiplikation von Summen nutzt Du eine umgewandelte Form des Distributivgesetzes.

Das Distributivgesetz besagt, dass das Produkt aus einer Zahl und einer Summe auch als Summe der Produkte der Zahl mit den einzelnen Summanden beschrieben werden kann.

c· (a+b) = ca + cb

Du hast bei der Multiplikation von Summen lediglich nicht eine Zahl als Faktor in der Rechnung, sondern eine weitere Klammer.

Die Multiplikation von Summen ist ein Verfahren, um ein Produkt aus zwei oder mehr Summen zu berechnen.

(a+b) · (c+d) = Faktor

Somit würdest Du bei jeder Multiplikation die Summanden der ersten Klammer mit jeweils beiden Summanden der nachfolgenden Klammer multiplizieren. Diese vier Produkte werden zum Schluss addiert und die Summe ist der gesamte Flächeninhalt aller vier Flächen. Das ist in diesem Fall lediglich ein komprimierter Weg zum gleichen Ergebnis.

Aufgabe 3

Du hast nun auch wieder eine Fläche, die in vier Teile unterteilt worden ist. Jede einzelne Fläche hat eine eigene Länge und Breite. Die Variable a und b stehen in diesem Fall für die einzelnen Längen der Flächen. Für die Breiten der Flächen stehen die Variablen c und d. Berechne den gesamten Flächeninhalt.

Lösung

Um den Flächeninhalt zu berechnen, musst Du die Länge mit der Breite multiplizieren. Da Du aber in diesem Fall mehrere Längen und Breiten hast, addierst Du diese jeweils und multiplizierst somit die Summe der Längen mit der Summe der Breiten.

(a+b)·(c+d)=Agesamt

Damit Du die Gleichung nun lösen kannst, multiplizierst Du die Klammern aus, indem Du die Summanden der ersten Klammer mit jeweils beiden Summanden der zweiten Klammer multiplizierst.

(a+b)·(c+d)=a·c + a·d + b·c + b·d

Wenn jetzt für die einzelnen Variablen

a = 4 b= 1 c = 7 d =3

gilt, sieht die Rechnung wie folgt aus:

(a+b)·(c+d) = (4+1) · (7+3)= 4·7 + 4·3 + 1·7 + 1·3= 28 + 12 + 7 + 3 = 50

Die Formel ähnelt der 3. binomischen Formel. Diese unterscheidet sich nur in einem Punkt.

Binomische Formeln im Kontext der Multiplikation von Summen

Binomische Formeln hast Du womöglich auch schon das ein oder andere Mal genutzt, doch was waren diese noch einmal?

In der Mathematik steht das Binom für einen zweigliedrigen Term. Binomische Formeln sind Formeln, mit denen Du Produkte aus Binomen umformen kannst. Zudem helfen sie beim Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken und auch bei dem Vereinfachen von verschiedenen Termen.

Insgesamt gibt es in der Mathematik drei verschiedene binomische Formeln. Jede der Formeln passt zu einem anderen Binom.

1. binomische Formel
2. binomische Formel
3. binomische Formel
(a+b)2 = a2+ 2ab + b2
(a-b)2 = a2 -2ab + b2
(a+b) · (a-b) = a2-b2

Der Unterschied zwischen der 3. binomischen Formel und der Formel zur Multiplikation von Summen ist das negative Vorzeichen in der zweiten Klammer. Wie der Name bereits verrät, werden bei der Multiplikation von Summen nur Klammern multipliziert, in denen es ein positives Vorzeichen gibt.

Damit Du einmal die richtige Anwendung der binomischen Formeln siehst, folgt je ein Beispiel mit jeweils einer der drei binomischen Formeln.

Aufgabe 4

Berechne mit den gegebenen Variablen a = 3 ; b = 7 jeweils die Terme

(a + b)2 (a - b)2(a + b) · (a - b)

Lösung

1. binomische Formel

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2(3+7)2 = 32 + 2 · 3 · 7 + 72(3+7)2 = 9 + 42 + 49(3+7)2 = 100

2. binomische Formel

(a-b)2 = a2 - 2ab + b2(3-7)2 = 32 - 2 · 3 · 7 + 72(3-7)2 = 9 - 42 + 49(3-7)2 = 16

3. binomische Formel

(a+b) · (a-b) = a2 - b2(3+7) · (3-7) = 32 - 72(3+7) · (3-7) = 9 - 49(3+7) · (3-7) = -40

Multiplikation von mehr als zwei Summentermen

Du kannst jedoch nicht nur zwei Summen miteinander multiplizieren, sondern unendlich viele.

