Orthogonale Matrix

Q: Wann ist eine Matrix unitär?

Eine unitäre Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren eine orthonormale Basis bilden.

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Dieser Artikel dreht es sich um die orthogonale Matrix. Was es damit auf sich hat, welche Begriffe und Regeln für dich wichtig sind und wie du diese in Beispielen anwendest, erfährst du in diesem Kapitel. Das Kapitel können wir den Matrizen und damit dem Fach Mathe zuordnen.

Orthogonale Matrix - Was hat es damit auf sich?

Bevor wir uns mit der orthogonalen Matrix beschäftigen, wiederholen wir kurz einige Grundlagen zu den Matrizen.

Allgemeine Matrizen

Die verschiedenen Formen der Matrizen kennen wir bereits aus dem Kapitel Matrizen. Wir werden das Wichtigste hier kurz wiederholen.

Eine Matrix A kann in einer typischen Schreibweise dargestellt werden. In der allgemeinen Form besitzt sie m Zeilen und n Spalten, weshalb für die Matrix A gilt:

Die einzelnen Komponenten (wie beispielsweise ) in der Klammer werden als Koeffizienten bezeichnet. Ein Beispiel für eine 2x3-Matrix könnte wie folgt aussehen:

Einen Sonderfall stellt dabei die Einheitsmatrix dar. Anders als im vorherigen Beispiel besitzt sie keine beliebigen Zahlen, sondern nur die Werte 0 und 1. Außerdem ist sie quadratisch, besitzt also gleich viele Zeilen wie Spalten. Ein Beispiel dafür wäre:

Entlang der Hauptdiagonalen entsprechen die Elemente der Matrix der „1“ und alle anderen Koeffizienten sind gleich 0. Sie besitzt zudem drei Zeilen und drei Spalten und ist damit quadratisch.

Falls dir die Grundlagen zu den Matrizen unklar sind, lies bitte im entsprechenden Kapitel noch einmal nach.

Orthogonale und normierte Vektoren

Der Begriff orthogonal bedeutet so viel wie senkrecht zueinanderstehend oder rechtwinklig. Beispielsweise können zwei Vektoren mit einem Winkel von 90° zueinanderstehen und wären damit orthogonal. Wir betrachten nachfolgend die zwei Vektoren und .

Graphisch dargestellt können wir leicht erkennen, dass diese rechtwinklig angeordnet sind.

Auch rechnerisch lässt sich die Orthogonalität leicht überprüfen. Falls das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich null ist, dann sind diese orthogonal. Dieses kennen wir bereits aus dem Kapitel Skalarprodukt und aus der Matrizenrechnung. Für unser Beispiel ergibt sich dann:

Ein Vektor mit der Länge 1 wird auch als Einheitsvektor bezeichnet; der Vektor ist normiert. Im einfachsten Fall wären das zum Beispiel folgende Vektoren:

Die graphische Darstellung zeigt die beiden normierten Vektoren, die sogar orthogonal zueinander sind. In diesem Fall sind die Vektoren orthonormal zueinander.

Orthogonale Matrix

Was genau hat das jetzt mit unserer Matrix zu tun? Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthonormal zueinander sind. Sie besitzen somit die Länge 1 (Einheitsvektor) und stehen senkrecht aufeinander. Daher wäre die Bezeichnung orthonormale Matrix treffender, hat sich aber nicht durchgesetzt. Ein Beispiel für eine orthogonale Matrix wäre damit:

Warum diese Matrix Q eine orthogonale Matrix ist, klären wir im weiteren Verlauf.

Eigenschaften und Anwendungen der orthogonalen Matrix

Wir kennen bereits die Definition einer orthogonalen Matrix. Allgemein wird so eine Matrix oft mit dem Buchstaben Q versehen. Zusätzlich besitzt sie einige Eigenschaften:

Durch Multiplikation einer orthogonalen Matrix mit ihrer transponierten Matrix erhalten wir eine Einheitsmatrix. Es gilt:

Was genau eine transponierte Matrix ist und wie du eine Matrix transponieren kannst, ist im entsprechenden Kapitel genauer erläutert.

Die Transponierte einer Matrix entspricht der Inversen der Matrix.

Wie eine Matrix invertiert werden kann und was unter einer invertierten Matrix zu verstehen ist, kannst du wieder im separaten Artikel nachlesen.

Zudem nimmt die Determinante einer orthogonalen Matrix nur zwei verschiedene Werte an:

Bei einer orthogonalen Matrix ist der Betrag der Determinante also immer 1. Mehr Informationen zur Determinante findest du im passenden Kapitel.