Aufgabe 5

Du hast die Variablen a, b, c, d, e und f gegeben. Hierbei bilden jeweils a und b eine Summe, d und e bilden die nächste Klammer und letztlich sind e und f Summanden der letzten Addition.

Bei der Multiplikation von mehr als zwei Summen gehst Du beim Multiplizieren der Reihe nach vor. Das bedeutet, Du fängst mit den ersten zwei Summen an und multiplizierst sie, wie Du es zuvor erlernt hast. Hierbei schreibst Du den ausmultiplizierten Term in eine Klammer.

Diese Klammer mit all ihren Summanden multiplizierst Du jetzt mit der nächsten Klammer und somit den nächsten beiden Summanden. Falls jetzt noch weitere Summen darauf folgen, gehst Du schrittweise immer weiter so vor, bis Du irgendwann alle Klammern miteinander ausmultipliziert hast.

(a+b) · (c+d) · (e+f) = Agesamt= (ac + ad + bc + bd) · (e+f)= ace + acf + ade + adf + bce + bcf + bde + bdf

Lösung

Wenn jetzt

a = 2, b = 5, c = 1, d = 6, e = 4 und f = 8(alle in m)

gilt, sieht die Rechnung wie folgt aus:

(2+5) · (1+6) · (4+8) = Agesamt= (2·1 + 2·6 + 5·1 + 5·6) · (4 + 8)= (2 + 12 + 5 + 30) · (4 + 8)= 2 ·4 + 2·8 + 12·4 + 12·8 + 5·4 + 5·8 + 30·4 + 30·8= 8 + 16 + 48 + 96 + 20 + 40 + 120 + 240= 588

Auch hier kannst Du die jeweiligen Flächen ausrechnen und später erst addieren:

Die Fläche bei dieser Rechnung ist dieses Mal nicht nur in vier Teile unterteilt, sondern insgesamt in acht einzelne Flächen. Folgende Flächeninhaltsberechnungen ergeben sich aus den Flächen:

A1 = 2 · 4A2 = 2 · 8A3 = 12 · 4A4 = 12 · 8A5 = 5 · 4A6 = 5 · 8 A7 = 30 · 4A8 = 30 · 8

Anschließend berechnest Du jeden einzelnen Flächeninhalt.

A1 = 8A2 = 16A3 = 48A4 =96A5 = 20A6 = 40A7 = 120A8 = 240

Zuletzt addierst Du alle einzelnen Flächeninhalte.

Agesamt = 8 + 16 + 48 + 96 + 20 + 40 + 120 + 240= 588 qm

Der gesamte Flächeninhalt ist somit 588 qm und damit gleich dem Flächeninhalt des Multiplikationsverfahrens.

Summen multiplizieren – Aufgaben zum Üben

Um Dein eben gelerntes Wissen zu festigen, folgen nun einige Übungsaufgaben.

Aufgabe 6

Die Gemüseplantage des nahegelegenen Bauernhofes ist in vier verschiedene Gemüsesorten unterteilt: Tomaten, Zucchini, Gurken und Kartoffeln. Wie groß ist der gesamte Flächeninhalt der Gemüseplantage, wenn die Längen der einzelnen Beete a=5 m , b=10 m und die Breiten c=91 m, d=3 m sind.

Nutze das Multiplizieren von Summen zur Berechnung. Achte hierbei darauf, dass a und b, sowie c und d eine Summe ergeben.

Lösung

(a+b)·(c+d) = ac +ad + bc +bd(5 +10)·(91 + 3) = 5·91 + 5·3 + 10·91 + 10·3(5 +10)·(91 + 3) = 455 + 15 + 910 + 30(5 +10)·(91 + 3) = 1.410 qm2

Die Gemüseplantage ist also 1410 qm2 groß.

Aufgabe 7

Du hast einen Teppich für Dein Haus in Deinem Lieblingsdekorationsladen gefunden. Dieser besteht aus insgesamt vier Teilen. Nun bist Du Dir aber nicht sicher, ob der Teppich auch wirklich von der Größe her in die untere Etage passt. Diese hat einen gesamten Flächeninhalt von 100 qm2.

Die Längen der einzelnen Seiten sind wie folgt: a=3 m, b=5 m. Die Breiten sind c= 8 m, d=1 m .

Nutze das Verfahren der Multiplikationen von Summen. Hierbei gilt: a und b bilden eine Summe und c und d die andere.

Lösung

(a+b)·(c+d) = ac +ad + bc +bd(3+5)·(8+1) = 3·8 + 3·1 + 5·8 + 5·1(3+5)·(8+1) = 24 + 3 + 40 + 5(3+5)·(8+1) = 72

Somit ist der Teppich passend.

Aufgabe 8

Du planst ein großes Kunstprojekt mit Deinen Freunden. Ihr seid insgesamt zu viert und jeder will einen Teil einer Mauer bemalen. Die Schule hat Euch hierfür vier Flächen zur Verfügung gestellt. Nun wollt ihr Farbe kaufen gehen und benötigt dafür den gesamten Flächeninhalt. Die Längen und Breiten der Seiten der einzelnen Flächen sind a = 4 m, b=0 m und c=7 m, d=12 m.

Nutze zur Berechnung das Verfahren der Multiplikation von Summen. Auch hier gilt: a und b bilden eine Summe, die Zweite setzt sich aus c und d zusammen.

Lösung

(4 + 0) · (7 + 12) = 4·7 + 4·12 + 0·7 + 0·12=76

Somit braucht ihr Farben für eine 76 qm2 große Fläche.

Aufgabe 9

Multipliziere diese Summanden anhand der Aufteilung (a+b) · (c+d).

a=19, b=2, c=10, d=22

Lösung

(19 + 2) · (10 + 22) = 19·10 + 19·22 + 2·10 + 2·22= 672

Aufgabe 10

Du hast ein Rechteck mit vier Flächen. Rechne den gesamten Flächeninhalt der Flächen aus.

Probiere ruhig beide Möglichkeiten der Berechnung aus.

Summen multiplizieren, Aufgaben Flächendarstellung, StudySmarterAbbildung 3: Darstellung des Flächen

Lösung

1. Möglichkeit mit jeweils einzelner Berechnung der Flächeninhalte.

A1 = 5·8A2 = 3·8A3 = 5·9A4 = 3·9 40 + 24 + 45 + 27 = 136

2. Möglichkeit: Berechnung anhand des Distributivgesetzes

(5+3) · (8+9) = 5·8 + 5·9 + 3·8 + 3·9 = 136

Multiplikation von Summen Das Wichtigste

  • Bei der Multiplikation von Summen handelt es sich um eine Multiplikation von zwei Klammern, die jeweils eine Addition beinhalten.
  • Durch das Distributionsgesetz wird das Multiplizieren der einzelnen Summanden möglich.
  • Bei der Multiplikation musst Du jeden Summanden miteinander multiplizieren und diese Produkte addieren.
  • Wenn Du mehrere Summen multiplizieren musst, multiplizierst Du die Summen nacheinander miteinander.
  • Statt den Flächeninhalt mit der Multiplikation der Summen zu berechnen, kannst Du auch jeden Flächeninhalt einzeln berechnen und die Produkte addieren.

Summen multiplizieren

Du multiplizierst Summen aus, indem du jeden Summanden der ersten Klammer mit jeweils jedem Summanden der folgenden Klammer multiplizierst und die Produkte addierst.

Wenn du mehrere Summen multiplizieren musst, gehe dabei von links nach rechts vor. Das heißt, nimm dir am Anfang die ersten beiden Klammern vor und multipliziere diese, bis auf die letztendliche Addition, aus. Die Produkte schreibst du wieder in eine Klammer. Nun multiplizierst du alle Summanden aus der neuen mit den Summanden der nächsten Klammer. So gehst du nun vor bis alle Klammern ausmultipliziert sind.

Du multiplizierst zwei Summen, indem du jeden Summanden der ersten Klammer mit allen Summanden der zweiten Klammer multiplizierst und zum Schluss alle Produkte addierst.

Finales Summen multiplizieren Quiz

Frage

Wie multipliziert Du zwei Summen?

Antwort anzeigen

Antwort

Du multiplizierst zwei Summen, indem Du jeden Summanden mit jedem Summanden der anderen Klammer multipliziert und am Ende addierst.

Frage anzeigen

Frage

Woraus besteht eine Addition?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Addition besteht immer aus mindestens zwei Summanden und einer Summe.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele binomische Formeln gibt es es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt 3 verschiedene binomische Formeln.

Frage anzeigen

Frage

Welche Summengesetze gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz.

Frage anzeigen

Frage

Wofür ist die Multiplikation von Summen besondern wichtig?

Antwort anzeigen

Antwort

Für die Berechnung von Flächen, ist diese Methode sehr hilfreich.

Frage anzeigen

Frage

Gibt es noch eine andere Möglichkeit, den Flächeninhalt von mehreren Flächen zu berechnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, indem man jede einzelne Fläche einzeln ausrechnet und diese dann addiert.

Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man die Bestandteile einer Multiplikation?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Multplikation besteht aus mindestes zwei Faktoren und dem Produkt als Ergebnis.

Frage anzeigen

Frage

Welche anderen Rechenarten neben Addition und Multiplikation gibt es noch?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt noch die Division und die Subtraktion.

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