Die grundlegenden Eigenschaften einer orthogonalen Matrix kennen wir damit bereits. Aber wozu nutzen uns diese Art von Matrizen? Orthogonale Matrizen finden oft Anwendung bei zwei unterschiedlichen Fällen:

- Drehungen können durch orthogonale Matrizen beschrieben werden. So stellt beispielsweise die folgende Matrix Q eine Drehung um den Winkel dar:

Durch Multiplikation eines Vektors mit dieser Matrix Q kann der Vektor um den entsprechenden Winkel gedreht werden. Beispielsweise soll der folgende Vektor um -45° gedreht werden:

Die Berechnung erfolgt durch normale Multiplikation von Matrizen mithilfe des Falk-Schema. Mehr Informationen dazu findest du im Kapitel Matrizenrechnung. Graphisch dargestellt wäre der ursprüngliche Vektor um 45° im Uhrzeigersinn gedreht worden.

Für die Determinante einer orthogonalen Matrix bei Drehungen gilt ein Wert von 1.

- Spiegelungen an einer Geraden können ebenfalls durch orthogonale Matrizen beschrieben werden. So vertauscht zum Beispiel folgende Matrix die x- und y-Komponente eines Vektors.

Durch Multiplikation eines Vektors mit dieser Matrix Q kann der Vektor gespiegelt werden. Beispielsweise soll dies für den gleichen Vektor wie oben gemacht werden:

Für die Determinante der orthogonalen Matrix bei einer Spiegelung gilt:

Orthogonalität prüfen

Bereits zu Beginn des Artikels wurde die Behauptung aufgestellt, dass folgende Matrix Q eine orthogonale Matrix ist.

Aber woran erkenne ich das oder wie kann ich dies begründen?

Der einfachste Weg nachzuweisen, dass die angegebene Matrix eine orthogonale Matrix ist, ist die wichtigste Eigenschaft einer orthogonalen Matrix zu beweisen. Durch die Multiplikation der Matrix mit ihrer transponierten Matrix müssten wir eine Einheitsmatrix erhalten.

Zunächst wird die Transponierte der Matrix Q berechnet durch Vertauschen der Zeilen und Spalten:

Danach werden beide Matrizen multipliziert.

Als Produkt erhalten wir eine Matrix mit den Elementen 1 und 0 und diese entspricht genau der Einheitsmatrix. Zusätzlich kann noch die Determinante berechnet werden.

Damit handelt es sich hierbei um eine orthogonale Matrix für eine Spiegelung.

Nun haben wir alle wichtigen Grundlagen zu orthogonalen Matrizen kennengelernt. Durch das folgende Übungsbeispiel kannst du dein Wissen zu diesem Thema überprüfen.

Orthogonale Matrix - Übungsbeispiel

Aufgabe: Überprüfe die folgende Matrix Q auf Orthogonalität.

Lösung: Wir transponieren zunächst die Matrix Q zur Matrix $Q^{T}$ .

Im nächsten Schritt multiplizieren wir die Matrix Q mit der Matrix $Q^{T}$ .

Als Ergebnis erhalten wir wieder die Einheitsmatrix E.

Nachfolgend findest du noch eine kurze Übersicht mit den wichtigsten Informationen.

Orthogonale Matrix - Alles Wichtige auf einen Blick

Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthogonal zueinander sind und die Länge 1 besitzen.
Somit wäre der Begriff orthonormal treffender, setzte sich aber nicht durch.
Die Transponierte einer Matrix entspricht der Inversen der Matrix.
- $Q^{- 1} = Q^{T}$
Durch Multiplikation einer orthogonalen Matrix mit ihrer transponierten Matrix erhalten wir eine Einheitsmatrix. Es gilt:
- $Q \cdot Q^{T} = E$
Zudem nimmt die Determinante einer orthogonalen Matrix nur zwei verschiedene Werte an:
1. bei Drehung $d e t (Q) = 1$
2. bei Spiegelung $d e t (Q) = - 1$
Eine Matrix kann auf Orthogonalität überprüft werden, indem bewiesen wird, dass die Multiplikation der Matrix mit ihrer transponierten Matrix eine Einheitsmatrix ergibt.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Orthogonale Matrix

Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren orthogonal (rechtwinklig) zueinander stehen und die Länge 1 besitzen.

Nein, nicht jede orthogonale Matrix ist symmetrisch.

Zwei Vektoren, die senkrecht zueinanderstehen (90°-Winkel), sind orthogonal.

Eine unitäre Matrix ist eine komplexe quadratische Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren eine orthonormale Basis bilden.

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Orthogonale Matrix - Alles Wichtige auf einen Blick

Häufig gestellte Fragen zum Thema Orthogonale Matrix

Wann ist eine Matrix orthogonal?

Ist jede orthogonale Matrix symmetrisch?

Wann sind zwei Vektoren orthogonal zueinander?

Wann ist eine Matrix unitär?

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